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麦克劳林级数第一项可以是x^(-1)吗将f(x)=∫(0到x)[e^(-t^2)]/t^2dt 展开成麦克劳林级数,我的思路大概如下：用间接法,首先e^t=∑t^n/n!,再代t为-t^2得e^(-t^2)=∑[(-1)^n]*t^2n/n!,除以t^2得[e^(-t^2)]/t^2=∑[(-1)^n]*t^(2n-2)/n!,然后对其求积分∫(0到x)∑[(-1)^n]*t^(2n-2)/n!dt,最后得到∑（(-1)^n）*x^(2n-1)/(n!(2n-1））.可是得数的第一项却是x^（-1）,这样展开的最后结果还是麦克劳林级数吗?有一点我不是很明白，就是当x取0，第一项分母不就为0无意义了吗
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你的被积函数当 x -> 0 时趋于无穷大,它不是正常积分,是个瑕积分,而且,因为被积函数与 x^(-2) 是同阶无穷大,这个瑕积分还是发散的,换句话说就是积分值根本不存在,更谈不上展开成麦克劳林级数了,这点你注意没有.
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当然是，不是麦克难道是泰勒？而洛朗就更不是了，你们在高数里根本不学，那是复变函数里的一个级数
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将函数f (x)= e ^3x展成麦克劳林级数
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因为e^x=1+x/1!+x²/2!+.+x^n/n!+.所以f (x)= e ^3x展成麦克劳林级数为1+3x/1!+(3x)²/2!+.+(3x)^n/n!+.x∈R=1+3x/1!+3²x²/2!+.+3^n x^n/n!+.x∈R
容我弱弱的问一句，1！不就是1么？
n!=n×(n-1)×......×2×1
！阶乘的意思。
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扫描下载二维码【学渣告诉你】到底神马是傅里叶级数！！！！！！
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【学渣告诉你】到底神马是傅里叶级数！！！！！！
作为一个KB到极点的前T大垫纸系的学渣男孩纸，尼玛学傅里叶级数/变换的时候纯粹桑不起啊！！！！
本日志的参考文献为：陈宇航：《傅里叶级数的几何意义 – 巧妙记忆公式的方法》
版权声明：CC-BY-SA，转载需要署名，并以相同方式共享。禁止贱人@清华南都 以任何形式转载或引用本文中的任何内容，如有违犯，保留一切民事诉讼权利。&
好了言归正传！
我们的提纲如下：
<font color="#. 为什么我们要分解一个函数
<font color="#. 傅里叶级数就是三角级数
<font color="#.1 傅里叶级数就是把周期函数展开成基频和倍频分量
<font color="#.2 每个分量的大小我们用投影的方法来求。
————————————————————————
你是大学生吗？你学理工科吗？你还不知道傅里叶级数吗？你以为傅里叶和泰勒有什么亲戚关系吗？你一定听说过傅里叶展开和泰勒展开吧？展开的结果就是傅里叶级数和泰勒级数。他们是对一个函数的不同的【展开】方法。
【相信我，傅里叶分解其实巨简单！】
#【但是最开始的问题一定是：我们为什么要展开一个函数？？？？！！！！！
一个函数：
他的泰勒展开是神马？还是y=1。
那么y=x的展开呢？
我们知道，泰勒展开是把函数分解成1, x, x^2, x^3, …等等幂级数的【和】。
就是【把一个函数变成几个函数的和】啊！！！这个展开的式子就是泰勒级数啊！！！
对函数的展开和5 = 2+3 一样一样一样的啊！！！要多简单有多简单有木有啊！！！
但是你要注意啊：
【展开的很多时候是有无限项不能穷尽的呀！】
你还记得sinx 的泰勒展开是什么吗？& sinx = 0+ x – 1/3!x^3 + 1/5!x^5 -…
（如果系数错了可千万不要吐槽啊啊啊，lz是学渣记系数记不住啊！！！！）
【那么现在提问：】你知道为什么要展开成幂级数的和吗？请看这里：
因为我们把y展开成泰勒级数 y = 1+x+x^2+x^3+x^4+…的时候我们可以无限细分得到函数在每个点的【【变化】】呀呀呀！
这和你把拆成+4+0.3+0.05+0.002一样一样一样的啊！！！
所谓对函数的无限细分，就是不断求导，得到阶变化率，从而得到这个函数到底在各个点【精细】【变化】的有多剧烈啊！还记得神马叫变化吗？位移的变化是速度，速度的变化是加速度，加速度的变化是加加速度的。一句话，【变化就是导数啊】！！！
【泰勒级数的每一阶的系数（主值）就是各阶导数啊！！】
所以泰勒级数就是在描述一个函数的各个点的变化啊啊啊！！！
——————————————————————————
喂！！！不要再跑题啦啦！！我们是要说傅里叶级数的好不好！！！！
你不认识傅里叶？没有任何关系，但是你见过三角形吗？知道三角函数吗？
傅里叶级数又叫三角级数啊。一句话就是【把一个函数y拆成三角函数的和】啊啊！！
神马，你还记得神马是三角函数吗？sinx,cosx等等。
那马展开成三角级数，简单！
y = sinx + sinx^2 + sinx^3…& 是这样吗？？？？
【楼主，这样真的没有问题吗？？？】
【原谅楼主吧，上面的式子是错的！！！！！！】
当当当当！！下面才是傅里叶级数：：：
y= 1 + sinx +cosx +sin2x + cos2x + …..
