如图1，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30°操作：将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q．探究一：在旋转过程中，（1）如图2，当CE/EA=1时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明；（2）如图3，当CE/EA=2时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并说明理由；（3）根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当CE/EA=m时，EP与EQ满足的数量关系式为____，其中m的取值范围是____．（直接写出结论，不必证明）探究二：若CE/EA=2且AC=30cm，连接PQ，设△EPQ的面积为S（cm2），在旋转过程中：（1）S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由．（2）随着S取不同的值，对应△EPQ的个数有哪些变化，求出相应S的值或取值范围．-乐乐题库
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如图1，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30°操作：将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q．探究一：在旋转过程中，（1）如图2，当CEEA=1时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明；（2）如图3，当CEEA=2时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并说明理由；（3）根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当CEEA=m时，EP与EQ满足的数量关系式为EP：EQ=1：m&，其中m的取值范围是0＜m≤2+√6&．（直接写出结论，不必证明）探究二：若CEEA=2且AC=30cm，连接PQ，设△EPQ的面积为S（cm2），在旋转过程中：（1）S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由．（2）随着S取不同的值，对应△EPQ的个数有哪些变化，求出相应S的值或取值范围．
本题难度：一般
题型：填空题&|&来源：2008-徐州
分析与解答
习题“如图1，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30°操作：将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点...”的分析与解答如下所示：
探究一：（1）连接BE，根据已知条件得到E是AC的中点，根据等腰直角三角形的性质可以证明DE=CE，∠PBE=∠C．根据等角的余角相等可以证明∠BEP=∠CEQ．即可得到全等三角形，从而证明结论；（2）作EM⊥AB，EN⊥BC于M、N，根据两个角对应相等证明△MEP∽△NWQ，发现EP：EQ=EM：EN，再根据等腰直角三角形的性质得到EM：EN=AE：CE；（3）根据（2）中求解的过程，可以直接写出结果；要求m的取值范围，根据交点的位置的限制进行分析．探究二：（1）设EQ=x，结合上述结论，用x表示出三角形的面积，根据x的最值求得面积的最值；（2）首先求得EQ和EB重合时的三角形的面积的值，再进一步分情况讨论．
解：探究一：（1）连接BE，根据E是AC的中点和等腰直角三角形的性质，得BE=CE，∠PBE=∠C，又∠BEP=∠CEQ，则△BEP≌△CEQ，得EP=EQ；（2）作EM⊥AB，EN⊥BC于M，N，∴∠EMP=∠ENC，∵∠MEP+∠PEN=∠PEN+∠NEF=90°，∴∠MEP=∠NEF，∴△MEP∽△NEQ，∴EP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2；（3）过E点作EM⊥AB于点M，作EN⊥BC于点N，∵在四边形PEQB中，∠B=∠PEQ=90°，∴∠EPB+∠EQB=180°（四边形的内角和是360°），又∵∠EPB+∠MPE=180°（平角是180°），∴∠MPE=∠EQN（等量代换），∴Rt△MEP∽Rt△NEQ（AA），∴EPEQ=MEEN（两个相似三角形的对应边成比例）；在Rt△AME∽Rt△ENC∴CEEA=m=ENME∴EPEQ=1：m=AECE，EP与EQ满足的数量关系式为EP：EQ=1：m，∴0＜m≤2+√6；（当m＞2+√6时，EF与BC不会相交）．探究二：若AC=30cm，（1）设EQ=x，则S=14x2，所以当x=10√2时，面积最小，是50cm2；当x=10√3时，面积最大，是75cm2．（2）当x=EB=5√10时，S=62.5cm2，故当50＜S≤62.5时，这样的三角形有2个；当S=50或62.5＜S≤75时，这样的三角形有一个．
熟练运用等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定和性质进行求解．
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如图1，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30°操作：将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边...
