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把直角坐标下的二重积分化为极坐标下积分时积分的上下限怎么确定的?
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这个我们高数书上也有。我还是不会做，能拿下面那题做例题吗？
化为极坐标
不好意思，大神再来一次
为什么两次求上下限不一样
上下限是根据积分区域的实际情况确定的
角度的上下限能理解吗
关于ρ就是从极点引一条射线出去与积分区域的两个交线方程就是上下限
当然如果只有一个交点，下限就是0
大神，说真的，小白不懂诶
第二个题目就是我拍的书上第一种情形
这就是上次拍的第一种情形的配图配图
等等，让我想会儿
嗯，基础的东西要想清楚，后面学习才轻松，其实我也不是太清楚，所以也说的不清楚-_-||
大神，是这个意思吗？
嗯嗯，谢了
不客气，很高兴能帮到你
大神，也是大学生吗？
上下限其实和直角坐标是类似的
…非大神。。。。我差远了。我是大叔
看你的信息，对数学很在行啊，以后有问题还可以再问你吗？
可以，如果我会的话。其实只是一般
真的是谦虚了
没学过。。。
那算了，又要看书去了
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扫描下载二维码二重积分的计算法
第二节& 二重积分的计算法
教学目的：熟练掌握二重积分的计算方法
教学重点：利用直角坐标和极坐标计算二重积分
教学难点：化二重积分为二次积分的定限问题
教学内容：
利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的.
一、利用直角坐标计算二重积分
我们用几何观点来讨论二重积分&&&X—型
&&&&&&&&&&&&&
极坐标系下&&
作业 教材161 习题2（I）（2）（3）3（1）（3）4（2）（4）二重积分计算中的积分限的确定1_文档下载
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& 二重积分计算中的积分限的确定1
二重积分计算中的积分限的确定1
二重积分计算中积分限的确定
(宿州学院数学系
安徽 宿州 234000)
摘要:二重积分计算中积分限的确定对于初学者是一个重点更是一个难点.本文旨在介
绍一种二重积分计算中确定积分限的简单易行的方法.
关键词:二重积分 累次积分 积分限 积分次序
引言：高等数学学习过程中，二重积分计算是个难点。原因在于将二重积分化为累次
积分时，对于积分限的确定学生难以掌握。本人结合自己的教学实践和自己的学习体会总结出一个口诀，发现在教学过程中效果不错可以很好地帮助学生解决这一难题。 1． 高等数学中计算二重积分的方法
在高等数学课本中,在直角坐标系下计算二重积分的步骤为:
(1) 画出积分区域；
(2) 确定积分区域是否为X-型或Y-型区域,如既不是X-型也不是Y-型区域,则要将积分区域
化成几个X-型和Y-型区域,并用不等式组表示每个X-型和Y-型区域； (3) 用公式化二重积分为累次积分； (4) 计算累次积分的值。
在教学的过程中我发现学生对于此种方法掌握得很不好,尤其是在第二步中,确定积分区域从而确定累次积分的积分限是一个薄弱环节.下面就本人在教学中的体会谈谈在这方面的一点心得.
2． 教学过程中总结的方法
本人的心得可用下面的口诀概括:后积先定限,限内画条线,先交下限取,后交上限见.下面简单解释一下该口诀,然后以具体的例题加以说明.在将二重积分转化为累次积分的时候，对于两个积分变量必然会有个先后顺序,这就要求对后积分的那个变量，我们要根据积分区域的图形，用夹住区域的平行于同一坐标轴的两条直线确定其上下限(确定的上下限应为常数).确定了这个变量的上下限以后,我们在这两条平行直线之间画一条和上下限平行的直线,该直线沿着坐标轴的正方向穿过区域该直线与区域的边界至多有两个交点,先交的即为另一个积分变量的积分下限,后交的即为其积分上限. 3． 例题解析 例1
xydxdy,其中D是由直线x 2,y 1,y x所围成的区域.
