情境观察将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示．将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D．A(A′)．B在同一条直线上，如图2所示．观察图2可知：与BC相等的线段是
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情境观察将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示．将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D．A(A′)．B在同一条直线上，如图2所示．观察图2可知：与BC相等的线段是
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【解答题】情境观察将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示．将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D．A(A′)．B在同一条直线上，如图2所示．观察图2可知：与BC相等的线段是& __________，∠CAC′=& __________& °．问题探究如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB．AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E．F作射线GA的垂线，垂足分别为P．Q． 试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论．拓展延伸如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB．AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H． 若AB= k AE，AC= k AF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由．&&& 情境观察AD（或A′D），90 。问题探究结论：EP＝FQ。证明如下：∵△ABE是等腰三角形，∴AB＝AE，∠BAE＝90°。∴∠BAG+∠EAP＝90°。∵AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG＝90°。∴∠ABG＝∠EAP。∵EP⊥AG，∴∠AGB＝∠EPA=90°。∴Rt△ABG≌Rt△EAP（AAS）。∴AG=EP。同理AG＝FQ．。∴EP＝FQ．。拓展延伸结论： HE＝HF。理由如下：过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P．Q。∵四边形ABME是矩形，∴∠BAE＝90°。∴∠BAG+∠EAP＝90°，AG⊥BC。∴∠BAG+∠ABG＝90°。∴∠ABG＝∠EAP。∵∠AGB＝∠EPA＝90°，∴△ABG∽△EAP。∴AGEP ＝ ABEA。同理△ACG∽△FAQ，∴AGFP ＝ ACFA。∵AB＝ k AE，AC＝ k AF，∴ABEA ＝ ACFA ＝ k。∴AGEP ＝ AGFP。∴EP＝FQ。∵∠EHP＝∠FHQ，∴Rt△EPH≌Rt△FQH（AAS）。∴HE＝HF 。答案解析相关微课程上一题：下一题：发现相似题
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dongdong922
年级：初三
科目：数学
问题名称：
在锐角三角性ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将三角形ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到三角形A1BC1。 （1）如图①，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数； （2）如图②，连接AA1，CC1。若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积； （3）如图③，点E为线段E的中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值。
在锐角三角性ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将三角形ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到三角形A1BC1。
（1）如图①，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；
（2）如图②，连接AA1，CC1。若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；
（3）如图③，点E为线段E的中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值。
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teacher073
⑴由旋转知：BC=BC1，∠C=∠A1C1B=45°，
∴∠BC1C=∠C=45°
∴∠CC1A1=90°，
⑵由旋转角都相等知：∠A1BA=∠C1BC，BA=BA1，BC=BC1，
∴BA1/BC1=BA/BC，∴ΔBA1A∽ΔBC1C，
∴SΔABA1/SΔCBC1=(AB/AC)^2=16/25，
∴SΔCBC1=25/16×4=25/4。
3）由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1
∴∠CC1B=∠C1CB=45°
∴∠CC1A1=∠CC1B+∠A1C1B=45°+45°=90°．
过点B作BD⊥AC，D为垂足，
∵△ABC为锐角三角形，
∴点D在线段AC上，
在Rt△BDC中，∠ACB=45°
那么∠DBC=45°，BD=DC
∴根据勾股定理：BD?+DC?=BC?
