18种计算极限的方法「修订版」_高等数学_传送门
18种计算极限的方法「修订版」
极限是整个微积分的理论基石，而其计算则贯穿于微积分的始终！先看一个简单的例子：由于
处无定义，我们不能将 直接代入
的表达式进行计算.下面，我们对 稍微变下形，由于，则，这样分子分母可以同时约掉一个不等于
的因式 . 于是，最后一步是由于函数 在处连续，其极限值等于函数值 .启示：为了求我们只需将
通过各种方式转换为在
处连续的另一个函数 ，然后利用函数的连续性即可.以上，就是极限计算的神秘面纱！接下来，我们就是围绕着如何使用各种方法，将在
处不连续的函数
转换为在 处连续的函数 .极限计算的七大类型：极限计算的基本步骤：先做化简再判断类型最后选择方法极限计算的18种方法：利用极限定义利用函数连续性各种恒等变形(三角、有理化、倒代换等)连续复合函数求极限复合函数极限法则(变量代换)等价无穷小因子替换极限的四则运算法则幂指运算法则两个重要极限利用常见结论(无穷小乘有界量是无穷小等)利用导数定义洛必达法则泰勒公式极限存在准则(夹逼准则、单调有界准则)利用定积分定义利用级数收敛利用函数极限求数列极限利用左右极限下面我们通过具体的例子来讨论.方法一：利用极限定义例1
求 分析：解：，根据几何-算术平均不等式有于是，当，有根据极限定义得，.常见极限：
方法二：利用函数连续性例2
分析：由于是初等函数，因此，也是初等函数，且在其定义区间. 于是，由连续性即可求得极限.解：
注意：以下函数都是初等函数方法三：各种恒等变形例3
分析：利用二倍角公式.分子分母同乘以后，将发生一系列连锁反应。最后还需要利用重要极限解：注：在求极限过程中，应将 x 看成常数.思考题：求极限提示：分子分母同乘以
即可发生核反应！方法四：连续复合函数求极限设，且
连续，则上式左边先计算函数再计算极限，而右边先计算极限再计算函数，故也可以说，连续函数和求极限运算是可交换的.连续函数就像代数学中的同态映射(保持运算的映射)，是微积分中极其重要的一类函数. 一旦运算可以交换，将为我们计算带来巨大的方便(以后我们专门用一讲来讨论运算的交换性).在某种意义上，微积分的理论问题，很多时候都是讨论极限，函数，微分，积分等等这些运算满足什么条件时是可以交换性.例4
第二个等号，就是因为指数函数
连续，所以可以和求极限交换.? 查看同类题型视频解析~方法五：复合函数极限法则 [变量代换]设 则例5
求极限这道题如果直接用洛必达法则的话，分母的次数会越来越高。我们可以用“倒代换”来解决这个问题。解：
? 查看同类题型视频解析~方法六：等价无穷小因子替换例6
求极限解：原式
注：常见的等价无穷小：当时，在中，都是因子，而是项。因子可以用等价无穷小随意替换，但项则需要谨慎替换！！！方法七：极限的四则运算法则例7
求极限解：用相消法，分子分母同除以
其中注：设存在，则其中，代表加减乘除。在解题过程中，不管三七二十一，先拆开再说，若中至少有一个不存在，则除了以下第一种情况外，其余情形都是不确定的，需要具体问题具体分析或另寻它法。存在
不存在 = 不存在不存在
不存在 = 不确定存在
不存在 = 不确定 ( 代表乘除)不存在
不存在 = 不确定方法八：幂指运算法则幂指函数求极限通常采用对数法，即则有于是将计算的问题，转化为计算下列极限问题下面我们设由于，于是接下来我们对以下情形分别讨论：(1) 若，则
若，则属于不定型.(2) 若，则
若为有限数，则(3) 若为有限数，则
若，则属于不定型(4) 若则
若 留给大家自己分析~
若，则属于不定型?查看同类题型视频解析~方法九：两个重要极限这两个极限的重要性体现在如下两方面：很多极限的计算都要借助于它们.所有基本初等函数的求导公式都可以由这两个公式推导出来.因此，这两个重要极限是进入微分学的必备基础！例9
求极限解：
方法十：利用常见结论有限个无穷小的和是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小有限个无穷小的乘积是无穷小例10
求极限分析：时，分别是无穷小和有界函数，因此极限为0.思考题：求极限常见错误：原式 = 0+0+...+0 = 0.注：常见的有界函数方法十一：利用导数定义例11
设求下列极限解：在处补充定义，使得，则于是方法十二：洛必达法则在微积分中，连续，导数，微分，积分等等概念都是通过极限来定义的. 因此极限理论是微积分的基础，当然，对于非数学专业的学生来说，关键是要掌握极限的计算.而极限的计算也不是软柿子，甚至有的时候还非常棘手. 很多同学看到一些稍微复杂一点的极限计算就感觉无从下手.这种情况一直持续到洛必达法则的到来. 有了洛必达法则，极限的计算似乎一下子变得简单明朗起来，因为洛必达法则就是求导运算，而且在满足条件时，可以反复求导.而说到求导，很多同学的心情这个时候都比较欢快了吧？ 如果你掌握了各种求导法则，并记住了常见函数的导数公式后，你会发现，要找一个你不会求导的函数竟然是一件异常困难的事情.例12
