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斐波那契数列编辑
，又称数列，指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以的方法定义：F0=0，F1=1，Fn=F(n-1)+F(n-2)（n&=2，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。
斐波那契数列
Fibonacci Sequence
黄金分割数列
斐波那契数列指的是这样一个&0,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,
233，377，610，987，，，1，2
自然中的斐波那契数列
特别指出：第0项是0，第1项是第一个1。
这个数列从第二项开始，每一项都等于前两项之和。
斐波那契的发明者，是数学家（Leonardo
Fibonacci），
生于公元1170年，卒于1250年，籍贯是。他被人称作“的”。1202年，他了《算盘全书》（Liber
Abacci）一书。他是第一个研究了和数学理论的人。他的被的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的地区，列昂纳多因此得以在一个老师的指导下研究数学。他还曾在、、、和等地研究。
斐波那契数列：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,
如果设F(n）为该数列的第n项（n∈N*），那么这句话可以写成如下形式：[1]
显然这是一个递推数列。[1]
(如上，又称为“比内公式”，是用表示的一个范例。)
注：此时a1=1，a2=1，an=a(n-1)+a(n-2)（n&=3,n∈N*）
通项公式推导
方法一：利用特征方程（解法）
线性的为：
　　X^2=X+1
　　X1=(1+√5)/2, X2=(1-√5)/2.
　　则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n
　　&#8757;F(1)=F(2)=1
　　∴C1*X1 + C2*X2=C1*X1^2 + C2*X2^2=1　&
　　解得C1=1/√5，C2=-1/√5
　　∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}【√5表示根号5】
方法二：构造1（解法）
设常数r，s。
使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。
则r+s=1， -rs=1。
n≥3时，有。
F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。
F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]。
F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]。
F&#9334;-r*F&#9333;=s*[F&#9333;-r*F&#9332;]。
联立以上n-2个式子，得：
F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F&#9333;-r*F&#9332;]。
&#8757;s=1-r，F&#9332;=F&#9333;=1。
上式可化简得：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1）。
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1）。
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2）。
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3）。
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s +
r^(n-1)*F&#9332;。
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1）。
（这是一个以s^(n-1）为首项、以r^(n-1）为末项、r/s为公比的的各项的和）。
=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s）。
=(s^n - r^n)/(s-r）。
r+s=1， -rs=1的一解为 s=(1+√5)/2，r=(1-√5)/2。
则F(n)=（√5/5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}。
方法三：构造2（初等代数解法）
已知a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n&=3），求数列{an}的。
解 ：设an-αa(n-1)=β（a(n-1)-αa(n-2））。
得α+β=1。
构造方程x^2-x-1=0，解得α=(1-√5)/2，β=(1+√5)/2或α=(1+√5)/2，β=(1-√5)/2。
an-(1-√5)/2*a(n-1)=(1+√5)/2*(a(n-1)-(1-√5)/2*a(n-2))=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)`````````1。
an-(1+√5)/2*a(n-1)=(1-√5)/2*(a(n-1)-(1+√5)/2*a(n-2))=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)`````````2。
由式1，式2，可得。
an=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)``````````````3。
an=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)``````````````4。
将式3*(1+√5)/2-式4*(1-√5)/2，化简得an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n -
[(1-√5)/2]^n}。
方法四：母函数法。
对于{a(n)}，有a(1)=a(2)=1,a(n)=a(n-1)+a(n-2)(n&2时)
令S(x)=a(1)x+a(2)x^2+……+a(n)x^n+……。
那么有S(x)*(1-x-x^2)=a(1)x+[a(2)-a(1)]x^2+……+[a(n)-a(n-1)-a(n-2)]x^n+……=x
.因此S(x)=x/(1-x-x^2).
不难证明1-x-x^2=-[x+(1+√5)/2][x+(1-√5)/2]=[1-(1-√5)/2*x][1-(1+√5)/2*x].
因此S(x)=(1/√5)*{x/[1-(1+√5)/2*x]-x/[1-(1-√5)/2*x]}.
