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2.3变量间的相关关系(一、二）
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2.3变量间的相关关系(一、二）
官方公共微信某车间为了规定工时额.需确定加工零件所花费的时间.为此做了4次试验.得到的数据如图:若加工时间y与零件个数x之间有较好的线性相关关系．(2&2.5+3&3+4&4+5&4.5=52.5)&table class=&edittable&&&tbody&&l 题目和参考答案——精英家教网——
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& 题目详情
某车间为了规定工时额，需确定加工零件所花费的时间，为此做了4次试验，得到的数据如图：若加工时间y与零件个数x之间有较好的线性相关关系．（2&2.5+3&3+4&4+5&4.5=52.5）x2345y2.5344.5（1）求加工时间与零件个数的线性回归方程；（2）试预报加工10个零件需要的时间．（附：回归方程系数公式=，）
【答案】分析：（1）根据表中所给的数据，做出横标和纵标的平均数，得到样本中心点，求出对应的横标和纵标的积的和，求出横标的平方和，做出系数和a的值，写出线性回归方程．（2）将x=10代入回归直线方程，得y的值，即可预测加工10个零件需要8.05个小时，这是一个预报值．解答：解：（1）由表中数据得：xiyi=52.5，=3.5，=3.5，xi2=54．∴b==0.7故a=3.5-0.7&3.5=1.05，∴所求线性回归方程为：y=0.7x+1.05．（2）将x=10代入回归直线方程，得y=0.7&10+1.05=8.05（小时）．∴试预测加工10个零件需要8.05个小时．点评：本题考查线性回归方程的求法和应用，本题是一个基础题，解题的关键是看清正确运算，本题运算比较繁琐．
请在这里输入关键词：
科目：高中数学
某车间为了规定工时额，需确定加工零件所花费的时间，为此做了4次试验，得到的数据如图：若加工时间y与零件个数x之间有较好的线性相关关系．（2×2.5+3×3+4×4+5×4.5=52.5）
4.5（1）求加工时间与零件个数的线性回归方程；（2）试预报加工10个零件需要的时间．（附：回归方程系数公式b=ni=1xiyi-n.x.yni=1x2i-nx-2，a=.y-b.x）
科目：高中数学
来源：2014届福建高二下第一次月考理科数学试卷（解析版）
题型：解答题
某车间为了规定工时额，需确定加工零件所花费的时间，为此做了4次试验，得到的数据如下图：若加工时间与零件个数之间有较好的线性相关关系。（）
&（1）求加工时间与零件个数的线性回归方程；（2）试预报加工10个零件需要的时间。(附：回归方程系数公式)&
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第一篇:回归方程2.4 线性回归方程
【课标要求】 1．通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点 图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系； 2．在两个变量具有线性相关关系时，会用线性回归方程进 行预测；
3．知道最小平方法的含义，知道最小平方法的思想，能根
据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程． 【核心扫描】
1．散点图的画法，回归直线方程的求解方法．(重点)
2．回归直线方程的求解方法，回归直线方程在现实生活与 生产中的应用．(难点)
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1．与函数关系不同，相关关系是一种有关系，但不是 确定性
2．能用直线方程＝be＋a近似表示的相关关系叫做线性相 关关系，该方程叫线性回归方程 ，给出一组数据(x1，
y1)，(x2，y2)，?，(xn，yn)，线性回归方程中的系数a，b满足 ? n n n ? ? n ?xiyi－? ?xi?? ?yi? i＝1 i＝1 i＝1 ? ?b＝ n n ? ， 2 2 ? n ?xi －? ?xi? i＝1 i＝1 ? ? ?a＝ y －b x ?
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上式还可以表示为 ? n n ? ?xiyi－n x y ? ?xi－ x ??yi－ y ? ? i＝1 ? i＝1 ＝ ， ?b＝ n n ? 2 2 ? ?xi －n x ? ?xi－ x ?2 i＝1 i＝1 ? ? ? a＝ y －b x . ?
想一想：1.相关关系是不是都为线性关系？
提示 不是．有些变量间的相关关系是非线性相关的．
2．散点图只描述具有相关关系的两个变量所对应点的图形吗？
提示 不是．两个变量统计数据所对应的点的图形都是散点图．
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1．相关关系与函数关系的异同点 关系 异同点 相同点
函数关系 相关关系
两者均是指两个变量之间的关系
是一种确定性关系
是一种非确定的关系
①一个为变量，另一个为随机 是两个变量之间的关 变量； 系 ②两个都是随机变量 不一定是因果关系，也可能是 是一种因果关系 伴随关系 是一种理想关系模型 是更为一般的情况
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2.回归直线方程
(1)回归直线方程的思想方法
①回归直线：观察散点图的特征，发现各点大致分布在一 条直线的附近，就称这两个变量之间具有线性相关的关系，这
条直线叫做回归直线．
可见，根据不同的标准可画出不同的直线来近似表示这种 线性关系．比如，可以连接最左侧点和最右侧点得到一条直
线；也可以让画出的直线上方的点和下方的点数目相等，??