2BD?=5?，BD=5√2/2
(1)当P在AC上运动，BP与AB垂直的时候，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小，最小值为：EP1=BP1-BE=BD-BE=5√2/2-2
(2)当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，最大值为：EP1=BC+BE=2+5=7
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北京博习园教育科技有限公司& 旋转的性质知识点 & “在平面内，旋转变换是指某一图形绕一个定点...”习题详情
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在平面内，旋转变换是指某一图形绕一个定点按顺时针或逆时针旋转一定的角度而得到新位置图形的一种变换．活动一：如图1，在Rt△ABC中，D为斜边AB上的一点，AD=2，BD=1，且四边形DECF是正方形，求阴影部分的面积．小明运用图形旋转的方法，将△DBF绕点D逆时针旋转90°，得到△DGE（如图2所示），一眼就看出这题的答案，请你写出阴影部分的面积：1&．活动二：如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠C=90°，BC=5，CD=3，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，求AE的长．小明仍运用图形旋转的方法，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG（如图4所示），则①四边形AECG是怎样的特殊四边形？答：正方形&．AE的长是4&．活动三：如图5，在四边形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，将BC按逆时针方向绕点B旋转90°得到线段BE，连接AE．若AB=2，DC=4，求△ABE的面积．
本题难度：一般
题型：填空题&|&来源：2010-大庆
分析与解答
习题“在平面内，旋转变换是指某一图形绕一个定点按顺时针或逆时针旋转一定的角度而得到新位置图形的一种变换．活动一：如图1，在Rt△ABC中，D为斜边AB上的一点，AD=2，BD=1，且四边形DECF是正方形，求阴影部分...”的分析与解答如下所示：
（1）根据旋转的性质可知△DBF≌△DGE，则DG=BD=1，那么阴影部分的面积=Rt△ADG的面积=12×AD×DG；（2）根据旋转的性质可知△ABE≌△ADG，得出∠AEB=∠G=90°，BE=DG，AE=AD．在四边形AECD中，有∠AEC=∠C=∠G=90°，则四边形AECD是矩形，又AE=AD，则矩形AECD是正方形；设BE=x，则DG=x，EC=CG=DG+CD=x+3，BC=BE+EC=x+x+3=5，求出x，进而得出AE的长；（3）过点B作BG⊥DC于点G，过点E作EF⊥AB与AB的延长线交于点F，通过证明△BCG≌△BEF，从而得出S△ABE的值．
解：活动一：∵四边形DECF是正方形，∴DE=DF=x，DE∥BC，DF∥AC，∴ADAB=DEBC，DFAC=BDAB，∵AD=2，BD=1，∴AC=3x，BC=32x，∵AC2+BC2=AB2，∴9x2+（32x）2=9，解得：x=2√55，∴DE=DF=2√55，AE=45√5，BF=√55，∴S△ADE+S△BDF=1，∴S阴影=1；故答案为：1；活动二：根据题意得：∠EAG=90°，∵AE⊥BC，∴∠AEB=∠AEC=∠G=90°，∴四边形AECG是矩形，∵AE=AG，∴四边形AECG是正方形，∵BC=5，CD=3，∴设AE=x，则BE=GD=CG-CD=x-3，BE=BC-EC=5-x，∴x-3=5-x，解得：x=4，∴AE=4．故答案为：正方形，4；活动三：过点B作BG⊥DC于点G，过点E作EF⊥AB与AB的延长线交于点F．∵∠BAD=∠D=∠DGB=90°，∴四边形ABGD是矩形，∴DG=AB=2，∴CG=DC-DG=4-2=2．∵∠CBG+∠CBF=90°，∠EBF+∠CBF=90°，∴∠CBG=∠EBF．在△BCG与△BEF中，∠CBG=∠EBF，∠CGB=∠EFB=90°，BC=BE，∴△BCG≌△BEF，∴CG=EF=2．∴S△ABE=12ABoEF=2．（10分）
本题主要考查了旋转变换及其性质．在解题中进行旋转变换的目的在于通过旋转变换可以使图形发生重组，使分散的条件得以集中，然后运用旋转的“不变性”可以使一些问题迎刃而解．一般来说，当图形中有“共点等边”的图形时，常进行旋转变换．
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在平面内，旋转变换是指某一图形绕一个定点按顺时针或逆时针旋转一定的角度而得到新位置图形的一种变换．活动一：如图1，在Rt△ABC中，D为斜边AB上的一点，AD=2，BD=1，且四边形DECF是正方形，...
