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中山大学电动力学
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MuChong.com, All Rights Reserved. 小木虫 版权所有&p&我也不理解这篇文章为何会突然爆发出这么多赞，与此而来的是一大堆的“看不懂”和“这是数学不是物理”的回复。对于前者，请你们不用再回复了，这篇文章对你们毫无意义。对于后者，我觉得有必要强调一下电动力学是什么样的。&/p&&p&电动力学（Electrodynamics）在一般的教学安排中，是在普通物理（General Physics）之后，作为理论物理课程的一部分的，作为理论物理，当然应该&b&严格描述数学&/b&。实验事实和物理图像的建立是普通物理课程的内容，为此我写过一篇专栏（&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/?refer=everytingisphysics& class=&internal&&&span class=&invisible&&https://&/span&&span class=&visible&&zhuanlan.zhihu.com/p/19&/span&&span class=&invisible&&622073?refer=everytingisphysics&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&），虽然我承认效果并不理想。一般公认&b&讲好普通物理是很难的&/b&。&/p&&p&而电动力学课程在理论物理课程的框架中也是更多具有承上启下和应用的意义。电动力学需要的基础的框架在分析力学中已经描述得很清楚，而应用必然涉及到对麦克斯韦方程组在各种条件下（包括辐射）的求解——这也是大部分电动力学书籍和课程的主题。更进一步发展的要涉入量子的范畴，就远远超出了经典电动力学的范畴。于是，经典电动力学范围内有意思的部分非常有限，对大部分学生来说这是一门非常枯燥的课程。&/p&&p&当然，以方程写法为主轴是用了一个梗，这还需要我说破实在是太没有幽默感了。这些方程形式蕴含了一些结论，比如电磁波的存在，正好可以一并介绍。而对于记号系统的介绍，是作为介绍广义相对论（&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/?refer=everytingisphysics& class=&internal&&&span class=&invisible&&https://&/span&&span class=&visible&&zhuanlan.zhihu.com/p/19&/span&&span class=&invisible&&932660?refer=everytingisphysics&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&）的准备，外微分内容则是我为自己写的参考。文章内容的动机差不多就是这样。&/p&&p&至于谩骂的回复，我会直接举报。&/p&&p&==========================&br&&/p&&p&电动力学的推荐书是两本：&/p&&p&1、Griffiths《Introduction to Electrodynamics》。Griffiths的教材都很经典，这本也不例外。讲得很清楚，也很容易入手。不过国内的学生读起来可能会感觉过于简单，其实大部分内容很接近一般普物电磁学教材的难度，但是数学更严格一点。&/p&&p&2、Jackson《Classical Electrodynamics》。恐怕对这本书的批评和赞扬是差不多多的。批评主要在于这本书过于重视数学计算，内容太多太庞杂，习题超难。据说当年霍金做完了里面全部的习题，传为一段佳话。据说会教你解各种你一辈子也遇不到的奇葩边界条件。可能以它的篇幅，如果不是做电磁场相关的领域，还是留着当字典好了。&/p&&p&================================================&/p&&h2&一、麦克斯韦方程组（一般写法）&/h2&&p&将高斯定理、电场环路定理、安培环路定理、磁高斯定理、法拉第电磁感应定律、位移电流假设等综合在一起，麦克斯韦总结出了描述电磁场运动的&b&麦克斯韦方程组&/b&：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cnabla%5Ccdot%5Cbm%7BE%7D%3D%5Cfrac%7B%5Crho%7D%7B%5Cvarepsilon_0%7D& alt=&\nabla\cdot\bm{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}& eeimg=&1&&（高斯定律）&br&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cnabla%5Ccdot%5Cbm%7BB%7D%3D0& alt=&\nabla\cdot\bm{B}=0& eeimg=&1&&（磁高斯定律）&br&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cnabla%5Ctimes%5Cbm%7BE%7D%3D-%5Cfrac%7B%5Cpartial%5Cbm%7BB%7D%7D%7B%5Cpartial+t%7D& alt=&\nabla\times\bm{E}=-\frac{\partial\bm{B}}{\partial t}& eeimg=&1&&（法拉第电磁感应定律+电场环路定理）&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cnabla%5Ctimes%5Cbm%7BB%7D%3D%5Cmu_0%5Cbm%7BJ%7D%2B%5Cmu_0%5Cvarepsilon_0%5Cfrac%7B%5Cpartial%5Cbm%7BE%7D%7D%7B%5Cpartial+t%7D& alt=&\nabla\times\bm{B}=\mu_0\bm{J}+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\bm{E}}{\partial t}& eeimg=&1&&（安培环路定理+位移电流假设）&br&&/p&&p&对于给定的电荷&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Crho& alt=&\rho& eeimg=&1&&与电流密度&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbm%7BJ%7D& alt=&\bm{J}& eeimg=&1&&，我们可以确定出在各个介质表面电磁场满足的边界条件。对于给定的边界条件，数学的偏微分方程理论告诉我们麦克斯韦方程有唯一确定的解，于是我们可以得知空间中电磁场的分布。接下来的问题只是怎么解这一组偏微分方程，但这是数学的事。&/p&&p&而电荷在电磁场中的受力由&b&洛伦茨力&/b&给出：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbm%7BF%7D%3D%5Crho%5Cbm%7BE%7D%2B%5Cbm%7BJ%7D%5Ctimes%5Cbm%7BB%7D& alt=&\bm{F}=\rho\bm{E}+\bm{J}\times\bm{B}& eeimg=&1&&&/p&&p&接下来就是牛顿第二定律的事情了。&/p&&p&好了，电动力学讲完了。&/p&&p&………………………………………………&/p&&p&等等，这样是不是太短了？&/p&&p&嗯，总得多找点内容充充篇幅，不过解方程这种事情太繁琐了，大家看教材吧。接下来我们讲讲麦克斯韦方程的&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=N& alt=&N& eeimg=&1&&种写法与狭义相对论。&/p&&p&&br&&/p&&h2&二、麦克斯韦方程的&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=N& alt=&N& eeimg=&1&&种写法&/h2&&p&你知道麦克斯韦方程有至少5种写法吗？&/p&&h2&0、积分写法&/h2&&p&大家初次接触到麦克斯韦方程的时候，往往见到的是一组积分方程（尤其工程的教材）：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coint+%5Cbm%7BE%7D%5Ccdot+d%5Cbm%7BS%7D%3D%5Cfrac%7Bq%7D%7B%5Cvarepsilon_0%7D& alt=&\oint \bm{E}\cdot d\bm{S}=\frac{q}{\varepsilon_0}& eeimg=&1&&, &/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coint+%5Cbm%7BE%7D%5Ccdot+d%5Cbm%7Bl%7D%3D-%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D%5Ciint+%5Cbm%7BB%7D%5Ccdot+d%5Cbm%7BS%7D& alt=&\oint \bm{E}\cdot d\bm{l}=-\frac{\partial}{\partial t}\iint \bm{B}\cdot d\bm{S}& eeimg=&1&&, &/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coint+%5Cbm%7BB%7D%5Ccdot+d%5Cbm%7BS%7D%3D0& alt=&\oint \bm{B}\cdot d\bm{S}=0& eeimg=&1&&, &br&&br&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coint+%5Cbm%7BB%7D%5Ccdot+d%5Cbm%7Bl%7D%3D%5Cmu_0+I_0%2B%5Cmu_o%5Cvarepsilon_0+%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D%5Ciint%5Cbm%7BE%7D%5Ccdot+d%5Cbm%7BS%7D& alt=&\oint \bm{B}\cdot d\bm{l}=\mu_0 I_0+\mu_o\varepsilon_0 \frac{\partial}{\partial t}\iint\bm{E}\cdot d\bm{S}& eeimg=&1&&.&br&&/p&&p&这个写法一点也不简洁，也不方便解，但却直观地体现出了高斯定律等定律。积分方程和微分方程是通过（广义的）斯托克斯定律相互转化的：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coint_%7B%5Cpartial+V%7D+%5Cbm%7BA%7D%5Ccdot+d%5Cbm%7BS%7D%3D%5Ciiint_V+%5Cnabla%5Ccdot%5Cbm%7BA%7D%5C%2CdV& alt=&\oint_{\partial V} \bm{A}\cdot d\bm{S}=\iiint_V \nabla\cdot\bm{A}\,dV& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coint_%7B%5Cpartial+S%7D%5Cbm%7BA%7D%5Ccdot+d%5Cbm%7Bl%7D%3D%5Ciint_S%28%5Cnabla%5Ctimes%5Cbm%7BA%7D%29%5Ccdot+d%5Cbm%7BS%7D& alt=&\oint_{\partial S}\bm{A}\cdot d\bm{l}=\iint_S(\nabla\times\bm{A})\cdot d\bm{S}& eeimg=&1&&&/p&&p&对于线性介质，我们常常定义新的参量：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbm%7BD%7D%3D%5Cvarepsilon%5Cvarepsilon_0%5Cbm%7BE%7D& alt=&\bm{D}=\varepsilon\varepsilon_0\bm{E}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbm%7BB%7D%3D%5Cmu%5Cmu_0%5Cbm%7BH%7D& alt=&\bm{B}=\mu\mu_0\bm{H}& eeimg=&1&&&/p&&p&然后改写第一个方程和第四个方程，使其中“源”的项只包含自由电荷——即除去了介质的极化电荷。这样改写的方程在工程中更方便使用，但&b&请不要以为改写后的方程是麦克斯韦方程的基本形式！原本的麦克斯韦方程已经可以适用于任何情况，并不限于&真空&！&/b&&/p&&h2&1、波动方程写法&/h2&&p&从高中我们就知道，因为静电场的保守性，我们可以定义一个电势&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cphi& alt=&\phi& eeimg=&1&&，使得静电场满足：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbm%7BE%7D%3D-%5Cnabla%5Cphi& alt=&\bm{E}=-\nabla\phi& eeimg=&1&&&/p&&p&而磁高斯定律意味着磁场也可以用一个矢势&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbm%7BA%7D& alt=&\bm{A}& eeimg=&1&&写成：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbm%7BB%7D%3D%5Cnabla%5Ctimes%5Cbm%7BA%7D& alt=&\bm{B}=\nabla\times\bm{A}& eeimg=&1&&&/p&&p&把它代到电磁感应定律中去，我们可以一般地，把电场写成：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbm%7BE%7D%3D-%5Cnabla%5Cphi-%5Cfrac%7B%5Cpartial%5Cbm%7BA%7D%7D%7B%5Cpartial+t%7D& alt=&\bm{E}=-\nabla\phi-\frac{\partial\bm{A}}{\partial t}& eeimg=&1&&&/p&&p&电势和矢势不仅仅是数学上的处理，实际上，由Aharonov-Bohm实验所揭示的，电势和矢势是实际的物理存在，甚至可以说比电场和磁场更为基本。