求极限解：多次使用洛必达法则，我们有
这道题，如果你使用洛必达法则的话，需要使用7次，而且求导运算异常复杂，由此可见，洛必达法则并不是万能的，甚至有的时候用洛必达法则会非常繁杂. "一花独放不是春", 这个时候，就需要我们活学活用，将各种求极限的方法综合考虑，从中选择较简单的一个来进行计算.事实上，这道题目是需要使用泰勒(Taylor )公式来进行计算的。关于泰勒公式，要讲的东西实在太多，我们今后将专门来讨论泰勒公式在求极限和其他问题中的应用。如果你想了解如何使用泰勒公式证明爱因斯坦质能方程，这是?另外五种求极限的方法，我们也放在下次一并讨论。最后，借用一段话结束今天的学习，并作为下一讲的引子，谢谢！我们不想把话说得太绝对，但至少可以说：凡是用一元微积分中的定理、技巧能解决的问题，其中的大部分都可以用Taylor公式来解决. 掌握了Taylor定理之后，回过头去再看前面的那些理论，似乎一切都在你的掌握之中，使你有一种‘会当凌绝顶，一览纵山小’的意境，从这个意义上来说，Taylor公式是一元微分学的顶峰并不过分.
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7月23日 21:18
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高等数学由常见函数响求极限髓方法
杨琴／新疆建设职业技术学院
[摘 要]极限是高等数学的重要组成部分，是高等数学的理论基础，是研究变量数学的有力工具。极限的运算题目类型多，
技巧性强，灵活多变．难教也难学。本文对高等数学中一元函数极限的常见求解方法进行了归纳总结，并在某些具体的求鳃方
法中就其要注意的细节和技巧做了说明。
[关键词]函数 极限
极限是高等数学的一个重要概念。其理论的确立使微积分
有了坚实的逻辑基础，使得微积分在当今科学的整个领域得以
例：四—再7
更广泛、更合理、更深刻的应用和发展，极限是描述数列和
函数在无限过程中的变化趋势的重要概念，是从近似认识精
确，从有限认识无限，从量变认识质变的一种数学方法。除
解：‘·。再在x=1连续
此之外，高等数学中的某些概念，也是由极限引出，例如：
导数，积分等。所以求函数的极限成为这一部分的重中之重，
-——=——=
．1im—sin—刃c：里坚：0llm
灵活掌握运用极限的求法是学好高等数学的基础。
函数的极限既然是微积分的一个重要内容，于是如何求出
在这里特别指出复合函数连续性：如果函数
乏矗躲出2复合函2数连黜髁酗。f([x)在U。
已知函数的极限，就是学习微积分必须掌握的基本技能。因
此，本文对求函数的方法进行总结，并对于每种方法都足以定
理或简述开头，然后以例题来全面展示具体的求法。
1利用极限的四则运算法则来求极限
那么复合函数厂[妒G)]在点．b也是连续的。其结论可改成
为叙述方便，我们把自变量的某个变化过程略去不写，用
f(xl表示，’lX)在某个极限过程中的极限，因此极
限的四则运算法则可确切地叙述如下：
定理在同一变化过程中，设lim，’IX}，lim2IX)都存
是说，极限号，l_÷im‰可以和函数符号互换顺序，这就等于为我
们求极限提供一种方法。
(1)lim【厂(石)±g(x)]：limf(x)+_limg(x)
(2)limL厂(x)g(x)】=limf(x)limg(x)
(3)当分母limf(x)；e
／，●●●●●●●、＼ h}m州 、／一X2--1j
总的说来，就是函数的和、差、积、商的极限等于函数
3无穷小量分出法
适用于分子、分母同时趋于oo，即一型未定式。
．，l，-一
3x’一4x2+2
脚 等 m丛，，，●～一．1
广．，～ +一卫
例：姆—7X3+5—Xz--3．
觜p2一m_X一√U，
分析：所给
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3秒自动关闭窗口2018年高数重点题型：变限积分函数求极限问题
来源：新东方网整理
　　变限积分函数求极限问题是高等数学常考题型一，也是高等数学的重点和难点。考生在复习中要注意总结练习，下面小编带大家一起来看看这类题目该如何解。
2018高数复习重点题型：变限积分函数求极限问题
　　变限积分求极限时候，要注意的是，一般情况下，要对变限积分求导数，在求导时候，要注意只是对积分上限和积分下限求偏导。
（实习编辑：吕晓文）
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