中考北师大版数学第一轮复习专题训练-数中考复习
　　　　　　　　　　　　　　
　 　　　　　　　　　　　　　
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中考北师大版数学第一轮复习专题训练
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卢湾区初三模拟考试
(100分钟完卷，满分150分) 2006．4
一、填空题：（本题共12小题，每小题3分，满分36分）
_________．
2. 上海已进入老龄化城市，预计到2025年，上海65岁及以上老人将达到
400万人，“400万”用科学记数法可表示为_________．
中，自变量x的取值范围是 ．
5. 不等式组
的解集是 ．
的顶点坐标是 ．
，BC=5，sinA=
，则AB =______________．
的值等于0，则x =___________．
9. 若两圆外切，则它们的公切线共有 条.
10. 已知菱形的周长40cm，一条对角线长12 cm，则另一条对角线的长为______ cm．
11. 2005年某市人均GDP约为2003年的1.21倍，假如该市每年的人均GDP增长率相同，那么该增长率为 .
12. 如图，以等边△
的重心O为旋转中心，将△
旋转180°得到△
的面积为9，
重叠部分的面积为 .
二、选择题：（本题共4小题，每小题4分，满分16分）
13．在统计中，样本的标准差可以反映这组数据的 …………………（ ）．
（A）平均状态； （B）分布规律； （C）离散程度； （D）数值大小．
14．下列各式中，在实数范围内不能分解因式的是 …………………（ ）．
15. 下列四边形中，对角线一定相等是 ………………………………（ ）．
（A）菱形和矩形 ； （B）矩形和等腰梯形；
（C）平行四边形和等腰梯形； （D）菱形和直角梯形．
16. 已知△ABC的三边长分别为6 cm，7.5 cm，9 cm，△DEF的一边长为5cm，若这两个三角形相似，则△DEF的另两边长是下列各组中的 …………………………………………………………………（ ）．
（A）2 cm，3 cm；（B）4 cm，6 cm；（C）6 cm，7 cm；（D）7 cm，9 cm．
三、（本题共5小题，17、18小题每题9分，19~21小题每题10分，满分48分）
17．先化简，后求值：
18．解方程组：
19．在如图所示的平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标都是整数（图中每格的长度为1），请填写下列空格：
(1) 点B坐标为_________ ．
(2) 若将△ABC沿
轴翻折得到△A1B1C1，则点B1的坐标为_________，若将
△ABC绕原点O旋转180°得到
△A2B2C2，则点B2的坐标为_________，△A1B1C1与△A2B2C2关于_________轴对称．
(3) 若△ABC与△EFD成中心对称，则对
称中心的坐标为_________．
20．在直角坐标平面内，把过原点的直线l与双曲线：
在第一象限的交点记作A，已知A点的横坐标为1，
（1）求直线l的函数解析式；
（2）将直线l向上平移4个单位后，直线l与
轴分别交于B、C两点，求△BOC的面积．
21．某初级中学四个年级学生人数分布如图（a），通过对全体学生寒假期间所读课外书情况调查，制成各年级读课外书情况的条形图，如图（b），已知该校被调查的四个年级共有学生1200人，则
（1）预备年级学生占四个年级总人数的________%；
（2）寒假期间人均读课外书最少的是________年级学生，读课外书总量最少的是________年级学生；
\s （3）该校四个年级寒假期间人均读课外书________本．
人均读课外书量（本/人）
四、（本题共4小题，22~24小题每题12分，25小题14分，满分50分）
22．某单位需要建立一个面积为1200平方米的矩形仓库，计划利用一段50米长的旧墙，新墙只围三边，已知每建造1米的新墙需要费用500元，建造顶棚等其它费用为1万元，设当被利用的旧墙长度为
米时，仓库的总建设费用为
的函数解析式及其定义域；
（2）当建设费用为6万元时，求被利用的旧墙的长度为多少米？
23．如图△ABC，△CDE都是等边三角形，且点B、C、D在同一直线上，连结AD交CE于点F，连结BE交AC于点G，AD、BE相交于点M，
（1）求证：△ABG∽△CDF；
（2）在不添加新的字母和线段的前提下，在图
中再找出2个与△ABG相似的三角形．
图（1）24. 将8个边长为1的正方形拼成如图（1）外形，要求过点P作一条直线l将该图形分割成面积相等的两部分，
（1）在图（1）中出直线l的大致位置；
（2）计算直线l与直线AB所成的夹角（锐角）的正切值．
25．抛物线
的图像开口向上，与
轴交于A、B两点（点A在点B的左边），
（1）求证：A、B两点都在
轴的正半轴上；
（2）已知圆P（点P在第一象限）过A、B两点，且与
①求圆心P点的坐标；（用含有
的代数式表示）
时，圆Q与圆P、
轴都相切，若点Q在第一象限，求满足条件的圆心Q点的坐标．
2006年卢湾区初三模拟考试参考答案
一、 填空题：（本题共12小题，每小题3分，满分36分）
； 4．49； 5．
； 6．（2，3）；
7．15； 8．3； 9. 3； 10．16； 11. 10%； 12． 6．
二、选择题：（本题共4小题，每小题4分，满分16分）
13．C； 14．C； 15．B； 16．B．
三、（本题共5小题，17、18小题每题9分，19~21小题每题10分，满分48分）
17． 解：原式=
………………………2分
……………………………2分
………………………………………2分
…………………3分
（3）………3分
代入（1）得
，…………2分
……………………………2分
代入（3）解得
方程组的解为
． ………………………2分
解2：由（1）得
………………………3分
与（2）组成
………………………2分
． …………………………………4分
19． （1）（1，1）；（2）（-1，1），（-1-1），
；（3）（3，0）．
（每空2分）
20．解：将
，求得A点坐标为
．………2分
设直线l的函数解析式为
， …………………………………2分
直线l的函数解析式为
． …………………………………1分
将直线l向上平移4个单位后，直线l的解析式为
， …………………………………2分
． ………………………………… 1分
21．（1）20；（2）初三，预备；（3）1.44．
第（1）、（3）小题每题3分，第（2）小题4分．
四、（本题共4小题，22~24小题每题12分，25小题14分，满分50分）
22． 解：另一边的长度为
米． …………………………………1分
）． …………………………………5分
（2）由题意得
， ……………………………………………………1分
, …………………………………………1分
（不合题意舍去）．………………………………3分
是原方程的根． …………………………………1分
答：（略）
23．（1）证实：∵△ABC，△CDE都是等边三角形，
∴∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACB ∠GCF=∠FCD ∠GCF，
即∠BCE=∠ACD，……………………………………………………2分
又∵BC=AC，CE=CD，∴△BCE≌△ACD， ………………………2分
∴∠BEC=∠ADC，∵∠ABC=∠ECD=60°，∴AB∥CE，…………2分
∴∠ABE=∠BEC，∴∠ABE=∠ADC，………………………………1分
又∵∠BAC=∠CED=60°，∴△ABG∽△CDF．……………………1分
（2）写出△BDA，△MEF，△MBA，△CEG中的任意2个．……4分
24. 解：（1）图正确 ……………………………………………3分
（2） 解1：将直线l与直线AB、CD的交点分别记作N、M．
设CM=x，由CD∥AB，得
，……………２分
， ………………………２分
由梯形NBCM的面积为4，得
． 　 ………………………………………2分
作MH⊥AB，垂足为H，
． ………………………………3分
解2：将直线l与直线AB、CD及BC延长线交点分别记作N、M、G．
设CG= x，由CD∥AB 得
， ………………………2分
， ………………………2分
由梯形NBCM的面积为4，得
． ……………………………………2分
． ………………………………3分
25． 解：（1）由抛物线
的图像开口向上，得
． ………………………………1分
（2）①如图，过P点作PH⊥AB，垂足为H，
由垂径定理得点H是AB中点，因此圆心P必在抛物线的对称轴上，
， ……………………………………………………………2分
连结AP，在Rt△AHP中，
．又∵点P在第一象限，
∴圆心P点的坐标为P
． …………………………………………2分
时，P点坐标为
，设Q点坐标为
．………………1分
1°若两圆外切，
；…………………2分
2°若两圆内切，
． ………………………………………………………2分
综上所述满足条件的圆的圆心Q的坐标为
． ………………………………………………1分
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数学建模训练习题
2012 年春季《数学模型与数学建模》训练题目汇总(1-176)兰州理工大学理学院应用数学系惠富春修改整理 序号01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30学号 12 28 40 13 11 19 01 07 12 37姓名 区维展 刘志斌 朱亚文 薛晓伟 王晨 张开淼 李永虎 武福涛 贾雁凯 王晓婕 黄凯 尹莲勇 杨旭泽 万红艳 柳成 张致国 徐东 陈海燕 章华 刘欢琴 黄彬富 王先利 刘荣辉 李文超 王飞翔 李志勇 朱伟 马晓强 盛少威 梁志瑞专业工程力学 10 级 00 班 工程力学 10 级 00 班 工程力学 10 级 00 班 工程力学 10 级 00 班 工程力学 10 级 00 班 工程力学 10 级 00 班 工程力学 10 级 00 班 工程力学 10 级 00 班 工程力学 10 级 00 班 工程力学 10 级 00 班应用物理学 10 级 01 班 应用物理学 10 级 01 班 应用物理学 10 级 01 班 应用物理学 10 级 01 班 应用物理学 10 级 01 班 应用物理学 10 级 01 班 应用物理学 10 级 01 班 应用物理学 10 级 01 班 应用物理学 10 级 01 班 应用物理学 10 级 01 班 应用物理学 10 级 02 班 应用物理学 10 级 02 班 应用物理学 10 级 02 班 应用物理学 10 级 02 班 应用物理学 10 级 02 班 应用物理学 10 级 02 班 应用物理学 10 级 02 班 应用物理学 10 级 02 班 应用物理学 10 级 02 班 应用物理学 10 级 02 班题目 1 1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89 93 97 101 105 109 113 117题目 2 176 172 168 164 160 156 152 148 144 140 136 132 128 124 120 116 112 108 104 100 96 92 88 84 80 76 72 68 64 60题目 3 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 29目录（176 个， 更新 惠富春）2012 年春季《数学模型与数学建模》训练题目汇总(1-176) ............................................................................... 1 1 面试时间最优化问题 ........................................................................................................................................... 5 2 疾病传染及防治的数学建模问题 ....................................................................................................................... 6 3 高层写字楼的电梯规划 ....................................................................................................................................... 6 4 学生食堂排队分析 ............................................................................................................................................... 6 5 流感疫苗接种的数学模型 ................................................................................................................................... 716 失业与再就业的数学模型设计 ........................................................................................................................... 7 7 垃圾运输问题 ....................................................................................................................................................... 