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浅谈取绝对值函数的可微性
　　[摘要]探讨了数学分析中关于取绝对值函数的求导问题，提出了判断绝对值函数导数的存在性以及求导的直接法，并将此法由一元推广到多元，给出了两类特殊函数求导的公式解。 中国论文网 http://www.xzbu.com/9/view-4200185.htm　　[关键词]绝对值函数 可微性 导数 偏导数 　　一、前言 　　对于取绝对值函数的求导问题，在通常情况下，只能通过其定义求解，而下面给出的结论能够更全面、更简单的解决取绝对值函数的求导问题。 　　二、取绝对值的一元函数的求导问题 　　命题1： 　　若函数f（x）在区间（a，b）内可微，P0（x0）在（a，b）内，则有： 　　1）当f（x0）≠0时 　　2）当f（x0）=0时 　　存在的充分且必要条件是： 　　若f（x0）= 0， 那么 =0. 【1】 　　证明： 　　1） 因为f（x0）≠0，不妨设f（x0）>0，则由可微必连续的性质， 　　存在U（x0，δ），在U（x0，δ）内f（x）>0，从而在U（x0，δ）内，|f（x）|=f（x） 　　由导数概念的局部性可知： 　　即（1）式成立 　　2）当f（x0）=0时 　　从而可知，当且仅当f`（x0）=0时， 存在， 　　显然 即2）式成立。 　　所以命题得证。 　　这个命题不仅提供了判断导数存在的方法，而且还给出了导数的求解方法，我们估且称此法为直接法。下面看几个简单的例子： 　　例1： 已知g（x）=|f（x）|=|x|，求g`（x）. 　　解： 1） 当x≠0时， f（x）=x=0 　　由命题1有： 　　2） 当x=0时， f（x）=x=0 　　∵f`（x）|x=0=1≠0 　　∴g（x）在x=0处不可导。 　　所以 　　看下面几个有关特殊函数的定理： 　　定理1： 　　如果y=ln|x|，则 . 【2】 　　证明： 由y=ln|x|可知，x≠0. 　　令u=|x|， ∴y=lnu， 由例1可知， 　　， 所以命题得证。 　　定理1’：如果y=ln|ax|，a∈R则 　　读者可自行证明该定理。 　　由此可见，此类函数的求导结果与绝对值函数的系数没有关系。 　　定理2： 　　如果 （pφ0），则 . 　　所以命题得证. 　　例2： 已知g（x）=|f（x）|=|cos（x）|， 求g`（x）. 　　解： 1） 当f（x）≠0时， 　　即 ， k≠0，±1，±2，… 　　因此我们有： 　　2） 当f（x）=cosx=0时， 即 　　∴g（x）在 ， 时不可导. 　　所以 　　例3： 求极限 ， （a≠0，b≠0） 【1】 　　解： ，当x∈p（0，δ）时，使x≠0，sinax≠0且sinbx≠0 　　当x∈p（0，δ） 时，x≠0， 均存在， 　　因此可利用罗比塔法则： 　　三、取绝对值的多元函数的求导问题 　　命题2： 　　若函数f（x1，x2，…，xn）在领域D内可微， 且n≥2 　　， 则有： 　　1） 当 时，有： 　　2） 当 时， 　　存在的充分必要条件是： 　　证明： 　　1） 若 ，不妨设 ， 　　则有可微必连续，有： ，在u（p0，δ）内，f（x1，x2，…，xn）>0， 　　从而在u（p0，δ）内|f（x1，x2，…，xn）|=f（x1，x2，…，xn）. 　　由偏导数概念的局部性有： 　　所以1）式成立. 　　2） 若 ， 　　即2）式成立. 　　因此命题得证. 　　例4： 已知g（x1，x2）=|f（x1，x2）|=|a1x1+a2x2|，求 ，其中αi∈R，i=1，2. 　　解：1）：当a1x1+a2x2=f（x1，x2）≠0时，由命题2有： 　　因此函数g（x1，x2）在a1x1+a2x2=0处不可导. 　　例5：如果 　　解：令u=|a1x1+a2x2|，则y=lnu，显然u≠0，由例4可得 　　由此可得到一个简单的推论： 　　推论1： 　　于是命题得证. 　　例6： 如果函数 　　所以命题得证. 　　根据例6容易得到下面的推论： 　　推论2： 　　证明： （略） 　　四、命题说明 　　⑴对于绝对值函数的端点的可导性可用左、右导数的定义进行讨论。 　　⑵将定理2中绝对值函数系数推广到不为零的任意实数，即如果 那么 其中0≠a∈R该结论与前面几个结论相比，不具有特殊性，因此在原文中没有写入。 　　[参考文献] 　　[1]马金凤、刘文昱，《关于取绝对值函数可微性的讨论》，兵团教育学院学报，2001年，第三期，63-64。 　　[2]（苏）N·PISKUNOV著，邓本让等译，微分与积分学（上），吉林人民出版社，1983，96。 　　[3]方企勤，多元函数微分学，上海科学技术出版社，。 　　[4]华东师大数学系，数学分析（上、下），高等教育出版社，2000年（上）110-170，（下）121-166。 　　（作者单位：天祝藏族自治县第二中学 甘肃天祝）
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提问：级别：二年级来自：浙江省温州市
回答数：3浏览数：
已识函数f(x)=x平方-2「x」-3 (「」是绝对值) 求证函数f(x)是偶函数,...
已识函数f(x)=x平方-2「x」-3 (「」是绝对值) 求证函数f(x)是偶函数, 画出函数图象 写出此函数的单条区间,?谁能给我具体的过程和答案啊
&提问时间： 13:23:11
最佳答案此答案已被选择为最佳答案，但并不代表问吧支持或赞同其观点
回答：级别：三年级 15:14:19来自：浙江省杭州市
f(x)=x方-2x-3;
f(-x)=(-x)方-2[-x]-3=x方-2x-3
故f(x)在x&0时是偶函数；
同理 当x&0时 f(x)= f(-x)
故f(x)在x&0时是偶函数；
单调区间根据图象自己算吧
注：我还没学过函数的奇偶性，若有做错，请多包涵！！
提问者对答案的评价：
回答：级别：三年级 23:19:53来自：宁夏自治区中卫市
&sup&因为f(x&/sup&&sup&)=x2-2x-3&&&&&/sup&&sup&f(-x)=(-x)2-2-x-3 =f(x)&/sup&&sup&所以f(x)为偶函数&/sup&&sup&单调区间：增&/sup&&sup&【-1，0】和【1，3】&&&&&/sup&&sup&减：【-3，-1】和【0，1】&&&&& &/sup&
回答：级别：四年级 13:13:50来自：江西省上饶市
有意思打通汉尼拔uisuiyfueiin可微毫个微毫月毫微斤
总回答数3，每页15条，当前第1页，共1页
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我有更好的答案
　　利用定义可求得　　　　fx(0,0) = fy(0,0) = 0，若 f(x,y) 在 (0,0) 可微，应有　　　
　△f(0,0)-[fx(0,0)△x + fy(0,0)△y]/ρ　　　　= √|△x△y|/√(△x²+△y²)　　　　= √[|△x△y|/(△x²+△y²)] → 0 (ρ→0)，但　　　　lim(ρ→0)[|△x△y|/(△x²+△y²)]不存在，矛盾，故 f(x,y) 在 (0,0) 不可微。
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