再利用展开式1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+……+x^n+……
于是就可以得S(x)=b(1)x+b(2)x^2+……+b(n)x^n+……
其中b(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}.
因此可以得到a(n)=b(n)==(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}
3与黄金分割
有趣的是：这样一个完全是的数列，通项公式却是用来表达的。而且当n趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近0.618.（或者说后一项与前一项的比值小数部分越来越逼近0.618、前一项与后一项的比值越来越逼近0.618）
1&1=1，1&2=0.5，2&3=0.666...，3&5=0.6，5&8=0.625，…………，55&89=0.617977…，…………144&233=0.368&0339886…...
越到后面，这些比值越接近黄金比.
a[n+2]=a[n+1]+a[n]。
两边同时除以a[n+1]得到：
a[n+2]/a[n+1]=1+a[n]/a[n+1]。
若a[n+1]/a[n]的极限存在，设其极限为x，
则lim[n-&；；∞](a[n+2]/a[n+1])=lim[n-&；；∞](a[n+1]/a[n])=x。
所以x=1+1/x。
即x&sup2;=x+1。
所以极限是黄金分割比..
平方与前后项
从第二项开始，每个项的都比前后两项之积多1，每个项的平方都比前后两项之积少1。
如：第二项1的平方比它的前一项1和它的后一项2的积2少1，第三项2的平方比它的前一项1和它的后一项3的积3多1。
（注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而并不是列的本身的奇偶，比如从数列第二项1开始数，第4项5是奇数，但它是偶数项，如果认为5是奇数项，那就误解题意，怎么都说不通）
证明经计算可得：[f(n)]^2-f(n-1)f(n+1)=(-1)^(n-1)
与集合子集
斐波那契数列的第n+2项同时也代表了{1,2,...,n}中所有不相邻正的个数。
奇数项求和
偶数项求和
f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m) [ n〉m≥-1，且n≥1]
两倍项关系
f(2n)/f(n)=f(n-1)+f(n+1)
生活斐波那契
斐波那契数列中的斐波那契数会经常出现在我们的眼前——松果、凤梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数（典型的有向日葵花瓣），蜂巢，蜻蜓翅膀，超越数e（可以推出更多），黄金矩形、黄金分割、等角螺线，十二平均律等。
斐波那契数与植物花瓣
3………………………百合和蝴蝶花
5………………………蓝花耧斗菜、、飞燕草、毛茛花
8………………………翠雀花
13………………………金盏
21………………………紫宛
34、55、89……………雏菊
斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那些叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中的圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为（源自词，意即叶子的排列）比。多数的比呈现为斐波那契数的比。
随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近的数值0...…
将左对齐，成如图所示排列，将同一斜行的数加起来，即得一数列1、1、2、3、5、8、……
公式表示如下：
f&#9332;=C(0,0)=1。
f&#9333;=C(1,0)=1。
f&#9334;=C(2,0)+C(1,1)=1+1=2。
f&#9335;=C(3,0)+C(2,1)=1+2=3。
f&#9336;=C(4,0)+C(3,1)+C(2,2)=1+3+1=5。