这个实验是在有矢势但无磁场的区域中，测量粒子受到的电磁场的影响。实验发现，虽然没有磁场，但矢势依然足以改变粒子的相位，使不同路径的粒子发生干涉。但尽管如此，电势和矢势依然包含一个冗余的对称性。如果假设&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma& alt=&\Gamma& eeimg=&1&&是一个实数函数，那么做规范变换：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbm%7BA%27%7D%3D%5Cbm%7BA%7D%2B%5Cnabla%5CGamma& alt=&\bm{A'}=\bm{A}+\nabla\Gamma& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cphi%27%3D%5Cphi-%5Cfrac%7B%5Cpartial%5CGamma%7D%7B%5Cpartial+t%7D& alt=&\phi'=\phi-\frac{\partial\Gamma}{\partial t}& eeimg=&1&&&/p&&p&代入定义式我们会发现新的电磁势给出完全同样的电磁场。在纯经典的范畴中，所有可以观测到的效应只与电磁场有关，这意味着经典电动力学中我们可以做一个额外的规定，取一个特定的规范。当然，因为Aharonov-Bohm效应，这在量子电动力学中不成立。但规范对称性在量子场论中起着非常本质的作用，具有特定规范对称性（由相应的规范群描述）的规范场论就给出了自然界三种基本相互作用的描述。而具有U(1)规范对称性的场论，正是量子电动力学。这个U(1)对称性实际上给出了电荷守恒，而相应的联络给出了粒子与电磁场的耦合。这里我并没有很清晰的理解，无法细说。&/p&&p&定义&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=c%3D1%2F%5Csqrt%7B%5Cmu_0%5Cvarepsilon_0%7D& alt=&c=1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}& eeimg=&1&&（后面我们会发现，这就是光速，这里先这样形式地定义一下），一般经典电动力学常用的规范是洛伦茨规范（协变规范）：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cnabla%5Ccdot%5Cbm%7BA%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bc%5E2%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+%5Cphi%7D%7B%5Cpartial+t%7D%3D0& alt=&\nabla\cdot\bm{A}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial \phi}{\partial t}=0& eeimg=&1&&&/p&&p&这个形式虽然现在看起来很复杂，但其实是最方便的规范，而且后面我们会看到它可以写得很简洁。另一个常见规范是库仑规范&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cnabla%5Ccdot%5Cbm%7BA%7D%3D0& alt=&\nabla\cdot\bm{A}=0& eeimg=&1&&。&/p&&p&在这电磁势的定义下，麦克斯韦方程的第二条和第三条就自然满足了，带入第一条和第四条，我们可以得到两个二阶微分方程：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cnabla%5Ccdot%28-%5Cnabla%5Cphi-%5Cfrac%7B%5Cpartial%5Cbm%7BA%7D%7D%7B%5Cpartial+t%7D%29%3D-%5Cnabla%5E2%5Cphi-%5Cfrac%7B%5Cpartial%28%5Cnabla%5Ccdot%5Cbm%7BA%7D%29%7D%7B%5Cpartial+t%7D%3D%5Cfrac%7B%5Crho%7D%7B%5Cvarepsilon_0%7D& alt=&\nabla\cdot(-\nabla\phi-\frac{\partial\bm{A}}{\partial t})=-\nabla^2\phi-\frac{\partial(\nabla\cdot\bm{A})}{\partial t}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cnabla%5Ctimes%5Cnabla%5Ctimes%5Cbm%7BA%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7Bc%5E2%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D%28-%5Cnabla%5Cphi-%5Cfrac%7B%5Cpartial%5Cbm%7BA%7D%7D%7B%5Cpartial+t%7D%29%3D-%5Cnabla%5E2%5Cbm%7BA%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bc%5E2%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2%5Cbm%7BA%7D%7D%7B%5Cpartial+t%5E2%7D%2B%5Cnabla%28%5Cnabla%5Ccdot%5Cbm%7BA%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bc%5E2%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%5Cphi%7D%7B%5Cpartial+t%7D%29%3D%5Cmu_0%5Cbm%7BJ%7D& alt=&\nabla\times\nabla\times\bm{A}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial}{\partial t}(-\nabla\phi-\frac{\partial\bm{A}}{\partial t})=-\nabla^2\bm{A}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\bm{A}}{\partial t^2}+\nabla(\nabla\cdot\bm{A}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial\phi}{\partial t})=\mu_0\bm{J}& eeimg=&1&&&/p&&p&现在，如果我们把洛伦茨规范代进去，方程就变成了：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cnabla%5E2%5Cphi-%5Cfrac%7B1%7D%7Bc%5E2%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2%5Cphi%7D%7B%5Cpartial+t%5E2%7D%3D-%5Cfrac%7B%5Crho%7D%7B%5Cvarepsilon_0%7D& alt=&\nabla^2\phi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}=-\frac{\rho}{\varepsilon_0}& eeimg=&1&&与&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cnabla%5E2%5Cbm%7BA%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7Bc%5E2%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2%5Cbm%7BA%7D%7D%7B%5Cpartial+t%5E2%7D%3D-%5Cmu_0%5Cbm%7BJ%7D& alt=&\nabla^2\bm{A}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\bm{A}}{\partial t^2}=-\mu_0\bm{J}& eeimg=&1&&&/p&&p&这两个与麦克斯韦方程等价的方程现在相互独立，而且展现出波动方程的形式！而刚刚形式定义的&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=c& alt=&c& eeimg=&1&&正是这个波的波速。麦克斯韦由此预言了电磁波的存在，几年后，赫兹在实验中发现了电磁波。&br&&/p&&h2&1.9、记号系统&/h2&&p&为了更进一步叙述，我们需要引入新的记号系统了。前面已经看了一堆矢量运算，是不是已经烦透了呀？说实话，关于矢量的记号，我觉得可以分为普通、文艺和二X三种：&/p&&ol&&li&普通记号：按照规定，用粗斜体&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbm%7Ba%7D& alt=&\bm{a}& eeimg=&1&&表示矢量。这种记号大家已经很熟悉了，很清晰地体现出了矢量和数字的分别，但是，做微分运算非常地不直观。而且另一个缺点是，我们用什么记号来表示矩阵和张量？&br&&/li&&li&二X记号：不区分所有的量——矢量、矩阵、张量通通用同一种记号，比如&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=Ax%3Db& alt=&Ax=b& eeimg=&1&&。如果方程很多读者又需要跳着看，或者作者再重复用几个符号，理解难度可以直线上升。&/li&&/ol&&p&下面我们来讲讲文艺记号——分量记号（我随便取的名字= =）。这个记号可以被广泛用于后续的物理、数学课程——线性代数、量子场论、广义相对论、微分几何等等……这个记号系统很灵活，又不容易引起歧义，而且做微分运算非常直观，不再需要查一大堆矢量运算公式，所以广受青睐。&/p&&p&其中的中心思想是，我们用一个矢量的分量的一般形式，来代替这个矢量本身——对于矢量&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbm%7Ba%7D& alt=&\bm{a}& eeimg=&1&&，我们直接写作&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a%5Ei& alt=&a^i& eeimg=&1&&（注意，这个可不是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a& alt=&a& eeimg=&1&&的&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&&次方！）。其中&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=i%3D1%2C2%2C3& alt=&i=1,2,3& eeimg=&1&&，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&&取不同值表示矢量的不同分量。而且一般约定，英文指标取值范围是1-3，而如果我们用希腊字母做指标，取值范围则是从0到3，其中0表示时间分量——这样表明相应的矢量是四维时空中的矢量。这样一来，只要方程中指标是匹配的，我们可以将1,2,3带入指标来得到矢量的全部信息，比如&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a%5Ei%3Db%5Ei& alt=&a^i=b^i& eeimg=&1&&意味着&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a%5E1%3Db%5E1%2Ca%5E2%3Db%5E2%2Ca%5E3%3Db%5E3& alt=&a^1=b^1,a^2=b^2,a^3=b^3& eeimg=&1&&。&/p&&p&接下来要写的东西其实和我在&a href=&http://zhuanlan.zhihu.com/everytingisphysics/& class=&internal&&量子力学（一~五） - Everything is Physics 万物皆理 - 知乎专栏&/a&第一节中写的东西相差无几。我们知道对任何一个线性空间，都有一个对偶的线性空间——线性算符构成的线性空间，那么对于一般的矢量空间，我们也有一个空间与它对应，其中的元素我们记做&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a_i& alt=&a_i& eeimg=&1&&，用下标表示。如果两个元素作用在一起，我们得到一个数：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_ia_ib%5Ei%3Da_1b%5E1%2Ba_2b%5E2%2Ba_3b%5E3& alt=&\sum_ia_ib^i=a_1b^1+a_2b^2+a_3b^3& eeimg=&1&&&/p&&p&但这里我们讨论的主要是实空间，实数空间的对偶，显然还是实数空间，所以，我们其实可以在同一个空间中谈论两个完全不同的数学结构。而之前所说的“矢量”和“算符”其实并没有明晰的分界线，于是这里我们模糊矢量和算符的分界线，称&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a%5Ei& alt=&a^i& eeimg=&1&&为&b&逆变矢量&/b&，称&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a_i& alt=&a_i& eeimg=&1&&为&b&协变矢量&/b&。比如一般我们约定，速度矢量是一个逆变矢量。&/p&&p&我们称上面的求和为&b&内积&/b&。