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经过分析，习题“在平面内，旋转变换是指某一图形绕一个定点按顺时针或逆时针旋转一定的角度而得到新位置图形的一种变换．活动一：如图1，在Rt△ABC中，D为斜边AB上的一点，AD=2，BD=1，且四边形DECF是正方形，求阴影部分...”主要考察你对“旋转的性质”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
旋转的性质
（1）旋转的性质：　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　③旋转前、后的图形全等．（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
与“在平面内，旋转变换是指某一图形绕一个定点按顺时针或逆时针旋转一定的角度而得到新位置图形的一种变换．活动一：如图1，在Rt△ABC中，D为斜边AB上的一点，AD=2，BD=1，且四边形DECF是正方形，求阴影部分...”相似的题目：
[2014o长沙o中考]下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是（　　）
[2013o广州o中考]如图，Rt△ABC的斜边AB=16，Rt△ABC绕点O顺时针旋转后得到Rt△A′B′C′，则Rt△A′B′C′的斜边A′B′上的中线C′D的长度为&&&&．
[2012o温州o中考]分别以正方形的各边为直径向其内部作半圆得到的图形如图所示．将该图形绕其中心旋转一个合适的角度后会与原图形重合，则这个旋转角的最小度数是&&&&度．
“在平面内，旋转变换是指某一图形绕一个定点...”的最新评论
该知识点好题
1如图，△ABD、△AEC都是等边三角形，下列说法：①将△ADC绕C点顺时针旋转60°可得△CBE②将△ADC逆时针旋转60°可得△ABE③将△ADC绕点A逆时针旋转60°可得△ABE④将△ABE绕点A顺时针旋转60°可得△ADC，其中正确的有（　　）
2如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠ADC+∠ABC=180°，下列结论：①CD=CB；②AD+AB=2AE；③∠ACD=∠BCE；④AB-AD=2BE．其中正确的是（　　）
3（2013o晋江市）如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，BE=CF，连接CE、DF．将△BCE绕着正方形的中心O按逆时针方向旋转到△CDF的位置，则旋转角是（　　）
该知识点易错题
1一个平行四边形绕着它的对角线的交点旋转90°，能够与它本身重合，则该四边形是（　　）
2下列说法正确的是（　　）
3（2012o犍为县模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，现给出以下四个结论：（1）AE=CF；（2）△EPF是等腰直角三角形；（3）S四边形AEPF=12S△ABC；（4）EF=AP．当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），上述结论中是正确的结论的概率是（　　）
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＞＞＞在△ABC中，点D在线段AC上，点E在BC上，且DE∥AB将△CDE绕点C按顺时..
在△ABC中，点D在线段AC上，点E在BC上，且DE∥AB将△CDE绕点C按顺时针方向旋转得到△（使＜180°），连接、，设直线与AC交于点O．（1）如图①，当AC=BC时，:的值为______；（2）如图②，当AC=5，BC=4时，求:的值；（3）在（2）的条件下，若∠ACB=60°，且E为BC的中点，求△OAB面积的最小值．
题型：解答题难度：偏易来源：不详
（1）1（2）5:4（3）试题分析： （1）1； 提示：△ACD′≌BCE′.（2）解：∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB．∴．由旋转图形的性质得，,∴．　∵,　∴即．　∴∽.　∴．　（3）解：作BM⊥AC于点M，则BM=BC·sin60°=2．　∵E为BC中点，　∴CE=BC=2．　△CDE旋转时，点在以点C为圆心、CE长为半径的圆上运动．　∵CO随着的增大而增大，　∴当与⊙C相切时，即=90°时最大，　则CO最大．∴此时=30°，=BC=2=CE．∴点在AC上，即点与点O重合．∴CO==2．又∵CO最大时，AO最小，且AO=AC－CO=3．∴．点评：此类试题属于难度很大的综合性试题，考生在解答此类试题时要注意掌握好一些基本知识
