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中学微积分的教与学研究
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中学微积分的教与学研究
导数及其应用是微积分中的部分内容，是微积分初步几经修改后进
入我国《高中数学课程标准(实验)》的内容，其在概念呈现、内容编
排等都有所改革。如何设计这部分的教学，特别是用怎样的视角处理，
笔者认为有必要做一些探讨。本文对导数及其应用的内容结构、基本数
学思想方法、学习目标及任务、学习初等微积分的课程价值进行了理论
研究，同时在实验基础上对导数及其应用的教与学进行了研究。研究表
明：(1)微积分中蕴含的思想是信息时代社会公民生活的一种需要，是
数学发展的一种动力，微积分对其它领域也有着广泛的应用；(2)学生
必须具备的极限思想及理论基础；
(3)学生理解导数概念的认知结构
发展经历三个层次：作为“具体实际意义”的导数；作为“变化率&的
导数；在某点处的导数与导数概念的辨析。并对影响其教与学的因素进
行了分析。针对以上调查和分析，对具体内容提出了的教学策略：(1)
突出概念本质；(2)防止微积分教学退化成形式：(3)加强数学思想方
法的教学；(4)关注与信息技术的整合；(5)加强对数学的文化的渗透；
(6)处理好微积分与初等数学的关系；(7)加强初等微积分学习中常
见错误的剖析。
关键词：课标，微积分初步，导数，教与学，数学思想
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Derivativeits ications
calculus，
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MathematiCSCurriculum
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calculus．Simultaneously，
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美国名校TOP30申请，保录！
猛戳--1.calculus介绍一个微积分学习神器，极限导数积分都能搞的定(?ω?)如果想不明白过程的还能让它分步讲解，妈妈再也不用担心我求不出积分了。还有泰勒展开之类的功能。
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这个软件还有个姐妹版，是可以解决重积分的。
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2.PocketCAS这款软件叫PocketCAS，也是一款数学软件，图标是圆周率，可以计算各种公式，画图功能不再多说了，总之可以画平面直角坐标极坐标参数坐标，空间直角坐标柱坐标球坐标参数坐标，还可以画随时间变化的动态图…下图是一个莫比乌斯环。
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3.RPN今年不用计算器，要用就用 RPN!~~PCalc，当年是 editor's choice, 但是我从来没见人用过。所有的按键都可以自定义，最关键的是，有完整的 RPN 模式。内牛满面有没有……长这样：
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总的来说这是一个很传统的计算器程序，没有什么杂七杂八的功能，这正是我喜欢它的地方，我只是需要一个简简单单的靠谱的 RPN 计算器。就这个没错了。
4.WolframAlpha这绝对是一款神器，什么问题都可以给你解答，注意，你没看错，any question！一般的微积分不用说了，该神器可以求解偏微分方程，定位你的地理坐标和海拔，当前天气以及日出日落时间，而且还能和你调侃。
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可以画函数图像
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5.GraphMe这个强烈推荐给读高中的同学！高中数学的压轴题往往都会给你一些奇奇怪怪的函数，如果能画出函数图像，则题目难度大大降低，甚至直接得出答案。GraphMe就是一款这样的软件，亲测能解决大部分高中压轴的函数图像问题，对于判断函数图像，函数增减区间，求交点问题都很有帮助！
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6.Mathstudio除了可以解方程、求极限、求导、算不定积分与定积分、画函数图像、笛卡尔座标、极座标、柱座标、画正态分布曲线等等强大的数值计算处理功能外，新版大大强化了对编程、3D、动画等方面的支持，以及有了一个成熟的社区，用户可以相互交流学习，许多用户都把自己写的满意的程序、教程分享出来。最棒的是还加入了云计算功能。
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你还可以编个小游戏，如俄罗斯方块、贪吃蛇
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画二维动画，比如摆线、波阵面；三维模型、三维动画，如原子模型、光的偏振、钟摆波等。而且不用联网，支持离线使用。
7.zh.numberempire这个网站叫数字帝国，一款面向所有人的强大数学工具。极限级数微积分几乎所有都可以算。利用电脑学习的同学建议用这个工具，也是比较完善的计算软件。
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来了这么久为何不进去看看?
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特色微积分教程
第二章微积分本章学习微积分的基本知识,包括函数概念、函数的极限、导数与微分、不定积分与定积 分、广义积分与微分方程等基本概念及其简单计算方法与应用.2.1 函数教学要求本节要求读者在复习中学函数知识的基础上加深理解函数概念. 1． 掌握由已知函数产生新函数的方法 ? 函数的四则运算，函数的复合，反函数, 归纳出 初等函数的概念. 2． 扩展对函数种种实例的认识, 熟悉基本初等函数的图象, 重点掌握复合函数与分段函数. 3． 结合图象理解函数的四种性态：奇偶性，周期性，单调性，有界性.其中难点是有界性.知识点1. 2. 3. 4. 函数概念 由已知函数产生新函数 函数的性态 其他函数举例2.1.1 函数概念1. 映射 我们在中学已学过集合与映射的概念．映射是集合与集合间的对应关系，它是社会或自然界 中错综复杂的事物间相互依赖关系的反映. 例如: y 是 x 的儿子, 我们说 y 与 x 对应． 假如这对 父母有三个儿子, 我们可以用下图表示:图 2.1 这里父母亲集合 X ={ x1, x2}, 儿子集合 Y ={y1,y2,y3}, x (可取值x1,x2)称为自变量, y称为因变 量． 这是一个多值对应, 与一个自变量值对应的因变量值允许多于一个． 如果说x 是y 的生父, 那么x 与y的对应(儿子对应到他的生父)就是单值对应了， 如下图所示．图 2.2 2. 函数定义 如果只研究实数集合(用 R 或(-∞,+∞)表示)或其子集合之间的单值对应, 这种映射就是函 数. 函数定义. 设 X 与 Y 都是 R 的子集合, 对于 X 中每个元素( 即数 ) x ,按照一个确定的规则( 记作 f ),唯一对应着 Y 的一个元素 y ,常记作f : x a y 或 y = f (x) ,我们称 f 是集合 X 到集合 Y 的函数，记作 f : ??X → Y ,x 与 y 分别称为自变量与因变量， X ?xa y称为定义域，y = f (x)也称为函数 f 在 x 处的值.同时,也常用 y = f (x) , x∈ X 表示这个函数.当 x 取遍定义域中所有数时, 对应函数值全体组成的集合f ( X )={y | y = f (x), 对某个 x∈ X }称为函数 f : X → Y 的值域. 函数 f 的定义域与值域分别用 D f 与 R f 表示. 注. 定义域与对应规律是函数概念的两个基本要素． 函数图象. 直角坐标平面上集合 Γ f = {(x, y) | x∈ D f , y = f(x)}称为函数 y = f(x)的图象. 例 2.1.1 一次(线性)函数 f (x) = 3x+2. 这是纯数学函数, 摒弃了任何实际意义, 其自变量允许取任何实数, 因此其定义域 D f = R . 给定 x 的任何一个实数后, 先用 3 乘, 再加 2, 就得对应函数值．例如:：f (4) = 3×4+2 = 14 ． f 就表示 从 x 到 3x+2 的函数关系：? R→R f :? ? x a 3x + 2此函数的值域显然是 R f = R, 其图象是一条直线．图 2.3 3. 分段函数 若函数 f 的定义域被分成若干部分, 各部分上 f 的对应规律用不同方式表达, 则 f 称为分段函 数. 例 2.1.2 1996 年起，天津市人民政府根据国家规定与天津市实际情况制订了个人所得税征收标准，其计算办法如下表所列．试建立每月个人应交纳的税款 y 与月收入 x 间的函数关系． 级数 全月收入额 x ( 元 ) 税率 ( % ) 速算扣除数 ( 元 )1 2 3 4 5 6 7 8 91000 ≤ x ≤
& x ≤ 101000 x & 1010005 10 15 20 25 30 35 40 450 25 125 375 75 计算公式:月收入不超过 1000 元的不交个人所得税; 月收入超过 1000 元的应纳税额 = (月收入额 ? 1000)×适用税率 ? 速算扣除数 举例: 某人月收入额为 3000 元, 则应纳税额为 ( 3000 ? 1000 ) × 10% ? 25 = 175 ( 元 ) 解. 根据上表可得函数 y＝y(x)的表达式为：0 , 0 ≤ x ≤ 1000 ? ? ( x ? 1000) ? 5% ? 0 , 1000 & x ≤ 1500 ? ? ( x ? 1000) ? 10% ? 25 , 1500 & x ≤ 3000 ? 3000 & x ≤ 6000 ? ( x ? 1000) ? 15% ? 125 , ? ( x ? 1000) ? 20% ? 375 , 6000 & x ≤ 21000 ? y = y ( x) = ? ? ( x ? 1000) ? 25% ? 1375 , 21000 & x ≤ 41000 ? ( x ? 1000) ? 30% ? 3375 , 41000 & x ≤ 61000 ? ? ( x ? 1000) ? 35% ? 6375 , 61000 & x ≤ 81000 ?( x ? 1000) ? 40% ? 10375 , 81000 & x ≤ 101000 ? ? x & 101000 ?(x ? 1000) ? 45% ? 15375 ,化简 ?0 , 0 ≤ x ≤ 1000 ? ? 0.05 x ? 50 , 1000 & x ≤ 1500 ? ? 0.1x ? 125 , 1500 & x ≤ 3000 ? 3000 & x ≤ 6000 ? 0.15 x ? 275 , ? 0.2 x ? 575 , 6000 & x ≤ 21000 ? y = y ( x) = ? ? 0.25 x ? 1625 , 21000 & x ≤ 41000 ? 0.3 x ? 3675 , 41000 & x ≤ 61000 ? ? 0.35 x ? 6725 , 61000 & x ≤ 81000 ? 0.4 x ? 10775 , 81000 & x ≤ 101000 ? ?0.45 x ? 15825 , x & 101000 ?此函数为分段函数, 其定义域被分成十个部分, 各个部分上对应关系由不同代数式确定． 上述函数 的定义域是 [0,+∞) ， 其图象如下图所示, 它由斜率各不相同的九条线段与一条射线组成.y300002000010000x
