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一元一次方程解应用题之行程问题
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小学行程问题解题技巧
行程问题解题技巧
在行车、走路等类似运动时,已知其中的两种量,按照速度、路程和时间三者之间的相互关系,求第三种量的问题,叫做“行程问题”。此类问题一般分为四类:一、相遇问题;二、追及问题;三、相离问题;四、过桥问题等。
行程问题中的相遇问题和追及问题主要的变化是在人(或事物)的数量和运动方向上。相遇(相离)问题和追及问题当中参与者必须是两个人(或事物)以上;如果它们的运动方向相反,则为相遇(相离)问题,如果他们的运动方向相同,则为追及问题。
两个运动物体作相向运动,或在环形道口作背向运动,随着时间的延续、发展,必然面对面地相遇。这类问题即为相遇问题。
相遇问题的模型为:甲从A地到B地,乙从B地到A地,然后甲,乙在途中相遇,实质上是两人共同走了A、B之间这段路程,如果两人同时出发,那么:
A,B两地的路程=(甲的速度+乙的速度)×相遇时间=速度和×相遇时间基本公式有:
两地距离=速度和×相遇时间
相遇时间=两地距离÷速度和
速度和=两地距离÷相遇时间
二次相遇问题的模型为:甲从A地出发,乙从B地出发相向而行,两人在C地相遇,相遇后甲继续走到B地后返回,乙继续走到A地后返回,第二次在D地相遇。则有:
第二次相遇时走的路程是第一次相遇时走的路程的两倍。
相遇问题的核心是“速度和”问题。利用速度和与速度差可以迅速找到问题的突破口,从而保证了迅速解题。
两个运动着的动体,从同一地点相背而行。若干时间后,间隔一定的距离,求这段距离的问题,叫做相离问题。它与相遇问题类似,只是运动的方向有所改变。
解答相离问题的关键是求出两个运动物体共同趋势的距离(速度和)。
基本公式有:
两地距离=速度和×相离时间
相离时间=两地距离÷速度和
速度和=两地距离÷相离时间
相遇(相离)问题的基本数量关系:速度和×相遇(相离)时间=相遇(相离)路程在相遇(相离)问题和追及问题中,必须很好的理解各数量的含义及其在数学运算中是如何给出的,这样才能够提高解题速度和能力。
两个运动着的物体从不同的地点出发,同向运动。慢的在前,快的在后,经过若干时间,快的追上慢的。有时,快的与慢的从同一地点同时出发,同向而行,经过一段时间快的领先一段路程,我们也把它看作追及问题。解答这类问题要找出两个运动物体之间的距离和速度之差,从而求出追及时间。解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中,找出两者,然后运用公式求出第三者来达到解题目的。
基本公式有:
追及(或领先)的路程÷速度差=追及时间
速度差×追及时间=追及(或领先)的路程
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2017中考数学:一元一次方程解应用题之行程问题
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&&&&&&& 将传统的行程问题和数轴有机地结合，既体现了传统行程问题的特点，又增加了数轴性质在解题中的综合运用，赋予题目更多的灵性和想象空间。我通过探索和研究得出了数轴上行程问题一些新的解法和思维方式，现表述如下：数轴上的行程问题离不开数轴上两点之间的距离。对于我们初一年级学生来说，要先明确以下几个问题：
&&&&&&& 1.如何用数轴上两个点的坐标表示两点间的距离，数轴上的两个点总有一个在左、一个在右，用右边的点的坐标减去左边点的坐标就可以表示这两点间的距离了。也可以用左边的点的坐标减去右边的点的坐标的绝对值来表示。
&&&&&&& 2.如何表示数轴上的点运动一段距离后的坐标。由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动b个单位看作+b,而向左运动b个单位看作-b。这样在起点坐标的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标。如，一个起始点的坐标为a,向左运动b个单位后表示的数为a-b，向右运动b个单位后所表示的数为a+b.
&&&&&&& 3.数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行，点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。
&&&&&&& 数轴上的问题：
&&&&&&& 例：已知数轴上有C、D两点，它们的坐标分别是-12和8。它们同时出发，C点以每秒2个单位的速度向右运动，D点则以每秒4个单位的速度向右运动。
问多少秒后在什么坐标位置D点追上C点？
&&&&&&& 按传统解法是：
&&&&&&& 解：设x秒后D点追上C点，根据D点运行的路程=C点运行的路程+D与C相距的路程，可列方程如下：
&&&&&&& 4x=2x+（8+12）
&&&&&&& 解得：x=10（秒）。
&&&&&&& 再把x=10代入方程的左边，可知D点运动了40个单位，记作-40；由D点的起始坐标是8,依据8+（-40）=-32可以推出D点在-32的位置追上C点。
&&&&&&& 按新的解法，其解题思路是：
&&&&&&& D点追上C点时它们处在同一位置，而且坐标相同，可以依据这一特点列出方程求解。
&&&&&&& 其解题过程如下：
&&&&&&& 解：设x秒后D点追上C点，则D点走的路程为4x,由D点的起始坐标8可以推出D点到达的位置坐标是8-4x。
&&&&&&& 则C点走的路程为2x,由C点的起始坐标-12可以推出C点到达的位置坐标是-12-2x。
&&&&&&& 依据D点追上C点时处在同一位置、坐标相同的特点可列方程如下：
&&&&&&& 8-4x=-12-2x
&&&&&&& 解得；x=10（秒）
&&&&&&& 把x=10秒代入方程的左边或者右边，便可以推出D点在坐标为-32的地方追上C点。
以上新的解题方法是传统的行程问题解题中所不具有的。它将行程问题和数轴有机地结合在一起，既体现了传统行程问题的特点，又增加了数轴的性质的综合运用，赋予了题目新的灵性，给予学生更多的思考空间。
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