【这才是傅里叶级数！！！】
喂喂喂，这都是神马呀？【凭神马能拆成三角函数的和呀呀！！！】【为什么要是sinx、sin2x…呀呀呀！！！】
亲，你知道的！只有【周期】函数才有傅里叶级数嗷嗷！！也就是说只有周期函数可以拆成三角函数的和呀呀！！
【神莫】你要问非周期函数肿么办？那你就要去了解【傅里叶变换】了。我变我变我变变变。任何一个比较正常（没有间断点的函数），基本上都可以进行傅里叶变换呀呀呀！！（←_←这句话的严谨性我才不保证【严谨】性）
好好好。我们就来解释一下傅里叶级数的形式：
我们来说一下【为什么要把周期函数拆成三角函数的和】这也是和【为什么要把一个函数拆成幂级数的和】一样本质的问题。
好，周期函数总有周期吧。
比如说，你在学唱歌，喊了一秒，歇一秒，再喊一秒，歇一秒。。。。你就一直从历史喊到了未来，永不停歇。这样你的发声便是一个周期为2秒的方波。（假设你的气息平稳，喊的声音大小是不变的，噢这真是难为你了。）
就像这样：（只看上半部分！！）
画图的这玩意儿叫MATLAB。好NB的赶脚。
你以为你的声音就仅仅是周期为2秒的方波这么简单吗？大错特错！
告诉你！你的声音是很多个不同频率的正弦波组成的！！！（虽然你也可以认为方波而不是正弦波是组成世界的基础【哈哈这样的想法是对的！持有那样想法的人搞出来了沃尔什变换！就是用一系列周期为1/2^n的函数来模拟原来的函数。】）
那你知道你想知道为什么分解成三角函数的和（正弦波）那么重要吗？？
那是因为，我们知道，对于一个周期函数来说，和周期对应的叫频率。频率表示了周期性变化的快慢（比如说振动的快慢）。我们知道弹簧是有振动频率的、电磁波是有振荡频率的，光也是有频率的。
那么【频率就是这些物质的本质属性。】
（表忘了楼主成经是KB的垫纸男。。。）在电子学里，我们知道电容是隔直通交的。但是怎么一个“隔直通交”法呢？其实这就是电容对不同频率的电学量（比如电压和电流）的频率特性不同的体现。对于频率为0的电压，不论有多少电压，它的电流都为0，对于频率为为w（跟我一起念：【欧米茄】）的电压，会产生与w和电压U成正比的电流。所以说我们要把一个函数分成不同频率的分量。
【喂喂喂先等等，分解成不同频率没问题，那凭什么是正弦/余弦的频率呀！！！】
【废话】因为正弦/余弦函数是【二阶偏微分方程】（就是含有电容等元件的电路方程）的【本！征！解！】。
【多说一下。。】这个世界上只有两种东（函）西（数）能够满足给自己求二阶导还是这种函数自己本身（仅相差常数系数和正负号），一种就是e^x，另一种就是sinx、cosx。（后人又在复数域里统一了他们成为e^z = e^x * e^yi)）别问我为什么。。。要问就问【e是什么】和【什么是欧几里得空间/为什么勾股定理成立】
所以呢，对于一个一般的物理量（电学量）来说，它可能不是正弦函数/余弦函数。但他们都是可以拆成不同频率的三角函数的组合的。【最为最为重要的是】，对于某种单频的三角函数，电路系统（或者多数其他物理系统），对【某种频率】的三角函数的输入的【【【响应】】】还是【同频率】的三角函数，只可能是相（前）位（后）或者幅（大）度（小）发生变化。【骚年！你终于知道神马叫上面说的【二阶偏微分方程的【本！征！解！】了吧！！只有e^x 和coswx, sinwx 响应才会是形式不变的呀呀！！】
好好好，又废了不少话。不过我们已经大工告成一半了。
【我们知道我们要把函数展开成三角不同频率的三角函数的和】 【而且系统对某种频率的【三】【角】【函】【数】的响应方式还是【同频率的三角函数】，所以响应也是对这些不同【三】【角】频率【响应的叠加】（这叫什么，这就叫频域分析，这就叫信号与系统！！）【我们又说多了摔。。】
