初二垂直平分线知识点汇总
初二垂直平分线知识点汇总
垂直平分线是初中数学会接触到的一个知识点，并且很多几何题都会涉及到垂直平分线。所以今天就为大家总结了关于垂直平分线的相关知识点和经典例题解析，后面还有垂直平分线的相关练习题。一起来看看吧。
定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
垂直平分线的性质
1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。
2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。
3.如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。
4.线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
5.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相
等。(此时以外心为圆心，外心到顶点的长度为半径，所作的圆为此三角形的外接圆。)
垂直平分线的逆定理
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明
通常来说，垂直平分线会与全等三角形来使用。
垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。
巧记方法：点到线段两端距离相等。
可以通过全等三角形证明。
垂直平分线的尺规作法
方法之一：(用圆规作图)
1、在线段的中心找到这条线段的中点通过这个点做这条线段的垂线段。
2、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。得到两个交点(两交点交与线段的同侧)。
3、连接这两个交点。
原理：等腰三角形的高垂直平分底边。
方法之二：
1、连接这两个交点。原理：两点成一线。
等腰三角形的性质：
1、三线合一 ( 等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线相互重合。
2、等角对等边(如果一个三角形，有两个内角相等，那么它一定有两条边相等。)
3、等边对等角(在同一三角形中，如果两个角相等，即对应的边也相等。)
垂直平分线的判定
①利用定义.
②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.(即线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合)
例1．如图，已知：在△ABC中，∠C=90°∠A=30°，BD平分∠ABC交AC于D.&
求证：D在AB的垂直平分线上.
分析：根据线段垂直平分线的逆定理，欲证D在AB的垂直平分线上，只需证明BD=DA即可.
证明：∵∠C=90，°∠A=30°（已知），
∴∠ABC=60°（Rt△的两个锐角互余）
又∵BD平分∠ABC（已知）
∴∠DBA=1/2∠ABC=30°=∠A
∴BD=AD（等角对等边）
∴D在AB的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.&
例2．如图，已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于F。
求证：CF=2BF。
分析：由于∠BAC=120°，AB=AC，可得∠B=∠C=30°，又因为EF垂直平分AB，连结AF，可得AF=BF. 要证CF=2BF，只需证CF=2AF，即证 ∠FAC=90°就可以了.
证明：连结AF，
∵EF垂直平分AB（已知）&
∴FA=FB（线段垂直平分线上的点和这条线段两端点的距离相等）
∴∠FAB=∠B（等边对等角）
∵AB=AC（已知），&
∴∠B=∠C（等边对等角）
又∵∠BAC=120°（已知），&
∴∠B=∠C=30°（三角形内角和定理）
∴∠BAF=30°
∴∠FAC=90°
∴FC=2FA（直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）
说明：线段的垂直平分线的定理与逆定理都由三角形的全等证得，初学者往往不习惯直接使用绝无仅有垂直平分线的定理与逆定理，容易舍近求远，由三角形全等来证题.&&
例3．如图，已知：AD平分∠BAC，EF垂直平分AD，交BC延长线于F，连结AF。
求证：∠B=∠CAF。
分析：∠B与∠CAF不在同一个三角形中，又∵∠B，∠CAF所在的两个三角形不全等，所以欲证∠B=∠CAF，不能利用等腰三角形或全等三角形的性质.
那么注意到EF垂直平分AD，可得FA=FD，因此∠FAD=∠ADF，又因为 ∠CAF=∠FAD-∠CAD，∠B=∠ADF-∠BAD，而∠CAD=∠BAD，所以可证明∠CAF=∠B.&&
证明：∵EF垂直平分AD（已知），&
∴FA=FD（线段垂直平分线上的点和这条线段的两端点的距离相等）.&
∴∠FAD=∠ADF（等边对等角）&
∵∠B=∠ADF-∠BAD（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），∠CAF=∠FAD-∠CAD，
又∠CAD=∠BAD（角平分线定义），
∴∠B=∠CAF .&
说明：运用线段的垂直平分线的定理或逆定理，能使问题简化，如本例题中，EF垂直平分AD，可以直接有结论FA=FD，不必再去证明两个三角形全等.&&
例4．如图，已知直线l和点A，点B，在直线l上求作一点P，使PA=PB.
分析：假设P点已经作出，则由PA=PB，那么根据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”可知，点P在线段AB的垂直平分线上.
而点P又在直线l上，则点P应是AB的垂直平分线与垂线l的交点。&
作法：1．连结AB.&&
2．作线段AB的垂直平分线，交直线l于点P.则P即为所求的点.
&说明：在求作一个点时，要考虑该点具备什么样的特点，如它到一条线段的两个端点距离相等，它就在连结这两点的线段的垂直平分线上，如果它到一个角的两边的距离相等，它就在这个角的平分线上.