000图 2.4 计算分段函数在给定自变量 x = a 处的函数值时, 先找到 a 在定义域的哪个部分, 然后用相应 的函数定义方式计算．例如: 上例中计算 y(2500)时, 由于 1500 & 2500 ≤ 3000, 因此 y(2500) = 0.1×2500 ? 125 = 125 注. 符号[ 0 , +∞)表示集合{ x| 0≤ x&+∞}, 称为区间． 其种类有 开区间: ( a, b ) = { x| a & x& b}, ( a, +∞) = { x| x & a}, (?∞, b ) = { x| x& b}, (?∞, +∞) = R ; 闭区间: [ a, b ] = { x| a≤ x ≤ b}； 半开半闭区间: ( a, b ] = { x| a & x ≤ b}, [ a, b ) = { x| a ≤ x & b} , [ a, +∞)= { x| x ≥ a}, (?∞, b ] = { x| x ≤ b} ． 注. 不要把分段函数说成几个函数, 上例函数 y(x)并不是 10 个函数, 它只是一个函数． 例 2.1.3 取整函数[x]. 这是计算机上的重要函数，[x]表示不超过 x 的最大整数. 例如: [?1.352] = ?2 , [?1] = ?1 , [0] = 0 , , [0.3146] = 0 ,[ 2 ] =1 .由此我们得到函数?R → R [ ]: ? ? x a [x]][ ]称为取整函数, D[= R , R[]= Z , 此处Z是全体整数的集合．[ ] 也是分段函数, 它还可表示为?L ?2 ? ?1 ? y = [x] = ? ?0 ?? 1 ? ?L ?L 2≤ x&3,1≤ x & 2 0 ≤ x &1 ?1 ≤ x & 0 L.注意: [?1.352] = ?2 , [?1.352] ≠ ?1，因此不能说[ x]为删去小数部分得到的整数．取整函数 y = [x]的图象是由无穷多条与 x 轴平行的单位长线段组成的阶梯形, 每一线段左端 是实点, 右端是空圈, 见下图. 实点表示在图象上, 空圈表示被排除在图象之外.图 2.52.1.2 由已知函数产生新函数1. 函数的四则运算 给定函数：例 2.1.4f (x) = sin x , x ∈ (? ∞ , + ∞ )g ( x) =x , x ∈ [0,+∞ ) .我们可以形成四个新的函数:f ( x) + g ( x) = sin x + x , x ∈ [0,+∞) f ( x) ? g ( x) = sin x ? x , x ∈ [0,+∞) f ( x) ? g ( x) = sin x ? x , x ∈ [0,+∞) f ( x) sin x = , x ∈ (0,+∞) g ( x) x一般地 .? f ( x) , x ∈ D f ? ? ? ? g ( x) , x ∈ D g ?f ( x ) + g ( x ) , x ∈ D f ∩ D g , 称为和函数 ? ? f ( x ) ? g ( x ) , x ∈ D f ∩ D g , 称为差函数 四则运算 ? ? ? ? f ( x ) ? g ( x ) , x ∈ D f ∩ D g , 称为积函数 ? f ( x) , x ∈ {x ∈ D f ∩ D g , 且g ( x ) ≠ 0}，称为商函数 ? ? g( x) ?注. 上面公式中出现的∈、∩分别是集合运算属于、交的符号. 2. 复合函数 从自变量x到函数sin x的计算过程是:2例 2.1.5x a sin x a sin 2 x .若令 z = sin x , 则sin( )2x a z ayz起了自变量x到因变量y的过渡作用, 称为中间变量. 我们说y是函数sin与( )2的复合函数, 记作sin( )2( ) 2 o sin : x a y定义. 给定函数 f : ??X → Z ?xaz,?Z → Y g :? ?z a y, 则 f 与 g 的复合函数是?X → Y g o f :? ?xa y即 y = g[f(x)] , x ∈ X ,其中 z = f (x)称为中间变量. 复合的过程可从下图看出．图 2.6 注. 并非任何两个函数都能复合. 例如 z = f (x) = 3x + 2 ,D f = R，而函数 f (x)的值域： R f = R ,y = g ( z ) = z , D g = [0 , + ∞ ) ，如果函数f (x)和g(z)复合，对 x & ? 有 R f ? D g 时,2 , z = 3x + 2 & 0 , 3z 无定义， 因此f与g不能复合． 只f与g才能复合． 如果 R f ? D g , 为了形成复合函数, 必须缩小f的定义域, 使其值域相应地缩小, 以至满足上述要求. 具体操作是反向的. 例如，为求复合函数 y =3 x + 2 ： x a z = 3x + 2 a y =fgz = 3x + 2的定义域， 可先求出 D g = [0,+∞ ) , 再由 z∈ D g , 即 3x+2≥0 解得 x ≥ ? 的定义域是 [?2 . 即函数 y = 3 x + 2 32 , + ∞) . 3图 2.7 例 2.1.6 试分析函数 y =1 是由哪几个函数复合成的, 并求其定义域. lg (3 ? x)解. 从 x 到 y 的计算过程是x a z = 3 ? x a w = lg z a y =因此该函数由 z = f (x) = 3 ? x , w = g (z) = lg z , 复合而成．fgh1 1 1 = = w lg z lg(3 ? x).y = h (w) = 1/w为求函数 y 的定义域, 从最后一个函数 y = h (w) = 1/w 的定义域 w≠0 写出使中间函数 w = lg z ≠ 0，z 应取的范围 z&0, z≠1；再写出使 z = f (x) = 3?x 得到的函数值 z 属于上述范围时 x 应取的范 围：x&3, x≠2．上面推导过程如下：?z & 0 ? w ∈ (?∞,+∞) ?3 - x & 0 ?x & 3 ?? ? ? ? ? ? x∈( ? ∞, 2) ∪( 2,3) ? w≠0 z ≠1 ? ?3 - x ≠ 1 ?x ≠ 2 ?故该函数的定义域是 例 2.1.7D h o g o f = ? ∞ ， ） （ 2 ，） . （ 2 ∪ 3某人准备从美国去日本旅游, 将 5000 美元以 1 ? 107.54 的比率换成日元. 但因故没有去成, 只好又将换成的日元以 107.95 ? 1 的比率换回美元. 若先用美元数 x 作自变量, 日元数 z 作因 变量, 则美元换成日元的公式是 z = f (x) = 107.54x . 接着又以日元数 z 作自变量, 换回的美元数 y 为因变量, 则日元换回美元的公式是 y = g ( z ) =z . 从拿出美元到收回美元的过程是 107.95美元 → 日元 → 美元这是由 f 与 g 复合起来的复合函数:fgy = g [ f ( x )] =1 ? 107.54 x ≈ 0.996 x 107.95.于是此人约损失了 5000×(1-0.996) = 20 (美元) . 例 2.1.8 设 f (xCa) = x ( x C a ) , 求 f (x).解. 由于 x a x ? a a f ( x ? a ) , 令 z = x C a, 即 x = z + a , 得 f (z) = f ( x C a ) = x ( x C a ) = ( z + a ) z . 再将上式中的 z 换成 x,即得 f (x) = x ( x + a ) . 上述方法称为变量代换, 通过 z = x C a 将 x 换成 z , 然后解出结果． 3. 反函数 现在研究指数函数y = 2x与对数函数y = log 2 x的关系:?R → ( 0 , + ∞ ) f :? x ? xa2它们的图象分别是y 1 5,?( 0 , + ∞ ) → R g:? ? x a log 2 x.y 4 31. 25 1 0 75 .2 1 x 25 . 5 75 . 1 0 1. 25 1 5 1 2 35 25 . x 4 2 2 44图 2,8图 2.9注. 这里函数f是定义域 D f = R到值域 R f = ( 0 , +∞ )上的一一对应, 即对每个x = x0 ∈ D f , 有唯一 的 y0 = 2x0∈ R f 与x0对应, 不同的x对应着不同的函数值y = 2x．反之, 对每个y0∈ R f , 也有唯一x0的x0 ∈ D f 使得 2一一对应在几何上表现为: 每一水平直线 y = y0∈ R f 与函数图象y = 2x = y0 ．x相交于唯一的点( x0 , y0 ), 其中 y 0 = 2 0 :图 2.10 由此我们把x0称为以 2 为底y0的对数, 记作x0 = log 2 y0 .当y取遍 R f 的值, 就得对数函数?( 0 , + ∞ ) → R g:? ? y a log 2 y按传统习惯, 用 x 表示自变量,.y 表示因变量. 因此写成?( 0 , + ∞ ) → R g :? ? x a log 2 x我们把g称为f的反函数, 往往写成g = f C1 . 当然, 指数函数y = 2x , x∈R , 也是对数函数y = log 2 x, x∈ ( 0 , +∞ ), 的反函数. 定义. 设函数 f : ??X → Y 是一一对应, 即对每一 x∈X, 按对应规律 f 有唯一的 y∈Y 与之对应, 反 ?xa y之, 每一 y∈Y , 也有唯一的 x∈X 使得 f (x) = y ．由此, 我们把反过来的对应称为 f 的反函数, 记作f当然,?1?Y → X :? ?yaxf也是f C1的反函数.按传统习惯, 用x表示自变量, y表示因变量. 因此y = f (x)的反函数记作 y = f -1 (x) , x∈ R f . 现把y= f (x)及其反函数y = f -1 (x)的图象画在同一直角坐标系里( 以y = 2x与y = log 2 x为例 )：图 2.11 由于 ( x , y ) ∈ Γ f ? y = f (x) ? x = f -1 ( y ) ?( y, x) ∈ Γ f ?1 . 因此, 互为反函数的两个函数的 图象关于直线y = x对称 . 例 2.1.9 考虑函数 y = sin x , x∈R ,其值域是[?1, 1]. 此函数不是一一对应. 例如, 有无穷多个x=π2±π3+ 2 kπ , k ∈ Z使得 sin x = 0.5 .图 2.12 为构造出反函数, 需要把定义域缩小成 [ ?π ? 2 , π ? 2 ] . 于 是 函 数? π ?[ f :? 2 ? ? f?1,] → [ -1,1 ] 为一一对应, 可得到 f 的反函数 2 x a sin xππ π ? ?[ - 1 , 1 ] → [ - , ] = arcsin : ? 2 2 ? x a arcsin x ?图 2.13y 15 . 1 05 . x 1 -. 05 -. 05 1 -. 15 05 . 1图 2.14 同理有?[ 0 , π ] → [ - 1 , 1 ] ? ? ? x a cos x ?的反函数, 它们分别是,? π π ?( - , ) → R ? 2 2 ? x a tan x ?,?( 0 , π ) → R ? ? x a cot x?[ - 1 , 1 ] → [ 0 , π ] ? arccos : ? ? x a arccos x ?其图象分别是：π π ? ?R → ( - , ) , arctan : ? 2 2 ? x a arctan x ?,?R → ( 0 , π ) arc cot : ? ? x a arc cot xyy 3y 3 2.5 2x1.5 12.50.52 1.5 1 0.5 -1 -0.5 0.5 1 x1.5 1 0.5 x -20 -10 10 20-20-10 -0.5 -1 -1.51020图 2.15 例 2.1.10 求y=图 2.16图 2.17x+2 的反函数 x?2解. 写出给定函数的定义域 ( ?∞ , 2 ) ∪ ( 2 , +∞ ) , 从式 y =2( y + 1) x+2 解出 x = , 改写此式为 x?2 y ?1y=2( x + 1) 2( x + 1) x+2 .再写出给定函数 y = 的值域, 即反函数 y = 的定义域是 x ?1 x?2 x ?1( ?∞ , 1 ) ∪( 1 , +∞ ) . 4. 初等函数 下表中列出的函数称为基本初等函数: 名称 常数函数 幂函数 指数函数 对数函数 三 角 函 数 正弦函数 余弦函数 正切函数 余切函数 正割函数 余割函数 反 三 角 函 数 反正弦函数 反余弦函数 反正切函数 反余切函数 反正割函数 反余割函数 表达式 y=c y = x?，?可为任意非零实数 y = ax , a & 0 , a ≠ 1 y = log a x , a & 0 , a ≠ 1 y = sin x y = cos x y = tan x y = cot x y = sec x y = csc x y = arcsin x y = arccos x y = arctan x y = arccot x y = arcsec x y = arccsc x 定义域 x∈ R 随 ? 而定 x∈ R x∈ ( 0 , +∞ ) x∈ R x∈ R x ≠ kπ + 0.5 π , k ∈ Z x ≠ kπ , k ∈ Z x ≠ kπ + 0.5 π , k ∈ Z x ≠ kπ , k ∈ Z x∈ [ ?1 , 1 ] x ∈ [ ?1 , 1 ] x∈ R x∈ R x∈ ( ?∞ , ?1] ∪ [ 1 , +∞ ) x∈ ( ?∞ , ?1] ∪ [ 1 , +∞ )对表中函数的图象，请读者自己研究绘制 ．定义.有限个基本初等函数通过有限次四则运算或复合得到的函数称为初等函数． 求初等函数 y = lg sin x +例 2.1.11 解.arccos x x +42? 4 x 的定义域．该函数由四个初等函数经四则运算组合而成，考察某点 x 是否在定义域内，要看这一点是否在每一个函数的定义域内．因 lgsin x 与 arccos x 的定义域分别是 2kπ& x & ( 2k + 1) π, k∈Z , 与 x∈ [ ?1 , 1 ] ,故给定函数的定义域是它们的交集 ( 0 , 1] ． 注. 分段函数一般不是初等函数,当然也有少数例外．2.1.3 函数的性态1. 函数的奇偶性 定义. 设函数 f (x)的定义域 D f 关于原点对称, 即 x∈ D f ? ? x∈ D f , 若 f (?x) = f (x) , x∈ D f ,则称 f 为偶函数; 若f (?x) = ?f (x) , x∈ D f , 则称f为奇函数. 例. y = x2 ?cos x , x∈ R , 是偶函数, 其图象是图 2.18 y = x3 + sin x , x∈ R , 是奇函数，其图象是图 2.19 偶函数的图象关于 y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称． 两个偶函数之和、差、积与商仍是偶函数，两个奇函数之和、差仍是奇函数，两个奇函数之 积与商是偶函数，奇函数与偶函数之积与商是奇函数．例 2.1.12 解. 因判定函数 y = log a ( x +x 2 + 1) , x ∈ R，是奇函数、偶函数、还是非奇非偶函数.y ( ? x ) = log a ( ? x + x 2 + 1) = log a = log a 1 x +1 + x2( x 2 + 1 ? x )( x 2 + 1 + x ) x2 + 1 + x= log a ( x + x 2 + 1) ?1 = ? log a ( x + x 2 + 1) = ? y ( x ) .故该函数是奇函数，其图象是图 2.20 2. 