7 8 最优捕鱼策略模型 ............................................................................................................................................... 8 9 森林管理及其数学模型 ....................................................................................................................................... 8 10 再生资源的合理利用与开发策略 ..................................................................................................................... 9 11 水塔流量的估计 ................................................................................................................................................. 9 12 存贮问题的数学模型 ......................................................................................................................................... 9 13 最佳广告费用及其效应 ................................................................................................................................... 10 14 最佳培养基配比方案 ....................................................................................................................................... 10 15 飞机票的预订策略问题 ....................................................................................................................................11 16 竞争模型 ........................................................................................................................................................... 12 17 基金使用的数学模型 ....................................................................................................................................... 12 18 沙漠行车问题 ................................................................................................................................................... 13 19 台阶设计中的建模问题 ................................................................................................................................... 13 20 房产公司制定月建造计划模型 ....................................................................................................................... 13 21 农场计划模型 ................................................................................................................................................... 14 22 路灯安置优化问题 ........................................................................................................................................... 14 23 紧急调兵问题 .................................................................................................................................................... 15 24 降落伞的选择问题 ............................................................................................................................................ 15 25 人力资源调度的优化模型 ............................................................................................................................... 16 27 吸烟的危害及烟尘过滤问题 ........................................................................................................................... 17 28 人力资源规划问题 ............................................................................................................................................ 17 29 投资的收益和风险 ........................................................................................................................................... 18 30 屋檐水槽模型 ................................................................................................................................................... 18 31 航运公司的运输调度问题 ............................................................................................................................... 19 32 公务员招聘 ....................................................................................................................................................... 20 33 篮球罚球投篮模型 ........................................................................................................................................... 21 34 洗盘子问题 ....................................................................................................................................................... 21 35 衣服漂洗问题 ................................................................................................................................................... 21 36 大饺子能装陷 ................................................................................................................................................... 21 37 水下爆炸问题 ................................................................................................................................................... 22 38 饮酒驾车模型 ................................................................................................................................................... 22 39 湖泊污染浓度预测模型 ................................................................................................................................... 23 40 货运公司收益问题 ........................................................................................................................................... 23 41 旅行者整体规划模型 ....................................................................................................................................... 24 42 关于种群增长稳定的数学建模 ....................................................................................................................... 24 43 抢渡长江问题 ................................................................................................................................................... 24 44 货币增值问题 ................................................................................................................................................... 25 45 试卷的合理均衡分配 ....................................................................................................................................... 25 46 雨中行走问题 ................................................................................................................................................... 26 47 开放式基金的投资问题 ................................................................................................................................... 26 48 排课方案 ........................................................................................................................................................... 