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2013年高一数学必修四全册课件：1-4-2-1周期函数
2013年高一数学必修四全册课件：1-4-2-1周期函数
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课后强化作业（点此链接） 探索延拓创新 建模应用引路 名师辨误做答 随堂应用练习 成才之路&数学 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 人教A版 & 必修4 课前自主预习 思路方法技巧 名师辨误做答 课后强化作业 随堂应用练习 课前自主预习 思路方法技巧 第一章三角函数 1．4　三角函数的图象与性质 第一章第一章 1．4.2　正弦函数、余弦函数的性质 第一章第1课时 周期函数温故知新 1．下列对函数y＝cosx的图象描述错误的是(　　) A．在[0,2&]和[4&，6&]上的图象形状相同，只是位置不同 B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间 C．关于x轴对称 D．与y轴只有一个交点 [答案]　C [解析]　观察余弦函数的图象知，y＝cosx关于y轴对称． 2．函数y＝sinx，x[0,2&]的图象与直线y＝－的交点有(　　) A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个 [答案]　B [解析]　在同一坐标系中画出y＝sinx，x[0,2&]及直线y＝－易知有两个交点，故选B. 3．cosx&0在x[0,2&]上的解集是________． [答案]　 [解析]　数形结合可知，当x&时满足条件． 4．若sinx＝2m＋1，则m的取值范围是________． [答案]　{m|－1&m&0} [解析]　由－1&2m＋1&1，解得－1&m&0. 5．在[0,2&]内用五点法作出y＝－sinx－1的简图． [解析]　(1)按五个关键点列表 x 0 & 2& y －1 －2 －1 0 －1 (2)描点并用光滑曲线连接可得其图象，如图所示． 新课引入泰山日出是壮观而动人心弦的，是泰山奇观之一，也是泰山的重要标志，随着旭日发出的第一缕曙光撕破黎明前的黑暗，东方天幕由漆黑逐渐转为鱼肚白、红色，直至耀眼的金黄，喷射出万道霞光，最后，一轮火球腾空而起，整个过程像一个技艺高超的魔术大师在瞬息间变幻出千万种多姿多彩的画面，令人叹为观止．你知道&每天日出&反映的是什么现象吗？ 自主预习认真阅读教材P34－37回答下列问题． 1．周期函数 (1)定义：一般地，对于函数y＝f(x)，如果存在一个常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝，那么函数y＝f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的． 非零 f(x) 周期 (2)规定：对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个的正数，就称它为最小正周期．在没有特殊说明的情况下，三角函数的周期均是指它的． 最小最小正周期 [小结]若函数y＝f(x)是周期函数，T是一个周期，则有：定义域中含有无限个实数；对定义域内任意x，均有f(x＋kT)＝f(x)，其中kZ；f(x)的图象每隔一个周期T重复出现一次． 函数f(x)是周期函数，10是f(x)的一个周期，且f(2)＝，则f(22)＝________. [答案]　 [解析]　f(22)＝f(12＋10)＝f(12)＝f(10＋2)＝f(2)＝. 2．两种特殊的周期函数 (1)正弦函数y＝sinx是周期函数，2k&(kZ且k&0)都是它的周期，最小正周期是. (2)余弦函数y＝cosx是周期函数，2k&(kZ且k&0)都是它的周期，最小正周期是. (3)正弦函数和余弦函数的周期性，实质是由终边相同的角所具有的周期性所决定的． 2& 2& [拓展]函数y＝Asin(&x＋&)＋b，y＝Acos(&x＋&)＋b(&&0)的周期T＝. 函数y＝sinx，y＝cosx的周期分别是T1，T2，则tan＝________. [答案]　1 [解析]　T1＝T2＝2&，则tan＝tan＝tan＝1. 命题方向 三角函数的周期[例1]　求下列函数的周期． (1)y＝cos2x； (2)y＝sinx； (3)y＝2sin； (4)y＝－2cos； (5)y＝|sin2x|. [解析]　(1)把2x看成一个新的变量u，那么cosu的最小正周期是2&，这就是说当u增加到u＋2&且必须增加到u＋2&时，函数cosu的值重复出现．而u＋2&＝2x＋2&＝2(x＋&)，所以当自变量x增加到x＋&且必须增加到x＋&时，函数值重复出现，因此y＝cos2x的周期为&. (2)如果令t＝x，则y＝sint是周期函数，且周期为2&.sin＝sinx，即sin＝sinx.y＝sinx的周期为4&. (3)2sin＝2sin. 即2sin＝2sin. y＝2sin的周期是6&. (4)y＝－2cos＝－2cos， T＝＝4&. (5)因为y＝sin2x的周期是＝&，故y＝|sin2x|的图象是将y＝sin2x在x轴下方的部分折到x轴上方，并且保留x轴上方图象而得到的，因此周期T＝. [点评]　一般地，函数y＝Asin(&x＋&)(A&0，&&0)与y＝Acos(&x＋&)(A&0，&&0)的最小正周期都是.函数y＝|Asin(&x＋&)|与y＝|Acos(&x＋&)|(A&0，&&0)最小正周期都是. 求下列函数的最小正周期． (1)y＝sin(3x＋)； (2)y＝|cos(2x＋)|； (3)y＝sin(x－)． [分析]　对于(1)(3)可利用公式T＝，对于(2)应借助函数y＝cos(2x＋)的周期及函数图象得到周期． [解析]　(1)&＝3，T＝. (2)函数y＝cos(2x＋)的最小正周期为&，而函数y＝|cos(2x＋)|的图象是将函数y＝cos(2x＋)的图象在x轴下方的部分对折到x轴上方，并且保留在x轴上方图象而得到的，由此可知所求函数的最小正周期为T＝. (3)&＝，T＝＝&2. 