函数的周期性 给定函数 f(x),x∈ D f ,若存在常数 T 使得:1) x∈ D f ? x+T∈ D f ,2) f (x+ T ) = f (x) , x∈ D f ,定义.则称 f (x)为周期函数, 满足上述条件的最小正数 T 称为 f (x)的周期. 例: sin x, cos x, sec x, csc x 是周期 2π的函数, tan x, cot x 是周期 π 的函数. 以 T 为周期的函数图象沿 x 轴方向左右平移 T 的整数倍数, 图象将重合． 下面的 tan x 图象显示了周期 π的特性:02图 2.21 例 2.1.13 解. 求函数 y = 5sin(πx)的周期．因 y = 5sin(πx) = 5sin(πx+2π ) = 5sin[π(x+2 )] , 故该函数的周期是 2． 一般, sin ωx 的周期为 2π ? ω ．3. 函数的单调性 定义. 给定函数f (x), x∈ D f , 设(a, b)? D f , 若对任意x1, x2∈ ( a , b ), x1& x2 ,0 15 0 1 0 201 5 011) 有 f (x1) & f (x2) , 则称f (x)在( a, b)单调增加; 2) 有f (x1) & f (x2) , 则称f (x)在( a, b)单调减少; 3) 有f (x1) ≤ f (x2) , 则称f (x)在( a, b)单调不减; 4) 有f (x1) ≥ f (x2) , 则称f (x)在( a, b)单调不增. 单调增加与单调减少分别简称为递增与递减．y 1 5 1. 25 1 0 75 . 5 25 . x 4 2 2 4 -20 -10 10 20 y 3 2.5 2 1.5 1 0.5 x图 2.22y 3 25 .递增函数y 2图 2.23递减函数1.5 2 15 . 1 0.5 05 . x 1 2 3 4 0.5 1 1.5 2 2.5 3 x 1图 2.24 不减函数 例 2.1.14图 2.25 不增函数y = x2在 ( ?∞ , 0 ) 递减, 在[ 0 , +∞ ]递增,其图象如下：图 2.26 4. 函数的有界性 定义. 给定函数 f (x), x∈ D f , 集合 X ? D f , 若存在正数 M 使得1) 对任何 x∈ X , 有| f (x) | ≤ M , 则称 f (x)在 X 有界, 否则称为无界. 2) 对任何 x∈ X , 有 f (x) ≤ M , 则称 f (x)在 X 有上界, 否则称为无上界. 3) 对任何 x∈ X , 有 f (x) ≥ ? M , 注. 则称 f (x)在 X 有下界, 否则称为无下界.集合 X 可以是闭区间[a,b], 开区间(a,b), 也可以是半开半闭区间 [a, b ) 或 (a, b] .y 1.5 1 0.5 x -20 -10 -0.5 -1 -1.5 10 20图 2.27 无界函数的图可见图 2.21.y 2 1.8 1.6 1.4有界函数y 15 12.5 10 7.5 51.2 x 0.5 1 1.5 2 2.5 32.5 x -4 -2 2 4图 2.28有上界函数图 2.29有下界函数上面是函数有界的定义，那么我们如何理解“函数无界”这一命题呢？ 命题 P ： 函数 f (x)在集合 X 无界 ． 命题 P 应是命题： “函数 f (x)在 X 有界”?“存在正数 M, 满足对任何 x∈ X , | f (x) | ≤ M”的 否命题, 因此 命题 P ? “不存在正数 M, 满足对任何 x∈ X , 有| f (x) | ≤ M” ? “对任何一个正数 M, 都不满足对任何 x∈ X , 有| f (x) | ≤ M” ? “对任何一个正数 M, 至少有一个 x∈ X , 不满足| f (x) | ≤ M” ? “对任何一个正数 M, 存在一个 x∈ X , 使得| f (x) | & M” 换句话说,命题 P 是“对任何一个正数 M, 存在 x∈ X ， 使得| f (x) | & M”,即对无论多大的正数 M, 总有 x∈ X , 使得| f (x) | & M ．图 2.302.1.4 其他函数举例1. 经济学函数 需求函数 市场对商品的需求 q 依赖于商品价格 p, 这种依赖关系称为需求函数:q = q ( p),p ∈ [ 0 , +∞ )一般说, q ( p) 是递减函数: 价格上升, 需求减少. 例如： q = a ? bp, p ∈[0, a/b] ( 其中 a , b 是常数，且 a&0, b&0 ) .q 6 5 4 3 2 1 p 05 . 1 15 . 2图 2.31 供给函数需求函数厂家向市场提供的商品量(供应量)q 对于价格 p 的依赖关系称为供给函数 ： q = f ( p), p ∈ [ 0 , +∞ )一般说, f ( p)是递增函数: 价格上升, 刺激厂家多生产. 例如: q = c +d p, p ∈ [ 0 , +∞] (其中 c , d 为正的常数).q 8 7 6 5 4 3 2 1 0.5 1 1.5 2 2.5 3 p图 2.32 平衡价格供给函数同一市场中, 某种商品有时供不应求(供给量少于需求量), 此时价格将上升; 有时供过于求 (供给量多于需求量), 此时价格将下降． 这种市场调节的客观规律将不断使价格进行调整, 逐渐 达到平衡，即供求平衡时的价格p0 ． 这可以将需求函数曲线与供给函数曲线画在同一直角坐标 系里, 若它们的交点是(p0, q0), 则p0就是平衡价格, 此时供给量等于需求量.图 2.33 成本函数 生产总成本: 固定成本――与产量无关的部分, 如房租, 水电费等;可变成本――与产量有关的部分． 例如: C = C0+ ax, x ∈ [ 0 , +∞ ) C ――生产总成本 C0 ――固定成本 ax ――可变成本: a & 0 是常数 , 收入(益)函数 销售收入 R 依赖于销售量 x 的函数关系称为收入(益)函数． 对市场来说, 销售量就是需求量, 对厂家来说, 当全部产品都能售完时, 销售量就是产量． 若价格为 p, 则收入函数为 R = px . 利润函数 销售收入 R 扣除成品 C 后得利润 L, 即 L(x) = R (x) C C (x) 称为利润函数． 2. 数列 现在我们来重新认识中学学过的数列： u1 , u2 , u3 , …, un , … . 令 f (n) = un , n∈N ,其中N是正整数集合 ． 这就得到函数： f : ? x 是产量．?N → R ?n a u n.因此 , 数列{ un}是以N为定义域的一种特殊函数, 且函数值un按照项数n的顺序排列起来． *菲波那契数列 例 2.1.14. 菲波那契数列. 意大利伟大的数学家列昂那多. 菲波那契在 1202 年研究兔子产崽问题时, 发现了此数列． 设一对大兔子每月生下一对小兔子, 每对兔子在出生一个月后又下崽; 同时假定兔子都不死 亡． 问：一对兔子在一年内将繁殖成多少对大兔子? 则 用un 表示第n月的大兔子对数． u1 = 1, 到第 2 月, u2 = 1, 但已生下 1 对小兔; 到第 3 月, 有 2 对大兔, u3 = 2, 同时第 1 对大兔又生下 1 对小兔; 到第 4 月, u4 = 3, 同时前面两对大兔又生下 2 对小兔; 如此继续, 现在用下表列出 月份数 大兔数 小兔数 1 1 0 2 1 1 3 2 1 4 3 2 5 5 3 6 8 5 7 13 8 8 21 13 9 34 21 10 55 34 11 89 55 12 144 89 n?1 un-1 un-2 n un un-1从上表看出, 第n月的小兔对数就是un-1, 而第n月的大兔对数等于第n?1 月的大兔、小兔之总 对数：un = un-1 + un-2 ． un 排成的数列为： 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, … 因此一年内将繁殖成 144 对大兔, 另有 89 对小兔．此数列就称为菲波那契数列，表示此数列的公式： u1=1, u2=1， un = un-1 + un-2 , n = 3, 4, 5, …称为递推公式． 事实上, 菲波那契数列也有通项公式:n n 1 ?? 1 + 5 ? ? 1 ? 5 ? ? ? ?? ? ? , n ∈N . ?? un = 5 ?? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ??请你用归纳法验证上述公式． *证卷投资的艾略特波浪理论 20 世纪 30 年代经济学家艾略特把菲波那契数列应用于股票价格变化的技术分析, 创立了艾 略特波浪理论,其要点是： 无论我们考察多长时间的一个周期，股票价格变化总呈现出 8 个浪的形态． 若在牛市转向熊市即先升后跌状态，那么前 5 个是升浪,后 3 个是跌浪．其中 5 个升浪的第 2, 4 两个是牛市中的调整(小跌)浪，而在 3 个跌浪中的第 2 个是熊市中的调整(小升)浪，如下图所 示．图 2.34 事实上，这 8(5+3)个浪是上一级更大浪(图中一升一跌的中轴线所示)的精细化．与上一级大 浪方向一致的小浪(图中的①,③,⑤,⑥,⑧)称为推动浪，否则称为调整浪(图中的②,④,⑦)． 若在熊市转向牛市即先跌后升状态， 那么前 5 个是跌浪,后 3 个是升浪， 其中第①,③,⑤,⑥, ⑧仍为推动浪，②,④,⑦仍为调整浪．如下图所示．图 2.35 艾略特波浪理论认为股票价格变化规律是上述过程的不断精细化．即每一推动浪与紧随的调 整浪总是被划分成 5+3 个次级浪:5 个推动浪与 3 个调整浪.如此一直可以细分下去.由此规律，我 们把浪的数目按下列顺序排列起来：1, 1,2, 第 目 一 级 浪 总 数3, 第 二 级 调 整 浪5,8 ， 第 二 级 浪 总 数13， 21， 34，55， 89， 第144， ．．． ．．． 第第 一 级 浪 一 升 一 跌第 三 级 调 整 浪推 动 浪 数 目推 动 浪 数第 三 级 浪 总 数四 四 级 调 整 浪 推 动 浪 数 目级 浪 总 数就形成一个菲波那契数列，这可以用数学归纳法证明．艾略特波浪理论的详细内容可参考周爱民 著《证卷投资分析方法研究》一书． *3. 多元函数 由于自然界与社会事物变化的复杂性, 经常要研究多种因素间的相互依赖关系．数学上表现 为一个变量 z 依赖于两个或多个变量 x, y, …．于是因变量 z 就成为两个或多个自变量 x, y, … 的 函数．例如矩形面积 S 依赖于长 x 与宽 y： S = xy. 我们称 S 是 x 与 y 的二元函数. 通常记二元函 数为 z = f (x, y) . 类似地有三元、四元、…等函数, 统称多元函数, 其中的“元”指自变量的个数, 但自 变量要规定一个次序, 写成有序数组． 例如二元函数的自变量写成(x, y)． 例 2.1.15 方法如下： 公元 1 年 1 月 1 日是星期 1，经数学证明，确定公元 x 年 y 月 z 日是星期几(n)的计算(当y≥3 ?x , xax=? ?x ? 1 , 当 y & 3 ? y ? 2 ,当 y ≥ 3 ya y=? ? y + 10 , 当y & 3 ?x? ? x ? ? x ? x, y , z a w = x + ? ? ? ? ?+? ? + 2.59 y + z ? 4 ? ?100 ? ? 400 ? w a n = w(mod 7))[]其中 w(mod 7)表示用 7 除 w 所得的余数． 例如你要知道 2008 年 1 月 1 日是星期几, 则 x = 2008 , y = 1 , z = 1, ? ?x = 2007 , y = 11 , w = 2522n=2 .,故 2008 年元旦是星期 2 ．请你分析一下: 从自变量 ( x , y , z ) 到因变量 n 的对应是如何构成的, 此函数的定义域是什 么?值域是什么? *4. 数理语言学 把事物的转换理解为对应, 应用于语言学的结构研究, 人们就创立了数理语言学． 每种语言是由一些基本句子组成的集合, 同时规定了一组转换关系(映射)． 基本句子由名词 与动词构成. 通过规定的转换关系把几个基本句子联结在一起, 就可产生许许多多复杂的句子． 例如给定 基本句： ? 转换规则? S 1 = 张光辉骑车 及 ? S 2 = 王定芳骑车t1 = 用“和”把S1, S2联结在一起: t1: ( S1 , S2 ) → S3 = t1 ( S1 , S2 ) = 张光辉骑车和王定芳骑车.转换规则t2 = 省略第一个“骑车”: t2: S3 → S4 = t2 ( S3 ) = 张光辉和王定芳骑车.转换规则t3 = 在S4后加上“到火车站”t3: S4 → S5 = t3 ( S4 ) = 张光辉和王定芳骑车到火车站. 三个转换t1, t2, t3是三个映射, 它们的复合就构成了从( S1 , S2 )到S5的转换:( S1 , S 2 ) → S 3 →S 4 → S 5 = t3 ( t2 ( t1 ( S1 , S2 ) ) ) = 张光辉和王定芳骑车到火车站.习 题2.1.1 对下列函数,求指定的函数值: (1) 设 f ( x) = ?t1t2t3? x, ?? x ,x&0 , 求 f ( 0 ); x&0求 g ? ? sin(2) (3)设 g (x) = ?sin x ,? ?π??; 2?设f (x) = [x2 ] , 求在x = 0, ?1, 1, 1.5, 0.25 处f (x)的值 ;? x -1 ? f ( x) = ? 2 x + 1 + x + 1 , (4) 设 ? 0, ?(5)x ≠ ?1 ,求 f (?2); x = ?1(6) 设 f?设 f ( x?1) = x2 +1, 求f ( x0+h ) ? f ( x0 ) ; 设 f ( x) =? 1 ? ? x + 1? ?=? ? , 求f (x) ; ? x? ? x ?2(7)1? x , g (x) = 1+ x , 求 f [g (x)] ; x(8)设 f (x) =1+ lg x , g (x) = 1+ x , 求 f [g (x)] ;(9) 设 f (x) = x2 + x +1 , 求 f ? (11) 设 f (x) = x2 , g (x) = 2 x,? 