27 49 “最优”的排课方案 ............................................................................................................................................. 27 50 “义利统一”问题 ........................................................................................................................................... 29 51 火箭运载卫星 ................................................................................................................................................... 29 52 狐狸与野兔共生问题的数学模型 ................................................................................................................... 29253 水库排污问题 ................................................................................................................................................... 29 54 倒煤台的操作方案 ........................................................................................................................................... 30 55 停车场安排问题的数学模型 ........................................................................................................................... 30 56 露天采矿 ........................................................................................................................................................... 31 57 乒乓球飞行轨迹问题 ..................................................................................................................................... 31 58 压气机叶片排序 ............................................................................................................................................... 32 59 超额录取留学生的策略 .................................................................................................................................... 33 60 五个简单的数学问题 ..................................................................................................................................... 33 61 三个简单的数学问题 ....................................................................................................................................... 34 62 三个简单的数学问题 ....................................................................................................................................... 35 63 四个简单的数学问题 ....................................................................................................................................... 36 64 三个简单的数学问题 ....................................................................................................................................... 37 65 五个简单的数学问题 ....................................................................................................................................... 37 66 六个简单的数学问题 ....................................................................................................................................... 38 67 三个简单的数学问题 ........................................................................................................................................ 40 8 货物托运问题 ..................................................................................................................................................... 40 69 过河问题及洗衣问题 ..................................................................................................................................... 41 70 航空公司经营策略 ............................................................................................................................................ 41 71 旅游路线安排计划 ............................................................................................................................................ 41 72 通勤车运营方案的优化模型 ............................................................................................................................ 41 73 台球技术 ............................................................................................................................................................ 41 74 多次反弹问题 .................................................................................................................................................... 42 75 最佳乘车路线 .................................................................................................................................................... 42 76 最佳进货策略 ................................................................................................................................................... 42 77 台球问题 ............................................................................................................................................................ 42 78． 冰山运输 ....................................................................................................................................................... 42 79. 狼追兔子 .......................................................................................................................................................... 43 80． 投产选择 ....................................................................................................................................................... 43 81． 矿区选址 ....................................................................................................................................................... 43 82． 省时路线 ....................................................................................................................................................... 43 83．零件加工 ......................................................................................................................................................... 44 84、水厂设立 ......................................................................................................................................................... 44 85 截割方案 ........................................................................................................................................................... 44 86、 投资决策 ....................................................................................................................................................... 44 87、 生产安排 ....................................................................................................................................................... 44 88、 最佳存款 ....................................................................................................................................................... 