这里对协变和逆变的区分对于非欧几里得空间是非常重要的，虽然在日常中我们可以心安理得地拿两个矢量分量相乘来做内积，但是，即使同样是欧几里得空间，极坐标系下的矢量就已经不能这么做了！为了更一致地定义内积，我们需要这样的区分。实际操作中，我们往往采用&b&爱因斯坦求和规则——重复指标表示求和&/b&，即&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a_ib%5Ei%3D%5Csum_ia_ib%5Ei& alt=&a_ib^i=\sum_ia_ib^i& eeimg=&1&&，这样把烦人的求和号去掉，让方程变得简洁。但注意，为了减少歧义，&b&求和的重复指标最多只能有一对，且必须是一个指标在上，一个指标在下&/b&，这被求和掉的指标，我们称为&b&哑指标&/b&，因为这个符号本身已经没有了任何意义——你甚至可以画一只小猫来代替它。&/p&&p&&br&&/p&&p&对于任何一个空间，我们可以引入度量来衡量空间中无穷接近的两个元素的距离。（参见&a href=&http://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&有人了解“度规张量”吗？&/a&）一般，对于两个无穷接近的点&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28x%2Cy%2Cz%29& alt=&(x,y,z)& eeimg=&1&&与&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28x%2Bdx%2Cy%2Bdy%2Cz%2Bdz%29& alt=&(x+dx,y+dy,z+dz)& eeimg=&1&&，我们可以把连接它们的矢量记为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=dx%5Ei& alt=&dx^i& eeimg=&1&&。那么，这两个点之间的距离是一个二次函数（注意我们已经开始使用爱因斯坦求和约定了）：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=ds%5E2%3Dg_%7Bij%7Ddx%5Eidx%5Ej& alt=&ds^2=g_{ij}dx^idx^j& eeimg=&1&&（或者四维时空：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=ds%5E2%3Dg_%7B%5Cmu%5Cnu%7Ddx%5E%5Cmu+dx%5E%5Cnu& alt=&ds^2=g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu& eeimg=&1&&）&/p&&p&对于欧几里得空间，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=g_%7Bij%7D%3D%5Cdelta_%7Bij%7D%3D%5Cmathrm%7Bdiag%7D%281%2C1%2C1%29& alt=&g_{ij}=\delta_{ij}=\mathrm{diag}(1,1,1)& eeimg=&1&&，对于四维时空，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=g_%7B%5Cmu%5Cnu%7D%3D%5Cmathrm%7Bdiag%7D%281%2C-1%2C-1%2C-1%29& alt=&g_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)& eeimg=&1&&（或者有的书中写成：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathrm%7Bdiag%7D%28-1%2C1%2C1%2C1%29& alt=&\mathrm{diag}(-1,1,1,1)& eeimg=&1&&。看你喜欢了……）这里，这个有两个指标的东西&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=g_%7Bij%7D& alt=&g_{ij}& eeimg=&1&&，我们称为&b&度规张量&/b&。这种有多个指标的量，我们称为张量（当然，严格的定义是要在多个线性空间与对偶空间的直积上，将张量定义为某个线性映射——这都是数学了），而矢量其实不过是一种特殊的张量。两个指标的东西，其实很像&b&矩阵&/b&，但在这种记号中，我们可以更详细地区分出四种不同的张量：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A_%7Bij%7D%2CA%5E%7Bij%7D%2CA_%7B%5C+j%7D%5Ei%2CA%5E%7B%5C+j%7D_i& alt=&A_{ij},A^{ij},A_{\ j}^i,A^{\ j}_i& eeimg=&1&&，&b&这四个张量是不同的（甚至最后两个因为指标的位置不同也有可能不同）&/b&！一般而言，我们只将最后两种张量称为&b&矩阵&/b&，这种写法和以往将第&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&&行第&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=j& alt=&j& eeimg=&1&&列矩阵元记为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A_%7Bij%7D& alt=&A_{ij}& eeimg=&1&&并无明显不同，只是，我们加入了更细致的分类，来处理更复杂的空间。而且这个记号更厉害的是，一个东西可以有更多指标——比如三个指标，在三维空间中这相当于一个3x3x3的正方体数阵！&/p&&p&在这种记号系统中，矩阵与向量、矩阵与矩阵的乘法也可以简单写成：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A%5Ei_%7B%5C+j%7Dx%5Ej& alt=&A^i_{\ j}x^j& eeimg=&1&&和&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A%5Ei_%7B%5C+j%7DB%5Ej_%7B%5C+k%7D& alt=&A^i_{\ j}B^j_{\ k}& eeimg=&1&&，注意到求和的指标总是靠近放置。这样，我们也不用特意去记矩阵是怎么相乘的了。&/p&&p&度规张量对于一个度量空间是无比重要的，它决定了一个空间的几何性质——这一点我们还是在广义相对论中再细说。有了度规张量，我们可以&b&升降指标&/b&——其实就是在协变与逆变矢量之间建立起一一对应：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a_i%3Dg_%7Bij%7Da%5Ej& alt=&a_i=g_{ij}a^j& eeimg=&1&&&/p&&p&如果记度规张量的&b&逆&/b&为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=g%5E%7Bij%7D& alt=&g^{ij}& eeimg=&1&&，即满足：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=g_%7Bij%7Dg%5E%7Bjk%7D%3D%5Cdelta_i%5Ek& alt=&g_{ij}g^{jk}=\delta_i^k& eeimg=&1&&（这里的delta记号已经没必要区别协变与逆变了），我们也有：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a%5Ei%3Dg%5E%7Bij%7Da_j& alt=&a^i=g^{ij}a_j& eeimg=&1&&&/p&&p&于是，我们可以定义两个矢量之间的内积（点积）为：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a%5Eib_i%3Da_ib%5Ei%3Dg%5E%7Bij%7Da_ib_j%3Dg_%7Bij%7Da%5Eib%5Ej& alt=&a^ib_i=a_ib^i=g^{ij}a_ib_j=g_{ij}a^ib^j& eeimg=&1&&&/p&&p&对于三维欧式空间，度规张量不过是单位张量，一个协变矢量对应的逆变矢量就是它自己，所以我们不需要区分协变和逆变，这种时候也可以简单写成&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a_ib_i& alt=&a_ib_i& eeimg=&1&&，实际上表示以往记号中的&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbm%7Ba%7D%5Ccdot%5Cbm%7Bb%7D& alt=&\bm{a}\cdot\bm{b}& eeimg=&1&&。&/p&&p&点乘虽然很简单，但叉乘就比较麻烦一点了。对于叉乘，我们需要引入三阶反对称记号&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cepsilon_%7Bijk%7D& alt=&\epsilon_{ijk}& eeimg=&1&&（任意指标数的情况下也叫Levi-Civita记号，严格来讲，它不是张量）。这个记号是这样定义的——如果有两个指标相同，则记号为0：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cepsilon_%7B111%7D%3D%5Cepsilon_%7B112%7D%3D%5Cepsilon_%7B113%7D%3D%5Cepsilon_%7B121%7D%3D%5Cepsilon_%7B211%7D%3D%5Ccdots%3D0& alt=&\epsilon_{111}=\epsilon_{112}=\epsilon_{113}=\epsilon_{121}=\epsilon_{211}=\cdots=0& eeimg=&1&&&/p&&p&如果指标为123或123的对称轮换（或者说，指标间的偶数次对换），记号等于1：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cepsilon_%7B123%7D%3D%5Cepsilon_%7B231%7D%3D%5Cepsilon_%7B312%7D%3D1& alt=&\epsilon_{123}=\epsilon_{231}=\epsilon_{312}=1& eeimg=&1&&&/p&&p&其他情况下，等于-1：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cepsilon_%7B132%7D%3D%5Cepsilon_%7B321%7D%3D%5Cepsilon_%7B213%7D%3D-1& alt=&\epsilon_{132}=\epsilon_{321}=\epsilon_{213}=-1& eeimg=&1&&&/p&&p&把每个分量写出来不难发现，不区分协变和逆变的&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cepsilon_%7Bijk%7Da_jb_k& alt=&\epsilon_{ijk}a_jb_k& eeimg=&1&&正是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbm%7Ba%7D%5Ctimes%5Cbm%7Bb%7D& alt=&\bm{a}\times\bm{b}& eeimg=&1&&。（如果需要区分协变和逆变，请注意用度规适当地升降指标。）&br&&/p&&p&为了做与叉乘相关的运算，以下（欧式空间中的）恒等式是非常有用的：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cepsilon_%7Bijk%7D%5Cepsilon_%7Bilm%7D%3D%5Cdelta_%7Bjl%7D%5Cdelta_%7Bkm%7D-%5Cdelta_%7Bjm%7D%5Cdelta_%7Bkl%7D& alt=&\epsilon_{ijk}\epsilon_{ilm}=\delta_{jl}\delta_{km}-\delta_{jm}\delta_{kl}& eeimg=&1&&&/p&&p&有了这个恒等式帮助我们可以轻易计算出任何矢量运算需要的公式。当然，所有这些都可以很轻易地推广到区分协变和逆变的情形（见&a href=&https://link.zhihu.com/?target=http%3A//en.wikipedia.org/wiki/Levi-Civita_symbol%23Properties& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Levi-Civita symbol&/a&）。&/p&&p&另外微分算子&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cnabla& alt=&\nabla& eeimg=&1&&我们往往也当做一个矢量，在这套记号中，我们写作&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial_i%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+x%5Ei%7D& alt=&\partial_i=\frac{\partial}{\partial x^i}& eeimg=&1&&，将它看做一个&b&协变矢量&/b&。比如，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cnabla%5Ccdot%5Cbm%7BA%7D& alt=&\nabla\cdot\bm{A}& eeimg=&1&&可以写作&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial_iA%5Ei& alt=&\partial_iA^i& eeimg=&1&&，拉普拉斯算子&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta%3D%5Cpartial%5Ei%5Cpartial_i& alt=&\Delta=\partial^i\partial_i& eeimg=&1&&。