1 ? ?; ? x ?1?求f [ g (x) ]; f [ g (x) ] =(10) 设 f (x) = x +6+ x , 求f (?2); 2? x(12) 设 g (x) = 1+x, 且当 x≠0 时1? x ?1? , 求 f ? ?; x ?2?(13)设 y = g (x)与 y =1 ? 3x 的图象关于直线 y = x 对称, 求 g (x) 的表达式; x?2(14)设 f ( sin x ) = 3 ? cos 2x, 求 f (cos x); (15)设 f (x) =x , 求 x ≠ 1 且 x ≠ 0 时的 x ?1? 1 ? f? ?; ? f ( x) ?(16)设 f (x) = sin x2, (17)设 f ?g (x) = x2 +1, 求f [g (x) ];x ?1? ,求 f (2x); ? = ? x ? x ?1*(18)设 f(x)满足? ? f ( x + y ) + f ( x ? y ) = 2 f ( x ) cos y ? f ( 0) = a ? ? ?π ? f? ?=b ? ?2? ?其中 a , b 是已知常数. 求 f(x)的表达式 ; *(19) 设 f (x)满足 af (x) +b f ??1? ? = cx, 其中 a, b, c 均为非零常数, 且 a ≠ b . 求 f (x)的表达式; ? x?*(20) 已知 ab ≠ 0 , 且 a ≠ b , 函数 f (x)满足 af (x ? 1) + bf (1 ? x) = cx, 求 f (x)的表达式. 2.1.2 将函数 f (x) = 2 ??x ?2?表为分段函数时, f (x) =? 2.1.3 求下列函数的定义域： (1) f[g(x)],其中 f(x)=lg x , g(x) = x + 3 ; (2) y =2x + 1 ; 2x ? x ? 12(3) f ( x) = ?? 9 ? x2 , ? 2 ? x ? 9, ?x ≤3 ; 3& x & 4(4) y =lg( x + 1) x ?1;(5) y =x ?1 + 16 ? x 2 ; lg x1 ; cos x ? sin x(6) f ( x) =1 ; lg x ? 5(7) y = 2.1.4 2.1.5 2.1.6 2.1.7 2.1.8 (1)(8) y =1 . lg(cos x)设 f(x) 的定义域是[0, 2] , 求 f (x?1)的定义域. 设 f ( x )的定义域是[0, 1], 求 f ( x+a )的定义域. 设f ( x )的定义域是[0, 4], 求 f ( x2 )的定义域. 设 f ( x )的定义域是[0, 1], 且 0≤ a ≤ 0.5 , 求 f ( x+a ) + f( x?a )的定义域. 求下列函数的值域： f(x) = 3 + 2 (2) f(x) = arctan x + 0.5(3) y = 2.1.9x ? 4 + 15 ? 3 x .设 f (x) = ?? 1? x2 , x ∈ [?1 , 1] ? ,求包含Rf的最小有限区间. 又对函数 2 ? x ? 1 , x ∈ (?2 , ? 1) ∪ (1 , 2) ? x ≤1 ,这样的区间存在吗? x &1? 1? x2 , ? g ( x) = ? 2 ? x ?1 , ?2.1.10设 A = { x | ?1 ≤ x ≤ a }, a & ?1 . 又设 B = { y | y = 2 x+1, x∈ A }, C = { y | y = x 2, x∈ A }, B ∩ C = C. 问: a应满足什么条件?2.1.11求下列函数的反函数: (2) y = π+ arc tan(1) y = ? x ? 1, x ∈ [1,+∞ ) ; (3) y = 2x ?1, x ∈ R;x ,x∈R; 2x ∈ ( 0 , +∞ );(4) y = log 9 3 +log 4 x ,2.1.12 设 f ? 2.1.13 (1) (3)? 1 ? x +1 , x ≠ 0 , 求f ?1(x). ?= x? x ?求下列函数的反函数及其定义域与域值: (2) (4) f(x) =f(x) = x3? 1 ; f(x) = lg (x2? 1), x & 1 ;1? 1+ xf(x) = arc tan (x3 + 1).2.1.14 (1) (3)分析下列函数是如何复合构成的: y = lg x +(x2 + 1 ;)(2)y = ( 2 x + 1) ?3y = [ 1+ ( lg tan x) 2 ] 3;(4) y = sin arc cos x ? 1 .2.1.15作下列函数的图象: (2) y = [ x] 2 , x ∈ [ ?2 , 2 ] ;(1) y = [ x2], x ∈ [ ?2 , 2 ] ;?1 , x & 0 ? (3) 符号函数 y = sign x = ? 0 , x = 0 ?? 1 , x & 0 ?2.1.16 研究下列函数的单调性: (1) y = 2 ? 3 (2) y = 3? (3)(4) y = ?? x + 2 , x ∈ ( ?∞,0) . x ? 2 , x ∈ (0,+∞)y = log 0.2(4) y = 3 ? x2 .2.1.17 函数 y = ax2 + c 在( 0 , +∞ )内递增, 求a , c满足的条件. 2.1.18 判断下列函数是否周期函数, 若是, 求出其周期:(1) y = sin 2.1.19 3(2) y = sin x +(3) y = x sin 3(4) y = tan1 ; x(5) y = | sin x | .判断下列函数是奇函数, 偶函数还是非奇非偶函数: (2) f(x) = [x] 2 ; (3) f(x) =(1) f(x) = [x2] ;x x;3 x + 3?x (4) f(x) = ; 2*2.1.20 (1) z =10 x ? 10 ? x (5) f(x) = ; 2(6) f(x) = lg x .求下列函数的定义域:1 x2 + y2 ?1;(2) z =1 1? x2;?1 y2 ?1;(3) z =1 ; lg( x + y ).(4) z =4 ? x2 ? y2 +1 x + y2 ?12(5) z = arc sin(1 ? y) + lg( x? y )*2.1.21求下列函数的指定函数值:(1) 设 f (x, y ) =xy ?y ? , 求 f ? ,1? ; 2 x +y ?x ?2(2) 设 z(x, y ) = | x y | +y 2? ? , 求 z ? ? 1, ? ; 3? x ?(3) 设 f (x+ y , x ?y ) = x2 ? y2, 求f (x , y) ; (4) 设 f (x , y) = lg x ? 2.1.22 2.1.23(x 2 ? y 2 , ( x & y &0 ), 求 f (x+ y , x ?y ) .)已知 50 克相当于 1.7637 盎司, 写出从盎司换成克的公式, 即 x 盎司应重多少克? 设需求函数由 p + q = 1 给出, 其中 p 是价格, q 是需求量. (2) 若出售 1 / 3 单位, 则总收益应是多少?(1) 求总收益 R 关于 q 的函数 R(q); 2.1.24已知产品价格 p 与需求量 q 满足关系 4p + q = 60 . 求:(1) 价格对于需求的函数 p = p (q), 并作图; (2) 总收益函数 R = R(q), 并作图; (3) p(0), p(1), p(6), R(1.5), R(5.5), R(7).2.1.25 某市场对棉花的需求函数由方程pq1.4 = 55 给出. 求 (1) 总收益函数 R(q); (2) R(10), R(12), R(15) .2.1.26 某企业对一产品的销售策略是: 购买不超过 20 公斤, 每公斤价 10 元; 购买不超过 200 公斤 时, 超过 20 公斤部分, 每公斤 7 元; 购买超过 200 公斤的部分, 每公斤 5 元. 试写出购买量为 x 公 斤的费用函数 C(x). *2.1.27 预测 2010 年元旦是星期几, 并用例 2.1.15 的星期公式, 计算一下你出生那天是星期几, 再 核实一下你的答案. *2.1.28 试分析例 2.1.15 的星期公式的函数构成. *2.1.29 证明:菲波那契数列的un (n & 2)被其前面第 2 项un?2除, 必得商 2, 且余数是un?3 . *2.1.30 用归纳法证明菲波那契数列的通项公式:n n 1 ?? 1 + 5 ? ? 1 ? 5 ? ? ? ?. ? ?? ?? un = 5 ?? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ?*2.1.31 令 S1 =“父亲修理”, S2 =“儿子修理”是两个基本句. (1) 试用一个转换t1导出句子“父亲修理这辆自行车”, 记此句子为S3 ; (2) 试用一个转换t2由S3导出句子S4 =“这位父亲修理这辆自行车”; (3) 若t1作用于S2 , 将导出什么句子? 即S5 = t1(S2)是什么? (4) 试确定转换t3 , 使t3(S5) = S6 =“他的儿子修理这辆自行车”; (5) 令t4是在两个句子中间嵌入“或”的转换, 试说明t4(S4 , S6) = S7的含义; (6) 试确定转换t5 , 把“这位父亲修理这辆自行车或他的儿子修理这辆自行车”变成S8 =“这位父 亲或他的儿子修理这辆自行车” (7) 列出从S1 , S2出发, 最后导出S8的所有转换. *2.1.32 将复杂句“张光辉和王定芳骑车到火车站”分解成两个基本句. 即定义若干转换, 它们的 作用正好与构造这个复杂句时用的转换相反, 称之为原转换的逆转换 .思 考 题2.1.33 幂指函数 u ( x ) v ( x ) 是否初等函数? 2.1.34 有上界的函数能否说有界? 2.1.35 分段函数 y = ?? x, x ≥ 0 是否初等函数? ?? x , x & 02.1.36 怎样求分段函数的反函数？试举一例. 2.1.37 怎样求由分段函数复合起来的复合函数表达式？试举一例. 2.1.38 我们定义的函数都是单值函数,即与自变量的一个值对应的函数(因变量)值是唯一的. 既然 函数值是唯一的,那么是否每个函数都有反函数?究竟什么样的函数才能有反函数? 2.1.39 关于函数的有界性,你能够区分出哪几类？举例说明. 2.1.40 周期函数是否一定是初等函数? 2.1.41 设 y=f(u),u=g(x)都是严格单调函数,那么复合函数 y=f[g(x)]在其定义域内是否一定严格单调?2.2 极限教学要求本节要求读者在中学数列极限的基础上 1.掌握函数极限的直观意义和运算法则；sin x 2.学会运用重要极限 lim = 1, x→0 x? lim?1 + x →∞ ?1? ? = e 来计算初等函数或数列的极限； x?x3.理解无穷小量与无穷大量及其等价的意义, 掌握运用无穷小量等价计算极限的方法； 4.了解初等函数的连续性； 5.初步了解极限概念的应用．知识点1.极限概念 2.极限的性质 3.两个重要极限 4.无穷小量与无穷大量 5.应用举例 *6.函数极限的分析定义2.2.1 极限概念例 2.2.1 早在 2300 年前，我国春秋战国时期的哲学名著《庄子》记载着庄子的朋友惠施的名言： “一尺之捶，日取其半，万世不竭．”意思是：从一尺长的杆，第一天截取一半，第二天截取余下 的一半，即 1/ 4：如此继续，每天截取前一天剩余的一半，以至无穷，永无止境． 把每天截取的量按顺序写出来就成等比数列： n 1 2 3 4 5 n 日子序号 … … f(n) 1/2 1/4 1/8 1/16 1/32 1/2n 截取量 … … 当日子序号(即数列的项数)无限增大时， 对应的截取量(即通项) 1/2n就无限地接近 0， 但又 永远不会等于 0． 正如《庄子》所说： “万世不竭”． 例 2.2.2 早在 1700 年前，我国三国时期数学家刘徽运用割圆术算出圆周率π介于 3.1410 与 3.1427 之间． 割圆术的基本思想是用圆的内接正n边形周长逼近圆周． 当n无限增大时， 正n边形周长ln就 无限接近圆周πd(其中d是圆的直径)．图 2.36 定义． 给定数列{ xn }， 若项数n无限增大时(记作n→∞)， 通项xn无限地接近常数A， 则称A为数列{ xn } 的极限，记作 lim x n = A ，同时说数列{ xn }收敛到A．否则称数列{ xn }发散．n→∞注． lim x n = A ” 读作“n趋于无穷大时xn 的极限是A” ，也简化读作“limit xn等于A” “ ．n→∞例 2.2.3求 limn + (?1) n n →∞ n解． 因n + (?1) n (?1) n (?1) n (?1) n = 1+ ． 其中 随 n 无限增大时无限地逼近 0， 故 1 + 无限 n n n n n + (?1) n =1 ． n →∞ n地逼近 1． 因此 lim例 2.2.4 数列：a0 ， a0q ， a0q2 ， …， a0qn， … 称为等比数列， q是其公比 ． 2.2.1 中, 从惠施名言得知每日截取量形成的数列是a0 = 1/2 ， q = 例 1/2 的等比数列．?0 , ? 若a0 ≠ 0， 则我们有 lim a 0 q n = ? a 0 , n→∞ ?不存在 , ?q &1 q =1 . q &1例 2.2.5 等比级数的求和． 把等比数列{ a0qn}的所有项用加号连接起来：a0 + a0q + a0q2 + … + a0qn + … ，这个式子可 缩写成∑ a0 q n ，并称为等比级数. 式子a0 + a0q + … + a0qn-1 =n=0∞∑a qk =0n ?1k0称为该等比级数的前n项部分和， 记作sn ． 于是得到部分和的数列： s1 = a0 ， s2 = a0+ a0q ， … ， sn = a0 + a0q + … + a0qn-1， … ． 现在研究数列{ sn }的收敛问题．