f&#9337;=C(5,0)+C(4,1)+C(3,2)=1+4+3=8。
F&#9338;=C(6,0)+C(5,1)+C(4,2)+C(3,3)=1+5+6+1=13。
F(n)=C(n-1,0)+C(n-2,1)+…+C(n-1-m,m) (m&=n-1-m)
斐波那契数列的整除性与素数生成性
每3个连续的数中有且只有一个被2整除，
每4个连续的数中有且只有一个被3整除，
每5个连续的数中有且只有一个被5整除，
每6个连续的数中有且只有一个被8整除，
每7个连续的数中有且只有一个被13整除，
每8个连续的数中有且只有一个被21整除，
每9个连续的数中有且只有一个被34整除，
我们看到第5、7、11、13、17、23位分别是素数：5，13，89，233，（第19位不是）
斐波那契数列的素数无限多吗？
斐波那契数列的个位数：一个60步的
进一步，斐波那契数列的最后两位数是一个300步的循环，最后三位数是一个1500步的循环，最后四位数是一个15000步的循环，最后五位数是一个150000步的循环。[1]
自然界中巧合
斐波那契数列在自然科学的其他分支，有许多应用。例如，树木的生长，由于新生的枝条，往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。所以，一株树苗在一段间隔，例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。这样，一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列。这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。
另外，观察延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花的花瓣，可以发现它们花瓣数目具有斐波那契数：3、5、8、13、21、……
其中百合花花瓣数目为3，梅花5瓣，飞燕草8瓣，万寿菊13瓣，向日葵21或34瓣，雏菊有34,55和89三个数目的花瓣。
斐波那契螺旋：具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的的头部
这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此，对于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程中一直都能最佳地利用（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360度之比是0.……的，而这种生长方式就决定了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时能达到89，甚至144条。1992年，两位法国科学家通过对花瓣形成过程的计算机仿真实验，证实了在系统保持最低能量的状态下，花朵会以斐波那契数列长出花瓣。[2]
三角形的三边关系和斐波那契数列的一个联系：
现有长为144cm的铁丝，要截成n小段（n&2），每段的长度不小于1cm，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n的最大值为多少？
分析：由于形成三角形的是任何两边之和大于第三边，因此不构成三角形的条件就是任意两边之和不超过最大边。截成的铁丝最小为1，因此可以放2个1，第三条就是2（为了使得n最大，因此要使剩下来的铁丝尽可能长，因此每一条线段总是前面的相邻2段之和），依次为：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55，以上各数之和为143，与144相差1，因此可以取最后一段为56，这时n达到最大为10。
我们看到，“每段的长度不小于1”这个条件起了控制全局的作用，正是这个最1产生了斐波那契数列，如果把1换成其他数，递推关系保留了，但这个数列消失了。这里，三角形的三边关系定理和斐波那契数列发生了一个联系。
在这个问题中，144&143，这个143是斐波那契数列的前n项和，我们是把144超出143的部分加到最后的一个数上去，如果加到其他数上，就有3条线段可以构成了。
影视作品中的斐波那契数列