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经过分析，习题“如图1，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30°操作：将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点...”主要考察你对“二次函数的最值”
等考点的理解。
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二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=$-\frac{b}{2a}$时，y=$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$．（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=$-\frac{b}{2a}$时，y=$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$．（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
与“如图1，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30°操作：将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点...”相似的题目：
如图，在锐角三角形ABC中，BC=10，BC边上的高AM=6，D，E分别是边AB，AC上的两个动点（D不与A，B重合），且保持DE∥BC，以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFG．（1）因为&&&&，所以△ADE∽△ABC．（2）如图1，当正方形DEFG的边GF在BC上时，求正方形DEFG的边长；（3）设DE=x，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y．①如图2，当正方形DEFG在△ABC的内部时，求y关于x的函数关系式，写出x的取值范围；②如图3，当正方形DEFG的一部分在△ABC的外部时，求y关于x的函数关系式，写出x的取值范围；③当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？
如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠B=30°，BC=12√3，点D是BC中点，点E从点D出发沿DB经每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，点F从点D出发以每秒1个单位长的速度向点C匀速运动．在点E、F的运动过程中，以EF为边作正方形EFPQ，使它与等腰△ABC的线段BC的同侧，点E、F同进出发，当PQ经过点A时，点E再以每秒1个单位长的速度向点C匀速运动．回到点D时停止运动，点F也随之停止．设点E、F运动的时间是t秒（t＞0）（1）设EF的长为y，在点E从点D向点B运动的过程中，写出y与t之间的函数关系式（不必写t的取值范围）（2）t为何值时，PQ经过点A？（3）当BE=5√3时，求△ABC与正方形EFPQ重叠部分的面积？（4）随着时间t的变化，△ABC与正方形EFPQ重叠部分的周长在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出t的取值范围；若不能，请说明理由．
（2012o吴中区二模）如图，边长为20的正方形ABCD截去一角成为五边形ABCEF，其中DE=10，DF=5，若点P在线段EF上使矩形PMBN有最大面积时，则PE的长度为&&&&．
“如图1，一副直角三角板满足AB=BC，A...”的最新评论
该知识点好题
1（2012o湖州）如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（　　）
2二次函数y=x2+2x-5有（　　）
3二次函数y=-2x2+4x-9的图象上的最高点的纵坐标为（　　）
该知识点易错题
1（2012o湖州）如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（　　）
2用60m的篱笆围成一面靠墙且分隔成两个矩形的养鸡场，则养鸡场的最大面积为（　　）
3若正实数a、b满足ab=a+b+3，则a2+b2的最小值为（　　）
欢迎来到乐乐题库，查看习题“如图1，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30°操作：将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q．探究一：在旋转过程中，（1）如图2，当CE/EA=1时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明；（2）如图3，当CE/EA=2时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并说明理由；（3）根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当CE/EA=m时，EP与EQ满足的数量关系式为____，其中m的取值范围是____．（直接写出结论，不必证明）探究二：若CE/EA=2且AC=30cm，连接PQ，设△EPQ的面积为S（cm2），在旋转过程中：（1）S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由．（2）随着S取不同的值，对应△EPQ的个数有哪些变化，求出相应S的值或取值范围．”的答案、考点梳理，并查找与习题“如图1，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30°操作：将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q．探究一：在旋转过程中，（1）如图2，当CE/EA=1时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明；（2）如图3，当CE/EA=2时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并说明理由；（3）根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当CE/EA=m时，EP与EQ满足的数量关系式为____，其中m的取值范围是____．（直接写出结论，不必证明）探究二：若CE/EA=2且AC=30cm，连接PQ，设△EPQ的面积为S（cm2），在旋转过程中：（1）S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由．（2）随着S取不同的值，对应△EPQ的个数有哪些变化，求出相应S的值或取值范围．”相似的习题。直角三角形旋转时一中的一个点落在了斜边上,有什么性质?_百度作业帮
直角三角形旋转时一中的一个点落在了斜边上,有什么性质?
直角三角形旋转时一中的一个点落在了斜边上,有什么性质?