看完了垂直平分线的相关知识点和例题，我们来做一下有关于垂直平分线的练习题。
以上就是极客数学帮为大家整理的有关垂直平分线的全部内容了。
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百会至尾闾一线垂直地面
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&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 与网上太极拳爱好者的交流
“有人问，中正是不是指百会至尾闾一线垂直地面？这个问题您怎样理解的？
以前我理解的杨家拳，大多数拳式身体中心轴是垂直地面的，有的招式需要前倾一点，比如海底针、进步栽锤等等，我当时理解的太极中心轴就是身体中心轴，是指百会至尾闾一线，XI 没有讲过这条线，也没有讲过您教的转胯，只说身体要垂直地面，大概是一个意思吧。
后来看网上闻道兄弟的文章，身体中心轴并不是太极拳中轴，他举了一个杂技演员头顶大缸的例子，说明杂技演员要稳住这只缸，让它平衡的顶在头顶上，必须要找到一根力轴，脚步小碎步移动，要将这根轴放到合适的空间位置，这样大缸就稳定了，不会掉下来，观众才会鼓掌，拳也一样，要有一根太极拳中轴，一根上下贯通的力轴。
记得您以前也写过博文，论述这个问题，您的思维放得更大，把身体周围的空间都融入了其中，还有一张图示，杨澄甫揽雀尾右掤，那张图中的红线大概就是太极拳中轴吧？闻道兄弟说揉膝拗步一式，太极拳中轴在鼻尖至前脚掌外侧脚跟处，不是在百会至尾闾，我去找手挥琵琶的太极拳中轴，难以找到。又如，练云手，既要保持中轴线中正，又要两胯含空，好难啊。
至今对太极拳中轴还是稀里糊涂，但已经明白太极拳中轴并不是原来理解的百会至尾闾一线，太极拳中轴也不是仅在身体里面，而是在身体和身体以外的整个空间里，这样理解将太极拳招式的内涵扩大了。”
关于中正的问题，博客所写的内容都是当时的认识，也是阶段性的认识，虽有些感悟但不全面，不是本质的，现在再谈这个问题，仍然是这样。以前是就事论事，现在大概有个框架：
& 中 —— &广义（理论上）
& & & & & & & &狭义（形体上）——虚体（气感）
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &实体（拳架） —— 有气
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &无气——有基础（敛臀松腰）
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &无基础（初学）
（初学）：“百会至尾闾一线垂直地面”，应该是对拳架层面无基础阶段对练拳者的要求。在头的位置相对固定时，找到尾闾的位置，在这个阶段中百会尾闾垂直地面是必要的。
(敛臀松腰）：当找到尾闾的位置正确时，在身形前倾、侧弯时仍能保证位置、状态不丢，这时候百会尾闾垂不垂直地面应该关系不太大了。有些像不倒翁，身体摇摆，重心始终不丢。
（气感）：有了气感就有了方向，关于形体的标准变为气体的标准，一切利于气流畅的都应该是正确的，卡、堵、聚气的都是要改正的。那时候你就不会纠结于形体的正斜了。
虽说是“百会至尾闾一线垂直地面”是太极拳的初级要求，但很多资深练拳者仍没有做到位，原因就是觉得自己做到了垂直地面，而实际上还没有做到，也就是说，他们转胯角度不足。
无极桩形体要求三点一线（百会、会阴、涌泉），源于杨澄浦太极拳，我们知道会阴在肛门的前方，尾闾在肛门的后方。做到百会会阴垂直地面已经不易，要做到百会尾闾垂直地面就更难了。所以说练猫步也好、企鹅步也好，或者什么其他步也好，道理都是一个，先把骨盆转好再说，这是中正的前提。
当时写“中”的那篇，是基于外场的感觉，中线是落于脚跟还是脚掌并不重要，主要是说明用中来描述空间，而不是一条线。现在看来我那时虽有外场感觉，但与身形结合的还不好，有点属于“意淫”。最近这段时间我练拳是注重身体实体的改造，也是回到最初级的基本功的锻炼。我以前认为练实得实，练虚的虚，现在看来目的是练虚，但要从练实起，慢慢磨，逐渐过渡到虚，为练虚而虚，不是真虚。
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浙江省嵊州市初中数中考复习会议课件-一线三垂直的专题复习 （共11张PPT）
ID:6263283
资源大小：954KB
一线三垂直专题复习
问题拓展 1）在前一题三个直角的条件下,除AP=CP这个条件,你能添加什么条件使
吗? 2）如果没有边相等的条件,这两个三角形的关系?