斐波那契数列在欧美可谓是尽人皆知，于是在电影这种通俗艺术中也时常出现，比如在风靡一时的《》里它就作为一个重要的符号和情节线索出现，在《魔法玩具城》里又是在店主招聘会计时随口问的问题。可见此数列就像黄金分割一样流行。可是虽说叫得上名，多数人也就背过前几个数，并没有深入理解研究。在电视剧中也出现斐波那契数列，：日剧《考试之神》第五回，义嗣做全国模拟考试题中的最后一道~在FOX热播美剧《》中更是无数次引用，甚至作为全剧宣传海报的设计元素之一。
斐波那契—卢卡斯数列
数列1、3、4、7、11、18…，也具有斐波那契数列同样的性质。（我们可称之为斐波那契—递推：从第三项开始，每一项都等于前两项之和f(n)
= f(n-1)+ f(n-2）。
卢卡斯数列的通项公式为 f(n)=[(1+√5）/2]^n+[(1-√5)/2]^n
这两个数列还有一种特殊的联系（如下表所示），F（n）*L（n）=F(2n），及L（n）=F（n-1)+F(n+1)
斐波那契数列F(n)
卢卡斯数列L(n)
类似的数列还有无限多个，我们称之为。
如1，4，5，9，14，23…，因为1，4开头，可记作F[1，4]，斐波那契数列就是F[1，1]，卢卡斯数列就是F[1，3]，斐波那契—卢卡斯数列就是F[a，b]。
斐波那契—卢卡斯数列之间的广泛联系
&#9312;任意两个或两个以上斐波那契—卢卡斯数列之和或差仍然是斐波那契—卢卡斯数列。
如：F[1,4]n+F[1,3]n=F[2,7]n，F[1,4]n-F[1,3]n=F[0,1]n=F[1,1](n-1），
F[1,4]n-F[1,3]n
F[1,4]n+F[1,3]n
&#9313;任何一个斐波那契—卢卡斯数列都可以由斐波那契数列的有限项之和获得，如
F[1,1](n-1)
F[1,1](n-1)
黄金特征与孪生斐波那契—卢卡斯数列
斐波那契—卢卡斯数列的另一个共同性质：中间项的平方数与前后两项之积的差的是一个恒值，
斐波那契数列：|1*1-1*2|=|2*2-1*3|=|3*3-2*5|=|5*5-3*8|=|8*8-5*13|=…=1
卢卡斯数列：|3*3-1*4|=|4*4-3*7|=…=5
F[1，4]数列：|4*4-1*5|=11
F[2，5]数列：|5*5-2*7|=11
F[2，7]数列：|7*7-2*9|=31
斐波那契数列这个值是1最小，也就是前后项之比接近最快，我们称为黄金特征，黄金特征1的数列只有斐波那契数列，是独生数列。卢卡斯数列的黄金特征是5，也是独生数列。前两项的独生数列只有斐波那契数列和卢卡斯数列这两个数列。
而F[1，4]与F[2，5]的黄金特征都是11，是孪生数列。F[2，7]也有孪生数列：F[3，8]。其他前两项互质的斐波那契—卢卡斯数列都是孪生数列，称为孪生斐波那契—卢卡斯数列。
广义斐波那契数列
斐波那契数列的黄金特征1，还让我们联想到佩尔数列：1，2，5，12，29，…，也有|2*2-1*5|=|5*5-2*12|=…=1（该类数列的这种称为勾股特征）。
数列Pn的递推规则：P1=1，P2=2，Pn=P(n-2)+2P(n-1).
据此类推到所有根据前两项导出第三项的通用规则：f(n) = f(n-1) * p + f(n-2) *
q，称为广义斐波那契数列。
当p=1，q=1时，我们得到斐波那契—卢卡斯数列。
当p=1，q=2时，我们得到佩尔—勾股弦数（跟边长为整数的有关的数列集合）。
当p=-1，q=2时，我们得到等差数列。其中f1=1，f2=2时，我们得到列1，2，3，4…。自然数列的特征就是每个数的平方与前后两数之积的差为1（等差数列的这种差值称为）。
具有类似黄金特征、勾股特征、自然特征的广义——斐波那契数列p=±1。
当f1=1，f2=2，p=2，q=1时，我们得到1，2，4，8，16……
有一段楼梯有10级台阶，规定每一步只能跨一级或两级，要登上第10级台阶有几种不同的走法?
这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法……
1，2，3，5，8，13……所以，登上十级，有89种走法。
类似的，一枚均匀的硬币掷10次，问不连续出现正面的可能情形有多少种？
答案是（1/√5)*{[(1+√5)/2]^(10+2) - [(1-√5)/2]^(10+2)}=144种。
求递推数列a&#9332;=1，a(n+1)=1+1/a(n）的