精锐教育数学老师回答：①首先,全等,对应角相等,对应边相等.②其次有相似三角形,△BCB‘∽△ACA' &&△ADB‘∽△A'DC &
直角三角形旋转时一中的一个点落在了斜边上, 哦,有什么性质?该点与旋转中心之间距离不变。将等腰直角三角形绕它的一个锐角的顶点旋转后它的直角顶点落到原斜边所在的直线上 ,那么最小旋转角是--?急_百度作业帮
将等腰直角三角形绕它的一个锐角的顶点旋转后它的直角顶点落到原斜边所在的直线上 ,那么最小旋转角是--?急
急速度啊！！！！！！！！！！111（2004o青岛）把两个全等的等腰直角三角形ABC和EFG（其直角边长均为4）叠放在一起（如图①），且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合．现将三角板EFG绕O点逆时针旋转（旋转角α满足条件：0°＜α＜90°），四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）．（1）在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系四边形CHGK的面积有何变化？证明你发现的结论；（2）连接HK，在上述旋转过程中，设BH=x，△GKH的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的5/16？若存在，求出此时x的值；若不存在，说明理由．-乐乐题库
& 旋转的性质知识点 & “（2004o青岛）把两个全等的等腰直角三...”习题详情
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（2004o青岛）把两个全等的等腰直角三角形ABC和EFG（其直角边长均为4）叠放在一起（如图①），且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合．现将三角板EFG绕O点逆时针旋转（旋转角α满足条件：0°＜α＜90°），四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）．（1）在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系四边形CHGK的面积有何变化？证明你发现的结论；（2）连接HK，在上述旋转过程中，设BH=x，△GKH的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的516？若存在，求出此时x的值；若不存在，说明理由．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：2004-青岛
分析与解答
习题“（2004o青岛）把两个全等的等腰直角三角形ABC和EFG（其直角边长均为4）叠放在一起（如图①），且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合．现将三角板EFG绕O点逆时针旋转（旋转角α满足条件...”的分析与解答如下所示：
（1）可将四边形CHGK分成两部分，然后通过证三角形全等，将四边形的面积进行转换来求解．连接CG，可通过证明三角形CGK与三角形BGH全等来得出他们的面积相等，进而将四边形CHGK的面积转换成三角形CGB的面积也就是三角形ABC面积的一半，由此可得出四边形CHGK的面积是4，所以不会改变；（2）连接HK后，根据（1）中得出的四边形CHGK的面积为4，可根据三角形GHK的面积=四边形CHGK的面积-三角形CHK的面积来求，如果BH=x，那么根据（1）的结果CK=x，有BC的长，那么CH=4-x，由此可得出关于x，y的函数关系式．x的取值范围应该大于零小于4；（3）只需将y=516×8代入（2）的函数式中，可得出x的值．然后判断x是否符合要求即可．
解：（1）在上述旋转过程中，BH=CK，四边形CHGK的面积不变．证明：连接CG，KH，∵△ABC为等腰直角三角形，O（G）为其斜边中点，∴CG=BG，CG⊥AB，∴∠ACG=∠B=45°，∵∠BGH与∠CGK均为旋转角，∴∠BGH=∠CGK，在△BGH与△CGK中，{∠B=∠KCGBG=CG∠BGH=∠CGK∴△BGH≌△CGK（ASA），∴BH=CK，S△BGH=S△CGK．∴S四边形CHGK=S△CHG+S△CGK=S△CHG+S△BGH=12S△ABC=12×12×4×4=4，即：S四边形CHGK的面积为4，是一个定值，在旋转过程中没有变化；（2）∵AC=BC=4，Bk=x，∴CH=4-x，CK=x．由S△GHK=S四边形CHGK-S△CHK，得y=4-12x（4-x），∴y=12x2-2x+4．由0°＜α＜90°，得到BH最大=BC=4，∴0＜x＜4；（3）存在．根据题意，得12x2-2x+4=516×8，解这个方程，得x1=1，x2=3，即：当x=1或x=3时，△GHK的面积均等于△ABC的面积的516．
本题主要考查了等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定等知识点，通过构建全等三角形将面积进行转换是解题的关键．
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（2004o青岛）把两个全等的等腰直角三角形ABC和EFG（其直角边长均为4）叠放在一起（如图①），且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合．现将三角板EFG绕O点逆时针旋转（旋转角...