&/p&&p&&br&&/p&&h2&2、协变写法&/h2&&p&还记得拉格朗日力学可以作为所有经典物理的框架吗？对于经典电动力学，也是一样的。我们开始使用新的记号系统。首先，为了方便我们取自然单位制：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=c%3D1& alt=&c=1& eeimg=&1&&（光速是1，且无量纲——意味着时间和空间是同一个单位，而速度请理解为相对于光速的比值），并将时间和空间并在一起成为有4个指标的矢量——四矢量&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x%5E%5Cmu%3D%28t%2Cx%2Cy%2Cz%29& alt=&x^\mu=(t,x,y,z)& eeimg=&1&&。取度规为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=g_%7B%5Cmu%5Cnu%7D%3D%5Cmathrm%7Bdiag%7D%281%2C-1%2C-1%2C-1%29& alt=&g_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)& eeimg=&1&&。我们如果将电磁势并在一起，写成&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A%5E%5Cmu%3D%28%5Cphi%2CA_x%2CA_y%2CA_z%29& alt=&A^\mu=(\phi,A_x,A_y,A_z)& eeimg=&1&&，当做逆变的四矢量。定义&b&协强张量&/b&：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=F_%7B%5Cmu%5Cnu%7D%3D%5Cpartial_%5Cmu+A_%5Cnu-%5Cpartial_%5Cnu+A_%5Cmu& alt=&F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu& eeimg=&1&&&/p&&p&显然，这是一个反对称的二阶张量。写成矩阵的形式，我们不难看出，它就是由电场和磁场组成的矩阵：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=F_%7B%5Cmu%5Cnu%7D%3D%5Cleft%28%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcccc%7D+0+%26+E_x+%26+E_y+%26+E_z+%5C%5C+-E_x+%26+0+%26+-B_z+%26+B_y%5C%5C+-E_y+%26+B_z+%26+0+%26+-B_x%5C%5C+-E_z+%26+-B_y+%26+B_x+%26+0%5C%5C+%5Cend%7Barray%7D%5Cright%29& alt=&F_{\mu\nu}=\left(\begin{array}{cccc} 0 & E_x & E_y & E_z \\ -E_x & 0 & -B_z & B_y\\ -E_y & B_z & 0 & -B_x\\ -E_z & -B_y & B_x & 0\\ \end{array}\right)& eeimg=&1&&&/p&&p&还记得拉格朗日量是个标量吧？那么由此可以凑出电磁场的拉格朗日密度，最简单的形式正比于：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=F%5E%7B%5Cmu%5Cnu%7DF_%7B%5Cmu%5Cnu%7D& alt=&F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}& eeimg=&1&&&/p&&p&其中将矢量场&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A%5E%5Cmu& alt=&A^\mu& eeimg=&1&&当做自变量。我们简单计算一下就会发现，这个拉格朗日密度给出的正是无源麦克斯韦方程！前面的系数取决于单位制——对于自然单位制，前面的系数是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=-%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D& alt=&-\frac{1}{4}& eeimg=&1&&。考虑到电磁场和物质的相互作用，我们把拉格朗日密度写成（&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=J%5E%5Cmu%3D%28%5Crho%2CJ_x%2CJ_y%2CJ_z%29& alt=&J^\mu=(\rho,J_x,J_y,J_z)& eeimg=&1&&是电流四矢量）：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BL%7D%3D-A_%5Cmu+J%5E%5Cmu-%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7DF_%7B%5Cmu%5Cnu%7DF%5E%7B%5Cmu%5Cnu%7D& alt=&\mathcal{L}=-A_\mu J^\mu-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}& eeimg=&1&&&/p&&p&于是最小作用量原理给出了麦克斯韦方程的第一和第四个：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial_%5Cmu+F%5E%7B%5Cnu%5Cmu%7D%3DJ%5E%5Cnu& alt=&\partial_\mu F^{\nu\mu}=J^\nu& eeimg=&1&&&/p&&p&而很容易验证，另外两个方程写作：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial_%5Cmu+F_%7B%5Cnu%5Crho%7D%2B%5Cpartial_%5Cnu+F_%7B%5Crho%5Cmu%7D%2B%5Cpartial_%5Crho+F_%7B%5Cmu%5Cnu%7D%3D0& alt=&\partial_\mu F_{\nu\rho}+\partial_\nu F_{\rho\mu}+\partial_\rho F_{\mu\nu}=0& eeimg=&1&&&/p&&p&这个形式倒是很对称。值得一提，这种记号系统下，洛伦茨规范正是简单的：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial_%5Cmu+A%5E%5Cmu%3D0& alt=&\partial_\mu A^\mu=0& eeimg=&1&&&/p&&p&很简洁。&br&&/p&&h2&3、外微分写法&/h2&&p&其实，麦克斯韦方程还可以写得更加简洁，如果借助&b&外微分&/b&的话。首先，为了将普通积分、线积分、面积分等等各种积分的形式统一起来，我们定义一个叫做&b&微分形式&/b&的东西。它其实就是积分号后面的所有东西。比如说，对于普通积分，是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29dx& alt=&f(x)dx& eeimg=&1&&；对于第二型曲线积分，是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbm%7Bf%7D%5Ccdot+d%5Cbm%7Bl%7D& alt=&\bm{f}\cdot d\bm{l}& eeimg=&1&&，或者写成新的记号，是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f_idx%5Ei& alt=&f_idx^i& eeimg=&1&&；对于第二型曲面积分，是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbm%7Bf%7D%5Ccdot+d%5Cbm%7BS%7D& alt=&\bm{f}\cdot d\bm{S}& eeimg=&1&&。要将这些形式统一起来，我们先注意到它们都可以分成2部分——一个待积分的函数和一个微分符号的乘积。而这个微分符号，总和空间坐标&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&的微分有关系，比如&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=dx& alt=&dx& eeimg=&1&&、&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=dx%5Ei& alt=&dx^i& eeimg=&1&&、&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=dS_i%3D%5Cepsilon_%7Bijk%7Ddx%5Ejdx%5Ek& alt=&dS_i=\epsilon_{ijk}dx^jdx^k& eeimg=&1&&。于是，我们定义”数“为微分0-形式，现在定义&b&基本微分1-形式&/b&为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=dx%5Ei& alt=&dx^i& eeimg=&1&&。我们很想定义第二型曲线积分后面的东西为基本微分2-形式——但你可以试试，它很难直接地在新的记号中写出，因为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=d%5Cbm%7BS%7D& alt=&d\bm{S}& eeimg=&1&&不是单纯的坐标微分的乘积。于是我们引入&b&楔积&/b&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cwedge+& alt=&\wedge & eeimg=&1&&，他对于两个0-形式（数）而言，不过是单纯的乘法：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f%5Cwedge+g%3Dfg& alt=&f\wedge g=fg& eeimg=&1&&&/p&&p&但对于1-形式，契积是有顺序的乘法，即：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=dx%5Ei%5Cwedge+dx%5Ej%3D-dx%5Ej%5Cwedge+dx%5Ei& alt=&dx^i\wedge dx^j=-dx^j\wedge dx^i& eeimg=&1&&&/p&&p&显然有&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=dx%5Ei%5Cwedge+dx%5Ei%3D0& alt=&dx^i\wedge dx^i=0& eeimg=&1&&。于是借助楔积，我们可以定义任意的&b&基本微分p-形式&/b&：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=dx%5E%7Bi_1%7D%5Cwedge+dx%5E%7Bi_2%7D%5Cwedge+%5Ccdots%5Cwedge+dx%5E%7Bi_p%7D& alt=&dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge \cdots\wedge dx^{i_p}& eeimg=&1&&&/p&&p&之所以称它们为基本，是因为我们可以将它们看做微分形式的&b&基底&/b&，而将任意的微分形式看做是以他们为基的展开。以特定阶数的基本微分形式为基底的微分形式，我们成为p-形式。比如当我们将微分形式写作&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f_idx%5Ei& alt=&f_idx^i& eeimg=&1&&时，它是一个1-形式，以&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=dx%5Ei& alt=&dx^i& eeimg=&1&&为基底，而&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f_i& alt=&f_i& eeimg=&1&&是相应的系数。显然，一个给定维数的空间中，积分形式的阶数不会超过空间的维数。比如三维空间中，0-形式只有一个基底（只是数嘛），1-形式有3个基底——&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=dx%5E1%2Cdx%5E2%2Cdx%5E3& alt=&dx^1,dx^2,dx^3& eeimg=&1&&，而2-形式有3个线性无关的基底——&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=dx%5E1%5Cwedge+dx%5E2%2Cdx%5E2%5Cwedge+dx%5E3%2Cdx%5E3%5Cwedge+dx%5E1& alt=&dx^1\wedge dx^2,dx^2\wedge dx^3,dx^3\wedge dx^1& eeimg=&1&&，3-形式只有一个基底——&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=dx%5E1%5Cwedge+dx%5E2%5Cwedge+dx%5E3& alt=&dx^1\wedge dx^2\wedge dx^3& eeimg=&1&&，4-形式就不存在了，因为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=dx%5Ei%5Cwedge+dx%5Ei%3D0& alt=&dx^i\wedge dx^i=0& eeimg=&1&&。