我们回来看看下面这个真实的例子，这也是一个方波（只不过它是从正到负的，相当于我们之前的方波下移了1/2A【A是幅度】），下面好好欣赏一下彩图吧！我们可以看出来，它是由sinx,sin3x,sin5x,sin7x组成的。我们如果把一个方波放到一个电路里的话，它出来的绝不是方波，但却是对sinx,sin3x,sin5x,sin7x…分别的反馈的叠加（分别是系统对sinx,sin3x,sin5x,sin7x的反馈的叠加…）。
再回来看看我们的傅里叶级数的公式吧：
好复杂啊有木有！！！
【尼玛这样的数学就是唬人的！！！】
公式里的l是周期的一半（或者说周期是2l）。
用这个式子我们就可以表示周期是2l的【各种样子】的周期函数。就像我们上面的方波那样。而1/2l就是它的【基频】。之所以所有的频率都是【基频的倍数】那是因为它要符合【（周期性）边界条件！！】
好吧可是为什么又有cosx又有sinx？？！好难看的公式有木有！！
其实分明就应该是
f(x) = a0 + A1sin(w1x + phi1) +A2sin(2w1x +phi2) + …
【不】【要】【把】【相】【位】【拆】【开】呀好不好，还弄个an、bn搞得一团糟啊啊！
但是你把相位拆开了就是上面的式子啊啊啊！！
但你要知道，这个【相位是多少】【我们是不知道的】，为了求相位我们需要把每一个频率（k）的coskx的幅度和sinkx的幅度都搞清楚再求出来啊啊，所以ak和bk这两个系数合起来才能搞清楚Ak和phik啊！！
【一句话，傅里叶级数就是】
把周期函数拆开成 常数（直流分量）+一倍频分量+2倍频分量+…这么简单的一件事啊啊！！
#【可是拆开的每个分量的大小我还不知道啊啊！！】
你要告诉我系数a0 a1 a2 a3 b1 b2 b3都怎么算啊啊！！！
怎么算，拿【投影】算啊啊！！你没学过函数的投影你还没学过向量的投影吗啊啊！！
向量的投影是直接用a·b啊啊。函数的投影是神马？是下面这个东东啊啊！！
【一个函数u和一个函数v的内积】就是他们俩相乘，然后在全区间上积分啊！
可不可以说人话！！！【神马！让我说人话？？！！要把我搞疯掉是不是！！】
在周期函数里区间端点a和b就是任何一个长度为2pi的区间端点啊啊，我们一般取的是好算的0和2pi，你要取-pi和pi是一样一样的，因为他们都是周期重复的啊啊。
为神马要积分搞不懂啊啊，积分就是就是【累加】啊啊，你把两个函数在每一个对应点x上面都相乘了然后取个积分就是对两个函数所有的a到b上的函数值做乘积再累加啊啊！！
那么我们把【u取f(x)】，把【v分别取1，sinx, sin2x, sin3x, …, cosx, cos2x, cos3x,…】 这就是【做投影】就能【得到每一个频率的各自部分的分量大小】啊！！
为什么像【这样做内积】就可以呢？？
当当当当，这里出来了一个重要的概念，大名鼎鼎的【完备【单位】正交基】啊啊！【尼玛劳资被线性代数虐过一千遍对这个词汇那是刻骨铭心啊！！】
【完备】是说你用1，sinx, cosx, sin2x, cos2s, sin3x, cos3x, …【完全】能够【把一个函数f(x)表示】出来啊（就像用1, x, x^2, x^3 …可以表示f(x) 是一样的）。
那【蒸（正）饺（交）】又是神马呢？【正交】就是说他们两两都【不】【相】【关】啊！！
你看下面的式子（积分号这么写你还一定看得懂啊啊！！）
S(0,2pi) [1 * sinx dx] = 0 。
