&&&&离散数学（修订版）
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离散数学试题(A卷及答案)一、证明题（10分）1)((P∨Q)∧(((P∧((Q∨(R)))∨((P∧(Q)∨((P∧(R)(T证明:左端(((P∨Q)∧(P∨(Q∧R)))∨(((P∨Q)∧(P∨R))(摩根律)(((P∨Q)∧(P∨Q)∧(P∨R))∨(((P∨Q)∧(P∨R))(分配律)(((P∨Q)∧(P∨R))∨(((P∨Q)∧(P∨R))(等幂律)(T (代入)2)(x(P(x)(Q(x))∧(xP(x)((x(P(x)∧Q(x))证明：(x(P(x)(Q(x))∧(xP(x)((x((P(x)(Q(x)∧P(x))((x(((P(x)∨Q(x)∧P(x))((x(P(x)∧Q(x))((xP(x)∧(xQ(x)((x(P(x)∧Q(x))二、求命题公式((P(Q)((P∨(Q)的主析取范式和主合取范式（10分）。解：((P(Q)((P∨(Q)((((P(Q)∨(P∨(Q)(((P∨Q)∨(P∨(Q)(((P∧(Q)∨(P∨(Q)(((P∨P∨(Q)∧((Q∨P∨(Q)((P∨(Q)(M1(m0∨m2∨m3三、推理证明题（10分）1)(P((Q(S))∧((R∨P)∧Q(R(S证明：（1）R附加前提（2）(R∨PP（3）PT(1)(2)，I（4）P((Q(S)P（5）Q(ST(3)(4)，I（6）QP（7）ST(5)(6)，I（8）R(SCP2)(x(P(x)∨Q(x))，(x(P(x)((xQ(x)证明：(1)(x(P(x)P(2)(P(c)T(1)，US(3)(x(P(x)∨Q(x))P(4)P(c)∨Q(c)T(3)，US(5)Q(c)T(2)(4)，I(6)(xQ(x)T(5)，EG四、在边长为1的正方形内任意放置九个点，证明其中必存在三个点，使得由它们组成的三角形（可能是退化的）面积不超过1/8（5分）。证明：把边长为1的正方形分成四个全等的小正方形，则至少有一个小正方形内有三个点，它们组成的三角形（可能是退化的）面积不超过小正方形的一半，即1/8。五、已知A、B、C是三个集合，证明A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)（10分）。证明：∵x(A∩（B∪C）(x(A∧x(（B∪C）(x(A∧（x(B∨x(C）(（x(A∧x(B）∨（x(A∧x(C）(x(（A∩B）∨x(A∩C(x(（A∩B）∪（A∩C）∴A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）六、A={x1，x2，xy1，y2&x1，&，&x2，&，&x3，&}，求其关系矩阵及关系图（10分）。解：关系矩阵为七、设R={&2，1&，&2，5&，&2，4&，&3，4&，&4，4&，&5，2&r(R)、s(R)和t(R)，并作出它们及R的关系图（15分）。解：r(R)={&2，1&，&2，5&，&2，4&，&3，4&，&4，4&，&5，2&&1，&，&，&，&，&，&&，&，&}s(R)={&2，1&，&2，5&，&2，4&，&3，4&，&4，4&，&5，2&&1，2&，&4，2&，&4，3&}R2=R5={&2，2&，&2，4&，&3，4&，&4，4&，&5，1&，&5，5&，&5，4&}R3={&2，1&，&2，5&，&2，4&，&3，4&，&4，4&，&5，2&，&5，4&}R4={&2，2&，&2，4&，&3，4&，&4，4&，&5，1&，&5，5&，&5，4&}t(R)={&2，1&，&2，5&，&2，4&，&3，4&，&4，4&，&5，2&，&2，2&，&5，1&，&5，4&，&5，5&}A1，A2，…，An}是集合A的一个划分，定义R={&a，b&|a、b∈Ai，I=1，2，…，n}，则R是A上的等价关系（15分）。证明：(a∈A必有i使得a∈Ai，由定义知aRa，故R自反。(a，b∈A，若aRb，则a，b∈Ai，即b，a∈Ai，所以bRa，故R对称。(a，b，c∈A，若aRb且bRc，则a，b∈Ai及b，c∈Aj。因为i≠j时
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