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据魔方格专家权威分析，试题“在△ABC中，点D在线段AC上，点E在BC上，且DE∥AB将△CDE绕点C按顺时..”主要考查你对&&轴对称，用坐标表示平移，平移，尺规作图&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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轴对称用坐标表示平移平移尺规作图
轴对称的定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合 ，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点,叫做对称点。轴对称和轴对称图形的特性是相同的，对应点到对称轴的距离都是相等的。轴对称的性质：（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；（2）对应线段相等，对应角相等；（3）关于某直线对称的两个图形是全等图形。轴对称的判定：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。这样就得到了以下性质： 1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 2.类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 3.线段的垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等。　 4.对称轴是到线段两端距离相等的点的集合。
轴对称作用:可以通过对称轴的一边从而画出另一边。 可以通过画对称轴得出的两个图形全等。 扩展到轴对称的应用以及函数图像的意义。
轴对称的应用:关于平面直角坐标系的X,Y对称意义如果在坐标系中，点A与点B关于直线X对称，那么点A的横坐标不变，纵坐标为相反数。 相反的,如果有两点关于直线Y对称,那么点A的横坐标为相反数,纵坐标不变。
关于二次函数图像的对称轴公式(也叫做轴对称公式 )设二次函数的解析式是 y=ax2+bx+c 则二次函数的对称轴为直线 x=-b/2a,顶点横坐标为 -b/2a,顶点纵坐标为 (4ac-b2)/4a
在几何证题、解题时，如果是轴对称图形，则经常要添设对称轴以便充分利用轴对称图形的性质。譬如，等腰三角形经常添设顶角平分线；矩形和等腰梯形问题经常添设对边中点连线和两底中点连线；正方形，菱形问题经常添设对角线等等。另外，如果遇到的图形不是轴对称图形，则常选择某直线为对称轴，补添为轴对称图形，或将轴一侧的图形通过翻折反射到另一侧，以实现条件的相对集中。平移：把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离, 图形的这种移动,叫做平移。平移后图形的位置改变,形状、大小不变。在平面直角坐标系内：如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度。图形平移与点的坐标变化之间的关系：（1）左右平移：原图形上的点（x、y）,向右平移a个单位（x+a,y）;原图形上的点（x、y）,向左平移a个单位（x-a,y）;（2）上、下平移：原图形上的点（x、y）,向上平移a个单位（x,y+b）;原图形上的点（x、y）,向下平移a个单位（x,y-b）。定义：将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移是图形变换的一种基本形式。平移不改变图形的形状和大小，平移可以不是水平的。 平移基本性质：经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等；平移变换不改变图形的形状、大小和方向(平移前后的两个图形是全等形)。（1）图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化;（2）图形平移后，对应点连成的线段平行（或在同一直线上）且相等（3）多次连续平移相当于一次平移。（4）偶数次对称后的图形等于平移后的图形。（5）平移是由方向和距离决定的。这种将图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的位置移动，叫做图形的平移运动，简称为平移平移的条件：确定一个平移运动的条件是平移的方向和距离。