&/p&&p&这样我们可以把第二型曲面积分的积分形式&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbm%7Bf%7D%5Ccdot+d%5Cbm%7BS%7D& alt=&\bm{f}\cdot d\bm{S}& eeimg=&1&&写成：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f_%7Bij%7Ddx%5Ei%5Cwedge+dx%5Ej& alt=&f_{ij}dx^i\wedge dx^j& eeimg=&1&&，其实在三维空间中展开写就是&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28f_%7B12%7D-f_%7B21%7D%29dx%5E1%5Cwedge+dx%5E2%2B%28f_%7B23%7D-f_%7B32%7D%29dx%5E2%5Cwedge+dx%5E3%2B%28f_%7B13%7D-f_%7B31%7D%29dx%5E1%5Cwedge+dx%5E3& alt=&(f_{12}-f_{21})dx^1\wedge dx^2+(f_{23}-f_{32})dx^2\wedge dx^3+(f_{13}-f_{31})dx^1\wedge dx^3& eeimg=&1&&&/p&&p&显然，对于&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f_%7Bij%7D& alt=&f_{ij}& eeimg=&1&&（它其实是个张量，因为显然它是一个&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=V%5Ctimes+V%5Cto+R& alt=&V\times V\to R& eeimg=&1&&的线性映射）只有3个独立的变量是有用的：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f_%7B12%7D-f_%7B21%7D%2Cf_%7B23%7D-f_%7B32%7D%2Cf_%7B13%7D-f_%7B31%7D& alt=&f_{12}-f_{21},f_{23}-f_{32},f_{13}-f_{31}& eeimg=&1&&，它们分别对应原先记号中的&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f_z%2Cf_x%2Cf_y& alt=&f_z,f_x,f_y& eeimg=&1&&。因此，我们规定张量&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f_%7Bij%7D& alt=&f_{ij}& eeimg=&1&&必须是&b&反对称张量&/b&，即满足&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f_%7Bij%7D%3D-f_%7Bji%7D& alt=&f_{ij}=-f_{ji}& eeimg=&1&&，这样的张量正好只有3个独立的分量，既简化了问题又没有损失。于是这样一来，我们也常常省去微分形式的基底，而称&b&反对称的协变张量&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=T_%7Bi_1i_2%5Ccdots+i_p%7D& alt=&T_{i_1i_2\cdots i_p}& eeimg=&1&&称为p-形式&/b&。于是，协变矢量就是1-形式（Carroll的Spacetime and Geometry就是这么写的），二阶反对称张量就是2-形式，等等。但要注意，这些张量只是微分形式的分量，微分形式的基底还是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=dx%5Ei& alt=&dx^i& eeimg=&1&&与它们的楔积。需要注意的是，反对称张量表示的p-形式，它的基底已经不再是任意顺序的了，我们约定，作为基底的契积的指标永远是&b&递增&/b&的，比如&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=dx%5E1%5Cwedge+dx%5E2& alt=&dx^1\wedge dx^2& eeimg=&1&&是一个基底，但&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=dx%5E2%5Cwedge+dx%5E1& alt=&dx^2\wedge dx^1& eeimg=&1&&不是，所以如不特别指明，按爱因斯坦求和约定求和微分形式&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=T_%7Bij%7Ddx%5Ei%5Cwedge+dx%5Ej& alt=&T_{ij}dx^i\wedge dx^j& eeimg=&1&&时，我们总假定&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=i%3Cj& alt=&i&j& eeimg=&1&&。&/p&&p&于是楔积的定义可以稍微推广一下，使其不止适用于基本微分形式。其实就是：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28f_%7Bi_1i_2%5Ccdots+i_k%7Ddx%5E%7Bi_1%7D%5Cwedge+dx%5E%7Bi_1%7D%5Cwedge%5Ccdots%5Cwedge+dx%5E%7Bi_k%7D%29%5Cwedge%28g_%7Bj_1j_2%5Ccdots+j_k%7Ddx%5E%7Bj_1%7D%5Cwedge+dx%5E%7Bj_1%7D%5Cwedge%5Ccdots%5Cwedge+dx%5E%7Bj_k%7D%29%3Df_%7Bi_1i_2%5Ccdots+i_k%7Dg_%7Bj_1j_2%5Ccdots+j_k%7Ddx%5E%7Bi_1%7D%5Cwedge+dx%5E%7Bi_1%7D%5Cwedge%5Ccdots%5Cwedge+dx%5E%7Bi_k%7D%5Cwedge+dx%5E%7Bj_1%7D%5Cwedge+dx%5E%7Bj_1%7D%5Cwedge%5Ccdots%5Cwedge+dx%5E%7Bj_k%7D& alt=&(f_{i_1i_2\cdots i_k}dx^{i_1}\wedge dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k})\wedge(g_{j_1j_2\cdots j_k}dx^{j_1}\wedge dx^{j_1}\wedge\cdots\wedge dx^{j_k})=f_{i_1i_2\cdots i_k}g_{j_1j_2\cdots j_k}dx^{i_1}\wedge dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}\wedge dx^{j_1}\wedge dx^{j_1}\wedge\cdots\wedge dx^{j_k}& eeimg=&1&&&/p&&p&但使用前需要注意的是，因为后面那些部分求和之后，很多项只是指标的顺序不同，实际上是同一个分量计算了很多次。所以，一般情况下我们把楔积写作：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f_%7Bi_1%5Ccdots+i_k%7D%5Cwedge+g_%7Bj_1%5Ccdots+j_l%7D%3D%5Cfrac%7B%28k%2Bl%29%21%7D%7Bk%21l%21%7Df_%7B%5Bi_1%5Ccdots+i_k%7Dg_%7Bj_1%5Ccdots+j_k%5D%7D& alt=&f_{i_1\cdots i_k}\wedge g_{j_1\cdots j_l}=\frac{(k+l)!}{k!l!}f_{[i_1\cdots i_k}g_{j_1\cdots j_k]}& eeimg=&1&&&/p&&p&即对乘积的指标轮换后给予适当的符号再求和，做一个反对称化，使乘积成为一个反对称矩阵。比如&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=T_%7B%5Bij%5D%7D%3DT_%7Bij%7D-T_%7Bji%7D& alt=&T_{[ij]}=T_{ij}-T_{ji}& eeimg=&1&&。这样对于一般的微分形式&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&和&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=g& alt=&g& eeimg=&1&&，如果它们分别是k-形式与l-形式，那么有：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f%5Cwedge+g%3D%28-1%29%5E%7Bkl%7Dg%5Cwedge+f& alt=&f\wedge g=(-1)^{kl}g\wedge f& eeimg=&1&&&/p&&p&且&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f%5Cwedge%28g%2Bl%29%3Df%5Cwedge+g%2Bf%5Cwedge+l& alt=&f\wedge(g+l)=f\wedge g+f\wedge l& eeimg=&1&&&/p&&p&对于一个微分形式，一个有用的运算是算符*，对于一个n维空间中的p-形式，算符*给出同一空间中的(n-p)-形式：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28%2Af%29_%7Bi_%7Bp%2B1%7D%2C%5Ccdots+i_n%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bp%21%7D%5Csqrt%7B%7C%5Cdet%28g_%7Bij%7D%29%7C%7D%5Cepsilon_%7Bi_1%5Ccdots+i_n%7Df%5E%7Bi_1%5Ccdots+i_p%7D& alt=&(*f)_{i_{p+1},\cdots i_n}=\frac{1}{p!}\sqrt{|\det(g_{ij})|}\epsilon_{i_1\cdots i_n}f^{i_1\cdots i_p}& eeimg=&1&&&/p&&p&（其实，因为可以演算，Levi-Civita符号乘以&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csqrt%7B%7C%5Cdet%28g_%7Bij%7D%29%7C%7D& alt=&\sqrt{|\det(g_{ij})|}& eeimg=&1&&后是一个张量，所以我们常常也用这个叫做&b&Levi-Civita张量&/b&的张量代替这两项。）&/p&&p&简单计算会发现：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%2A%28%2Af%29%3D%28-1%29%5E%7Bp%28n-p%29%7D%5Cmathrm%7Bsgn%7D%28%5Cdet%28g_%7Bij%7D%29%29f& alt=&*(*f)=(-1)^{p(n-p)}\mathrm{sgn}(\det(g_{ij}))f& eeimg=&1&&&/p&&p&即连续做两次算符*会得到微分形式本身，只是可能会相差一个符号。算符*的物理含义……我其实并不太理解，这个好像是在微分形式中引入某种对偶关系，但这个算符对于我们表述麦克斯韦方程是有用的。&/p&&p&下面我们要定义微分形式的微分，即&b&外微分运算&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=d& alt=&d& eeimg=&1&&&/b&。对于一个p-形式&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f%3Df_%7Bi_1%5Ccdots+i_p%7Ddx%5E%7Bi_1%7D%5Cwedge%5Ccdots%5Cwedge+dx%5E%7Bi_p%7D& alt=&f=f_{i_1\cdots i_p}dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_p}& eeimg=&1&&，我们定义它的外微分是一个(p+1)-形式：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=df%3D%5Csum_%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D+_%7Bi_%7Bp%2B1%7D%7D+%5C%5C+_%7Bi_1%3C%5Ccdots%3Ci_p%7D%5Cend%7Barray%7D%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+f_%7Bi_1%5Ccdots+i_p%7D%7D%7B%5Cpartial+x%5E%7Bi_%7Bp%2B1%7D%7D%7Ddx%5E%7Bi_%7Bp%2B1%7D%7D%5Cwedge+dx%5E%7Bi_1%7D%5Cwedge%5Ccdots%5Cwedge+dx%5E%7Bi_p%7D& alt=&df=\sum_{\begin{array}{c} _{i_{p+1}} \\ _{i_1&\cdots&i_p}\end{array}}\frac{\partial f_{i_1\cdots i_p}}{\partial x^{i_{p+1}}}dx^{i_{p+1}}\wedge dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_p}& eeimg=&1&&&/p&&p&这其实就是对张量函数求各分量的偏导数，这个定义还没有将同样基底的项合并，于是前面的也不是一个反对称张量，所以通常我们将项合并后的结果写成：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28df%29_%7Bi_1%5Ccdots+i_%7Bp%2B1%7D%7D%3D%28p%2B1%29%5Cpartial_%7B%5Bi_1%7Df_%7Bi_2%5Ccdots+i_%7Bp%2B1%7D%5D%7D& alt=&(df)_{i_1\cdots i_{p+1}}=(p+1)\partial_{[i_1}f_{i_2\cdots i_{p+1}]}& eeimg=&1&&&/p&&p&这个定义最犀利的地方是，我们终于可以将牛顿-莱布尼茨公式、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式等等等等微积分中五花八门的公式统一成一个定理：&br&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cint_V+df%3D%5Cint_%7B%5Cpartial+V%7Df& alt=&\int_V df=\int_{\partial V}f& eeimg=&1&&&/p&&p&翻译成人类的语言就是：一个东西的外微分在一个区域上的积分，等于这个东西在区域边界上的积分。