1.如图四边形ABCD,EFGH ,NHMC都是正方形
,A、B、N、E、F五点在同一直线上,若四边形ABCE,EFGH的边长分别为3,4,求四边形NHMC的边长。
火眼金睛找K形 4
如图,将矩形纸片ABCD的一个顶点D沿着
线段AE翻折后落于BC边上的点P,其中AB=6,
AD=10. 1）求BP 2）求EC 6 10 10 8 2 火眼金睛找K形
3.如图,由8个大小相等的小正方形构成的图案,它的四个顶点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上。 若AB=4,BC=6,求DG的长.
火眼金睛找K形 4 6 x 2x 4-x 6-2x 6-2x=4-x
1、如图,在四边形ABCD中,AB=10,BF=4,∠B=60°,设AE=x,AG=y,求y与x的函数关系式.
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对“一线三等角”问题的探究与思考
　　初中数学中直线的关系分为相交和平行，其中相交还包括垂直这一特殊的位置关系，无论是在生活中还是几何的学习中，平行和垂直都占有重要地位。特别是垂直条件在今后的解析几何与立体几何中的应用非常广泛，既是传统考试重点又是难点，于是需在初中数学的学习中打下坚实的基础。本文就垂直条件的处理策略做一些总结。 中国论文网 /1/view-6174603.htm　　初中几何题中，“一线三等角”的基本图形出现得很多，下面笔者结合例题谈谈这类问题的一些处理策略。 　　我们由浅入深，先从讲授三角形全等章节时的例题入手。 　　探究1：如图，直线EF经过正方形ABCD的顶点D，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，试说明：AE=DF。 　　解：∵正方形ABCD中，AD=DC，∠ADC=90° 　　又∵∠AED=90° 　　∴∠CDF+∠ADE=90°，DAE+∠ADE=90° 　　∴∠DAE=∠CDF 　　又∵∠DFC=∠AED=90° 　　∴△ADE≌△DCF 　　即AE=DF。 　　评析：此题解决过程中有一个利用三个直角推导出一对相等角（∠DAE=∠CDF）的过程，同理也可得到∠ADE=∠DCF，我们可将此总结为“三直角转等角”。同样，我们可以在拥有类似的等角和两个直角（AE⊥EF于E，CF⊥EF于F）时，逆推回∠ADC为90°，总结为“借助等角转直角”，如题1。此外“三直角转等角”还可推广为“三等角转等角”，如题2，此为题外话。 　　题1：如图，在正方形ABCD中，若点E、F分别在AB、AD上，且AE=DF，试判断DE与CF的数量及位置关系，并说明理由； 　　解：在正方形ABCD中， 　　AD=DC，AE=DF，∠EAD=∠FDC， 　　所以△EAD≌△FDC，故DE=CF， 　　∴∠EDA=∠FCD， 　　又∵∠DCF+∠DFC=90°， 　　∴∠AED+∠ADE=90°， 　　即DE⊥CF。 　　题2：如图所示，已知△ABC是等边三角形，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠DAE=120°，说明：△ABD∽△ECA。 　　解∵△ABC是等边三角形， 　　∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°， 　　∴∠D+∠DAB=60°， 　　∠E+∠CAE=60°， 　　∵∠DAE=120°， 　　∴∠DAB+∠EAC=60°， 　　∴∠D=∠CAE，∠E=∠DAB， 　　∴ △ABD∽△ECA。 　　探究2：如图①，直线l过正方形ABCD的顶点B，A，C两顶点在直线l同侧，过点A，C分别作AE⊥直线l，CF⊥直线l。 　　（1）试说明：EF=AE+CF； 　　（2）如图②，当A，C两顶点在直线l两侧时，其它条件不变，猜想EF，AE，CF满足什么数量关系（直接写出答案，不必说明理由）。 　　评析：此题是例1的变题，（1）可以按照例1的思路说明到全等，再通过线段之间的转换得到结论。（2）与（1）的区别在于直线l是否切割正方形，当直线l如（2）中穿过正方形后，“三直角转等角”的方法仍旧可行，于是解题思路化异为同，可谓异曲同工之妙。 　　探究3：如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则正方形ABCD的面积是 。 　　解法1 解法2 　　评析：可受探究1、2的启发，将正方形ABCD通过“补”或“割”的方法，得到验证勾股定理的赵爽“弦图”或毕达哥拉斯“勾股图”来解决问题。