45 89、 最优联网 ....................................................................................................................................................... 45 90. 刹车距离 .......................................................................................................................................................... 45 91 打桩深度 ........................................................................................................................................................... 46 92 行李托运问题 ................................................................................................................................................... 46 93. 彩电生产 .......................................................................................................................................................... 46 94 强烈的碰撞 ........................................................................................................................................................ 47 95 人员疏散问题（集会安全问题） .................................................................................................................... 47 96 大地污染预报问题 ............................................................................................................................................ 47 97 风和喷水池 ....................................................................................................................................................... 48 98 航空公司超员订票 ............................................................................................................................................ 48399 钢管订购和运输 ............................................................................................................................................... 48 100 空洞探测 .......................................................................................................................................................... 51 101 投资的收益和风险 .......................................................................................................................................... 52 102 灾情巡视路线 ................................................................................................................................................. 53 103 自动化车床管理 .............................................................................................................................................. 55 104 钻井布局 .......................................................................................................................................................... 55 105 煤矸石堆积 ...................................................................................................................................................... 56 106 制定月建造计划 .............................................................................................................................................. 57 107 洁具流水时间设计 .......................................................................................................................................... 57 108 开放式基金的投资问题 .................................................................................................................................. 59 109 游戏网站奖项设计 ......................................................................................................................................... 60 110 圆明园：该怎样保护你 ................................................................................................................................. 61 111：城市交通拥阻的分析与治理........................................................................................................................ 62 112 三峡工程陡高边坡开挖优化设计................................................................................................................... 66 113、DNA 限制性图谱的绘制 .............................................................................................................................. 68 114、人力资源安排问题 ....................................................................................................................................... 70 115、中原城市群建设问题 ................................................................................................................................... 71 116 学生评教的数据分析与处理........................................................................................................................ 71 117 货运公司的收益问题 ................................................................................................................................... 73 118 道路改造项目中碎石运输的设计.................................................................................................................. 74 119 公务员招聘 ..................................................................................................................................................... 75 121 冷却与热传导问题 ......................................................................................................................................... 77 122 斜坡上的均衡 ............................................................................................................................................... 77 123 公路交通量发展趋势预测 ........................................................................................................................... 78 124、服务机构劳务安排的优化设计 ................................................................................................................... 78 125 高考志愿选择策略 .......................................................................................................................................... 80 126 授课教师评估问题 ......................................................................................................................................... 80 127. 航空公司经营策略 ........................................................................................................................................ 80 128 旅游路线安排计划 ......................................................................................................................................... 80 129 学生面试问题 .................................................................................................................................................. 81 130.