S(0,2pi) [sinmx * cos nx] = 0 。
S(0,2pi) [sinmx * sin nx] = 0
两两相乘在区间内累加都等于零啊！！
不要问我为什么刚刚好都等于零，这个问题我只能回答【世】【界】【真】【奇】【妙】啊啊！！
【喂喂喂，两两不相关还没完，单位正交基还要求每一个的长度为1你都忘了喂！！！】
S(0,2pi) [1 * 1 dx] = 2pi&&&&&&& 【打叉叉】不是【单位正交基】
S(0,2pi) [sinkx * sinkx dx] = pi&& 【打叉叉】不是【单位正交基】
【都。。。。。不等于一。。。。就把它变成一！！！！】
S(0,2pi) [1/sqrt(2pi) * 1/sqrt(2pi) dx] = 1
S(0,2pi) [1/sqrt(pi)sinkx * 1/sqrt(pi)sinkx dx] = 1
所以你懂不懂啊，傅里叶分解真正的基底是下面这些啊啊！！
<font color="#/sqrt(2pi)、1/sqrt(pi)sinx、1/sqrt(pi)cosx、1/sqrt(pi)sin2x、1/sqrt(pi)cos2x…
我告诉你你之所以【把f(x)和上面的任何一个相乘再再去取积分】就【得到了某一个的系数】是因为你在积分的时候其实把其他的基底的分量都【积掉了】了呀呀！！【就像你面前放了一个番茄一个黄瓜你拿一个红色的眼镜一看！黄瓜木有啦啦啦！！！或者如果你要看黄瓜你就换一个绿色的眼镜！！！番茄木有啦啦啦！！！这样说还不明白吗！！！】
那你知道了【周期为2l】的单位正交基就是：
<font color="#/sqrt(2l)、1/sqrt(l)sinx、1/sqrt(l)cosx、1/sqrt(l)sin2x、1/sqrt(l)cos2x…啊！！
你要算系数还是用f(x)和每一个相乘再求积分就出来了啊！！傅里叶分解就是这么简单啊啊！！
我们用最简洁的几张图重放一遍：
傅里叶级数就是把f(x)拆成不同频率三角函数的和：
用内积的方法分解出每一个分量的系数：
下面更直接地写出了怎么用内积的方法计算系数【骚年，有木有看到啊，非单位化的基底有多么难看啊！！】
我该说的都说完了，你到底懂没懂啊！！（没懂的自行在下面默默留言。。）
————————————————————————————————
关于复数形式e^jx的傅里叶级数，
以及对于非周期函数的傅里叶变换，
同样是“【很简单】”的事情。
但是里面分别涉及到了【对e^jx的理解】（以及对欧拉公式的探讨）和对【离散与连续的分析】。lz还没有准备好。所以这里就先写这么多了。不过有一点确定的是，使用复数形式的傅里叶级数和傅里叶变换是比三角形式的傅里叶级数要“简化先进”的。以及傅里叶变换本来不应该用从傅里叶级数逐渐演变的方式引入的。欢迎探讨。敬请期待。
感谢万门大学打开了知识分享的大门，感谢作者陈宇航提供的公式图片。
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回答问题，赢新手礼包&#xe6b9;e^x^2展开泰勒级数 用定义
e^x^2展开泰勒级数 用定义&如果用这个的话e^x^2的一阶导数是2xe^x^2&带入0&那这项就是0了后面2阶导数2e^x^2+2x^2e^x^2带入0&好像跟把x^2看成整体那种方法算出的结果不一样啊
如果你有足够耐心,多算几个阶次的导数,代入计算,看看就明白了!前提是别算错!我自己以前把类似展开式算到12阶,只是为了找直观感受!因为前面0比较多,算出十几项,最终排下来也只有三四项.