因 s n = a 0 + a 0 q + L + a 0 qn ?1=a 0 (1 ? q n ) ，所以，只要| q 1? qa 0 (1 ? q n ) a = 0 就存在，此极限可以理解为级数所有项加起来的结果,我 |&1,极限 lim s n = lim n →∞ n →∞ 1? q 1? q们称∞ a0 为等比级数 ∑ a 0 q n 的和，并记作 1? q n=0∑a qn=0∞n0=a0 （ | q |&1 ） ． 1? q对| q | ≥ 1，极限 lim∞∞ a 0 (1 ? q n ) n 不存在，我们就说等比级数 ∑ a 0 q 发散． n →∞ 1? q n =0例如，1 1 = 2 1 = 1 ． 即把 1 尺长的杆，每天截取前一天余下的一半，把所有截取的量 ∑ 2n 1 ? n =1 2加起来，就应等于整个杆的长度 1 尺 ． 例 2.2.6 解． 把循环小数 0. 31 =0 .313131…化成分数 .. .0. 31 = 0 .31+0 .0031+…=31×(10 C2 +10 C4 + …)= 31×10 C2 ÷(1?10 C2)= 31/99 ．. .我们已经了解数列的极限，但是微积分的主要研究对象是函数，数列是自变量取正整数值的特殊函数，我们不仅要研究数列的变化趋势，更需要研究一般函数在自变量向某个方向变化时函 数(因变量)值是如何变化的．实际上，函数极限是微积分学的最基本工具，它贯穿微积分学的始 终．我们先看两个例子． 例 2.2.7 当 x 无限地逼近于 0 时， 看函数 f ( x ) = x sin x 是如何变化的?解. 我们从下图看到， x 在 0 的两侧无限地逼近于 0 时， 引起函数值(图象上的点的纵坐标) xsinx 无限地逼近 0．图 2.37 这种情况记作 x sin x → 0 例 2.2.8 ( x → 0) 或lim x sin x = 0 ．x →0sin x 是如何变化的? x sin x 解. 我们从下图看到，x 无限增大时，引起函数值 无限地逼近 0． x当 x 无限增大时， 看函数 f ( x ) =图 2.38 这种情况记作sin x →0 x( x → +∞ ) 或sin x =0 ． x → +∞ x lim仔细观察上述两个例子后， 你就能理解函数极限的下述直观描述(朴素定义)． 函数极限的朴素定义． 设 y = f (x)是给定函数， 如果自变量 x 在定义域内按照某种趋势(记作 x → □)变化时,函数值 f(x)相应地变化而无限地逼近常数 A，则称 A 为函数在该变化过程中的极限，或 说 y 收敛到 A(简称 y 有极限或 y 收敛)，记作 lim y = A ,读作 x 趋于□时函数 y 的极限是 A．x→□这里 x → □表明 x 的变化趋势， 有六种不同情况： 1) x → a： x 无限地逼近于 a， 读作 x 趋于 a．比如 例 2.2.7 的 x → 0． 注． x 可大于 a，也可小于 a， 即从 a 的左右两侧无限地逼近 a，但 x 能否等于 a 不必计较． 2) x → +∞ ： x 的值无限地增大， 读作 x 趋于正无穷大． 比如 例 2.2.8 的 x → +∞ ． 3) x → ?∞ ： x 的值无限地减小， 读作 x 趋于负无穷大． 例 2.2.9．x → ?∞lim 2 x = 0 ．图 2.39 4) x → ∞ ： x 无限地增大， 读作 x 趋于无穷大．例 2.2.10lim1 = 0． x →∞ x图 2.40 5) x → a+： x大于a而无限地逼近a，读作x趋于a加，我们称 lim+ f ( x ) 为f (x)在a点的右极限．x→a6) x → a ? ： x 小于 a 而无限地逼近 a，读作 x 趋于 a 减．我们称 lim? f ( x ) 为 f (x)在 a 点的x→a左极限． 注． f (x)在 a 点的左或右极限中 x 能否等于 a 不必计较． 例 2.2.11x → 3+lim [ x ] = 3 ,x → 3?lim [ x ] = 2图 2.41图 2.42 请仔细观察此例中左右极限的差别．为了进一步理解函数极限的概念，再看三个例子． 例 2.2.12 设 f ( x) = 2 x ，x ∈ ( 0, 2 ) ．则lim f ( x) = 2 .x →1图 2.43 例 2.2.13 设g ( x) = 2 x ，x ∈ ( 0, 1 ) ∪ ( 1, 2 ) ．则lim g ( x ) = 2 .x →1图 2.44 例 2.2.14 设1 , x =1 ? h( x ) = ? ?2 x , x ∈ (0,1) ∪ (1,2)，则lim h( x) = 2 ．x →1图 2.45 上述 f(x)，g(x)，h(x)是三个不同的函数，但 x 1 时的极限都是 2．三个函数的差别在于定义 域不同，或在 x = 1 处的函数值不同． 这说明在自变量 x a 时函数 f (x)的极限与函数值 f (a)有没 有定义， 究竟如何定义毫无关系， 也就是说， 自变量 x 趋于 a 并不要求 x = a，x 能否取 a 值， 并不影响极限的存在与等于什么．2.2.2 极限的性质设 lim f ( x ) ， lim g ( x ) 均存在，c 为常数，则有x →□ x →□性质 1． lim c = c ．x →□性质 2． lim x = a .x→a性质 3． lim cf ( x ) = c lim f ( x ) ．x →□ x →□性质 4． lim[ f ( x ) ± g ( x )] = lim f ( x ) ± lim g ( x ) .x →□ x →□ x →□性质 5． lim[ f ( x ) g ( x )] = lim f ( x ) ? lim g ( x ) .x →□ x →□ x →□性质 6． limf ( x) lim f ( x) ， 此处 lim g ( x ) ≠0． = x →□ x →□ x →□ g ( x ) lim g ( x)x →□ x→a x→a x→a性质 7． lim f ( x ) = A ? lim+ f ( x ) = A = lim? f ( x ) ． 例 2.2.15 求 lim x + 2 x ? 3 ．2 x →12( ()解． 原式 = lim x + lim 2 x ? lim 3 = lim xx →1 x →1 x →1 x →1( ) + 2 lim x ? 3 = 12 x →12+ 2 ?1 ? 3 = 0例 2.2.16求 lim x + x ? 2 ．2解． 原式 = lim xx →1( ) + lim x ? 2 = 1 + 1 ? 2 = 0 .2 2 x →1 x →1x →1)例 2.2.17求 limx 2 + 2x ? 3 ． x2 + x ? 2解． 按例 2.2.15 与 2.2.16， 分子与分母的极限均为 0， 我们不能运用性质 6 来计算， 否则将得0 ， 无法确定其值． 但可以约去分子分母的公因子 x?1 后再行计算： 0 ( x ? 1)( x + 3) x + 3 lim( x + 3) 1 + 3 4 原式 = lim = lim = x →1 = = . x →1 ( x ? 1)( x + 2) x →1 x + 2 lim( x + 2) 1 + 2 3x →1例 2.2.18求 lim?3 ? ? 1 ? ?． x →1 1 ? x 1 ? x3 ? ?(1 + x + x 2 ) ? 3 ( x ? 1) + ( x 2 ? 1) = lim 解． 原式 = lim x →1 (1 ? x )(1 + x + x 2 ) x →1 (1 ? x )(1 + x + x 2 )= limlim(? x ? 2) ( x ? 1) + ( x ? 1)( x + 1) (?1) + (? x ? 1) = lim = x →1 x →1 x →1 (1 ? x)(1 + x + x 2 ) 1+ x + x2 lim(1 + x + x 2 )x →1=?1? 2 = ?1 . 1 + 1 + 12x→4例 2.2.19求 limx ?2 ． x ? 5x + 42解． 原式 = limx→4( x ? 2)( x + 2) ( x ? 4)( x ? 1)( x + 2) 1 ( x ? 1)( x + 2) == limx→4x?4 ( x ? 4)( x ? 1)( x + 2) = 1 ． 12= limx→41 (4 ? 1)( 4 + 2)仔细考察上述几个例子， 你能发现， 分母极限 lim g ( x ) ≠ 0 时， 往往可直接将 x=a 代入式子，x→a即得极限值．这是初等函数的一个特征，即所谓连续性概念. 定义． 如果在函数 y = f (x)的定义域内， (1) lim f ( x ) = f ( a ) ， 则称 y = f (x)在点 a 连续;x→a(2) lim+ f ( x ) = f ( a ) ， 则称 y = f (x)在点 a 右连续;x→a(3) lim? f ( x ) = f ( a ) ， 则称 y = f (x)在点 a 左连续．x→a式子 lim f ( x ) = f ( a ) 等价于 lim f ( x ) = f (lim x ) ．x→a x→a x→a若 f (x)在(a, b)内每一点连续，则称 f (x)为(a, b)内的连续函数． 若 f (x)在开区间(a, b)内每一点连续, 且在 a 点右连续， b 点左连续， 在 则称 f (x)为闭区间[a, b] 上的连续函数．图 2.46 定理 2.2.1．初等函数是其定义域内的连续函数． 根据这个特征，初等函数在定义域内的极限就等于函数值，即若 a 是初等函数 f (x)的定义域 内一点， 则 lim f ( x ) = f ( a ) ． 这为计算初等函数的极限提供了极大的方便．x→a例 2.2.20求 lim lg sin π ． xx→2解． 因 x = 2 是初等函数 lg sin π 定义域内一点，故原式 = lg sin lim π = lg sin x xx→2π2=0 ．2.2.3. 两个重要极限 sin x 重要极限 1． lim =1 . x →0 x sin x 下图显示了函数 在 x = 0 的邻近的变化趋势. x图 2.47 例 2.2.21 求 limtan x . x →0 x解． 原式 = lim 例 2.2.22sin x 1 sin x = lim ? lim = 1. x → 0 x cos x x→0 x x →0 cos x arcsin x 求 lim . x →0 x解． 令 t = arc sin x， 则 x = sin t， 于是原式 = lim1 1 t = lim = = 1. x →0 sin t t →0 sin t sin t lim t →0 t t注． 此处令 t = arc sin x 的做法称为变量代换. 同理可得 limarctan x =1 . x →0 x1重要极限 2． lim(1 + x ) x = lim?1 + ? = e = 2．71828….x →0? t →∞ ?1? t?t1下图显示了函数 (1 + x ) x 在 x = 0 的邻近的变化趋势.图 2.48 此极限的实际背景是自然科学与社会经济领域中普遍存在的指数增长模型，比如化学、物理、 生物、心理学、社会学、经济学与金融商业领域都有此类问题需要研究. 下面以人口问题为例说 明此重要极限的来历． 一次人口普查后统计得知某城市人口数为A0，如果根据过去若干年的数据分析，知该城市人 口年增长率为r，则 1 年后的人口数是A1 = A0 + A0 r = A0 (1+ r ) ; 2 年后的人口数是A2 = A0(1+r )(1+r ) = A0 (1+ r )2 ; k年后的人口数是Ak = A0 (1+ r )k . 实际上人口增长是连续不断的，为了较准确地估计人口的变化，最好是缩短计算人口变化的 周期，比如把一年改为一个月，甚至每天计算一次，等等． 若以 1 个月为计算周期，则月增长率为 r / 12 ． 现将计算周期定为 1/n 年，即把 1 年分为 n 期来计算，则每期人口增长率为 r /n ，而 1 年后? 人口总数成为 A0 ?1 + ?数列的极限r? ? .当 n 越来越大时，就可认为计算将越来越准确．令 n→ ∞ ，就要计算 n?nnr? ? lim A0 ?1 + ? ．现用 x 代替 r /n ： x = r /n ，则 n →∞ ? n?n1r? ? lim A0 ?1 + ? = lim A0 [(1 + x) x ] r ． n→∞ x →0 ? n?由此就归结到计算极限 lim(1 + x) 或 lim(1 + ) t ．x →0t →∞1 x1 t极限数e是与π一样重要的一个无理数，称为自然对数的底，以e为底的对数 log e x 记作ln x， 称为自然对数，它是以e为底的指数函数ex的反函数． 例 2.2.23? 求 lim A0 ?1 + n →∞ ?r? ? ． n?r rnn n ? ? ? ? ? r ?r ? ? r ?r ? ??1 + ? ?lim?1 + ? = A0 = A0 er． 解． 原式 = A0 lim n→∞ n→∞ ? ? ? n? ? ? n? ? ? ? ? ?例 2.2.24? 3? 求 lim?1 ? ? n →∞ ? n?n +5．解． 原式 = lim ??1 ??? n →∞ ?? ?5 n 3? ? 3? ? 3 3 1 ? ? ? = lim(1 ? ) n ? lim(1 ? ) 5 ? ?? n →∞ n →∞ n? ? n? ? n n ??n3 3 ?3 3 = lim[(1 + ) ] ? [lim (1 ? )]5 = e?3?15 = e?3 ． n →∞ n →∞ ?n n? ? 3 ?? 注． 此题的演算切忌下列错误：原式 = ?lim?1 ? ?? ? n →∞? n ? ?量， 而不是常数． 例 2.2.25 求 limx →0n +5= 1n +5 = 1 ．