这些办法，能保证各点与此直线在整体上是最接近的吗？它们 虽然都有一定的道理，但总让人感到可靠性不强． ②最小二乘法：实际上，求回归直线方程的关键是如何用 数学的方法来刻画“从整体上看各点与此直线的距离最小”， 即最贴近已知的数据点，最能代表变量x与y之间的关系．
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(2)利用回归直线对总体进行估计 ^ 利用回归直线，我们可以进行预测，若回归直线方程为：y＝ ^ bx＋a，则 x＝x0 处的估计值为：y＝bx0＋a.
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题型一 相关关系的判断 【例1】 下列两个变量之间的关系中，①角度和它的余弦 值；②正方形的边长和面积；③正n边形的边数和其内角度数之 和；④人的年龄和身高．不是函数关系的是________．(填序号)
[思路探索] 函数关系是一种变量之间确定性的关系．而相
关关系是非确定性关系． 解析 选项①②③都是函数关系，可以写出它们的函数表
达式：f(θ)＝cos θ，g(a)＝a2，h(n)＝nπ－2π，④不是函数关系，
对于相同年龄的人群中，仍可以有不同身高的人． 答案 ④
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(1)两变量间主要有两种关系：一是确定的函数
关系，另一是不确定的相关关系．同时要注意，两变量间也可
能无相关关系，数学中只有统计部分研究不确定的相关关系． (2)函数关系与相关关系的区别的关键是“确定性”还是
“随机性”．
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【变式1】 下列两个变量中具有相关关系的是________(填
写相应的序号)．
①正方体的棱长和体积；②角的弧度数和它的正弦值；③ 单产为常数时，土地面积和总产量；④日照时间与水稻的亩产
解析 正方体的棱长x和体积V存在着函数关系V＝x3；角的 弧度数α和它的正弦值y存在着函数关系y＝sin α；单产为常数a公 斤/亩土地面积x(亩)和总产量y(公斤)之间也存在着函数关系y＝a x.日照时间长，则水稻的亩产量高，这只是相关关系，应选④. 答案 ④
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题型二 线性回归方程的求法
【例2】 假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修
费用y(万元)有如下统计资料2 3 4 5 6 使用年限x(年) 维修费用y(万元) 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由资料知y对x呈线性相关关系，求线性回归方程＝bx＋ a. [思路探索] 本题已知x与y具有线性相关关系，故无需画散 点图进行判断，可直接用公式求解．
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解 制表． i xi 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 合计 20
yi 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 25 xiyi 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0 112.3 x i2 4 9 16 25 36 90
∴ x ＝4， y ＝5， ?xi ＝90， ?xiyi＝112.3.
2 i＝1 i＝1
112.3－5×4×5 ∴b＝ ＝1.23， 90－5×42 a＝5－1.23×4＝0.08. ^ ∴所求线性回归方程为y＝1.23x＋0.08.
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规律方法 求线性回归方程的一般步骤(1)画散点图，看两个变量是不是存在线性相关关系． (2)列表计算 x ， y ， ?xi ， ?xiyi.(建议用列表方法计算)
2 i＝ 1 i＝ 1 n n
(3)利用(2)的结果计算 a、b，得出线性回归方程．
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【变式2】 某商店统计了近6个月某商品的进价x与售价y(单
位：元)，对应数据如下：
x y 3 4 5 6 2 3 8 9 9 12 12 14
求y对x的回归直线方程．
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3＋5＋2＋8＋9＋12 解 ∵x＝ ＝6.5， 6 4＋6＋3＋9＋12＋14 y＝ ＝8， 6
?xi ＝327， ?xiyi＝396，
2 i ＝1 6 i＝1
?xiyi－6 x y
≈1.143，a＝ y －b x ≈0.571，
?xi2－6 x 2
^ ∴回归直线方程为y＝1.143x＋0.571.