由可以得到：a(n)=F(n+1)/F(n），将斐波那契数列的通项式代入，化简就得结果。
兔子繁殖问题
斐波那契数列又因数学家以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“”。
一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？
我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：
第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对
两个月后，生下一对小兔对数共有两对
三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对
－－－－－－
依次类推可以列出下表：
幼仔对数=前月成兔对数
成兔对数=前月成兔对数+前月幼仔对数
总体对数=本月成兔对数+本月幼仔对数
可以看出幼仔对数、成兔对数、总体对数都构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。
这个数列是中世纪数学家斐波那契在&算盘全书&中提出的，这个的通项公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1）的性质外，还可以证明通项公式为：an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}（n=1,2,3.....）
数列与矩阵
对于斐波那契数列1、1、2、3、5、8、13、……。有如下定义
F(n)=f(n-1)+f(n-2)
对于以下乘法
F(n+1) = 11 F(n)
F(n) 10 F(n-1)
它的运算就是右边的矩阵 11乘以矩阵 F(n) 得到：
F(n+1)=F(n)+F(n-1)
可见该矩阵的乘法完全符合斐波那契数列的定义
设矩阵A=1 1 迭代n次可以得到：F(n+1) =A^(n) * F(1)= A^(n)*1
1 0 F(n) F(0) 0
这就是斐波那契数列的矩阵乘法定义。
另矩阵乘法的一个运算法则A^n(n为偶数) = A^(n/2)*
A^(n/2)，这样我们通过二分的思想，可以实现对数复杂度的矩阵相乘。
因此可以用递归的方法求得答案。
数列值的另一种求法：
F(n) = [ (( sqrt ( 5 ) + 1 ) / 2) ^ n ]
其中[ x ]表示取距离 x 最近的整数。
8斐波那契弧线
斐波那契弧线，也称为斐波那契扇形线。第一，此以二个端点为准而画出，例如，最低点反向到最高点线上的两个点。然后通过第二点画出一条“无形的（看不见的）”垂直线。然后，从第一个点画出第三条趋势线：38.2%，
50%和61.8%的无形垂直线交叉。
斐波纳契弧线，是潜在的支持点和阻力点水平价格。斐波纳契弧线和斐波纳契扇形线常常在图表里同时绘画出。支持点和阻力点就是由这些线的交汇点得出。
要注意的是弧线的交叉点和价格曲线会根据图表数值范围而改变，因为弧线是圆周的一部分，它的形成总是一样的。
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看似平凡的数字，为什么说他最神奇呢？我们把它从1乘到6看看
　　142857 X 1 = 142857
　　142857 X 2 = 285714
　　142857 X 3 = 428571
　　142857 X 4 = 571428
　　142857 X 5 = 714285
　　142857 X 6 = 857142
　　同样的数字，只是调换了位置，反复的出现。
那么把它乘与7是多少呢？我们会惊奇的发现是 999999
　　而 142 857 = 999
　　&&&&&14
28 57 = 99
　　最后，我们用 142857 乘与 142857
　　答案是： 前五位 上后五位的得数是多少呢？
　　 = 142857
====================================
&&&关于其中神奇的解答
　　“142857”