如解法1中，易知以正方形ABCD为斜边的四个直角三角形全等，△ABF≌△BCH≌△CDG≌△DAE，因为相邻两条平行直线间的距离都是1，则AE=GD=1，ED=GC=2，于是EG=1，所以构建赵爽“弦图”，用面积法可得：正方形ABCD的面积等于4个全等直角三角形面积加上中间小正方形的面积S=5，或也可在Rt△AED中，由勾股定理求得斜边AD=，于是正方形ABCD面积为5。解法2的思路类似。 　　此题还可衍生出一系列变题，如条件四条平行线间的距离可变为不等，正方形ABCD可变为长方形等等。本文不再一一例举，读者可参考《试题与研究》2012年2月刊，《对一道中考题的探究与反思》。 　　针对以上几题的探究，如果到此结束，那么在课堂上教师所讲的内容，学生一定都听懂了，但只学会了解题，学与此、止于此，学生的创新能力是得不到培养的。其实，在解决了类似的几题之后，有些能力高的学生已经将如下基本图形作为他们知识建构的起点，纳入了自己的知识体系中。 　　基本图形1 　　基本图形2 基本图形3 　　那么我们就可以引导学生做如下的解题策略总结。 　　总结：若题设中含有垂直这个几何条件， 往往可以过直角两边的任意一点向经过直角顶点的任意一条直线（如图中DE，DE在直角的外部，也可割破直角）作垂线，所得直角三角形相似（当AB=BC时，所得直角三角形全等）。从而把“垂直”这个几何条件转化为线段间的数量关系。 　　其中值得一提的是基本图形3，是由基本图形2特殊化而来的，此时G、F共点，即为子母三角形。此时得到的相似更为丰富，△BGC∽△AFB∽△ABC。 　　这一解题策略在中考题中常有体现： 　　例1（2007 潍坊）如图，已知平面直角坐标系xOy中，点A（m，6），B（n，1）为两动点，其中0<m<3，连接OA，OB，OA⊥OB。 　　（1）求证：mn=-6； 　　（2）当S△AOB=10时，抛物线经过A，B两点且以y轴为对称轴，求抛物线对应的二次函数的关系式；
　　（3）在（2）的条件下，设直线AB交y轴于点F，过点F作直线l交抛物线于P，Q两点，问是否存在直线l，使S△POF：S△QOF=1：3？若存在，求出直线l对应的函数关系式；若不存在，请说明理由。 　　赏析：研、品完这道题，笔者在想，这道考题设计的精巧在于它生成的自然以及给出条件的精简合理。（1）（2）两小问在基本图形1的知识建构下，OA⊥OB这一条件提醒我们使用垂直处理策略，于是可作辅助线构造相似，将坐标与线段长度得以轻松转换。（3）小问的难度较大，但与前两问有异曲同工之妙，通过辅助线构造了相似的直角三角形的“X”型相似。 　　此题在笔者解后反思时想到，任何一道综合的压轴题都是由多个基础的知识点串联起来的，而难易程度无非就是由串联知识点的多少以及条件隐藏的深浅程度决定的。那么我们平时在和学生一起探讨题目时，及时地总结一些基本知识点，更高层次的便是总结一些解题策略是必要的。当学生首次接触一道情境新颖的题目时，通过题中条件对知识的“有效唤醒”就显得尤为重要了，“用最少的策略解决最多的问题，可谓解题的上上策”。于是在教学中并不是总结的越多越好，而应以“精简、准确、易懂”为原则，有效的策略探究才能给师生带来更多思维的火花，这个问题带给我们的思考远远超过了考试本身带给我们的启示。 　　例2（2011 泰安）如图，一次函数y=k1x+b的图象经过A（0，-2），B（1，0）两点，与反比例函数y=的图象在第一象限内的交点为M，若△OBM的面积为2。 　　（1）求一次函数和反比例函数的表达式； 　　（2）在x轴上是否存在点P，使AM⊥MP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。 　　赏析：本题第一问将反比例函数与一次函数结合考查，难度较小。第二问给出了AM⊥MP的条件，有许多学生在解决此题时遇到了困难。若参考垂直处理策略，应作MP⊥AM交x轴于点P，构造了基本图形3的子母相似三角形。于是除了可采用解答中给出的三角函数处理方法，还可利用相似三角形求线段长度。在作业的批改过程中笔者发现，学生有以下几种方法：利用△MDP∽△BDM、利用△MDP∽△BOA、利用△MDP∽△BMP，其中第二种相似方法最简洁。东北师大史宁中校长指出，“素质教育不仅要重视知识和技能，还要重视智慧，进行智慧教育。”从这道考题学生解答的多样性可见，有些优秀学生从几组相似中筛选出最简单易算的一组，既节约了时间又提高了正确率。可见，能否严谨而简洁地表达，来自“智慧”，而这种“智慧”又从何而来？笔者认为，平时的教学中，教师要多从学生的视角考虑问题，多让学生叙述解题思路，关注学生的的思路是否清晰，语言是否规范，表达是否优化，这样可以引导学生思考，将他们的思维引向深刻、思路趋于优化、表达力求简洁。
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