因为此处指数 n+5 是变ln(1 + x) ． x1 11 解． 原式 = lim ln(1 + x ) = lim ln(1 + x ) x = ln lim(1 + x ) x = ln e =1 ． x →0 x x →0 x →0例 2.2.26 求 limex ?1 ． x →0 x解． 令 t = ex? 1， 则x = ln(1+t) ． 于是原式 =limt →01 t = lim = 1． ln(1 + t ) t →0 ln(1 + t ) t2.2.4. 无穷小量与无穷大量．定义． 若变量 y 在某个变化过程中的极限是 0， 则称 y 为该变化过程中的无穷小量， 其倒数 1/ y ( y ≠ 0 ) 称为该变化过程中的无穷大量． 从定义可简言之，无穷小量与无穷大量互为倒数． 例 2.2.27 因 lim1 = 0 ，故 1 / x 是 x → ∞ 时的无穷小量，而 x 是 x → ∞时的无穷大量． x →∞ x例 2.2.28?0 , lim a x = ? x → +∞ ?+ ∞ ,0 & a &1 . a &1因此，若 0& a & 1，则ax 是 x→ + ∞ 时的无穷小量；若 a & 1，则ax 是 x→ + ∞ 时的(正)无穷 大量． 例 2.2.29?+ ∞ , lim a x = ? x → ?∞ ?0 ,0 & a &1 . a &1因此， 若 0& a & 1， 则ax 是 x→ - ∞ 时的(正)无穷大量；若 a & 1，则ax 是 x→ ? ∞ 时的无 穷小量． 例 2.2.30?? ∞ , lim log a x = ? x → +∞ ?+ ∞ ,0 & a &1 . a &1因此，若 0& a & 1，则 log a x 是 x→ + ∞时的(负)无穷大量；若 a & 1，则 log a x 是 x→ +∞ 时 的(正)无穷大量 ． 例 2.2.31?+ ∞ , lim log a x = ? x →0 + ?? ∞ ,0 & a &1 . a &1因此，若 0& a & 1，则 log a x 是 x→ 0+时的(正)无穷大量；若a & 1，则 log a x 是 x→ 0+ 时 的(负)无穷大量 ． 例 2.2.32lim x sinx →01 =0 . x 1 1 ≤ 1 .我们说, sin 是 x→0 时的有界变量,一般地说,如果存在正数 M， x x注．其中 lim x = 0 ， sinx →0变量 u 在变化过程的某个时刻之后，恒有 u ≤ M ,则称 u 为有界变量. 例 2.2.32 表明： 定理 2.2.2．在某个变化过程中，无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量． 关于无穷小量与有界变量的关系，我们还有 定理 2.2.3．在某个变化过程中的无穷小量必为有界变量． 下面介绍无穷小量等价的概念. 若 lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0 ，则 limx →□ x →□0 f ( x) lim f ( x) , 否则 无法确定．我们称极限 ≠ x →□ x →□ g ( x ) 0 lim g ( x)x →□limf ( x) 0 为 型不定式．大量极限的计算属于此类情形． x →□ g ( x ) 0 f ( x) = 1，则称 f(x)与 g(x)为 x→ 时的等价无穷 x →□ g ( x )定义． 设 lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0 ，如果 limx →□ x →□小，记作 x→ 时 f(x) ? g(x) ． 根据前面的计算, 我们已经知道，在x→0 这个变化过程中，变量sin x，tan x，arc sin x，arc tanx，ln (1+x)，ex ?1 都是与x 等价的无穷小． 例 2.2.33lim2 x 2 + 3x 4 ? 5 x 7 2 + 3x 2 ? 5 x 5 2 + 3 × 0 ? 5 × 0 = = lim =1 ． x →0 2 x 2 ? 3 x 3 + 8 x 5 x →0 2 ? 3 x + 8 x 3 2 ? 3× 0 + 8× 0故x→0 时 2 x2 + 3 x4 ? 5 x7 ? 2 x2 ? 3 x3 + 8 x5 ．事实上， x→0 时 2 x2 + 3 x4 ? 5 x7 ? 2 x2 ， ( 略去高次项 3 x4 ? 5 x7) 2 x2 ? 3 x3 + 8 x5 ~ 2 x2 ． ( 略去高次项 ?3 x3+ 8 x5 ) 上面的计算可以改成 lim2 x 2 + 3x 4 ? 5 x 7 2x 2 = lim 2 = 1 ，我们得到同样的结果．这里，用 2 x2 x →0 2 x 2 ? 3x 3 + 8 x 5 x →0 2 x代替了等价的无穷小 2 x2 + 3 x4 ? 5 x7,用 2 x2代替了等价的无穷小 2 x2 ? 3 x3 + 8 x5 ． 这种用相对简 单的无穷小代替相对复杂的等价无穷小的方法在极限计算中有着极大的实用性． 定 理 2.2.4 ． 设lim f ( x ) = lim g ( x) = lim h( x) = 0 ， 且 x→ 时 f(x) ? h(x) ，x →□ x →□ x →□则limx →□f ( x) h( x ) = lim ， x →□ g ( x ) g ( x)limx →□g ( x) g ( x) = lim ． x →□ h( x ) f ( x)证. lim? f ( x ) h( x ) ? ? h( x ) f ( x ) ? f ( x) = lim ? ? g ( x) ? h( x) ? = lim ? g ( x) ? h( x) ? ? x →□? ? x →□ g ( x ) x →□ ? ? ? ?= limh( x ) f ( x) h( x ) ? lim = lim ． x →□ g ( x ) x →□ h ( x ) x →□ g ( x ) lim g ( x) g ( x) = lim ． x →□ h( x ) f ( x)3x 3 sin 3 x ．(sin 3x~ 3x, arctan2x~2x) = lim = x →0 2 x 2 arctan 2 x同理有x →□例 2.2.34limx →0注． 应用等价无穷小代替的方法计算极限， 必须符合上述定理的条件： 一是必须为无穷小量， 二是必须在乘除法中． 请看下例． 例 2.2.35 求 limtan x ? sin x . x →0 x3? ? 1 sin x? ? 1? ? cos x ? = lim x(1 ? cos x) 解． 原式 = lim x →0 x → 0 x 3 ? cos x x3?x? x 2?? ? 2 sin 1 ? cos x 1 2 = lim ? 2 ? = 1 ． = lim ? lim = lim 2 2 x →0 x → 0 cos x x →0 x →0 2 x x x222说明： 如果 limtan x ? sin x x?x = lim 3 = 0 ，那就错了．这里 tan x ~ x ，sin x ~ x，但它们用 3 x →0 x →0 x x“减号”连接， 因此不能用 x 代替它们． 例 2.2.33 中对于多项式无穷小等价的叙述可以推广到一般的多项式和幂函数情况．命题 2.2.5． 若 0 & a& b ， 则x → 0 时， x a ± x b ~ x a ， 特别是x → 0 时， a0 x k + a1 x k +1 + … + an x k+n ~ a0 x k ( a0 ≠ 0 ) ， 即 x → 0 时， 无常数项的多项式等价于次数最低的那一项． 与无穷小量等价相仿,我们也可以引进无穷大量等价的概念. 若 lim f ( x ) = lim g ( x ) = ∞ ，则 limx →□ x →□∞ f ( x) lim f ( x) ,否则 无法确定．我们称极限 ≠ x →□ x →□ g ( x ) ∞ lim g ( x)x →□limf ( x) ∞ 为 型不定式． x →□ g ( x ) ∞ f ( x) = 1，则称 f(x)与 g(x)为 x→ 时的等价无穷 x →□ g ( x )定义． 设 lim f ( x ) = lim g ( x ) = ∞ ，如果 limx →□ x →□大， 记作 x→ 时 f(x) ? g(x) ． 命题 2.2.6．若 0&a&b，则x→∞时，x b±x a ~x b ，特别是x→∞时，a0xn +a1x n ?1+…+an ~a0x n( a0 ≠ 0 ) ， 即x → ∞ 时， 多项式等价于次数最高的那一项． 定 理 2.2.7 ． 设lim f ( x ) = lim g ( x ) = lim h( x) = ∞ ， 且 x→ 时 f(x) ? h(x) ， 则x →□ x →□ x →□limf ( x) h( x ) = lim ， x →□ g ( x ) x →□ g ( x )limg ( x) g ( x) = lim ． x →□ f ( x ) x →□ h( x )时多项式相除的极限, 可使用下列公式：根 据 上 述 命 题 和 定 理 ， 求 x→? a0 ?b , m m ?1 a x + a x + L + am ? 0 = ?0, lim 0 n 1 n ?1 n →∞ b x + b x + L + bn 0 1 ? ∞, ? ?例 2.2.36当m = n 当m & n 当m & n( a0 , b0 ≠0 )3x 3 ? 4 x 2 + 2 3x 3 3 lim 3 = lim 3 = ． x →∞ 7 x ? 5 x 2 + 3 x x→∞ 7 x 73例 2.2.37limn→∞n ? 9n 23n ? 4 81n 8 + 1= limn →∞? 9n 2 ? 4 81n 8 + 1= lim9n 2 81n 8n →∞ 4= lim9n 2 =3 . n →∞ 3n 22.2.5.极限应用举例例 2.2.38 计算连续复利． 设 有一笔款(本金) A0，年初存入银行，年利率为r，则 1 年后的本利和为 A1 = A0 ( 1+ r ) ， 2 年后的本利和为 A2 = A0 ( 1+ r ) 2 ， k年后的本利和为 A k = A0 ( 1+ r ) k ． 如果客户要求银行改为 1 年分 n 期计算利息,年利率仍为 r,则每期利率成为 r /n．于是 1 年后的本利和为 A1 = A0 ?1 +? ?r? ? ，k年后的本利和为 Ak = A0 n?n? ?1 + ?r? ? ． n?kn现在，如果令 n→ ∞ ，即连续不断地计息( 当然这是理想的情况，实际上办不到)．则 k 年后r? ? 的本利和为 Ak = lim A0 ?1 + ? n→∞ n? ?knn ? ? r ?r ? ? = lim A0 ??1 + ? = A0 e rk ． n →∞ ?? ? n? ? ?rk*例 2.2.39 黄金分割比 0.618 ． 这是个十分奇特而有用的常数，在社会经济的许多领域有着广泛的应用，它来源于极限n n un 1 ?? 1 + 5 ? ? 1 ? 5 ? ? ? ? ．现在极限 ? ?? ?? lim ,其中un是菲波那契数列的通项,即 un = n→∞ u 5 ?? 2 ? ? 2 ? ? n +1 ? ? ? ? ??limun n →∞ u n +1n n 1 ?? 1 + 5 ? ? 1 ? 5 ? ? ? ?? ? ? ?? n n 5 ?? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? 1+ 5 ? 1? 5 ?? = lim = lim n →∞ ?? 1 + 5 ? n +1 ? 1 ? 5 ? n +1 ? n→∞ 1 ? 1 + 5 n +1 ? 1 ? 5 n +1 ? 1 ? ?? ? ? ? ?? ? ? 2? ? 2 ? ? 5 ?? 2 ? ? ? ? ? ? ?( () ( ) ())?1? ?1? 5 ? ? 1? ? 1? ? ?1+ 5 ? ?1+ 2 ? ? ? = = 2 lim lim n +1 n→∞ ? ? 1 ? 5 ? ? 1 + 5 n →∞ ? 1 ? ? ? 1? ? 1 + 5 ?1 ? ? ?1+ ? ?1 + 5 ? ? ? ? ? ? ?n5? ? 5? ? 5? ? 5? ?n()n +1=1? 0 1+ 5 1? 0 2 ?=2 1+ 5≈ 0.618 ．n 越大， 比值un 越接近 0．618． u n +10.618 的奇特性在于许多完全不同的数学问题都导出这个数．比如平面几何中美学上 最理想的矩形 ? 黄金矩形的宽与长之比也是 0.618．这种矩形的画法见下图：先画正方形 ABCD． 找出边 AB 的中点 M， 再以 M 为中心， MC 为半径画弧， 与底边 AB 的延长线交于点 P， 则 AP 就是黄金矩形的长，而宽就是 AD .于是 AD : AP =2 1+ 5≈ 0.618 ．图 2.49 我国国旗的矩形就是黄金矩形．例 2.2.40 贴现问题． 假如你想通过分期付款方式买一套住房，每年交一次款 20000 元，分 10 年付清． 第 1 笔付 x1 = 20000 元． 为支付第 2 笔款，你在银行存入x2元，银行年利率为r， 一年后得本利和 x2 (1+ r )，用它支 付第 2 笔款 20000 元． 即第 2 笔付 20000 = x2 (1+ r )， x 2 = 依此类推( 假定年利率 r 固定，不分存期长短)，于是 第k笔付 20000 = xk (1+ r ) k ?1 ， x k =20000 ． 1+ r20000 . (1 + r ) k ?1称为收-支流量的贴现现 把每笔付款所需本金xk相加， 即可得分期付款所需现有资金的总量， 值(PDV)． 现在你买房所需贴现现值是 PDV = x1 + x2 + …+ x10 = 20000 + + …+ ． 1+ r (1 + r ) 9上述贴现分析也可用于存本取息债卷价格的计算．