平移的三个要点1 原来的图形的形状和大小和平移后的图形是全等的。2 平移的方向。（东南西北，上下左右,东偏南n度，东偏北n度，西偏南n度，西偏北n度）3 平移的距离。（长度，如7厘米，8毫米等）
平移作用：1.通过简单的平移可以构造精美的图形。也就是花边，通常用于装饰，过程就是复制-平移-粘贴。2.平移长于平行线有关,平移可以将一个角,一条线段,一个图形平移到另一个位置,是分散的条件集中到一个图形上,使问题得到解决。平移作图的步骤：（1）找出能表示图形的关键点；（2）确定平移的方向和距离；（3）按平移的方向和距离确定关键点平移后的对应点；（4）按原图的顺序，连结各对应点。 尺规作图：是指限定用没有刻度的直尺和圆规来完成的画图。一把没有刻度的直尺看似不能做什么，画一个圆又不知道它的半径，画线段又没有精确的长度。其实尺规作图的用处很大，比如单用圆规找出一个圆的圆心，量度一个角的角度，等等。运用尺规作图可以画出与某个角相等的角，十分方便。 尺规作图的中基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线。 还有：已知一角、一边做等腰三角形已知两角、一边做三角形已知一角、两边做三角形依据公理：还可以根据已知条件作三角形，一般分为已知三边作三角形，已知两边及夹角作三角形，已知两角及夹边作三角形等，作图的依据是全等三角形的判定定理：SSS，SAS，ASA等。 注意：保留全部的作图痕迹，包括基本作图的操作程序，只有保留作图痕迹，才能反映出作图的操作是否合理。 尺规作图方法：任何尺规作图的步骤均可分解为以下五种方法：·通过两个已知点可作一直线。·已知圆心和半径可作一个圆。·若两已知直线相交，可求其交点。·若已知直线和一已知圆相交，可求其交点。·若两已知圆相交，可求其交点。尺规作图简史：“规”就是圆规，是用来画圆的工具，在我国古代甲骨文中就有“规”这个字.“矩”就像现在木工使用的角尺，由长短两尺相交成直角而成，两者间用木杠连接以使其牢固，其中短尺叫勾，长尺叫股.矩的使用是我国古代的一个发明，山东历城武梁祠石室造像中就有“伏羲氏手执矩，女娲氏手执规”之图形.矩不仅可以画直线、直角，加上刻度可以测量，还可以代替圆规.甲骨文中也有矩字，这可追溯到大禹治水(公元前2000年)前.《史记》卷二记载大禹治水时“左准绳，右规矩”.赵爽注《周髀算经》中有“禹治洪水，……望山川之形，定高下之势，……乃勾股之所由生也.”意即禹治洪水，要先测量地势的高低，就必定要用勾股的道理.这也说明矩起源于很远的中国古代.春秋时代也有不少著作涉及规矩的论述，《墨子》卷七中说“轮匠(制造车子的工匠)执其规矩，以度天下之方圆.”《孟子》卷四中说“离娄(传说中目力非常强的人)之明，公输子(即鲁班，传说木匠的祖师)之巧，不以规矩，不能成方圆.”可见，在春秋战国时期，规矩已被广泛地用于作图、制作器具了.由于我国古代的矩上已有刻度，因此使用范围较广，具有较大的实用性.古代希腊人较重视规、矩在数学中训练思维和智力的作用，而忽视规矩的实用价值.因此，在作图中对规、矩的使用方法加以很多限制，提出了尺规作图问题.所谓尺规作图，就是只有限次地使用没有刻度的直尺和圆规进行作图.古希腊的安那萨哥拉斯首先提出作图要有尺寸限制.他因政治上的纠葛，被关进监狱，并被判处死刑.在监狱里，他思考改圆成方以及其他有关问题，用来打发令人苦恼的无所事事的生活.他不可能有规范的作图工具，只能用一根绳子画圆，用随便找来的破木棍作直尺，当然这些尺子上不可能有刻度.另外，对他来说，时间是不多了，因此他很自然地想到要有限次地使用尺规解决问题.后来以理论形式具体明确这个规定的是欧几里德的《几何原本》.由于《几何原本》的巨大影响，希腊人所崇尚的尺规作图也一直被遵守并流传下来.由于对尺规作图的限制，使得一些貌似简单的几何作图问题无法解决.最著名的是被称为几何三大问题的三个古希腊古典作图难题：立方倍积问题、三等分任意角问题和化圆为方问题.当时很多有名的希腊数学家，都曾着力于研究这三大问题，虽然借助于其他工具或曲线，这三大难题都可以解决，但由于尺规作图的限制，却一直未能如愿以偿.以后两千年来，无数数学家为之绞尽脑汁，都以失败而告终.直到1637年笛卡尔创立了解析几何，关于尺规作图的可能性问题才有了准则.到了1837年万芝尔首先证明立方倍积问题和三等分任意角问题都属于尺规作图不可能问题.1882年林德曼证明了π是无理数，化圆为方问题不可能用尺规作图解决，这才结束了历时两千年的数学难题公案.
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