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经过分析，习题“（2004o青岛）把两个全等的等腰直角三角形ABC和EFG（其直角边长均为4）叠放在一起（如图①），且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合．现将三角板EFG绕O点逆时针旋转（旋转角α满足条件...”主要考察你对“旋转的性质”
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旋转的性质
（1）旋转的性质：　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　③旋转前、后的图形全等．（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
与“（2004o青岛）把两个全等的等腰直角三角形ABC和EFG（其直角边长均为4）叠放在一起（如图①），且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合．现将三角板EFG绕O点逆时针旋转（旋转角α满足条件...”相似的题目：
如图，把△ABC绕点C顺时针方向旋转38°得△A′B′C′，A′B′交AC于点D′，若∠A′D′C=90°，求∠A的度数．
如图，△ABC为等边三角形，D为△ABC内一点，△ABD逆时针旋转后到达△ACP位置，则∠APD=&&&&．
（2013o晋江市）如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，BE=CF，连接CE、DF．将△BCE绕着正方形的中心O按逆时针方向旋转到△CDF的位置，则旋转角是（　　）45°60°90°120°
“（2004o青岛）把两个全等的等腰直角三...”的最新评论
该知识点好题
1如图，△ABD、△AEC都是等边三角形，下列说法：①将△ADC绕C点顺时针旋转60°可得△CBE②将△ADC逆时针旋转60°可得△ABE③将△ADC绕点A逆时针旋转60°可得△ABE④将△ABE绕点A顺时针旋转60°可得△ADC，其中正确的有（　　）
2如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠ADC+∠ABC=180°，下列结论：①CD=CB；②AD+AB=2AE；③∠ACD=∠BCE；④AB-AD=2BE．其中正确的是（　　）
3（2013o晋江市）如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，BE=CF，连接CE、DF．将△BCE绕着正方形的中心O按逆时针方向旋转到△CDF的位置，则旋转角是（　　）
该知识点易错题
1一个平行四边形绕着它的对角线的交点旋转90°，能够与它本身重合，则该四边形是（　　）
2下列说法正确的是（　　）
3（2012o犍为县模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，现给出以下四个结论：（1）AE=CF；（2）△EPF是等腰直角三角形；（3）S四边形AEPF=12S△ABC；（4）EF=AP．当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），上述结论中是正确的结论的概率是（　　）
欢迎来到乐乐题库，查看习题“（2004o青岛）把两个全等的等腰直角三角形ABC和EFG（其直角边长均为4）叠放在一起（如图①），且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合．现将三角板EFG绕O点逆时针旋转（旋转角α满足条件：0°＜α＜90°），四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）．（1）在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系四边形CHGK的面积有何变化？证明你发现的结论；（2）连接HK，在上述旋转过程中，设BH=x，△GKH的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的5/16？若存在，求出此时x的值；若不存在，说明理由．”的答案、考点梳理，并查找与习题“（2004o青岛）把两个全等的等腰直角三角形ABC和EFG（其直角边长均为4）叠放在一起（如图①），且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合．现将三角板EFG绕O点逆时针旋转（旋转角α满足条件：0°＜α＜90°），四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）．（1）在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系四边形CHGK的面积有何变化？证明你发现的结论；（2）连接HK，在上述旋转过程中，设BH=x，△GKH的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的5/16？若存在，求出此时x的值；若不存在，说明理由．”相似的习题。如图①所示，将一个正三角形纸片沿着它的一条边上的高剪开，得到如图②所示的两个全等的Rt△ABC、Rt△DEF．
（1）根据正三角形的性质可知：在图②中，∠ABC=∠DEF=30°，AB=DE=2AC=2DF．由此请你归纳一下在含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边之间的关系：
在含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半；
（2）将这两个直角三角形纸片按如图③放置，使点B、D重合，点F在BC上．固定纸片DEF，将△ABC绕点F逆时针旋转角α（0°＜α＜90°），使四边形ACDE为以ED为底的梯形（如图④所示），求此时α的值；
（3）猜想图④中AE与CD之间的大小关系，并说明理由．
（1）由等边三角形的性质即可得到答案；（2）设DE交BC于点I，由∠CBD和∠FDB的度数即可求出a的度数；（3）设DE交BC于点I，作AH垂直于ED，设FD=2x，推出HI=2x，EH=BD=x，再证△AHE和△CID全等，即可得到答案．（1）FD=AC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$DE．故答案为：等于斜边的一半．（2）解：设DE交BC于点I∵AC∥DE，∴∠CIE=∠ACB=90°，∵∠FDE=60°，∴α=30°．答：α=30°．（3）AE=CD，理由是：在图④中，设DE交BC于点I，作AH垂直于ED，设FD=2x，则由（1）得ED=4x，BD=x，又因为AC=FD=2x，所以HI=2x，EH=4x-2x-x=x，∵AC∥DE，∴AH=CI，∵∠AHE=∠CBD=90°，∴△AHE≌△CID，∴AE=CD．}