　　它发现于埃及金字塔内，它是一组神奇数字，它证明一星期有7天，它自我累加一次，就由它的6个数字，依顺序轮值一次，到了第7天，它们就放假，由999999去代班，数字越加越大，每超过一星期轮回，每个数字需要分身一次，你不需要计算机，只要知道它的分身方法，就可以知道继续累加的答案，它还有更神奇的地方等待你去发掘！也许，它就是宇宙的密码┅┅
　　＝142857（原数字）
　　＝285714（轮值）
　　＝428571（轮值）
　　＝571428（轮值）
　　＝714285（轮值）
　　＝857142（轮值）
　　＝999999（放假由9代班）
　　＝分身，即分为头一个数字1与尾数6，数列内少了7）
　　＝分身）
　　＝分身）
　　＝分身）
　　＝分身）
　　＝分身）
　　＝也需要分身变大）&
继续算下去……
　　以上各数的单数和都是“9”。有可能藏着一个大秘密。
　　以上面的金字塔神秘数字举例：1＋4＋2＋8＋5＋7＝27＝2＋7＝9；您瞧瞧，它们的单数和竟然都是“9”。依此类推，上面各个神秘数，它们的单数和都是“9”；怪也不怪！(它的双数和27还是3的三次方)无数巧合中必有概率，无数吻合中必有规律。何谓规律？大自然规定的纪律！科学就是总结事实，从中找出规律。
　　任意取一个数字，例如取48965，将这个数字的各个数字进行求和，结果为4 8 9 6 5=32，再将结果求和，得3
2=5。我将这种求和的方法称为求一个数字的众数和。
　　 所有数字都有以下规律：
　　[1]众数和为9的数字与任意数相乘，其结果的众数和都为9。例如306的众数和为9，而306*22=6732，数字6732的众数和也为9（6
7 3 2=18，1 8=9）。
　　[2]众数和为1的数字与任意数相乘，其结果的众数与被乘数的众数和相等。例如13的众数和为4，325的众数和为1，而325*13=4225，数字4225的众数和也为4（4
2 2 5=13，1 3=4）。
　　[3]总结得出一个普遍的规律，如果A*B=C，则众数和为A的数字与众数和为B的数字相乘，其结果的众数和亦与C的众数和相等。例如3*4=12。取一个众数和为3的数字，如201，再取一个众数和为4的数字，如112，两数相乘，结果为201*112=2的众数和为3（2
2 5 1 2=12，1 2=3），可见3*4=12，数字12的众数和亦为3。
　　[4]另外，数字相加亦遵守此规律。例如3 4=7。求数字201和112的和，结果为313，求313的众数和，得数字7（3 1
3=7），刚好3与4相加的结果亦为7。
　　令人奇怪的是，中国古人早就知道此数学规律。我们看看“河图”与“洛书”数字图就知道了。以下是“洛书”数字图。
　　8 1 6 ( 洛书)
　　世人都知道，“洛书”数字图之所以出名，是因为它是世界上最早的幻方图，它的特点是任意一组数字进行相加，其结果都为15。其实用数字众数和的规律去分析此图，就会发现，任意一组数字的随机组合互相相乘，其结果的众数和都为9，例如第一排数字的一个随机组合数字为924，第二行的一个随机组合数字为159，两者相乘，其结果为146916，求其众数和，得1
4 6 9 1 6=27，2 7=9，可见，结果的众数和都为9。
&&&神奇的“缺8数”。&&
&&&，这个数里缺少8，我们把它称为“缺8数”。
&&&开始，我以为这“缺8数”只有“清一色”的奇妙。谁知经过一番资料的查找，竟发现它还有许多让人惊讶的特点。
&&&一，清一色&&&
&&&菲律宾前总统马科斯偏爱的数字不是8，却是7。
&&&于是有人对他说：“总统先生，你不是挺喜欢7吗？拿出你的计算器，我可以送你清一色的7。”
&&&接着，这人就用“缺8数”乘以63，顿时，映入了马科斯先生的眼帘。
&&“缺8数”实际上并非对7情有独钟，它是一碗水端平，对所有的数都一视同仁的：
&&&你只要分别用9的倍数（9，18……直到81）去乘它，则，……直到都会相继出现。
&&&&二，三位一体&
&&“缺8数”引起研究者的浓厚兴趣，于是人们继续拿3的倍数与它相乘，发现乘积竟“三位一体”地重复出现。
这里所得的九位数全由“三位一体”的数字组成，非常奇妙！
三，轮流“休息”&
当乘数不是3的倍数时，此时虽然没有“清一色”或“三位一体”现象，但仍可看到一种奇异性质：
乘积的各位数字均无雷同。缺什么数存在着明确的规律，它们是按照“均匀分布”出现的。
另外，在乘积中，缺3、缺6、缺9的情况肯定不存在。
先看一位数的情形：
=（缺0和8）
=（缺0和7）
=（缺0和5）
=（缺0和4）
=（缺0和2）