设某种债卷每年最后一天可得利息 100 元．则这个收益流(假定此债卷持有者将无限期地按存本取息方式获得利息)的 PDV 为PB =100 100 100 100 + +L+ +L= ? 2 k 1 + r (1 + r ) 1+ r (1 + r )1 1? 1 1+ r=100 ． r这就是永久性存本取息债卷价格的计算公式，其中 r 是银行年利率．*2.2.6函数极限的分析定义x→a我们已经了解 lim f ( x ) = A 的朴素定义： x 无限地接近 a 时， ( x )无限地接近常数 A” 历 “当 f ． 史上长期以来，数学家们很不满意极限的这种解释，希望建立极限的严格定义，从而奠定微积分 的坚实理论基础．法国数学家柯西(1789 ~ 1857)在前辈们工作的基础上，于十九世纪 20 年代完成 了这一理论的奠基性工作．根据柯西的思想，极限描述中涉及两个变量的变化： “自变量 x 无限地 接近 a”引起“函数 f (x)无限地接近 A” 两者是因果关系: ， 因 果 自变量 x 无限地接近 a ? 函数 f (x)无限地接近 A ↓转换 ↓转换 | x ? a | 无限地接近 0 ? | f (x) ? A | 无限地接近 0 ↓转换 ↓转换 只要 | x?a| 充分小 ? | f (x) ? A | 要多小就有多小 ↓转换 ↓转换 只要| x?a| & δ，其中 δ & 0 充分小 ? 对任意小数 ε & 0，总有 | f (x) ? A | & ε 由上述分析，就得到柯西关于极限 lim f ( x ) = A 的分析定义．x→a定义． 设f(x)在a的邻近(x1,a)∪(a,x2)有定义,若对于任意正数ε,均存在正数δ，使得当 0 & | x?a| & δ 时， 恒有| f (x) ? A | & ε ， 则称A为x → a时函数f (x)的极限，记作 lim f ( x ) = A ．x→a例 2.2.41用分析定义证明 lim( 2 x ? 1) = 1 ．x →1证． 对任意ε &0,我们要找δ &0,使得 0&|x?1|&δ 时,有|(2x?1 ) ?1 | & ε．不等式| (2x?1 ) ?1 | & ε 等价 于不等式 | 2x?2 | & ε ? 2 | x ?1 | & ε ? | x ?1 | & ε / 2 ．由此得 δ = ε / 2 ．于是 0 & | x?1| & δ 蕴含| (2x?1 ) ?1 | & ε ．这就证明了 lim( 2 x ? 1) = 1 ．x →1注．(1) 区间( x1，a ) ∪ (a ，x2) 称为a的空心邻域．一般，包含a的开区间 ( x1， x2 ) 称为a的邻 域． (2) lim f ( x ) = A 的定义中 f (x)在 x = a 是否有定义并未涉及，即与 f (a)有无定义无关．x→a(3) 定义中求出的δ , 一般依赖于ε ，ε 越小，δ 就越小． (4) 从给定的ε & 0，求 δ 的过程，事实上一般就是从不等式 | f (x) ? A | & ε 解出| x?a| & δ (ε)， 其中δ (ε)表明δ 依赖于ε ． (5) δ 应该不超过min(x2 ? a ，a ? x1) ， 其中数min(x2?a， a ? x1)是x2 ? a与a ? x1中的较小 者 ． (6) 满足要求的δ 不是唯一的,对求出的一个δ ，凡比这个δ 小的任何正数都符合要求 ．x→a +在 lim f ( x) , lim? f ( x ) , lim f ( x ) , lim f ( x) 与 lim f ( x) 的分析定义请读者模仿写出， xx→a x → +∞ x → ?∞ x →∞→ ∞ 的情形要用| x | & M 来代替 0 & | x?a| & δ ， 其中 M 是充分大的正数 ．习 题2.2.1 对 n→+∞时的下列变量选择适当的选项(无穷小量, 无穷大量, 有界变量, 其他):(1)1 n + (? 1) n 1 ；(2) (? 1) 2 ；(3) (?1)n-1(n2?1) ；(4) 2n n n 1 ?e? ；(7) ln n ；(8) ? ? n ?2?nn； (5)sin n n；(6) n sin 2.2.2；(9) ? ??e? ；(10) ? 3?nn sinnπ . 2求下列极限： (2) lim(1) lim3x + 1 ; x →3 2 x + 43x 2 ? 2 x ? 5 ; x →∞ x 2 + x ? 8(3) limx4 ? x2 + 1 ; x →∞ x 3 + x 2 + x3x 4 ? 1 x+4 ?2 ; (5) (4) lim x →0 x →∞ x x8 ? x 4 + 5 2x + 1 ? 3 x 2 ? 5x + 6 ; (8) (7) lim x →4 x →3 x2 ? 9 x?2 ? 2(10) lim(6) limx → +∞((x2 +1 ? x2 ?1 ;)(9) lim 3 x + 1 ? 3x →∞)arcsin 6 x → 0 sin 3 x(11) limsin(α x) , x →0 arctan( β x )( β ≠ 0 ) ; (12) lim +x →0 1 ? cos x(13) limsin x 2 4 sin x sin x cos x t + (14) (15) (16) (17) lim 2 ; x → 0 t ? sin t x → 0 tan x x →π π ? x x →0 x →0 3 x + 2 x x(18) limsin x ? tan 2 x 1 ? 2 cos x ? 1? ; (19) (20) lim?1 ? ? π x →∞ x →0 π? 2 arcsin x x? ? ? x→ 3 sin ? x ? ? 3? ?(23) lim(1 + cos x )x→ 2 3 sec xx+6;(21) lim?1 +? x →∞ ?3? ? x?x +1x-4;(22) lim [x(ln( x + 1) ? ln x )] ;x → +∞π;(24) lim?22 2 cot x? 2x + 3 ? ? x →∞ 2 x + 1 ? ?;(25) lim 1 + 3 tan xx →0()cot 2 x;(26) lim 1 + xx →0();(27) limx →0ln(1 + 3 x sin x) ; tan x 2(28) lime2x ? 1 ; x →0 ln(1 ? 4 x )(29) limx →01 + 2x ?1 ; arctan 3 x(30) limln(1 + x ? 3 x 2 + 2 x 3 ) ; x →1 3x ? 4x 2 + x3x2? x2 + 1? 1 1 2 ? ? ? 1 ? ? (31) lim? x sin + sin x ? ; (32) lim? ; (33) lim? 2 ? 2 ? x →0 x →1 x ? 1 x →∞? x ? 1 ? x x x ?1? ? ? ? ? ?(34) lim nn →∞;(? x + 2 ?2 n + 2 ? n ? 3 ; (35) lim? ? . x →∞ x + 1 ? ?? sin x ?? x , ? f ( x ? 1) = ? 2 , ? x ?1 , ? ? x&0 x = 0 , 求 lim f ( x) ; x→0 x&0)x2.2.3对下列给定函数,求指定的极限:(1) 设 f(x)=|x|, 求 lim f ( x ) ;x→0(2) 设(3) 设?x ? 1, f ( x) = ? 2 ?x ,x≤0 x ?1 , 求 lim f ( x) ; (4) 设 f (x) = , 求 lim f ( x) ; x→0 x→1 x&0 x ?1求 lim f (x) ; (6) 设 f ( x) = ?x →2(5) 设 f (x) = ??x2 , x ≠ 2 , 1 , x=2 ??3 x + 2 , 2 ?x ? 2 ,?1 , x ≠ 1 , 求 lim f ( x) ; x→ 0 ?0 , x = 1(7) 设 f ( x) = ?x≤0 , 求 lim f ( x) . x →0 + x&02.2.4 求下列函数的连续区间： (1) y =?2 x , 0 ≤ 0 & 1 x ?3 ; (2)f (x) = ln ( 9 ? x2 ) ; (3) f ( x) = ? ; ( x + 1)( x + 2) ?3 ? x , 1 & x ≤ 2? 1 ? ln( x ? 1) , x & 1 , x ≠ 2 ? 0 , x =1 (4) f ( x) = ? ? 1 , x=2 ? ?2.2.5 求下列函数的不连续点集:.(1)f (x) =sin x 1 2 + 1? x x x ?3 ; x ? 3x + 221(2) f ( x) =x( x ? 1) +x2 ?1 ; ( x + 1)( x ? 2)(3) f ( x ) =(4) f ( x) = ??x + 1 , x ≠ 1 . x =1 ?1 ,2.2.6当 n → ∞时, 若sin21 1 与 k 为等价的无穷小, 则k =? n n2.2.7x = 1 是函数 f ( x) = ?? x ?1, 0 & x ≤ 1 的不连续点, 理由是什么? ?2 ? x , 1 & x ≤ 31 ? ?(1 ? x) x , x ≠ 0 2.2.8 设 f ( x) = ? ?k , x=0 ?在 x = 0 连续, 则 k =?? x ? e + 1, ? 2.2.9 设 f ( x) = ? k , ? sin2 x ? x , ? ? ? 3x + a , ? 2 2.2.10 设 f ( x) = ? x + 1 , ? b ? x, ?2.2.11 设 limx →1x&0 x = 0 为连续函数, 问 k 取何值? x&0 x≤0 0 & x & 1 在 R 连续, 求 a , b . x ≥1x 2 + ax + b = 5 ，求 a, b . x ?12.2.12 设 limx → +∞(x 2 ? x + 1 ? ax ? b = 0 ，求 a, b .)?a + x + x 2 , x ≤ 0 ? 2.2.13 设 f ( x) = ? sin 3 x 在 x = 0 连续, 求 a. x&0 ? x , ? ? tan2 x , ? 2.2.14 设 f ( x) = ? x ?( x + k ) 2 , ? x&0 x≥0在定义域内连续, 求 k 的值.2.2.15 如果国民收入按 5 % 的指数速率连续增长, 即n年后国民收入将为R(n) = Y0e0.05n, 其中Y0 为初始值. 问多长时间后能翻一番? 多长时间后翻两番? 2.2.16 设某银行年利率 r = 7 % , 每年计算 12 次, 存入本金 10000 元. (1) 求按复利计算 3 年后的本利和 A ; (2) 若按连续复利计算, 3 年后的本利和应是多少? 2.2.17 人口学家考虑到人口增长受资源、环境等条件的制约, 提出人口增长模型是p(t) =pm , 其中p(t)是时刻t的人口数, pm, c, k均为正的常数. 1 + ce ? kt(1) 试求极限人口数 lim p(t ) ;t → +∞(2) 某国家人口增长模型的常数pm = 275×106 , c = 54 , k = ln12 / 100 , t 的单位是年 . 求t = 0 , 100 及 200 时该国的人口数 . 2.2.18 当某商品调价的通知下达后，有 10%的市民听到此通知, 2 小时后,25%的市民知道这一消 息. 假定消息按规律 y (t ) = 与 k 均为正的常数 . (1) 求 lim y(t ) , 并对结果做出解释 ;t → +∞1 传播, 其中 y(t)表示时刻 t 小时后知道这消息的人口比例. c 1 + ce ? kt(2) 多少小时后有 75%的市民知道这一消息 . 2.2.19 某社区内有 45000 人口, 发现了流感病例, 流感的传播规律是 y (t ) =45000 , 其中 1 + Be ? 45000 kty(t)是时刻 t(星期)后的患流感人数, B 与 k 均为正的常数. 已知流感刚发现时有 200 人患流感, 3 星 期后有 2800 人患上流感. (1) 试确定常数 B 与 (2) 问 10 星期后将有多少人患流感? (3) 如果流感无限期地漫延开去, 最终将有多少人患流感?思 考 题2.2.20 为什么 lim? [x ] = 1 ,但 lim? [x ] ≠ 2 ?x→2 x→22.2.21 函数 y =1 是否有界变量? x2.2.22 无界函数与无穷大量有没有区别,区别在哪里? 2.2.23 0 是不是无穷小量? 2.2.24 计算极限 lim u( x )x→a v( x )= lim u( x ) x → ax →alim v ( x )的公式, 什么条件下能用,其中 u(x) , v(x)为非常数函数. 2.2.25 能不能说 sin1 1 与 是等价的？ x x2.2.26 设 x→0, 无穷小量 1 + x ? 1 ? x 等价于下列无穷小量中的哪一个： (A) x (B) 2x (C) x 2 (D) x 3应该如何思考这样的选择题？ 2.2.27 有极限的变量与无极限的变量的乘积是否一定没有极限？ 2.2.28 若{yn}是任意数列, lim x n = 0 ,是否有 lim x n y n = 0 ?n →∞ n→∞2.2.29 能否说多项式a0xn+a1xn?1+…+an?1x+ an是无穷大量？2.4 导数的应用教学要求本节学习导数的应用，要求读者掌握运用导数分析初等函数单调性与极值的方法， 并会分析 解决几何与经济学中简单的最值问题； 掌握洛必达法则, 会解决 知识点 1. 2. 3. 4. 5. 6. 复习根轴法 函数的单调性 函数达到极值的条件 函数的最值 不定式求法 幂指函数的极限0 ∞ , 等不定式的简单极限计算． 0 ∞2.4.1.