台球技术 .......................................................................................................................................................... 81 131.通过转角问题 .................................................................................................................................................. 81 132.最佳乘车路线 .................................................................................................................................................. 82 133 抵押贷款买房问题 .......................................................................................................................................... 82 134： “南水北调”水的分配 .................................................................................................................................. 82 135：游戏网站奖项设计 ....................................................................................................................................... 84 136：几种查字典方式的比较 ............................................................................................................................... 85 137： 最低生活保障问题 ..................................................................................................................................... 85 138： 多商品配送问题 ......................................................................................................................................... 86 139：辖区警务资源的合理配置和经费的合理使用............................................................................................ 86 140 学生在校期间的诸多投资与就业回报问题 ................................................................................................. 87 141 下料问题 ......................................................................................................................................................... 87 142. 板材切割问题 ................................................................................................................................................ 88 143 银行复利问题 ............................................................................................................................................... 88 144 草地水量问题 ............................................................................................................................................... 88 145: 易拉罐形状和尺寸的最优设计 .................................................................................................................... 894146 液体泄漏问题 ................................................................................................................................................. 89 147 体能测试时间安排 .......................................................................................................................................... 90 148 体重及减肥问题 ............................................................................................................................................. 90 149 地下管线的铺设 ........................................................................................................................................... 91 150 考试成绩分布的合理性分析 ......................................................................................................................... 91 151 网络游戏对青少年的影响 ........................................................................................................................... 92 152 投保理赔问题 ............................................................................................................................................... 92 153 最佳捕捞方案 ............................................................................................................................................... 93 154：生产过程的调度 ........................................................................................................................................... 94 155 机场安检 ....................................................................................................................................................... 94 156 种群生长规律及预测问题 ........................................................................................................................... 95 157 追击问题 ....................................................................................................................................................... 95 158 图像加密问题 ............................................................................................................................................... 96 159 观测站的重M与优化 ..................................................................................................................................... 96 160 最佳泄洪方案 ................................................................................................................................................. 97 161 地面搜索 ....................................................................................................................................................... 98 162 市场拓展问题 ................................................................................................................................................. 99 163 生产决策与运输问题 ................................................................................................................................... 99 164 固定费用问题与指派问题 ......................................................................................................................... 100 165 空中飞行安全设计 ..................................................................................................................................... 101 166 建造垃圾场问题 ........................................................................................................................................... 102 167 科学评判问题 ............................................................................................................................................... 102 168 物资配送问题 ................................................................................................................................................ 103 169 考试日程安排问题 ....................................................................................................................................... 105 170 优化问题及应用举例（由四个题目组成） ............................................................................................... 