解:作出积分区域D的图形
作者简介：赵娟(1980-),女，汉族，安徽蚌埠，宿州学院数学系，教师，助教，学士，模糊数学在经济中的应用
安徽师范大学
项目：2006年省级精品课程《高等数学》 （序号111）
省教育厅自然科学资助项目
Word文档免费下载： （下载1-6页，共6页）
关键词: 关键词 二重积分 累次积分 积分限 积分次序 引言: 引言:高等数学学习过程中,二重积分计算是个难点。原因在于将二重积分化为累次积分时, 对于积分限的...NO.4Aug.2007 二重积分计算中积分限的确定 积分的步骤为:r。ij(1)画出积分区域; (2)确定积分区域是否为X一型或y一型区 域,如既不是x一型也不是y一型...( x, y) 上页 下页 返回 第十章 二重积分 y 例1 计算 xydxdy ∫∫ x...为极坐标系下的表达式 的边界曲线换为极坐标系下的表达式, 确定相应的积分限....限确定法 )积分限确定法: “域中一线插”, 须用平行于 轴的射线 域中一线...?2( y) 1( y) f ( x , y ) dx 4、利用直系计算二重积分的步骤 、...3. 掌握确定积分限的方法 图示法列不等式法
(从内到外: 面、.... ?1 x 15 2 1 1 2 12 利用对称性简化二重积分的计算 使用对称性时应...第四模块 函数的积分学第二节 二重积分的计算方法 一、直角坐标系中的累次积分法 二、极坐标系中的累次积分法 一、直角坐标系中的累次积分法 1. 设积分区域...其中函数? 1 ( x ) 、 2 ( x ) 在区间 [a , b] 上连续 ? 3 http...积分是化为两次定积分来计算的,关键 化为两次定积分来计算的 是确定积分限. ...高等数学二重积分的计算法(1)2_理学_高等教育_教育专区。高等数学二重...二重积分化累次积分定限是关键,积分限 要根据积分区域的形状来确定,这首先要画...的计算 一、主要内容二重积分的计算方法是累次积分法,化二重 积分为累次积分的步骤是: ①作出积分区域的草图 ②选择适当的坐标系 ③选定积分次序,定出积分限 1...二重积分的计算一、利用直角坐标系计算二重积分两类区域上二重积分的计算 一般区域...确定积分序 ? 写出积分限 被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少 累次积...樊葡萄 侯方勇 阎海玲 西安财经学院行知学院
【摘 要】本文通过对二重积分解题步骤的介绍，引入了穿线法，并通过实例介绍了穿线法在二重积分化为累次积分时，在确定积分次序以及积分限时候具体的使用方法以及可推广性。
【关键词】二重积分 累次积分 穿线法
【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】（63－01
&&&&&&& 二重积分的常规的解法将二重积分化为累次积分，求解二重积分就必须先确定积分次序以及积分上下限，将二重积分化为累次积分后才能用定积分的公式，而累次积分的积分次序以及先积分变量的积分上下限的确定是大多数学生很难掌握和理解的。在此向大家介绍用划线法轻松将二重积分化为累次积分除了先积分变量的积分上下限。
&&&&&&& 所谓划线法，即在画出积分区域的图形后，在积分区域内做一条条平行于x 轴的直线，将该直线平行于x 轴上下移动，如果该直线与积分区域D 的左（右）交点始终在同一条曲线上，则选择先对x 积分积分区域不分块，可以减少计算量，可以选择先对x 积分，否则积分区域分块对x 积分会增加难度，同时左（右）交点所在的曲线为积分下（上）限。如果选择先对x 积分积分区域要分块，则可在积分区域内任意画条平行于y 轴的直线，将该直线平行于y 轴左右移动，如果该直线与积分区域D 的上（下）交点始终在同一条曲线上，则选择先对y 积分积分区域不分块，可以选择先对y 积分，同时直线与区域D 的下（上）交点所在的曲线为积分下（上）限。下面通过几个实例来介绍穿线法的实际应用：
&&&&&&& 例1，计算二重积分 ，其中积分区域D 是由直线x＝2，y＝x 以及双曲线xy＝1 围成的图形。
分析：画出积分区域的草图，如图1 所示，由被积函数及积分区域D 的图形确定该二重积分在直角坐标系下积分较为容易。