=（缺0和1）
上面的乘积中，都不缺数字3，6，9，而都缺0。缺的另一个数字是8,7,5,4,2,1，且从大到小依次出现。
让我们看一下乘数在区间 [
10～17]&的情况，其中12和15因是3的倍数，予以排除。
以上乘积中仍不缺3，6，9，但再也不缺0了，而缺少的另一个数与前面的类似——按大小的次序各出现一次。
乘积中缺什么数，就像工厂或商店中职工“轮休”，人人有份，但也不能多吃多占，真是太有趣了！
乘数在[19～26]及其他区间（区间长度等于7）的情况与此完全类似。
&&&&&&=（缺7）
&&&&&&=（缺5）&
&&&&&&&=（缺4）
&&&&&&&=（缺2）
&&&&&&&=（缺1）
一以贯之&&当乘数超过81时，乘积将至少是十位数，但上述的各种现象依然存在。再看几个例子：
（1）乘数为9的倍数
=，只要把乘积中最左边的一个数2加到最右边的7上，仍呈现“清一色”。
又如：=&（乘积中最左边的一个数1加到最右边的2上，恰好等于3）&&
=&（乘积中最左边的一个数1加到最右边的3上，恰好等于4）&&&
=&（乘积中最左边的一个数2加最右边的“09”，结果为11）
（2）乘数为3的倍数，但不是9的倍数
=，只要把乘积中最左边的一个数1加到最右边的6上，又可看到“三位一体”现象。
（3）乘数为3k 1或3k 2型
=，表面上看来，乘积中出现雷同的2；
但据上所说，只要把乘积中最左边的数1加到最右边的2上去之后，所得数为，是“缺1”数。
而根据上面的“学说”可知，此时正好轮到1休息，结果与理论完全吻合。
四，走马灯&&
冬去春来，24个节气仍然是立春、雨水、惊蛰……其次序完全不变，表现为周期性的重复。
“缺8数”也有此种性质，但其乘数是相当奇异的。
实际上，当乘数为19时，其乘积将是，像走马灯一样，原先居第二位的数2却成了开路先锋。
深入的研究显示，当乘数成一个公差等于9的算术级数时，出现“走马灯”现象。
现在，我们又把乘数依次换为10，19，28，37，46，55，64，73（它们组成公差为9的等差数列）：
以上乘积全是“缺8数”！数字1，2，3，4，5，6，7，9像走马灯似的，依次轮流出现在各个数位上。
五，回文结对&&携手同行&
“缺8数”的“精细结构”引起研究者的浓厚兴趣，人们偶然注意到：
前一式的积数颠倒过来读（自右到左），不正好就是后一式的积数吗？
（但有微小的差异，即5代以4，而根据“轮休学说”，这正是题中的应有之义。）
这样的“回文结对，携手并进”现象，对13、14、31、32等各对乘数（每相邻两对乘数的对应公差均等于9）也应如此。
&&&&&&&&&=
&&&&&&&&&&=
六，遗传因子&&
“缺8数”还能“生儿育女”，这些后裔秉承其“遗传因子”，完全承袭上面的这些特征。
所以这个庞大家族的成员几乎都同其始祖具有同样的本领。
例如，是“缺8数”与41的乘积，所以它是一个衍生物。
我们看到，=。&
将乘积中最左边的数1加到最右边的7上之后，得到8。如前所述，“三位一体”模式又来到我们面前。
“缺8数”还有更加神奇壮观的回文现象。我们继续做乘法：
&&&&999=21
奇迹出现了！等号右边全是回文数（从左读到右或从右读到左，同一个数）。
而且，这些回文数全是“阶梯式”上升和下降，神奇、优美、有趣！
&因为667&37，所以“缺8数”是一个合数。
“缺8数”和它的两个因数，这三个数之间有一种奇特的关系。
&一个因数333667的首尾两个数3和7、就组成了另一个因数37；
而“缺8数”本身数字之和1 2 3 4 5 6 7 9也等于37。
可见“缺8数”与37天生结了缘。
&更令人惊奇的是，把1/81化成小数，这个小数也是“缺8数”：&
&&1/81=0.679……
&&&&为什么别的数字都不缺，唯独缺少8呢？
原来1/81=1/9&1/9=0.1111…&0.11111….
这里的0.1111…是无穷小数，在小数点后面有无穷多个1。
&&&&“缺8数”的奇妙性质，集中体现在大量地出现数学循环的现象上，而且这些循环非常有规律，令人惊讶。
&“缺8数”的奇特性质，早就引起了人们的浓厚兴趣。而它其中还有多少奥秘，人们一定会把它全部揭开。
&“缺8数”太奇妙了，让我这个对数学没啥兴趣的人也忍不住要大加赞美啊！
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