107 171 野兔数量及生物共生竞争模型 .................................................................................................................... 108 172 银行存款理财投资问题 ............................................................................................................................... 109 173 树木最优的砍伐轮种策略问题 .................................................................................................................... 109 174 货机装载货物最优策略问题 ........................................................................................................................110 175 报童进货策略问题 ........................................................................................................................................110 176 设备分配问题（指派问题） ........................................................................................................................110数学建模训练习题 1761 面试时间最优化问题有四名同学到一家公司参加三个阶段的面试，公司要求每个同学都必须首先找公司秘书初试，然后到 部门主管处复试，最后到经理处参加面试，并且不容许插队（即：在任何一个阶段 4 名同学的顺序是一样 的），由于 4 名同学的专业背景不同，所以没人再三个阶段的面试时间也不同，如下表所示： 这四名同学约定他们全部面试完成以后一起离开公司，假定现在时间是早晨 8：00，问他们最早何时 能离开公司？ （单位：分钟） 秘书面试 主管复试 经理面试5甲 乙 丙 丁13 10 20 815 20 16 1020 18 10 15参考答案：首先我们对给出的面试时间表格进行分析，用计算机编程算出任意两个求职者按照不同的顺序 参加面试时，求职者等求职者的时间和考官等求职者的时间之和，然后用图论法建模，将算出的时间表达 有向赋权图的权值，问题转化成求有向赋权图（图 1）中连接四个顶点的路径最短问题。我们利用 MATLAB 编程，按从小到大的顺序依次找出 n-1（n 表示参加面试的人数）条权值最小边，然后用人工参与的方式， 将找出的 n-1 条边排出最优顺序。最后，得出丁、甲、乙、丙的顺序为最优方案，共用 84 分钟。即：三 人可在 9：24 一起离开公司2 疾病传染及防治的数学建模问题随着人类社会的不断进步，卫生设施的改善，医疗水平的提高，很多传染性疾病例如： 天花，霍乱等一些曾经肆虐全球的传染性疾病已得到很好的控制，但一些贫困的发展中国家 仍会出现传染病流行的现象，特别是一些新的传染病毒（如 SARS、禽流感等）的产生，将会 带来更多传染病。如何建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的 变化规律，探索制止传染病的蔓延，是我们控制传染病传播的关键和基础。 由于不同类型的传染性疾病具有不同的传播的特点，并且它在传染的过程中涉及的因素 较多，如传播途径，人口的流动以及治愈后的是否会再被传染都会对传染病有较大的影响。 有时还可考虑对疫区的易感染者进行注射，其中注射的覆盖率考虑到健康人数及疾病蔓延发 展程度。试分析传播机理，探讨发展变化情况及控制策略。3 高层写字楼的电梯规划每天早上，上班的一段时间内，在一栋写字楼上班的人们随机地走进大楼，乘坐电梯到达各层；傍 晚的一段时间内，他们有从各自的楼层乘电梯到达底层。结果有几台电梯在高峰期每一层都要停下来上下 一两位乘客，这样的浪费造成了高峰期严重的电梯拥挤。试建立适当的模型，讨论如何合理安排楼内电梯 的服务楼层以改善这种拥挤状况。4 学生食堂排队分析本问题是为了解决如何使学生尽量减少排队的时间就能打上饭菜。如果仅仅考虑增加食堂的窗口数 来减少这个时间的话作为食堂方面来说是不愿意的，那样就增加了他们的成本。而学生要求减少排队等待6时间，如何在两者之间找到一个平衡是关键。5 流感疫苗接种的数学模型流感病毒有两种菌种，现已研制成两种疫苗。疫苗 1 对菌种 1 有 85％的预防效果，对菌种 2 有 70％ 的预防效果；疫苗 2 对菌种 1 有 60％的预防效果，对菌种 2 有 90％的预防效果。两种疫苗不能在一个人 身上同时使用。 （1）为使尽可能多的居民具有免疫力，需要进一步了解那些信息？ （2）为使尽可能多的居民具有免疫力，应采取何种接种疫苗的策略？ （3）在采取你所推荐的策略的情况下，估计有多少居民具有免疫力(平均的估计和最坏情况的估计） 。6 失业与再就业的数学模型设计政府每月为每一位失业工人发放一定数量的失业救济金，作为他们基本的生活保障。失业工人找工作 时通常会在心里预先设定一个最低工资水平，若找到的工作其工资低于这个预先设定的最低工资水平，则 放弃该工作，继续寻找下一个工作，直至找到高于或等于预先设定的最低工资水平的工作为止。 要求给出最低工资水平的决定条件，失业救济金和最低工资水平的关系，并对失业工人找到满意工作 之前的平均等待时间（单位：月）做出合理的估计。7 垃圾运输问题某城区有 36 个垃圾集中点，每天都要从垃圾处理厂（第 37 号节点）出发将垃圾运回。垃圾点的地理坐 标数据表如下图： 序 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 站点 编号 1 2 3 4 6 5 7 8 9 10 11 垃 圾 量T 1.50 1.50 0.55 1.20 0.85 1.30 1.20 2.30 1.40 1.50 1.10 坐标 （km） 序 号 X Y 3 1 5 4 0 3 7 9 10 14 17 2 5 4 7 8 11 9 6 2 0 3 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 站点 编号 15 32 22 23 24 25 26 27 28 29 30 垃 圾 坐标（km） 量 （Y） X Y 1.40 1.20 1.80 1.40 1.60 1.60 1.00 2.00 1.00 2.10 1.20 19 22 21 27 15 15 20 21 24 25 28 9 5 0 9 19 14 17 13 20 16 18712 13 14 15 16 17 18 1912 13 14 20 16 17 18 192.70 1.80 1.80 0.60 1.50 0.80 1.50 0.8014 12 10 7 2 6 11 156 9 12 14 16 18 17 1231 32 33 34 35 36 3731 21 33 34 35 36 371.90 1.30 1.60 1.20 1.50 1.30 0.005 17 25 9 9 30 012 16 7 20 20 12 0现有一种载重 6 吨的运输车。每个垃圾点需要用 10 分钟的时间装车，运输车平均速度为 40km/h(夜里 运输，不考虑塞车现象)；每台车每日平均工作 4 小时。运输车重载运费 1.8 元/吨公里；运输车和装垃圾 用的铲车空载费用 0.4 元/公里 1． 要投入多少辆运输车，每台车的行走路线，方案的运营总费用 2． 要投入多少辆铲车，每台铲车的行走路线，铲车的运营费用 如果有载重量为 4 吨，6 吨，8 吨三种运输车，应该怎样调度8 最优捕鱼策略模型为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业，林业资源）的开发必须适度。一种合理、 简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。 考虑对鱼的最优捕捞策略：假设这种鱼分 4 个年龄组，称为 1 龄鱼，2 龄鱼，3 龄鱼，4 龄鱼。各年龄 组每条鱼的平均重量分别为 5.07，11.55，17.86，22.99（克） ，各年龄组的自然死亡率为 0.8（/年） ，这种 11 鱼为季节性集中产卵繁殖， 平均每条 4 龄鱼的产卵量为 1.10910 （个） 3 龄鱼的产卵量为这个数的一半， ， 2 龄和 1 龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后 4 个月，卵孵化并成活为 1 龄鱼，成活率（1 龄鱼条数 与产卵量 n 之比）为 1.221011/（1.221011 + n） 。 渔业管理部门规定， 每年只允许在产卵孵化期前的 8 个月进行捕捞作业。 如果每年投入的捕捞能力 （如 渔船数，下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数不妨称捕 捞强度系数。通常使用 13mm 网眼的拉网，这种网只能捕捞 3 龄鱼和 4 龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为 0.42∶1。渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。 本题提出了两个问题： （1）建立数学模型分析如何实现可持续捕捞（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变） ， 并且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总重量） 。 （2）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务 5 年，合同要求 5 年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏。 已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为：122，29.7，10.1，3.29（×109 条） ，如果仍用固定努力量的捕捞 方式，该公司应采取怎样的策略才能使总收获量最高。9 森林管理及其数学模型单株树木的商品价值 V 是由该树能够生产的体积和质量决定的。显然 V=V(t) 依赖于树木的年龄 t。 假设曲线 V(t)已知，c 为树木砍伐的成本。试给出砍伐树木的最优年龄，以能获得最佳的利润。如果再考 虑森林轮种的问题，即一旦树木从某一处砍倒，这块土地便可以来种植新树。假定各代轮种的周期长度相 同，试建模讨论最优的砍伐轮种的森林管理策略问题（δ 为资金的贴现率） 。 如果已知哥伦比亚 Douglas 松树的净立木价值 V(t)-c 随着树龄的变化资料如下：8t/年 V(t)-c/美元30 040 4350 14360 30370 49780 65090 805100 913110 1000120 1075试利用上述模型讨论 Douglas 松树的最优砍伐轮种的问题。 由题目给出的表格，求出最佳伐树的年龄 t*。 再考虑轮种问题，考虑伐木的时间周期，求出每次伐木的年龄与树木，以求能够达到最大的利润。10 再生资源的合理利用与开发策略生物植物都有再生能力，也有从生到老到死的现象。诸如空气，塑料、废钢，石油，煤炭，天然气及 森林、鱼类等是人类可利用的宝贵资源，有些资源在一定条件下还有二次开发利用潜力，有些资源不可再 生（最终趋于枯竭） ，有些却是可以再生的（只是不要过度开发） ，分析和研究某种再生资源的平衡机理及 动力系统，解决当前经济利益与可持续发展间的矛盾。11 水塔流量的估计某居民区有一供居民用水的圆柱形水塔，一般可以通过测量其水位来估计水的流量。面临的困难是， 当水塔水位下降到设定的最底水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位的时候停止供水，这 段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量。通常水泵每天供水一两次，每次约 3h. 水塔是一个高为 12.2m， 直径为 17.4m 的正圆柱。 按照设计。 水塔水位降至约 8.2m 时， 水泵自动启动， 水位升至约 10.8m 时水泵停止工作。 下表是某一天的水位测量记录（符号“//”表示水泵启动） ，试估计任何时刻（包括水泵正供水时） 从水塔流出的水流量，及一天的总用水量。表 1 水位测量记录 （符号//表示水泵启动）时刻(h) 水位(cm) 时刻(h) 水位(cm) 时刻(h) 水位(cm) 0 968 0.92 948 1.84 2.95 3.87 4.98 5.90 7.01 7.93 8.97 931 913 898 881 869 852 839 8229.98 10.92 10.95 12.03 12.95 13.88 14.98 15.90 16.83 17.93 // // 21 994 965 941 918 892 19.04 866 19.96 843 20.84 22.01 22.96 23.88 24.99 25.91 822 // // 1812 存贮问题的数学模型现代化的生产和经营活动都离不开存贮，为了使生产和经营活动有条不紊地进行，一般的企业总需要 一定数量的贮备物资来支持。贮存问题是人类社会活动，特别是生产经营活动中一个普遍存在的问题。物 资的存贮，除了用来支持日常的生产经营活动外有库存的调节还可以满足高于平均水平的需求，同时也可9以防止低于平均水平的供给。此外，有时大批量物资的订货或利用物资季节性价格的波动，可能得到价格 上优惠，并且实际情况中物资还可能脱销。 存贮物资组要占用大量的资金、人力和物力，有时甚至造成资源的严重浪费。并且有时大量的库存物 资还会引起某些货物劣质化变质，造成巨大损失。那么，一个企业究竟应存放多少物资为最适宜呢？13 最佳广告费用及其效应某装饰材料公司以每桶 2 元的价钱购进一批彩漆，为了尽快收回资金并获得较多的赢利，公司经理李 先生打算做广告，于是便找到广告公司的王先生进行咨询。李经理认为，随着彩漆售价的提高，预期销售 量将减少，并对此进行了估算（见表 1） 。他问王先生广告有多大效应。王先生说： “投入一定的广告费后， 销售量将有一个增长，这由销售增长因子来表示。例如，投入 3 万元的广告费，销售增长因子为 1.85，即 销售量将是预期销售量的 1.85 倍。据经验，广告费与销售增长因子的关系有表 2。 ”李经理听后，迫切想 知道最佳广告费和售价为多少时预期的利润最大，试经过计算给出解答。 表 1 售价与预期销售量 售价（元） 预期销售量（千桶） 2.00 41 2.50 38 3.00 34 3.50 32 4.00 29 4.50 28 5.00 25 5.50 22 6.00 20 表 2 广告费与销售增长因子 广告费（元） 销售增长因子 0 1.00