复习根轴法为了在函数的单调性与极值的应用中，简便而有效地解决问题，我们首先复习确定一个代数 式符号的根轴法： 设多项式f(x)的全部不同实根按大小顺序排列依次为x1 & x2 & … & xm ，其中xk 的重数是ik ， k = 1，2，… ，m ．将所有实根标在右端为正向的有向直线上， 该直线称为序轴．400 300 200 100-10 -1 -5 1 2 3 4 5 6 5-2 -100 -200 -300246-15 -20图 2.60x → +∞图 2.61x → +∞如果 lim f (x) = +∞，就从序轴右端上方起画曲线(见图 2.60)，如果 lim f (x) = ? ∞，则从序轴右端 下方起画曲线(见图 2.61)， 曲线画向xm． 若im是奇数, 则曲线在xm处穿过序轴(见图 2.61)至另一侧； 否则曲线在xm处转回序轴同一侧(见图 2.60)． 然后依次将曲线按同样的规则画向xm?1, xm?2, …, x1． 我 们称此曲线为f (x)的符号曲线，符号曲线处于序轴上方的对应区间内，应有 f (x) & 0； 反之，符 号曲线处于序轴下方的对应区间内， (x) & 0 .事实上f (x)的符号曲线与y = f (x)的图象对于横轴的 有f 关系相同, 可以认为符号曲线是y = f (x)的草图． 例 2.4.1 确定f (x) =(x? 1)2(2?x)( x?4) 3的符号． 解. f(x)有单根 2,2 重根 1， 重根 4.因此其符号曲线如图 2.61 所示.于是, 在区间(? ∞, 1)∩(1,2 ) ∩(4 , 3 +∞ )内 f (x) & 0；在区间( 2, 4 )内 f (x) & 0． 根轴法也可用于确定分式函数的符号． 命题 2.4.1. 分式f (x) 与整式 f (x) ? g (x)有相同的符号，其中 f (x)与 g (x)均为多项式． g (x) f ( x) f ( x) 2 与 ? g (x) = f (x) ? g (x) 有相同的符号． g ( x) g ( x)证.因g (x) ≠ 0，故g 2 (x) & 0．于是例 2.4.2确定分式函数 f (x) =(4 ? 3 x)(1 + 2 x) 的符号． ( x ? 1) 2 ( x ? 3) 3 1 4 和 ，及 2 重根 1, 3 2 3解.原分式与( 4?3x)(1+2x)(x ?1) 2 (x ?3)3有相同的符号，此式有单根 ?重根 3，且x → +∞ 时此式为?∞，因此其符号曲线为图 2.62 于是,在区间(?∞,?1/2) ∩ (4/3,3)内，f (x)&0；在区间(?1/2,1)∩(1,4/3)∩(3,+∞ )内，f (x) & 0 ． 对含有根式的函数可仿照进行,但要注意,当 k 为奇数时 k f ( x) 与 f (x)有相同的符号．2.4.2.函数的单调性我们在“2.1 函数”中已定义了函数的单调性. 现在观察下列几个图：图 2.63函数f (x)单调增加： x1& x2 ? f (x1) & f (x2), 记作 J图 2.64 函数f (x)单调减少： x1& x2 ? f (x1) & f (x2), 记作K 我们再观察单调函数图象的切线走向：图 2.65 切线与x轴正向夹角为锐角,斜率= f / (x) & 0,则函数f (x)单调增加图 2.66 切线与x轴正向夹角为钝角,斜率= f / (x) & 0,则函数f (x)单调减少 定理 2.4.2. 设函数 y = f (x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导， (1) 若在(a, b)内f / (x) & 0, 则函数y = f (x)在[a, b]上单调增加； (2) 若在(a, b)内f / (x) & 0, 则函数y = f (x)在[a, b]上单调减少． 如果函数 y = f (x)在区间(a, b)内单调, 则(a, b)称为 f (x)的单调区间． 例 2.4.3 判定函数y = x3 ? 3x2 ? 9x+ 14 的单调区间. 解. 函数的定义域为(?∞, +∞)，函数的导数为 y / = 3x2 ? 6x ? 9 = 3 ( x +1)( x ? 3) 用根轴法画y /的符号曲线(如图 2.67)．图 2.67 根据符号曲线及定理 2.4.2, 列出下表 x (?∞,?1) ?1 y y(?1, 3)3( 3, +∞)+ 0 0 + － 19 ?13 J K J 结论：函数y在(?∞,?1]及[ 3,+∞)上单调增加；在[?1, 3]上单调减少．函数y = x3 ? 3x2 ? 9x+ 14 的实 际图象如图 2.68．图 2.68 例 2.4.4 解. 判定函数y = (3 ? x )33x 2 的单调区间．函数的定义域为(?∞, +∞), 函数的导数为y ′ = ?3( x ? 3) 2 36? ? ( x ? 3) 2 ? x ? ? 11 2 1 11 ? ? =? ? x 2 ? ( x ? 3) 3 ? ? 3 , 3 3 3 x x此式与z = ? x (x ?3 )2 ? x ? 11 ? 有相同的符号曲线．(如下图所示)? ?6? ?图 2.69 根据符号曲线及定理 2.4.2, 列出下表： x 0 (0,6/11) (?∞,0) y’ + － ∞ y 0 K J6/11 0 9.87(6/11,3) － K3 0 0(3,+ ∞) － K结论：函数在(?∞,0]，[6/11,+ ∞)上单调减少；在 ?0 , 注.? ?6? 上单调增加． 11? ?(1) 因 lim z = ?∞ , 故符号曲线从序轴右端下方起画．x → +∞(2)y (0)= ∞ , 表明函数在(0 , 0)处的切线垂直于x轴．3/函数y = (3 ? x )3x 2 的图象如下图．注意在 ( 0, 0 )处曲线的切线与y轴重合．图 2.702.4.3.函数达到极值的条件1. 函数达到极值的必要条件 我们从图 2.68 中很容易看到在函数从单调增加变到单调减少的转折点处，函数值达到极大， 这类特殊的峰点, 就对应着下面要讨论的函数极值点．例如图 2.68 中的(?1, 19). 下图中的函数y = f (x)，在[x1, x2], [x3, x4]上单调增加，在[x2, x3]，[x4, x5]上单调减少．图 2.71 函数在x2, x4处从单调增加转成单调减少，函数值 f (x2)， f (x4)比邻近的函数值都大，这种函 数值称为极大值；类似地，f (x3) 称为极小值．但要注意，f (x1)也是极小值，却比极大值f (x4)还要 大．这表明极小值不是最小值． 定义. 设函数y=f(x)在x0的某个邻域(x0?δ,x0+δ)有定义,若对任意x ∈ (x0 ? δ, x0 ) ∪ (x0, x0 + δ)，(1)有f (x) & f (x0)， 则称f (x0)为f (x)的极大值，x0为极大值点; (2)有 f (x) & f (x0)，则称f (x0)为f (x)的极小值，x0为极小值点． 极大值与极小值统称为极值, 极大值点与极小值点统称为极值点． 例如，例 2.4.3 中 y (?1) = 19 是极大值，y (3) = ?13 是极小值,例 2.4.4 中 y (0) = 0 是极小值，?6? y ? ? ≈ 9.87 是极大值． ? 11 ?从前面的图可以看到函数的极值是在单调变化的转折点处达到．用导数来判断的话，在导数 改变符号的地方达到极值，即对于可导函数来说，某点导数为 0，且左、右点导数改变符号，则 在这点达到极值． 定义. 若 f ′ (x0) = 0，则x0称为函数f (x)的驻点． 设函数y = f (x)在x0可导，且f (x0)是极值，则 f ′ ( x0) = 0，即x0是定理 2.4.3(极值存在的必要条件).f (x)的驻点． 注. (1) 所谓必要条件, 是在函数可导前提下的必要条件．对于不可导的点x0，f (x0)也可能是极 值． 例如，例 2.4.4 中的y (0) = 0 是极小值，但 y ′ (0)不存在． (2) 对可导的点x0 ， f ′ (x) = 0 只是极值的必要条件， 但不充分．例如y = x3在x = 0 处导数为 0， 但y (0)显然不是极值．图 2.72 我们如何能完全判定极值呢? 下面学习函数达到极值的充分条件． 2. 函数达到极值的第一充分条件 定理 2.4.4(极值存在的第一充分条件). 设函数y = f (x)在点x0 的某邻域(x0 ? δ, x0 + δ) 内连续，且 对x ∈ (x0 ? δ, x0 ) ∪ (x0, x0 + δ) ， f ′ (x) 存在． (1) 若对x ∈ (x0 ? δ, x0 )， f ′ (x) & 0；x ∈ (x0 , x0 + δ)， f ′ (x) & 0，则f (x0)是极大值． (2) 若对x ∈ (x0 ? δ, x0 )， f ′ (x) & 0；x ∈ (x0 , x0 + δ)， f ′ (x) & 0，则f (x0)是极小值． (3) 若对x ∈ (x0 ? δ, x0 ) ∪ (x0, x0 + δ)， f ′ (x)不变号，则 f (x0)不是极值． 注. 定理 2.4.4 中的(1)可以简单地说成导数从正变到负，(2)是导数从负变到正． 此外，函数也可 能在导数不存在的点处达到极值． 例 2.4.5 求函数 y =1 3 x ? 3 x ? ln x 2 的极值. 3解. 函数的定义域：( ? ∞, 0 ) ∪ ( 0, + ∞ ) ,导数 ： y ′ = x ? 3 ?22 x 3 ? 3 x ? 2 ( x ? 2)( x + 1) 2 = = ， x x x令 y得驻点： ? 1 ，2 ;且 x=0 为导数不存在的点.用根轴法作z = x(x ? 2 )(x +1 )2 的符号曲线(如下图)．图 2.73 列表： x 0 (0, 2) 2 (-∞,-1) -1 (-1, 0) (2,+∞) + 0 + 0 + y ∞ － y 8/3 J J ∞ K 极小, y(2) J 其中 y (2) = ? 10 / 3 ? 2ln2 是极小值，y (? 1) = 8 / 3 不是极值． 3. 函数达到极值的第二充分条件 如果驻点处有二阶导数，则还可用第二充分条件来判断函数的极值．请看下面的图．图 2.74图 2.75 图 2.74 中 ， 在 x0 的 邻 域 内 ， f ′ (x) 从 + 经 过 0 变 到 ? ， 即 f ′ ( x) 单 调 减 少 ， 从而 f ′ ( x)的导数应为负，于是 f ′′ ( x)为负． 图 2.75 中，在x0的邻域内， f ′ ( x)从?经过 0 变到+，即 f ′ ( x)单调增加，从而 f ′ ( x)的导数应 为正，于是 f ′′ ( x)为正． 定理 2.4.5(极值存在的第二充分条件). 设函数y=f(x)在x0具有二阶导数 f ′′ (x0)，且 f ′ (x0)=0: (1) 若 f ′′ ( x0) & 0, 则f (x0)是极大值 ; (2) 若 f ′′ ( x0) & 0, 则f (x0)是极小值 ． 例 2.4.6 求函数f (x) = x3 ? 9x2 + 15x +3 的极值．解.因 f ′ (x)=3x2?18x+15=3(x?1)(x?5)，有驻点: x1=1，x2= 5 ．又因 f ′′ (x) = 6x ? 18 = 6(x ? 3)，f ′′ (1) & 0， f ′′ (5) & 0，故f (1) = 10 是极大值， f (5) = ?22 是极小值．下面把求函数 f (x)极值的步骤作简要归纳： (1) 计算导数 f ′ (x)，并尽可能将 f ′ (x)分解成因式之积； (2) 令 f ′ (x) = 0，解出此方程的根，即为驻点； (3) 列出不可导的点； (4) 用驻点及不可导的点将 f (x)的定义域分成顺序的若干区间， 并用根轴法确定各区间内导数的符 号； (5) 列表，标明各区间内函数的单调性； (6) 单调性改变的点即为极值点，分别确定极大值与极小值． (31) 计算二阶导数 f ′′ (x)； (41) 确定各驻点处 f ′′ (x)的符号, 并根据第二充分条件判定是何种极值． 以上步骤在实施时要视具体函数的情况进行选择．一般地，若二阶导数易于计算时，可采用 (1), (2), (31), (41)；若二阶导数不易计算时，可采用(1)－(6)．2.4.4. 函数的最值前面讨论的函数在某点是否达到极值，是函数在该点邻近的性质．在实际问题中，我们往往 要找出函数的整体极值――最值，这是最优化问题的一种． 定义. 设函数y = f ( x)在区间[ a, b ]上有定义, x0 ∈ [a, b]. 若对任意x ∈ [ a, b ]， f (x0) ≥ f (x)，则f ( x0 )称为f ( x ) 在 [ a, b ] 上的最大值；若对任意x ∈ [ a, b ] ， f (x0) ≤ f (x)， 则f (x0)称为f (x)在 [a, b]上的最小值．最大值与最小值统称为最值． 由定义知, 区间内的最值一定是极值，但反之却不一定．请看下面的图．图 2.76 图中f (x1)与f (x3)是极小值，f (x2)与f (x4)是极大值．显然f (x2)是f (x)在[a, b]上的最大值，而f (b)则是 f (x)在[a, b]上的最小值．我们可看到：函数的最大值或最小值都是唯一的，它可能在若干特殊的 点 (例如驻点， 不可导点及区间的端点)处达到． 因此我们可按下述步骤求给定闭区间[a, b ]上函数 f (x)的最值： (1) 计算导数 f ′ (x)，并尽可能将 f ′ (x) 分解成因式之积； (2) 令 f ′ (x) = 0，解出(a, b)内此方程的根，即为驻点；(3) 列出(a, b)内的不可导点； (4) 计算(a, b)内驻点，不可导点及区间端点 a, b 处的函数值； (5) 从上述有限个函数值中选出最大与最小的，即为所要求的最值． 例 2.4.7 求函数 f (x) =32 x ? x 2 在[?1, 4]上的最值．解. 导数： f ′ (x) =1 2 ? 2x 2 (1 ? x) ； ? = ? 3 3 (2 x ? x 2 ) 2 3 3 x 2 ? 3 (2 ? x) 2驻点： x1 = 1}