当积分区域是数轴上的一个区间时，这就是牛顿-莱布尼茨公式。取不同的积分区域和不同阶数的微分形式，我们就得到了所有的广义斯托克斯公式！&/p&&p&关于外微分，还有两个性质很重要。首先，显然对于n维空间的n-形式，因为(n+1)-形式不存在，所以所有n-形式的外微分等于零。另外容易验证：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=d%28df%29%3D0& alt=&d(df)=0& eeimg=&1&&&/p&&p&这样，我们回到麦克斯韦方程。现在我们注意到电磁势的协变形式&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A_%5Cmu+dx%5E%5Cmu& alt=&A_\mu dx^\mu& eeimg=&1&&是一个四维时空中的1-形式，定义协强张量（2-形式）：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=F%3DdA%3D%5Csum_%7B%5Cmu%3C%5Cnu%7D%5Cpartial_%5Cmu+A_%5Cnu+dx%5E%5Cmu%5Cwedge+dx%5E%5Cnu%2B%5Csum_%7B%5Cmu%3C%5Cnu%7D%5Cpartial_%5Cnu+A_%5Cmu+dx%5E%5Cnu%5Cwedge+dx%5E%5Cmu%3D%5Csum_%7B%5Cmu%3C%5Cnu%7D%28%5Cpartial_%5Cmu+A_%5Cnu-%5Cpartial_%5Cnu+A_%5Cmu%29dx%5E%5Cmu%5Cwedge+dx%5E%5Cnu& alt=&F=dA=\sum_{\mu&\nu}\partial_\mu A_\nu dx^\mu\wedge dx^\nu+\sum_{\mu&\nu}\partial_\nu A_\mu dx^\nu\wedge dx^\mu=\sum_{\mu&\nu}(\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu)dx^\mu\wedge dx^\nu& eeimg=&1&&&/p&&p&即&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=F_%7B%5Cmu%5Cnu%7D%3D%5Cpartial_%5Cmu+A_%5Cnu-%5Cpartial_%5Cnu+A_%5Cmu& alt=&F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu& eeimg=&1&&和刚才的定义完全一样。于是，因为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=F%3DdA%2CdF%3Dd%28dA%29& alt=&F=dA,dF=d(dA)& eeimg=&1&&，协变形式的第二个方程正是恒等式：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=dF%3D0& alt=&dF=0& eeimg=&1&&&/p&&p&而第一个方程，容易验证，是：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=d%28%2AF%29%3D%2AJ& alt=&d(*F)=*J& eeimg=&1&&&/p&&p&是不是特别简单？&/p&&p&&br&&/p&&h2&三、狭义相对论&/h2&&p&历史上，狭义相对论出现的一大动因，是为了解决麦克斯韦方程和牛顿力学的不兼容性。一方面，麦克斯韦方程组中出现了与速度有关的量——电流&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbm%7BJ%7D& alt=&\bm{J}& eeimg=&1&&，这意味着变换参考系会观察到不同的电磁场，进而观察到电磁场中的粒子有不同的运动轨迹。这是直接违反伽利略相对性原理的。但这可能还不是最直接的动因。更直接的动因是电磁波波速的问题。由麦克斯韦方程组的波动形式我们看出，电磁波的波速为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=c& alt=&c& eeimg=&1&&，我们现在称为光速。而麦克斯韦方程本身并没有表明这个波速是在哪个参考系之中的波速。&/p&&p&历史上有很多人试图解释这个问题。有人提出以太参考系，就是为了解释光速是在哪个参考系的速度。但是随着一系列MM实验（这个实验现在任何一个物理系的实验室都有条件做了——它甚至是学生实验训练的一部分了），人们确认了光速并不属于特定的参考系。洛伦茨提出洛伦茨变换，来解释不同参考系中光速不变的问题。但是他并没有将洛伦茨变换中的时间和位置当做物理真实的时间和位置。爱因斯坦首先提出了这些参量的物理真实，并将其规范在一个更统一的框架中。这个被称为狭义相对论的理论随后被一系列实验所验证。&/p&&p&前面我们已经将时间和空间并在一起进行处理，但没有说明这样做的理由。现在我们从光速不变出发，考虑到时空中的两个&b&事件&/b&：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28t_1%2Cx_1%2Cy_1%2Cz_1%29& alt=&(t_1,x_1,y_1,z_1)& eeimg=&1&&和&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28t_2%2Cx_2%2Cy_2%2Cz_2%29& alt=&(t_2,x_2,y_2,z_2)& eeimg=&1&&，如果它们之间由一个光信号相联系，则显然有路程=速度x时间：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28x_1-x_2%29%5E2%2B%28y_1-y_2%29%5E2%2B%28z_1-z_2%29%5E2%3Dc%5E2%28t_1-t_2%29%5E2& alt=&(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2=c^2(t_1-t_2)^2& eeimg=&1&&&/p&&p&如果在另一个参考系，它们的坐标是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28t%27_1%2Cx%27_1%2Cy%27_1%2Cz%27_1%29& alt=&(t'_1,x'_1,y'_1,z'_1)& eeimg=&1&&和&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28t%27_2%2Cx%27_2%2Cy%27_2%2Cz%27_2%29& alt=&(t'_2,x'_2,y'_2,z'_2)& eeimg=&1&&，那么由于光速不变，必须有：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28x%27_1-x%27_2%29%5E2%2B%28y%27_1-y%27_2%29%5E2%2B%28z%27_1-z%27_2%29%5E2%3Dc%5E2%28t%27_1-t%27_2%29%5E2& alt=&(x'_1-x'_2)^2+(y'_1-y'_2)^2+(z'_1-z'_2)^2=c^2(t'_1-t'_2)^2& eeimg=&1&&&/p&&p&这必须对任意参考系都成立，这暗示着，我们可以对任何两个事件之间定义&b&时空间隔&/b&：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta+s%5E2%3Dc%5E2%28t_1-t_2%29%5E2-%28x_1-x_2%29%5E2-%28y_1-y_2%29%5E2-%28z_1-z_2%29%5E2& alt=&\Delta s^2=c^2(t_1-t_2)^2-(x_1-x_2)^2-(y_1-y_2)^2-(z_1-z_2)^2& eeimg=&1&&&/p&&p&如果我们假设坐标变换是一个线性变换，那么它是一个不随参考系变化而变化的不变量，这样能之前两个等式总是可以成立的。而对于无穷小间隔，这意味着：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=ds%5E2%3Dc%5E2dt%5E2-dx%5E2-dy%5E2-dz%5E2& alt=&ds^2=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2& eeimg=&1&&&/p&&p&这个无穷小间隔不随参考系而变，也满足三角不等式，虽然可正可负是个麻烦，但我们依然将它当做是一种距离。而它的度规正是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=g_%7B%5Cmu%5Cnu%7D%3D%5Cmathrm%7Bdiag%7D%281%2C-1%2C-1%2C-1%29& alt=&g_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)& eeimg=&1&&。有了这个度规，我们将时间和空间正式合并在一起，成为一个配备了度规的4维度量空间——&b&闵可夫斯基空间&/b&，因为他的度规不正定，它是一个&b&伪欧几里得空间&/b&。&br&&/p&&p&保证距离&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=ds%5E2%3Dc%5E2dt%5E2-dx%5E2-dy%5E2-dz%5E2& alt=&ds^2=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2& eeimg=&1&&不变的坐标系变换，显得尤其重要。因为这样的变换后，时空的性质不会有人们可以观测到的改变，这正是伽利略等效原理的体现。数学中我们可以用一个矩阵&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CLambda_%7B%5C+j%7D%5Ei& alt=&\Lambda_{\ j}^i& eeimg=&1&&来表示坐标变换，这样一来对于空间中的任意矢量&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a%5Ei& alt=&a^i& eeimg=&1&&，变换后的矢量是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CLambda%5Ei_%7B%5C+j%7Da%5Ej& alt=&\Lambda^i_{\ j}a^j& eeimg=&1&&。我们将保证度规&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=g_%7B%5Cmu%5Cnu%7D%3D%5Cmathrm%7Bdiag%7D%281%2C-1%2C-1%2C-1%29& alt=&g_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)& eeimg=&1&&不变的变换所组成的集合，称为&b&庞加莱群&/b&。简单地说，庞加莱群的任一元素可以由几种基本的变换“生成”，它们是：&/p&&p&1、沿时间/空间平移；&/p&&p&2、在任意两个轴构成的平面上旋转（或者boost）。&/p&&p&第一种无非是重新选定坐标原点所在的时间和位置，没什么特别的。第二种中，相对坐标平面的旋转也是三维情况下就很常见的，也没什么可说的。但剩下一种在时间和坐标平面的“旋转”（boost），就很有意思了。这里考虑最简单的，比如tx平面的&旋转&。保证度规&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=ds%5E2%3Dc%5E2dt%5E2-dx%5E2& alt=&ds^2=c^2dt^2-dx^2& eeimg=&1&&不变的变换方程，和普通的旋转类似但又有点不同，可以用双曲函数（而不是三角函数）表示：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x%3Dx%27%5Ccosh%5Ctheta%2Bct%27%5Csinh%5Ctheta%2C%5C+%5C+ct%3Dx%27%5Csinh%5Ctheta%2Bct%27%5Ccosh%5Ctheta& alt=&x=x'\cosh\theta+ct'\sinh\theta,\ \ ct=x'\sinh\theta+ct'\cosh\theta& eeimg=&1&&&/p&&p&其中&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta& alt=&\theta& eeimg=&1&&是“旋转”的角度。