14 最佳培养基配比方案某发酵实验中培养基用原料碳源和氮源来生产 IFN-γ （γ -干扰素） ，其中碳源（C1，C 2，C3）和氮源 （N1，N2，N3，N4）的含量及 IFN-γ （γ -干扰素）的产量的关系可由实验数据表参考。如何选择碳源和氮 源的种类及含量使 IFN-γ 的产量达到最大，从而给出最佳培养基配比方案？数据表10NO. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32C1 0.1 0.4 1 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2C2 0 0 0 0 0 0.2 0.5 0.8 1.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0C3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.1 0.5 1.5 2.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0N1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5 2 3 4 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0N2 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0 0 0 0 0 0 0 0.5 2 3 4 5 0 0 0 0N3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5 2 3 4 5 0 0 0 0N4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.01 0.05 0.1 0.3rhIFN-γ 11.7 68.0 75.0 20.6 25.0 10.9 20.0 42.0 165.0 54.0 164.0 126.0 17.0 57.0 17.0 11.015 飞机票的预订策略问题在激烈的市场竞争中，航空公司为争取更多的客源而开展的一个优质服务项目是预订票业务。公 司承诺，预先订购机票的乘客如果未能按时前来登机，可以乘坐下一班机或退票，无需附加任何费用。当 然也可以订票时只订座，登机时才付款，这两种办法对于下面的讨论是等价的。11开展预订票业务时，对于一次航班，若公司限制预订票的数量恰好等于飞机的容量，那么由于总会有 一些订了机票的乘客不按时前来登机，致使飞机因不满员飞行而利润降低，甚至亏本。而如果不限制预订 票数量，那么当持票按时前来登机的乘客超过飞机的容量时，必然会引起那些不能飞走的乘客的抱怨，公 司不管以什么方式补救，也会导致声誉受损和一定的经济损失，如客源减少，挤掉以后班机的乘客，公司 无偿供应食宿，付给一定的赔偿金等。所以航空公司需要综合考虑经济利益和社会声誉，确定预订票数量 的最佳限额。现请你建立一个数学模型,应如何确定发售机票的票数,使公司,乘客双方都比较满意.16 竞争模型市场经济中有一条“正反馈循环”规律，也就是比尔?盖茨在其《未来之路》中津津乐道的正螺旋效 应，即“好的越好，而糟的越糟”，导致“赢家通吃”，这是类似于生态系统中种群竞争的一种模型，即 马太效应。 人类社会生活中这样的情况也是屡见不鲜，请你以两个男生竞争一定量女生的好感为例，从数学上给 出一点解释。17 基金使用的数学模型某大学基金使用计划。某大学获得了一笔数额为 M 元的基金，打算将其投入到学校教学或科研中。经行 家分析，投入到科研上，这笔基金给学校带来的年平均收益情况见下表 1（譬如某人或科学组申请到此基金的 一部分作为科研经费，申请时间 3 个月，3 个月期满必须归还校基金会） 。假设投入到教学中，用于建设精品 课程，分 1 年、3 年、5 年建设课程（建设期满投入全部收回） ，行家估算，这笔基金给学校带来的年平均收 益见表 2。 校基金会计划在 n 年内每年用部分收益奖励优秀师生，要求每年的奖金额大致相同，且在 n 年末仍保留 原基金数额。校基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖金额。请你帮助校基金会在如下情况 下设计基金使用方案，并对 M=100 万元，n=10 年给出具体结果； (1) 只投入到科研上不投入到教学中； (2) 可投入到科研上也可投入到教学中； (3) 学校在基金到位后的第 14 年（2019 年）要举行建校 100 周年校庆，基金会希望这一年的奖金比其他 年度多 30%。 表 1：科研基金年平均收益率（%）种 类 3 个月 1.368 6 个月 1.512 一 年 1.548 二 年 1.800 三 年 2.016 五 年 2.232收益率%表 2： 教学基 金年平均收益率（%）种 类 一 年 1.98 三 年 2.52 五 年 2.79 12收益率%18 沙漠行车问题某探险队驾驶一越吉普车穿行 2000km 的大沙漠。除起点能得到足够的汽油供应外，行车途中的燃料 供应必须在沿途设立若干的储油点，依靠自己运输汽油来解决。该车在沙漠中行车平均每公里耗油 0.25L， 车载油箱及油桶总共只能装载 250L 汽油。请设计一个最优的行车方案，使行车耗油最少而通过沙漠。试 根据实际情况进行推广和评价。19 台阶设计中的建模问题台阶，楼梯是我们日常生活中常见的，天天行走的建筑结构，良好的台阶设计不仅可以节省上楼时 间，也可最大限度的减少体力消耗。然而，不合理的设计会使人们上楼时既费时又费力，甚至还会发生危 险。所以我们不禁要问，怎样设计台阶长度宽度比才能达到最优呢？20 房产公司制定月建造计划模型某著名房地产公司通过对历史资料进行回归分析（即数据拟合） ，并给合今年上半年可能出现的影响楼盘 销售的因素，预测该公司 2005 年上半年的销售情况如下表所示：月份 销售量（套）1 422 323 414 675 256 29该公司的楼盘 2004 年 12 月的销售均价为 4000 元/平方米， 平均每套 120 平方米， 今年上半年的售价 保持不变。2004 年 12 月末尚有 49 套现房未售出。商品房从规划到售出会发生下列费用： （1）建造成本， 包括固定成本（主要是指购地、机器设备的折旧）和可变成本（钢材、水泥、装饰材料和人工成本等，其 中人工成本在可变成本中占到大约 40%） ，按照 2004 年 12 月份的建材价格计算，可变成本（万元）与商品 房建造套数（以平均每套 120 平方米计算）的平方成正比，比例系数为 0.5。且可变成本与建材价格上涨 幅度有关，例如建材价格上涨 10%，则可变成本是按前面方法计算结果的 1.1 倍。 （2）销售费用，与当月 的销售金额成正比。 （3）折旧，建造好的商品房未售出的必须计提折旧，折旧分 40 年平均摊销，即该公 司生产的商品房平均每套每月的折旧为 48 万元/（40*12）=0.1 万元。 2004 年以来，央行和发改委出台了一系列措施平抑建材价格，但由于对建材需求结构而言，总体上求 大于供的市场状况没有得到根本改善， 预计今年上半年建材的价格仍会有一定的增长。 预计的增长速度 （以 2004 年 12 月的价格为基准）见下表：13月份 增长速度1 10%2 10%3 20%4 20%5 30%6 30%该公司希望在上半年就把建造好的房屋全部销售完，为使利润最大化，需要制定出从 2005 年 1 月到 6 月每月的建造计划（即每月完成多少套，以平均每套 120 平方米计算） 。 （1）如果公司的月建造能力没有限制，并且允许期房（即尚未建好的房屋）销售，但在 6 月底前要全部 完成交房，如何制定月建造计划？ （2）如果公司每月的建造能力限于 33 套（以平均每套 120 平方米计算） ，并且允许期房（即尚未建好的 房屋）销售，但在 6 月底前要全部完成交房，又该如何制定月建造计划？21 农场计划模型某农场主有 200 英亩土地的农场，用来饲养奶牛。先要为五年制定生产计划。现在他有 120 头母牛， 其中 20 头为不到 2 岁的幼牛，100 头为产奶牛，但他手上已无现金，且欠别人帐 20000 英镑需尽早用利润 归还。每头幼牛需用 2/3 英亩土地供养，每头奶牛需用 1 英亩。产奶牛平均每头每年生 1.1 头牛，其中一 半为公牛，出生后不久即卖掉，平均每头卖 30 英镑；另一半为奶牛，可以在出生后不久卖掉，平均每头 40 英镑，也可以留下饲养，养成 2 岁成产奶牛。幼牛年损失 5%；产奶牛年损失 2%。产奶牛养到满 12 岁就 要卖掉，平均一头卖 120 英镑 。现有 20 头幼牛中，0 岁和 1 岁各 10 头；100 头奶牛中，从 2 岁至 11 岁 各有 10 头；应该卖掉的小牛都已卖掉。所由 20 头都要饲养成奶牛。 一头牛所产的奶提供年收入 370 英镑。现在最多只能养 160 头牛，超过此数每多养一头牛，每年要多 花费 90 英镑。每头产奶牛每年消耗 0.6 吨粮食和 0.7 吨甜菜。粮食和甜菜可以由农场种植出来。每英亩 产甜菜 1.5 吨。只有 80 英亩的土地适合于种粮食，且产量不同。按产量可分作 4 组：第一组 20 英亩，亩 产 1.1`吨。第二组 30 英亩，亩产 0.9 吨；第三组 20 英亩，亩产 0.8 吨；第四组 10 英亩，亩产 0.65 吨。 从市场购粮时每吨 90 英镑，卖粮食每吨 75 英镑；卖甜菜每吨 70 英镑，卖甜菜每吨 50 英镑。养牛和种植 所需劳动量为：每头牛每年 10 小时；每头产奶牛每年 42 小时；种一英亩粮食每年需 4 小时；种一英亩天 才每年需 14 小时。 其他费用：每头幼牛每年 50 英镑；产奶牛每头每年 100 英镑；种粮食每亩每年 15 英镑；种甜菜每亩 每年 10 英镑；劳动费用现在每年为 6000 英镑，提供 5500 小时的劳动量。超过此数的劳动量每小时费用 为 1.80 英镑。 贷款年率为 10%，每年货币的收支之差不能为负值。此外，农场主不希望产奶牛地数目在五年末较现在 减少超过 50%,也不希望增加超过 75%。应如何安排 5 年的生产，使收益最大？22 路灯安置优化问题目前大多数公共场所都安装了路灯，路灯的高度和路灯之间的间距一般是依靠经验进行设置的，并没 有从优化的角度进行考虑。在能源日益紧张的今天，我们应该考虑怎样尽可能的节约能源和满足人们生活 的需要，在大多数的公共场所安装了路灯是要考虑许多因素的， 不仅仅为了安全，重要的是为了节约能 源。并且如果作为校园整体设计的一部分，路灯的安排也直接影响到学校环境,对于夜晚校园环境的烘托 具有非常重要的意义。1423 紧急调兵问题由于军事上的需要，需将甲地 n 名战斗人员（不包括驾驶员）紧急调往乙地，但是由于运输车辆不足， m 辆车无法保证每个战斗人员都能同时乘车，显然，部分战斗人员乘车，部分战斗人员急行军是可行的方 案。设每辆车载人数目相同，只有一条道路，但足以允许车辆，人员同时进行，请制定一个调运方案，能 最快地实现兵力调运，并证明方案的最优性。24 降落伞的选择问题为向灾区空投一批救灾物资，共2000kg，需选购一些降落伞，已知空投高度为500m，要求降落伞落地 时的速度不能超过20米每秒，降落伞的伞面为半径为r的半球面，用每根长L共16根绳索连接的重m位于球 心正下方球面处，如下图：每个降落伞的价格由三部分组成。伞面费用 度及单价4元/米决定，固定费用 r C1 2 65C1由伞的半径r决定，见下表；绳索费用C2由绳索总长C3为200元。 2.5 170 3 350 3.5 660 4 1000降落伞在降落过程中除受到重力外， 受到空气的阻力， 可以认为与降落的速度和伞的面积的乘积成正比。 为了确定阻力系数，用的半径 r ? 3m ，载重 m ? 300kg 的降落伞从 500m 高度作降落试验，测得各个时 刻的高度 x ，见下表。 t(s) x(m) 0 500 3 470 6 425 9 372 12 317 15 264 18 215 21 160 24 108 27 55 30 1试确定降落伞的选购方案，即共需多少个伞，每个伞的半径多大(在给定的半径的伞中选)，在满足空投要 求的条件下，使费用最低。1525 人力资源调度的优化模型表 1 公司的人员结构及工资情况 高级工程师 人 数 日工资（元） 9 250 工程师 17 200 助理工程师 10 170 技术员 5 110目前，公司承接有 4 个工程项目，其中 2 项是现场施工监理，分别在 A 地和 B 地，主要工作在现场完 成；另外 2 项是工程设计，分别在 C 地和 D 地，主要工作在办公室完成。由于 4 个项目来源于不同客户， 并且工作的难易程度不一，因此，各项目的合同对有关技术人员的收费标准不同，具体情况如表 2 所示。 表 2 不同项目和各种人员的收费标准 高级工程师 收费 （元/天） A B C D 00 1000 工程师 800 800 900 800 助理工程师 600 700 700 700 技术员 500 600 400 500为了保证工程质量，各项目中必须保证专业人员结构符合客户的要求，具体情况如表 3 所示： 表 3：各项目对专业技术人员结构的要求 A 高级工程师 工程师 助理工程师 技术员 总计 1～3 ≥2 ≥2 ≥1 ≤10 B 2～5 ≥2 ≥2 ≥3 ≤16 C 2 ≥2 ≥2 ≥1 ≤11 D 1～2 2～8 ≥1 -≤18说明： ? 表中“1～3”表示“大于等于 1，小于等于 3” ，其他有“～”符号的同理； ? 项目 D，由于技术要求较高，人员配备必须是助理工程师以上，技术员不能参加； ? 高级工程师相对稀缺，而且是质量保证的关键，因此，各项目客户对高级工程师的配备有不能少 于一定数目的限制。