与《e^x^2展开泰勒级数 用定义》相关的作业问题
泰勒级数有百科词条的,更详细的话可以百科词条.泰勒级数是指：展开式的项是 (x-a)^n 这种指数格式,当然还有系数的【问】：里面的a是什么啊?【答】：就是展开点在 x＝a 点,这里可以不是 0 的【问】：还有什么叫"has derivatives of all orders"?【答】：order 在这里【翻译】成指数
(sinx)^2=(cos2x-1)/2=1/2cos2x-1/2然后将cos2x用泰勒公式展开就可以了
我来上个图. 再答：
例子实在是不好写,我用语言给你旅顺一下他们的关系这里有很多概念一样要理解清楚 幂级数 幂级数收敛 函数的泰勒级数 函数的幂级数展开1.幂级数是一个大范围,泰勒级数是相对于一个函数f(x)而言的.你随便写一个x^n的级数,不管系数你怎么写,他都是一个幂级数.而泰勒级数是f(x)在x0点的n导数与(x-x0)^n的乘积再除
泰勒级数的定义：若函数f（x）在点的某一临域内具有直到（n+1）阶导数,则在该邻域内f（x）的n阶泰勒公式为：其中：,称为拉格朗日余项.以上函数展开式称为泰勒级数.泰勒级数在幂级数展开中的作用：在泰勒公式中,取,得：这个级数称为麦克劳林级数.函数f（x）的麦克劳林级数是x的幂级数,那么这种展开是唯一的,且必然与f（x）
泰勒级数 泰勒级数的定义：若函数f（x）在点的某一临域内具有直到（n+1）阶导数,则在该邻域内f（x）的n阶泰勒公式为：f(x)=f(x0)+f`( x0)(x- x0)+f``( x0)(x-x0)&sup2;/2!+f```( x0)(x- x0)&sup3;/3!+...fn(x0)(x- x0)n/n!+.其中
第二张图里,哪里用到积分了?你说的是1/(1-x)=∑x^n么,这是用泰勒级数的定义展开的那个2/(1-x)^2,是用的逐项求导再相加得到的.没有用到积分哦 再问： 就是2/(1-x)^2为什么这样做，不用牛莱公式做 再答： 哦因为2/(1-x)^2=[2/(1-x)]'然后2/(1-x)展开2/(1-x)=2∑x^n
泰勒级数是只含正幂项和常数项罗朗级数既有正幂项,常数项又有负幂项泰勒不只是在0展开 麦克老林展开式只在x=0处展开
复变函数f(z)的洛朗级数,是幂级数的一种,它不仅包含了正数次数的项,也包含了负数次数的项.有时无法把函数表示为泰勒级数,但可以表示为洛朗级数.　　函数f(z)关于点c的洛朗级数由下式给出：　　f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n(z-c)^n 　　其中an是常数,由以下的路径积分定义,它是
泰勒级数的定义 若函数f（x）在点的某一邻域内具有直到（n+1）阶导数,则在该邻域内f（x）的n阶泰勒公式为：f(x)=f(x0)+f`( x0)(x- x0)+f``( x0)(x-x0)&sup2;/2!+f```( x0)(x- x0)&sup3;/3!+...fn(x0)(x- x0)n/n!+
不是很理解你的问题,既然在闭区间[a,b]内有直到n+1阶的导数,那么在a和b展开也不奇怪了补充：在闭区间端点的导数其实是开区间内电导数的极限,只要求一边可导即可,不像通常可导的定义要求两边可导且导数相同.所以为了简洁和统一,泰勒里用开区间.另外数学上开区间（开集）的用处远远大于闭集,几乎所有定义都是在开集上的,连闭集
#define f(x) x*x //宏定义 f(x)=x*xmain( ){i=f(4+4)/f(2+2); printf(“%d\n”,i);}i=f(4+4)/f(2+2);按定义的宏定义展开,但是此宏定义展开时不能自行加括号!所以 i=4+4*4+4/2+2*2+2;如果还不能理解 就看下面 按数
书上证明没有问题,是你考虑问题的角度不对～此证明方法,只是用了最简单的先全部展开,再根据定义提取出来,并非用结论来证明结论～
因式分解（分解因式）把一个多项式化为几个最简整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫作分解因式.在数学求根作图方面有很广泛的应用.十字相乘法拆项、添项法配方法应用因式定理换元法求根法图象法主元法特殊值法待定系数法双十字相乘法二次多项式因式分解多项式因式分解步骤几道例题四个注意应用因式分解公式平方差公式完全
认知科学是20世纪世界科学标志性的新兴研究门类,它作为探究人脑或心智工作机制的前沿性尖端学科,已经引起了全世界科学家们的广泛关注.一般认为认知科学的基本观点最初散见40年代到50年代中的一些各自分离的特殊学科之中,60年代以后得到了较大的发展.根据奥尔登大学认知科学研究所所长席勒尔（E. Sheener）的意见,“认知
f(x)=(2-3x)/(2x-1)(x-1)=(1-2x+1-x)/(2x-1)(x-1)=1/(1-x)+1/(1-2x), 记t=x-1, 则x=t+1=-1/t-1/(1+2t)=-1/t-1+2t-4t&#178;+8t&#179;-...这就是关于x-1的泰勒展开.
要满足边界条件f'(0)=0,必须将f(t)展为余弦积分f(x)=∫(0~∞)A(ω)cosωt dtA(ω)=π/2×∫(0~∞)ξ×cosωξdξ一次分部积分就能算出A(ω),我就不算了…同理,为满足f(L)=0,必须将f(t)展为正弦积分f(x)=∫(0~∞)B(ω)sinωt dtB(ω)=π/2×∫(0~∞)
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