观察其中一个参考系的坐标原点，即取&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x%27%3D0& alt=&x'=0& eeimg=&1&&，再将两式相除，可以得到带撇号的坐标系原点的速度 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& 与&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta& alt=&\theta& eeimg=&1&& 的关系：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bx%7D%7Bct%7D%3D%5Cfrac%7Bv%7D%7Bc%7D%3D%5Ctanh%5Ctheta& alt=&\frac{x}{ct}=\frac{v}{c}=\tanh\theta& eeimg=&1&&&/p&&p&但我们知道：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csinh%5Ctheta%3D%5Cfrac%7B%5Ctanh%5Ctheta%7D%7B%5Csqrt%7B1-%5Ctanh%5E2%5Ctheta%7D%7D& alt=&\sinh\theta=\frac{\tanh\theta}{\sqrt{1-\tanh^2\theta}}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ccosh%5Ctheta%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B1-%5Ctanh%5E2%5Ctheta%7D%7D& alt=&\cosh\theta=\frac{1}{\sqrt{1-\tanh^2\theta}}& eeimg=&1&&&/p&&p&代入后我们得到了世人通称为&b&洛伦茨变换&/b&的坐标变换：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x%3D%5Cfrac%7Bx%27%2Bvt%27%7D%7B%5Csqrt%7B1-v%5E2%2Fc%5E2%7D%7D%2C%5C+%5C+%5C+t%3D%5Cfrac%7Bt%27%2Bvx%27%2Fc%5E2%7D%7B%5Csqrt%7B1-v%5E2%2Fc%5E2%7D%7D& alt=&x=\frac{x'+vt'}{\sqrt{1-v^2/c^2}},\ \ \ t=\frac{t'+vx'/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}& eeimg=&1&&&/p&&p&更一般情况下洛伦茨变换的变换矩阵，也可以轻易写出来。这样一来，我们将麦克斯韦写成协变形式的意义就很明显了——这样写出的方程，我们可以将洛伦茨变换乘在方程中，直接得到方程在新的坐标系中的形式，并且新的形式会和原来的完全一样。换句话说，如果方程中每一个矢量、张量都是四维时空中的矢量、张量，那么它自然地满足洛伦茨不变性。&/p&&p&遗憾的是，通常我们定义的速度&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=v%3D%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bdt%7D%3D%5Cfrac%7Bdx%5Ei%7D%7Bdx%5E0%7D& alt=&v=\frac{dx}{dt}=\frac{dx^i}{dx^0}& eeimg=&1&&不再是四维时空中的矢量——因为时间不再是常量，它是一个矢量的两个分量的比值，也就不会再满足线性关系了。但是，我们记得四维时空还是有一个不变量可用：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=ds& alt=&ds& eeimg=&1&&。如果&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=ds%3E0& alt=&ds&0& eeimg=&1&&，这个间隔更类似于时间的流逝，我们可以定义本征时：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=d%5Ctau%3Dds%2Fc& alt=&d\tau=ds/c& eeimg=&1&&，然后用本征时来除一个矢量，我们自然地能够得到其他矢量。于是我们定义了各种四矢量：&/p&&p&四速度：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cnu%5E%5Cmu%3D%5Cfrac%7Bdx%5E%5Cmu%7D%7Bd%5Ctau%7D& alt=&\nu^\mu=\frac{dx^\mu}{d\tau}& eeimg=&1&&&/p&&p&四加速度：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Calpha%5E%5Cmu%3D%5Cfrac%7Bd%5Cnu%5E%5Cmu%7D%7Bd%5Ctau%7D& alt=&\alpha^\mu=\frac{d\nu^\mu}{d\tau}& eeimg=&1&&&/p&&p&四动量：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p%5E%5Cmu%3Dmc%5Cnu%5E%5Cmu& alt=&p^\mu=mc\nu^\mu& eeimg=&1&&&/p&&p&而在狭义相对论中，自由粒子的运动方程依然和牛顿第二定律形式类似：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bdp%5E%5Cmu%7D%7Bd%5Ctau%7D%3D0& alt=&\frac{dp^\mu}{d\tau}=0& eeimg=&1&&&/p&&p&值得一提的是，四矢量的“长度”——自身与自身的内积也都是不变量，这与三维空间的情形是一样的。对于四速度而言，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cnu_%5Cmu%5Cnu%5E%5Cmu%3D1& alt=&\nu_\mu\nu^\mu=1& eeimg=&1&&，对于四动量而言，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p_%5Cmu+p%5E%5Cmu%3Dm%5E2c%5E2& alt=&p_\mu p^\mu=m^2c^2& eeimg=&1&&。&/p&&p&狭义相对论的动力学、对称性、能量、动量，都可以通过拉格朗日力学或哈密顿力学来分析，请参考：&/p&&p&&a href=&http://zhuanlan.zhihu.com/everytingisphysics/& class=&internal&&理论力学——拉格朗日力学 - Everything is Physics 万物皆理 - 知乎专栏&/a& &/p&&p&&a href=&http://zhuanlan.zhihu.com/everytingisphysics/& class=&internal&&理论力学——对称性与守恒量 - Everything is Physics 万物皆理 - 知乎专栏&/a& &/p&&p&&a href=&http://zhuanlan.zhihu.com/everytingisphysics/& class=&internal&&理论力学——哈密顿力学 - Everything is Physics 万物皆理 - 知乎专栏&/a& &/p&&p&这里不再赘述了。只是有一个结论值得一提，很容易发现四动量的时间分量就是能量（除以光速），而&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p_%5Cmu+p%5E%5Cmu%3Dm%5E2c%5E2& alt=&p_\mu p^\mu=m^2c^2& eeimg=&1&&给出的正是相对论的能量与动量之间的关系。&/p&
我也不理解这篇文章为何会突然爆发出这么多赞，与此而来的是一大堆的“看不懂”和“这是数学不是物理”的回复。对于前者，请你们不用再回复了，这篇文章对你们毫无意义。对于后者，我觉得有必要强调一下电动力学是什么样的。电动力学（Electrodynamics）在…
&p&简历没什么可写怎么办？&/p&&br&&br&&p&很不好意思地承认，我特马大四的时候就是这样的处境！&/p&&br&&br&&p&工作之后由于一些经历，对这些东西有了一些新的看法，接下来我单就大四参加校招，简历又没什么可写的朋友，从以下几点来聊聊这个问题吧：&/p&&br&&p&&b&一. 如何让简历内容丰富起来，增加面试机会&/b&&/p&&p&&b&二.如何自我创造机会&/b&&/p&&p&&b&三.谈谈我当年一无可写的简历&/b&&/p&&p&&b&四.注意事项&/b&&/p&&br&&br&&br&&p&ok,直接进入正题&/p&&p&&b&一.如何让简历内容丰富起来，增加面试机会&/b&&/p&&p&首先建议不要海投，海投的简历对目标公司没有针对性，只能从实习经历、干部经历、优异成绩、证书奖项等方面出彩，但对于简历“一无可写”的同学而言。。。。。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-57c4acd09d978a672e1e08f952ef3d3b_b.jpg& data-rawwidth=&404& data-rawheight=&315& class=&content_image& width=&404&&&/figure&&br&&p&所以还是有针对性地为每一个目标公司单独做一些修改吧！&/p&&p&不知道写什么的同学，除了一些基本信息，建议你：&/p&&br&&p&1.如果没有学生会干部、社团干部等经历，仔细回想挖掘社团经历、班级活动甚至日常生活中能体现自己某方面能力的一次经历，简略描述这次经历的背景、任务、行动、结果。&/p&&p&2.如果没有实习经历，那就把兼职打工经历写上，但不要只是写“我做过什么”，还要写上“结果是什么”&/p&&p&假设你暑假做过1个月销售，你简历上只是写&/p&&p&“7/01~8/01，在XX公司担任销售人员一职”&/p&&p&毫无亮点&/p&&p&加上结果后&/p&&p&“7/01~8/01，在XX公司担任销售人员一职，XX产品累计销售500份，为公司带来实际收入2万元”&/p&&p&比较完整了&/p&&p&可以再加上对比，增加冲击力&/p&&p&“7/01~8/01，在XX公司担任销售人员一职，XX产品累计销售500份，为公司带来实际收入2万元，业绩在当月所有销售人员中排第一”&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/0fda97ecef534c8881a52_b.jpg& data-rawwidth=&221& data-rawheight=&220& class=&content_image& width=&221&&&/figure&&br&&p&我没有那么高的业绩怎么办？就按自己的真实情况适当放大吧！&/p&&p&3.去网上搜索这家公司的信息：&/p&&p&a.如果这家公司有自己的产品，合适的话可以买来体验一下，或者搜索其他用户的体验分享，仔细研究，以一个用户的角度提出一些优化建议，并表达出与产品的缘分，写在简历上合适的位置。&/p&&p&b.如果这家公司没有自己的产品，去搜索研究它的业务流程以及你所应聘岗位的工作职责，写一些对未来工作的计划在简历合适的位置。&/p&&p&c.在简历中写上从学生角度对你所应聘岗位行业的看法，不要太大众。&/p&&p&4.其他一些也许有效的内容&/p&&p&a.大学4年每天坚持早上6点起来跑步 (爱运动+有毅力)&/p&&p&b.大学4年勤工俭学，没问家里要一分钱 (能吃苦+独立)&/p&&p&c.大学四年只谈过一个女（男）朋友，想为她留在A市 （受过伤的HR也许会被你打动）&/p&&p&d.自己想吧，期望不要太高&/p&&br&&br&&br&&p&&b&二、如何自我创造机会&/b&&/p&&br&&br&&p&前方高能预警，不适者请跳过。&/p&&br&&br&&p&一个字Bian, 也许你真的没有什么可写，看着身边牛B的人手里拿着七八个offer，自己一个电话都接不到怎么办，亲身经历过的我告诉你，这个社会真的是撑死胆大的，饿死胆小的。&/p&&p&当然这会有一定风险，你创造的每一个内容都应该考虑：&/p&&p&a.被戳穿的几率&/p&&p&b.被戳穿后会付出多大的代价，是否能接受(但大多数情况只是让你被pass掉而已）&/p&&br&&br&&p&这里为大家盘点几种我曾经经历过或看见过的内容，仅供参考，不要盲目学习，请根据个人实际情况来行动：&/p&&br&&p&1.大学英语等级证书（仅限四级），和其他比赛获奖证书&/p&&p&如果你连四级都没过，可以写在简历上，然后记一个刚刚过线的分数面试用，被查的几率很低。四级这东西，如果出现在简历上，不会加分。但是没有，绝对扣分！（当然如果你六级过了就不说了。）&/p&&p&比赛证书可以去学校外面（学校里面不会给你做的）制作，院系的二等奖三等奖就行，别吹太大。&/p&&p&我当年的室友甘肃人，就做了这两样东西，投简历，面试，签三方，一次性搞定，去了兰州的一家国企甘肃建投，至今还在那里上班。&/p&&p&2.各种经历&/p&&p&创造各种活动，工作经历等，当然为了面试，你得仔细研究设想这个活动或工作的细节，去请教有相关经历的同学、朋友、亲戚，背一下话术。人生如戏，全靠演技。HR没精力去调查你的每一个活动和工作是否属实。他主要通过询问你一些细节问题，和你自己对一些经历过程的描述，观察你的表达和神态，来查证，如果你的临场发挥满分，那这本身也是一种本事了。所以根据自己的情况来确定要放大到什么程度。&/p&&p&关于这一部分内容，我想说：&/p&&br&&p&不是迫不得已，不要过渡包装来掩盖你苍白的经历，但适当的放大是有必要的，它的意义在于，当你和你的竞争对手实力相当时，你会比他更有胜算。&/p&&p&———————————————————————————————————————————&/p&&br&&p&11.16补充：这几天看到了一些知友的评论，感觉必须来补充说明一下这个“第2点“：&/p&&br&&br&能只用“放大”的，就不要去“创造”。深挖自己的真实经历再加工是上上策，这会让你面试的时候表达更流畅，而你的真诚也许还会为你加分。只要你自己有一些东西可写，可以看一下这个问题——&a href=&https://www.zhihu.com/question/& class=&internal&&优秀简历要遵循哪些规则？ - 求职 - 知乎&/a&。对于真的没什么经历好写，简历总是石沉大海的同学，不妨按自己情况来尝试“创造”，更多的面试机会，会让你成长得更快。&br&&br&———————————————————————————————————————————&br&&br&&p&&b&三.