各项目对其他专业人员也有不同的限制或要求； ? 各项目客户对总人数都有限制； ? 由于 C、D 两项目是在办公室完成，所以每人每天有 50 元的管理费开支。 由于收费是按人工计算的，而且 4 个项目总共同时最多需要的人数是 10+16+11+18=55，多于公司现有 人数 41。因此需解决的问题是：如何合理的分配现有的技术力量，使公司每天的直接收益最大？并写出相 应的论证报告。26 雷达测船模型海面上一轮船沿直线匀速前行，速度为 30 公里/小时，船上有一雷达可用来测距、测角，船长 关心的是周围目标那些是活动的船，那些是不动的岩石，若是活动的船，请按下面假设，分析有关 因素，给出船的运动方向和速度。 1、若船上雷达测距、测角是准确的，请你给出你的结论。 2、若船上雷达测距、测角是有误差，请你给出你的结论。163、进一步的问题： （1） 、误差怎样表述更合理？ （2） 、有关数据和误差怎样时，你难于下结论？ 4、若船长 40 分钟前测得一目标距离 d1=50 公里，与本船前进方向成 a1=80 度角，现测得此目 标距离 d2=75 公里，与本船前进方向成 a2=105 度角，请给出你的结论。27 吸烟的危害及烟尘过滤问题香烟的过滤嘴有多大作用？与使用的材料和长度关系如何？请自己建模分析这一问题，并对模型 进行评价、改进。28 人力资源规划问题某民营企业正经历一系列变化，这要影响到企业未来几年的人力资源安排。由于企业装备了新机器， 对不熟练工的需求相对减少， 对熟练工和半熟练工的需求相对增加； 同时， 预计下一年度的贸易量将下降， 从而减少对各类人力的需求。现有人数及对未来三年人力需求的估计数如下： 分类 不熟练工 现有人数 2000 第一年需求 1000 第二年需求 500 第三年需求 0 半熟练工 00 500 熟练工 00 2000因工人自动离职和其他原因，存在自然减员问题。有不少人在受雇后干不满一年就自动离职；干满 一年后，离职的情况就减少了。考虑到这一因素，设自然减员率如下： 分类 工作不满一年 工作一年以上 不熟练工 25% 8% 半熟练工 20% 5% 熟练工 10% 5%若现在没有招工，所有的现有工人都是已受雇一年以上。对于招工、再培训、解雇、超员雇用，有 以下的说明： 关于招工 关于再培训 每年能新招的各类人数：熟练工和不熟练工各不超过 500 人，半熟练工不超过 800 人。 每年可培训 200 名不熟练工成为半熟练工，每培训一名的费用开支为 400 元。培训半熟 练工成为熟练工，培训一名开支为 500 元；培训人数不超过所训岗位当时熟练工人数的 四分之一。可以将工人降低熟练等级使用，这虽然不需要企业支付什么费用，但这样的 工人有 50%将离职（这一减员要另外加到上述的自然减员上） 。 解雇一名不熟练工需支付他 300 元。解雇一名半熟练工或熟练工需支付他 600 元。17关于解雇关于超员雇用 整个企业可超需要多雇用 150 人。额外费用每人每年为：不熟练工 1500 元；半熟练工 2000 元；熟练工 3000 元。 问题： （1）确定未来三年招工，人员培训，解雇和超员雇用的决策方案，使企业达到解雇人数最少的目标； （2）确定未来三年招工，人员培训，解雇和超员雇用的决策方案，使企业达到费用最少的目标； （3）比较问题（1） （2）的费用，计算出问题（2）能节省多少费用？并导出每年每类岗位所节省的费用。29 投资的收益和风险市场上有 n 种资产（如股票、债券、?）Si ( i=1,?n) 供投资者选择，某公司有数额为 M 的一笔相 当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对这 n 种资产进行了评估，估算出在这一时期内购 买 Si 的平均收益率为 ri ，并预测出购买 Si 的风险损失率为 q i 。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确 定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的 Si 中最大的一个风险来度量。购买 Si 要付交 易费，费率为 p i ，并且当购买额不超过给定值 u i 时，交易费按购买 u i 计算（不买当然无须付费）。另外， 假定同期银行存款利率是 r0 , 且既无交易费又无风险。（ r0 =5%） 已知 n = 4 时的相关数据如下：Si (%) S1 S2 S3 S4 28 21 23 25 (%) 2.5 1.5 5.5 2.6 (%) 1 2 4.5 6.5 (元) 103 198 52 40试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金 净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使30 屋檐水槽模型房屋管理部门想在房顶的边缘安装一个檐槽，其目的是为了雨天出入方便。现在有一个公司想承接这18项业务，他们允诺：能提供一种新型的可持久的檐槽，能及时排掉房顶的雨水。 从屋脊到屋檐的房顶可看作是一个 12 米长，6 米宽的矩形平面，房顶与水平方向的倾斜角度通常在 o o 20 ―50 之间。新型檐槽包括：一个横截面为半圆形（半径为 7.5 厘米）的水槽，一个竖直的排水管（直 径为 10 厘米） 为判断这个方案的可行性，请建模分析：无论降雨量多少，这种檐槽是否能在没有溢出 。 的情况下把房顶上的水全部排出。31 航运公司的运输调度问题驳运公司承运广东珠江三角洲二类港口与香港等地的一类港口之间的业务运单的驳船调度问题。 该驳 运公司拥有不同规格的驳船 10 条 ，其中 A 类驳船三条（A1，A2，A3）其规格为：所能装载最大的集装箱 个数为 80，最大的重箱个数为 50，承受最大的重量为 1000T； B 类驳船六条（B1，B2，B3，B4，B5，B6）其规格为：所能装载最大的集装箱个数为 120， 最大重箱个 数为 80，承受最大的重量为 1500T； C 类驳船一条（C1） ：所能装载最大的集装箱个数为 150，最大重箱个数为 100，承受最大的重量为 1800T。 每条船都有自己的运输许可证， 且每条船一天至多只能运行一条航线， 运输完毕后就近停靠在目的港， 且起始港之间可以相互调运。 [2] 该驳运公司所有的运输都是集装箱运输，集装箱有两种尺寸：20 寸，40 寸。 由于没有调度计划表，调度人员主要靠经验安排船舶运输，使得资源存在严重浪费。随着公司业务规 模的扩大，公司负责人想为每天的运输进行排班，使得资源的使用达到最优。请你结合以上各种约束条件 合理的为驳船公司制订一个使其盈利最大的驳船调度计划。 各类船的规格制表如下： 所能装载的最大集装箱 个数 A B C 80 120 150 所能装载的最大重箱 个数 50 80 100 所能承受的最大重量 （单 位：吨） 00各类船的航线运输许可证制表如下： 湛江 A1 A2 A3 B1 B2 B3 B4 B5 B6 C1 √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 香港 江门 香港 广州 √ √ 香港 黄埔 √ √ √ 香港 汕头 香港单位运输成本表：19船 A B C单位运输成本（元/公里） 10 15 18各港口之间的距离（单位：km） ： 湛江 江门 湛江 江门 广州 黄埔 汕头 香港 0 50 100 150 200 250 50 0 50 100 150 200广州 100 50 0 50 100 150黄埔 150 100 50 0 50 100汕头 200 150 100 50 0 50香港 250 200 150 100 50 032 公务员招聘我国公务员制度已实施多年，目前, 我国招聘公务员的程序一般分三步进行：公开考试（笔试） 、面 试考核、择优录取。 现有某市直属单位因工作需要，拟向社会公开招聘 8 名公务员，具体的招聘办法和程序如下： （一）公开考试：凡是年龄不超过 30 周岁，大学专科以上学历，身体健康者均可报名参加考试，考 试科目有：综合基础知识、专业知识和“行政职业能力测验”三个部分，每科满分为 100 分。根据考试总 分的高低排序按 1:2 的比例（共 16 人）选择进入第二阶段的面试考核。 （二）面试考核：面试考核主要考核应聘人员的知识面、理解能力、应变能力、表达能力等综合素质。 按照一定的标准，面试专家组对每个应聘人员的各个方面都给出一个等级评分，从高到低分成 A/B/C/D 四 个等级，具体结果见附录表１所示。 （三）由招聘领导小组综合专家组的意见、笔初试成绩以及各用人部门需求确定录用名单,并分配到 各用人部门[6]。 该单位拟将录用的 8 名公务员安排到所属的 7 个部门，并且要求每个部门至少安排一名公务员。这 7 个部门按工作性质可分为四类：(1)行政管理、 (2)技术管理、(3)行政执法、(4)公共事业。见附录表 2 所示[2]。 本着公平、公开的原则，同时考虑录用人员的合理分配和使用，有利于发挥个人的特长和能力。招聘 领导小组将 7 个用人单位的基本情况（包括福利待遇、工作条件、劳动强度、晋升机会和学习深造机会等） 和四类工作对聘用公务员的具体条件的希望达到的要求都向所有应聘人员公布（见附录表 2） 。每一位参加 面试人员都可以申报两个自己的工作类别志愿（见附录表 1） 。具体问题如下： （1）如果不考虑应聘人员的意愿，择优按需录用，设计一种录用分配方案； （2）在考虑应聘人员意愿和用人部门的希望要求的情况下，设计一种分配方案； （3）对于一般情况，即 N 个应聘人员 M 个用人单位时，分配方案是否可行？ （4）对上述招聘公务员过程认为还有哪些地方值得改进，给出自己的建议。2033 篮球罚球投篮模型在激烈的篮球比赛中，投篮命中率对于球队获胜起着决定性的作用。影响投篮能否命中的因素非常复杂，但投篮 时篮球的出手角度和出手速度无疑时两个关键因素。这里讨论比赛中最简单，最常见，却对胜负有重要影响的一种投 篮方式DD罚球。实际影响篮球在空中运动的因素很多，即使在运动员站立罚球的简单情况下，也必须作进一步的假 设，简化才有可能用比较简单的数学模型作恰当的分析，为避免使问题过于复杂，这里我们约定：我们将忽略篮球在 空中运动过程中自身旋转的影响，也不讨论篮球碰篮板，篮框反弹后落入球框的情况，并且假设篮球运行轨迹始终在 由篮球出手点和球框中心确定的垂直平面内。我们分为四种情况： 1.不考虑篮球和篮框的大小的简单情况,相当于将篮球视为质点(集中在篮球球心)的斜抛运动。 2. 考虑篮球的大小和篮框的大小，讨论篮球球心命中篮框中心且篮球落入球框的条件。 3. 实际罚球时，篮球球心不一定必须命中篮框中心，偏前或偏后仍可以保证篮球落入篮框内，把这种情况篮球球 心命中篮框中心时的情况相比，讨论出手角度，出手速度的最大允许偏差。 4.考虑空气阻力对投篮的影响，由于篮球比赛多数在室内举行，罚球时篮球的运动方向基本上是水平的方向，而 且速度较小，我们假设空气阻力只对篮球的水平方向运动有影响，忽略垂直方向的空气阻力。34 洗盘子问题在家里,每天做饭后总会有一大堆油腻腻的盘子需要清洗,为清洗这些盘子,你准备了一大盆热的肥 皂水,热水的温度足够洗掉盘子上的油腻而不烫手,随着洗涤过程的继续,盆中的水会漫漫地冷下来,一直 到无法在清洗这些盘子,假设每个盘子重 0.5KG,盆内水重 15 千克,盆内最初温度是 60 度最终无法清洗盘子 的温度是 40 度,盆内水的表面积是 0.1 平方米,空气温度是 20 度,试建立模型分析使用这盆热水可以洗多 少个盘子,已知盘子的热容量是 600 焦耳/千克,水的热容量是 4200 焦耳/千克,水到空气的热传导系数是 100 焦耳/米*秒35 衣服漂洗问题洗衣服时,衣物用肥皂或洗衣粉洗过后,衣服上总带者悟物需要用清水来漂洗.如果现在有一定量的清 水,试组建数学模型分析如何安排漂洗的程序(漂洗多少次,每次用多少水)使的用这些清水漂洗的衣物最 干净36 大饺子能装陷俗话说“大饺子能装陷” ，试组建一个“包饺子”的数学模型并进行分析，判断这一说法是否正确。 通常，1 公斤面， 1 公斤馅，包 100 个汤圆（饺子） 。今天，1 公斤面不变，馅比 1 公斤多了，问应多21包几个（小一些） ，还是少包几个（大一些）？37 水下爆炸问题考察一个模拟水下爆炸的实验。爆炸物的质量 m 在距爆炸点的距离为处接受冲击波，产生压强 p 。记大 气初始压强为p 0 ，水的密度 ? ，水的体积弹性模量 k 。由量纲分析发已经得到 p = p 0 ? （ p 0 / k ，。设模拟实验与现场的 p 0 ， ? ， k 相同，而爆炸物模型的质量为原型的 1/1000。为了使实验中 ? r3/m ） 接受到与现场相同的压强，试计算接受冲击波仪器的相对位置（是现场仪器与爆炸点之间的距离的多少 倍） 。38 饮酒驾车模型酒后驾车据报载，2003 年全国道路交通事故死亡人数为 10.4372 万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。 针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检疫局 2004 年 5 月 31 日发布了新的《车辆驾驶人员血 液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于 20 毫克／百毫升，小于 80 毫克／百毫升为饮酒驾车（原标准是小于 100 毫克／百毫升），血液中的酒精含 量大于或等于 80 毫克／百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等于 100 毫克／百毫升）。 大李在中午 12 点喝了一瓶啤酒，下午 6 点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶 啤酒，为了保险起见他呆到凌晨 2 点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又 困惑，为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？ 请你参考下面给出的数据 （或自己收集资料） 建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型， 并讨论以下问题： 1. 对大李碰到的情况做出解释； 2. 在喝了 3 瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情况下回答： 1）酒是在很短时间内喝的； 2）酒是在较长一段时间（比如 2 小时）内喝}