规律总结：求函数最小正周期的方法大致有三种：(1)函数y＝Asin(&x＋&)或y＝Acos(&x＋&)(A&0，&&0)的最小正周期皆用公式T＝求解．(2)含绝对值符号的三角函数的最小正周期可依据其图象得到，如函数y＝|2sin(2x＋)|的最小正周期为T＝，而函数y＝|2sin(2x＋)＋1|的最小正周期为&，与函数y＝2sin(2x＋)＋1的最小正周期相同．(3)利用周期函数的定义求函数的最小正周期．命题方向 函数周期性的规律[例2]　已知定义在R上的函数y＝f(x)满足f(x)＝－f(x＋1)，求证：函数y＝f(x)是周期函数． [证明]　x&R时f(x)＝－f(x＋1) f(x＋1)＝－f[(x＋1)＋1]＝－f(x＋2) f(x)＝－[－f(x＋2)]＝f(x＋2) 函数y＝(x)是一个周期函数，2是它的一个周期． 探索1：将例2中的条件f(x)＝－f(x＋1)改为f(x)＝其它不变． [证明]　f(x)＝ f(x＋1)＝ f(x)＝＝f(x＋2) f(x)是以2为周期的周期函数． 探索2：条件改为f(x＋2)＝f(x－2)呢？ [分析]　只需找到一个非零实数T，满足f(x＋T)＝f(x)即可． [证明]　令x－2＝t，则x＝t＋2，于是由f(x＋2)＝f(x－2)，得 f(t)＝f[(t＋2)＋2]＝f(t＋4)． f(t)＝f(t＋4)． f(x＋4)＝f(x)．函数y＝f(x)是周期函数，4是一个周期． 规律总结：通常用周期函数的定义讨论非三角函数的周期问题，即只需找到一个非零实数T，对定义域内任意x总有f(x＋T)＝f(x)成立． 命题方向 函数周期的应用[例3]　设偶函数f(x)对任意的xR，都有f(x＋3)＝－，且当x[－3，－2]时，f(x)＝2x，则f(113.5)的值是(　　) A．－ B. C．－ D. [解析]　由于f[(x＋3)＋3]＝－，而f(x＋3)＝－，则f(x＋6)＝f(x)，即函数的周期为6，于是f(113.5)＝f(19&6－0.5)＝f(－0.5)，f(－0.5)＝－＝－，又函数为偶函数，因此f(2.5)＝f(－2.5)＝2&(－2.5)＝－5，因此f(－0.5)＝－＝－＝，也即f(113.5)＝.选D. [答案]　D 设f(x)是以1为一个周期的函数，且当x(－1,0)时，f(x)＝2x＋1，求f()的值． [分析]　解答本题可利用f＝f＝f求解． [解析]　f(x)是以1为一个周期的函数， f＝f，从而f＝f. 又当x(－1,0)时，f(x)＝2x＋1， f＝f＝2&＋1＝0. 规律总结：(1)解答此类题目的关键是利用化归的思想，借助于周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上，代入求解便可． (2)如果一个函数是周期函数，倘若要研究该函数的有关性质，结合周期函数的定义域可知，完全可以只研究该函数一个周期上的特征，再加以推广便可以得到函数在定义域内的有关性质． 易错点　不清楚f(x＋T)表达的意义 [例4]　利用定义求f(x)＝sin(2x－)的最小正周期． [错解]　f(x＋2&)＝sin ＝sin＝sin＝f(x)， T＝2&是f(x)的最小正周期． [错因分析]　错解中求的不是最小正周期．对于y＝Asin(&x＋&)(A&0，&&0)，其周期为. [正解]　令z＝2x－， x&R，z&R. 又y＝sinz的周期是2&， z＋2&＝＋2&＝2(x＋&)－， f(x＋&)＝sin ＝sin ＝sin＝f(x)． T＝&. 1．函数y＝|cosx|的最小正周期是(　　) A. B. C．& D．2& [答案]　C 2．函数y＝5sin的最小正周期为(　　) A. B. C．2& D．5& [答案]　D 3．下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是(　　) [答案]　D 4．f(x)是定义在R上周期为2的函数，若f(1)＝－1，则f(2013)＝(　　) A．1 B．－1．0 D．2 [答案]　B [解析]　f(2013)＝f(2&1006＋1)＝f(1)＝－1. 5．若函数f(x)＝sin&x(&&0)的周期为&，则&＝________. [答案]　2 [解析]　由于周期T＝，所以＝&，解得&＝2. 6．已知函数f(x)是定义在R上的周期为6的奇函数，且f(1)＝1，则f(5)＝________. [答案]　－1 [解析]　由于函数f(x)是定义在R上的周期为6的奇函数，则f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝－f(1)．又f(1)＝1，则f(5)＝－1. 7．y＝sinx，x[0,2&]是周期函数吗？为什么？将区间改为[0，＋&)呢？当x[0，＋&)时，－2&是它的一个周期吗？ [解析]　当x[0,2&]时，y＝sinx不是周期函数．当x＝时 f()＝sin＝1，而＋2&不在定义域内没有意义，若将区间改为[0，＋&)，而2&是它的一个周期，f(x＋2&)＝sin(x＋2&)＝sinx＝f(x) 而－2&不是它的一个周期，因为，当x＝时，f()＝sin＝1，而－2&＝－&[0，＋&)，无意义． 8．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)f(x)＝1，求证：f(x)是周期函数． [证明]　f(x＋2)＝， f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝＝＝f(x)．函数f(x)是周期函数，4是一个周期．
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