&&&&&&& 如果先对x 积分，就要计算两个累次积分，计算量大，很容易出错。
&&&&&&& 例2，计算二重积分 其中积分区域D是由y2＝x以及直线y＝x－2 围成。
&&&&&&& 分析：画出积分区域的草图，如图2 所示，我们画两条平行于x，y 轴的直线，将平行于y 轴的直线左右平移后发现该直线与积分区域D 的下交点所在的曲线发生改变，由在直线y＝x－2到曲线y2＝x 上，而平行于x 轴的直线在上下平移时与积分区域D 的两个左（右）交点始终在同一条曲线上，因此我们选择先对x 积分，积分上下限为右（左）交点所在的曲线y＝x－2（y2＝x），将x 反解出来有x＝y＋2，x＝y2，后积分的y 的积分上下限为D的上（下）端点处的纵坐标值。
&&&&&&& 求出各交点坐标为（1，－1）（4，2），则有：
&&&&&&& 通过以上两个例题我们可以看出划线法在将二重积分化为累次积分的过程中，简单实用，方法容易掌握，使得让学生头疼的二重积分化累次积分变得非常容易，从而大大降低了二重积分的解题难度。
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来源：新东方网整理
　　在考试中，多元函数积分学中的二重积分这个考点是很重要的，尤其对于数二和数三的考生来说，是一大块重点内容。不同的考点考察侧重点也是不同的，大家如果把握住了这样一个规律，在复习的时候就可以针对各个知识点的考察方向和方式进行复习。相比较一元函数积分学的内容，除了会考察计算，积分学的一些精髓比如定积分的性质、概念、积分中值定理、微积分中值定理等等也会重点考察。但是对于二重积分来说，它是定积分的一个推广，概念、性质等也有相似的结论，那么考试中对二重积分的考察会侧重于计算。下面我们就一起来看看如何快速有效地去计算一个二重积分。
　　首先给出几个辅助计算的运算性质。
　　1.&线性性质
　　以上性质中，线性性质和积分区域可加性是所有积分，包括定积分，二重积分，三重积分，两种曲线和曲面积分都满足的性质，也是在计算二重积分常用的运算性质。被第2条性质，积函数为1的积分也有相似地结论，被积函数为1的定积分、二重积分和三重积分分别为积分区间长度、积分区域面积和积分区域的体积。比较定理在有方向的曲线和曲面积分中会失效。第4条性质类似定积分的学习，还可以有估值定理，进而有二重积分的中值定理等。
　　有了以上计算二重积分的性质，下面我们具体介绍直角坐标系和极坐标系下两种二重积分的求解方法。求解二重的原则就是将其化为累次积分，也就是相当于求两个定积分的过程。
　　计算直角坐标系下的二重积分的一个整体的步骤：
　　首先画出积分区域，从图中可以确定一些点的坐标，包括曲线交点、区域边界点等等，帮助我们确定积分上下限。其次，将一个二重积分化为累次积分还要面临一个选择的问题，即先对哪个变量积分，也就是积分次序选取的问题。我们知道，总共有两种方法，先x后y，或者先y后x。确定积分次序的原则通常有以下两种方式：
　　先看积分区域。这里会涉及到关于定限方法的学习，先对x积分，那么y就是一个常量，我们的方法是画一条平行于x的直线，&，与积分区域的交点可以确定出y的上下限，然后拉着这根直线上下划过积分区域，求出直线和积分区域在边界的交点，就得到x的上下限。当然，这里要求下限小于上限。如图所示
　　对于极坐标下的二重积分，不讨论积分次序，一律先&后&。关键在确定积分上下限。这里定限的方法和直角坐标系类似，先对&积分，把&看做常量，画一条从原点出发的射线，与积分区域的交点即定为上下限。拉着这根直线在积分区域内晃动，它和积分区域边界的交点的角度值即为&的范围。
　　除了会正确计算二重积分外，通常在计算二重积分时，还要注意利用对称性简化计算过程。这也是在讲定积分在对称区间上的简化计算的一个推论。如果积分区域关于x轴对称，被积函数关于y是奇函数，那么积分值为零;被积函数关于y是偶函数，则积分值等于2倍的半个对称区域上的积分值。其他的结论类似。
　　对于数一的同学来说，掌握了二重积分的计算，对后续学习三重积分和曲线曲面积分都是很有帮助的。二重积分这个考点每年都会考到，希望大家能够掌握好这一部分内容。
(责任编辑：张婵)&
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