谈谈我当年一无可写的简历&/b&&/p&&p&先把我当年的简历作为反面教材给大家瞅瞅，什么叫真正的一无可写&/p&&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-184b26c1cf5b512ed5c3ab_b.png& data-rawwidth=&718& data-rawheight=&576& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&718& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-184b26c1cf5b512ed5c3ab_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-ca169fbd563df3ecd48019_b.png& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&558& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-ca169fbd563df3ecd48019_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-b1f7adcc99e04cda726b70e8_b.png& data-rawwidth=&713& data-rawheight=&174& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&713& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-b1f7adcc99e04cda726b70e8_r.jpg&&&/figure&&br&&p&再写不出那样的简历，看到都会红着脸躲避&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-9d551eb364b309ddfeef1_b.jpg& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&500& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-9d551eb364b309ddfeef1_r.jpg&&&/figure&&br&&br&&p&恩。答主当年是一只土木狗，还是很懒的那种，社团也没混个一官半职，真的只有这点东西可写，而且写作方式是小学生常用的“凑字数”，我猜主动来搜这个问题的同学也不会比我当年惨吧。整个简历上只有：&/p&&p&1.个人信息&/p&&p&2.“是个大学生都有的”个人技能&/p&&p&3.“假期兼职的”工作经历&/p&&p&4.“没有含金量的”个人奖项、证书、培训经历&/p&&p&5.“毫无亮点的”个人兴趣和自我评价&/p&&br&&br&&p&现在看到都觉得迷之尴尬，你的简历要是和这差不多啊，咱也别投了，把打印的钱拿来买几个包子吃还来得实在点。&/p&&p&这是第一份简历，信心满满地（不知道哪来的）带着他去参加各种宣讲会、招聘会，反正就是有意向的公司都去投一份，之后每次手机短信声音一响起来，我的双手就如帕金森病人一般颤抖着点开未读，期待着哪家公司翻我牌子，但是结果呢。你猜得没错，零回复。&/p&&br&&p&我开始慌了，意识到简历不行，内容不够，要改，但是我真的不知道写什么了，这个时候我发现某个大学生活和我半斤八量的朋友，他写的简历有足足3页，有一种大学生活很充实的味道。原来他用了黑技巧，他说简历上可以适当的创造一些内容，来为自己加分，校招的企业每次都能收到好几百份简历，要是你简历太单薄，可能3秒钟就被淘汰掉了，而那些“美化过的”简历，至少有机会进入面试环节。&/p&&br&&p&我一听，是这个理儿，单纯地认为问题出在“内容不够”上”，于是把简历内容给丰富了，主要增加了：&/p&&p&1.相关工作经历（为此查阅了相关资料，并请教了实习过的同学，背了一些相关情景和话术面试用。虽然我面试的时候都蒙混过去了，但被问到细节还是比较难受的。）&/p&&p&2.“凑字数的”求职意向和主修课程（没用）&/p&&p&3.土木狗都会的专业水平（水准仪、经纬仪、施工图纸等）&/p&&p&4.“貌似没有证书的”励志奖学金&/p&&p&5.一次社团活动组织经历&/p&&br&&p&改过的简历虽然有一点虚，但确实为我带来了很多面试机会，并且还获得了几个offer, 虽然最后都没有去。&/p&&br&&p&后来答主将目光锁定在了一些大型国企上，竞争惨烈，面试被一些面霸虐了。所以说，简历做好了，可以让你获得入场券，但真正能使你留下来的还是你个人的真实能力。另外也鄙视某些占着茅坑不拉屎的面霸，手里攒着七八份 offer还继续到处面试，是想闹哪样（学渣吐槽）！&/p&&br&&p&讲一下自己当时的情况吧，作为一只土木狗，之前为什么没有找实习呢？因为答主懒且心思不在这个行业。本身没有什么很出众的特长，听到很多人说：“先就业再择业”，所以盲目地去找与自己专业对口的工作。结果就是和很多人找对象一样，你喜欢的人，不喜欢你；喜欢你的人，你又不喜欢。答主不经开始怀疑人生。那段时间很迷茫，不知道自己未来要做什么，没事就找点书来看，在网上做了MBTI职业性格测试，又去亚马逊买了一本优势识别器。直到某一天，我突然决定了，还是要做自己喜欢的事！专业什么的都滚吧！正当我全心全力为我的新目标而努力的时候，一大波专业对口的好的工作机会扑面而来，甚至曾经连一面机会都没给我的公司，突然向我伸出橄榄枝……&/p&&p&就像《阿甘正传》里面的台词——人生就像巧克力，你永远不会知道下一块会吃到什么味道。&/p&&br&&p&但我既然已经知道了自己想要的味道，这一口再甜，也不要吃了吧。&/p&&br&&p&以上是我曾经的故事，写出来后删了一些，免得大家觉得我废话太多，接下来是补充的注意事项。&/p&&br&&p&&b&四、注意事项&/b&&/p&&br&&p&1.校招简历一页就好，突出亮点，不要写得密密麻麻，想想HR用3秒的时间扫过你的简历会不会留下来？另外，找一个好点的模板也是很有必要的。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-e4ecba4d1c242ad30346af_b.png& data-rawwidth=&652& data-rawheight=&919& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&652& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-e4ecba4d1c242ad30346af_r.jpg&&&/figure&&br&&br&&p&2.你简历中写的你的每一个优点，最好都有一个事实结果来支撑&/p&&br&&p&3. 9月秋招到来年6月期间，有两个时间点的竞争波动也许你没考虑到&/p&&p&A.来年春招，上一年考研准备期间没有找工作的大军们，其中大部分会考研失败，然后加入到找工作的行列，你会发现，校招竞争又变大了。所以不要以为秋招的时候，牛B的人都走了。&/p&&p&B.前面说到，一些面霸会占着茅坑不拉屎，最迟在5月左右，他们会选一个坑跳进去，此时有某些被抛弃的HR会想办法补招一次，由于时间晚了很多同学已签，这次补招要求会降低，如果你此时还没签，抓住这次机会！&/p&&br&&br&&p&最后还是那句鸡汤：&/p&&br&&br&当你的能力还撑不起你的野心时，你就应该静下心来学习。&br&&p&--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------&/p&&br&&p&答主最近倒腾了个微信公众号“仲安笔记”（ID：zhonganbiji），分享一些职场知识和生活思考，欢迎骚扰。需要优势识别器电子书和测试器的同学，在里面回复“优势”自取。&br&&/p&&br&&p&听说点了赞的人，都找到好工作啦。&/p&
简历没什么可写怎么办？ 很不好意思地承认，我特马大四的时候就是这样的处境！ 工作之后由于一些经历，对这些东西有了一些新的看法，接下来我单就大四参加校招，简历又没什么可写的朋友，从以下几点来聊聊这个问题吧： 一. 如何让简历内容丰富起来，增加面…
&p&当我们学习的时候，两样东西在不断的减少：体力和意志力。二者耗尽其一，学习行为就会停止。我们一般所说的精力，即是体力和意志力的混合。&/p&&p&&br&&/p&&p&你可以想象，在你的头顶上悬浮着两个进度条，一条绿色，一条蓝色，绿色代表你的体力，蓝色代表你的意志力，它们都在不断的减少。不过根据我们的日常经验，绝大部分情况下，你的蓝色进度条——意志力消耗的飞快，而绿色进度条则比较稳固。我们环顾四周，看见一大堆拖延症、懒癌晚期，以及沉迷游戏、电影而不愿工作学习的人，就知道意志力的缺乏是多么普遍——或许你就是上述之一？&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-865ce3aa4f9e4e70b868_b.png& data-rawwidth=&226& data-rawheight=&242& class=&content_image& width=&226&&&/figure&&p&上述状况的特点是，其体力值还有充分的剩余，可以执行很多任务，但是他的意志力消耗完了，所以他并不愿意再进行学习或工作了。比如中午休息时，一个高三学生坐在试卷前沉闷的不想动笔，显示出无精打采的样子，这时候有人提议我们先下去打会儿篮球吧，于是他立马变得生龙活虎起来。&/p&&p&&br&&/p&&p&因此，你可以想象自己是一个套着保护罩的魔法师，不会受到别人的致命伤害（你的体力值不会耗尽），但是你的所有威力只来源于你的魔法输出，一旦没有魔法你就变成废物了。你的魔法技能耗费魔法的速度极快，你长期处于只有血，没有魔的状态，而毫无战斗力。&/p&&p&&br&&/p&&p&为了解决这个魔法值不够用（意志力不够用）的问题，我们自然的衍生出几个策略方向：&/p&&p&&b&一、减少意志力的消耗&/b&&/p&&p&&b&二、增大意志力的回复速度&/b&&/p&&p&&b&三、增大意志力的库存上限&/b&&/p&&p&&b&四、把有限的意志力用在关键的时间点上&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&一、减少意志力的消耗&/b&&/p&&p&我们本能的感觉到，学习是一件非常消耗意志力的事情，然而这并不是完全真实的——比如学霸学习的时候，消耗的意志力就相对较低。&/p&&p&&br&&/p&&p&当学霸们俯首案前疯狂刷试卷的时候，我们心想：他意志坚定，忍受了巨大的痛苦和无聊在做题。然而实际状况是，学霸们并没有感到特别的痛苦。或者说，每做一张试卷，一般人感受到10分的痛苦，而学霸只感受到5分的痛苦。对应的，做每一张试卷，我们的意志力消耗了10分，而学霸们只消耗了5分。&/p&&p&&br&&/p&&p&极端情况下， 学霸们学习甚至不消耗意志力。&/p&&p&&br&&/p&&p&我认识一个男生，数学系的研究生毕业，后来在一家教辅机构从事高中数学的辅导工作。这份工作不算他特别喜欢的，杂事很多，学生很难缠。他在工作的时候并没有耗费大量体力，但消耗了很多的意志力。工作完毕后，他感到这一天过得有些无趣，他决定在下班后稍微娱乐一下——&/p&&p&&br&&/p&&p&于是他做了10道微积分数学题。&/p&&p&当然还有更极端的例子。1735年，28岁的欧拉发现了新的行星轨道计算方法，用了三天时间计算一个彗星的轨道，结果导致了右眼失明。在这个例子中，很明显，欧拉的身体状态已经无法支撑他的工作——计算彗星轨道了，毕竟已经计算了3天了。然而他的意志力在3天的连续工作中完全没有消耗，而且死撑着把他的生命值拖到了负数——眼睛瞎了。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-873a192f4388b1cdb6ca33dbf527488a_b.png& data-rawwidth=&223& data-rawheight=&287& class=&content_image& width=&223&&&/figure&&p&（右眼已瞎的欧拉）&/p&&p&&br&&/p&&p&除去欧拉这样的极端夸张的例子，其实还有大量的科学家（某段时间内）一天15+小时疯狂工作的案例，如爱因斯坦、高斯、居里夫人等。在我们的小学语文课本里，这些都是用来说明毅力顽强的案例。现在我们需要拨乱反正了——他们的工作中并没有消耗什么意志力，只是消耗体力而已。&/p&&p&有了上述这些例子，我们可以很自然得出一个结论：如果你对于学习的内容是热爱的，那么你的学习并不消耗意志力，只消耗体力，你可以一直学习到体力耗尽为止。如果你感兴趣，也可以效仿先贤——欧拉，连做3天试卷然后瞎掉一只眼睛。&/p&&p&&br&&/p&&p&当然，连做3天试卷然后瞎掉一只眼睛的案例我没有听过，不过在网吧连续上网几十个小时然后突然失明的案例还是有的。原理上都是一样的，由于是在进行自己所喜爱的事情，所以并不消耗意志力，只消耗体力，乃至一直持续到体力透支身体受损。&/p&&p&&br&&/p&&p&问题在于，这一原理的理解对我们有多大用处呢？&/p&&p&&br&&/p&&p&上述案例中，不论是伟大的科学家还是我那个以做微积分题目为娱乐的数学系朋友，他们都是在知识内容本身上找到了乐趣，他们是自发的热爱学习。我们知道这样的状态很好，不过我们能否进入这样的状态呢？&/p&&p&不是不可以，但是有点难。&/p&&p&要对于知识内容本身产生兴趣，有一个重要的前提条件——你对于这些知识的掌握已经达到相对较高水平。实际上，任何领域，如果你研究和体会的足够深刻了，就会自然而然的产生乐趣。&/p&&p&比方说一件最无聊的事情——呼吸。如果要你坐在那里什么都不干，只专注于自己的呼吸，普通人会觉得非常无聊，几分钟以后就无法忍受了。而经过长期观息法打坐训练的人却能觉得很有乐趣，乃至有些上瘾。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-e_b.png& data-rawwidth=&356& data-rawheight=&183& class=&content_image& width=&356&&&/figure&&p&再比如，我遇到很多老师，他们在读大学时都学过学习心理学、教育心理学的课程，然而在进入学校教学时却完全无法使用出来相应的知识——因为当初他们觉得这些内容太无聊了，根本就没有好好学。同样是一本《学习心理学》的教材，我去看的时候就觉得很有意思，因为我在学习策略这一领域的研究已经比较深了，这种乐趣就会自然的产生了。&/p&&p&&br&&/p&&p&所以，要解决缺魔法（意志力不够用）的问题，要减少意志力的消耗，第一种方法就是，&b&找到一个感兴趣的学科（领域），学到相对的高水平，这样你的学习乐趣就会稍微多一些，意志力的损耗速度就会相应减缓。&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&另外一种强烈的意志力损耗，来源于对学习的恐惧&/b&。这种恐惧可以分为几种：&/p&&p&一是对于学习内容本身的恐惧。如果学不会，会形成对于自己能力和身份的打击，这种自我评价的降低是自己无法接受的，由此形成恐惧。&/p&&p&二是对外部评价的恐惧。即认知心理学中所谓的“表现回避”型心理，觉得一旦学习失败，其他人会对自己看低、鄙视等——这种预测有时候是正确的，有时候是错误的，但这种恐惧的感觉是真实的。&/p&&p&三是对外部伤害的恐惧。某些情况下，家长或者老师会对与学习效果不佳的学生进行肉体伤害或者精神虐待（这种精神虐待超出了一般的评价性质）。一旦这些伤害深入学生的内心，那么后来的学习中，这些恐惧就会不时的翻腾出来，给后面的每一次学习带来障碍。&/p&&figure&&img src=&http}