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题型三 利用回归直线对总体进行估计
【例3】 (14分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲
产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几 组对照数据. x y 3 2.5 4 3 5 4 6 4.5
(1)请画出上表数据的散点图； (2)请根据上表提供的数据，用最小平方法求出y关于x的线 性回归方程； (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准 煤．试根据(2)求出的线性回归方程预测生产100吨甲产品的生产 能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值：3×2.5＋4×3＋5 ×4＋6×4.5＝66.5)
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审题指导 本题考查线性回归方程的求解及利用回归直线对 y ?xiyi－n x ?
总体进行估计．利用公式：b＝ xi2－n x 2 ?
，a＝ y －b x 来求出
【解题流程】
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[规范解答] (1)由题设所给数据，可得散点图，如右图所示． (3 分)
(2)由对照数据，计算得3＋4＋5＋6 ＝4.5， ?xi ＝86， x ＝ 4 i ＝1
4 2 4 2.5＋3＋4＋4.5 y＝ ＝3.5，已知 ?xiyi＝66.5. 4 i＝ 1
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所以由最小平方法确定的线性回归方程的系数为
?xiyi－4 x y
?xi2－4 x 2
66.5－4×4.5×3.5 ＝ ＝0.7， 2 86－4×4.5
a＝ y －b x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35. ^ 因此，所求的线性回归方程为y＝0.7x＋0.35. (10 分)
(3)由(2)的回归方程及技改前生产 100 吨甲产品的生产能耗，可得 降低的生产能耗为 90－(0.7×100＋0.35)＝19.65(吨标准煤)． (14 分)
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【题后反思】 解决此类问题首先根据所给数据画出散点
图，根据散点图判断两个变量之间是否具有相关关系，如果两
个变量之间不具有相关关系，或者说，它们之间的关系不显 著，即使求得了线性回归方程也是毫无意义的，而且用其估计
和预测的结果也是不可信的．
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【变式3】 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和新房
屋的面积x的数据：
新房屋面积(m2) 115 110 80 135 105 销售价格(万元) 24.8 21.6 18.4 29.2 22 (1)画出数据对应的散点图； (2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线； (3)据(2)的结果估计当新房屋面积为150 m2时的销售价格．
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(1)数据对应的散点图如图所示．
5 5 15 2 (2) x ＝ ?xi＝109，lxx＝ (xi－ x ) ＝1 570， y ＝23.2，lxy＝ (xi i＝1 i＝1 5i＝1
－ x )(yi－ y )＝308， ^ ^ ^ 设所求回归直线方程为y＝bx＋a， ^ ＝ lxy ＝ 308 ≈0.196 2，a＝ y －b x ＝23.2－109× 308 则b lxx 1 570 1 570 ≈1.816 6. ^ 故所求回归直线方程为y＝0.196 2x＋1.816.6. (3)据(2)，当 x＝150 m2 时，销售价格的估计值为^＝0.196 2×150＋1.816 6＝31.246 6(万元)． y
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误区警示 最小二乘法的原理不清而出错
【示例】 已知x、y之间的一组数据如下表：
x y 1 1 3 2 6 3 7 4 8 5
1 对于表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为 y＝ x 3 1 1 ＋1 与 y＝ x＋ ，试利用最小二乘法思想判断哪条直线拟合程度 2 2 更好．
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[错解] x、y 作为点的坐标，作出所给数据的散点图． 1 用 y＝ x＋1 作为拟合直线时，散点图上的点到拟合直线的距 3 离之和为
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思维突破 题目要求利用最小二乘法思想判断哪条直线拟合
程度更好，不是用散点图上的点到拟合直线的距离之和最小来 判断．
1 [正解] 用 y＝ x＋1 作为拟合直线时，所得 y 估计值与 y 的实 3 ?4 ? ?10 ? ? ?2 ? 2 2 际值的差的平方和为 S1 ＝?3－1? ＋(2－2) ＋(3－3) ＋? 3 －4? 2 ＋ ? ? ? ? ? ?11 ? ? ?2 7 ? 3 －5? ＝3； ? ? 1 1 用 y＝ x＋ 作为拟合直线时，所得 y 估计值与 y 的实际值的 2 2 差的平方和为 ?7 ? ?9 ? ? ?2 ? ?2 1 2 2 2 S2＝(1－1) ＋(2－2) ＋?2－3? ＋(4－4) ＋?2－5? ＝ ； 2 ? ? ? ? 1 1 ∴S2＜S1，∴用直线 y＝ x＋ 拟合程度更好． 2 2
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追本溯源 最小二乘法思想是：计算散点图上的各散点与拟
合直线y＝bx＋a在垂直方向(纵轴方向)上的距离的平方和S，用
来衡量拟合直线y＝bx＋a与散点图中所有点的接近程度，使S达 到最小值的a，b的值就是最好的拟合直线y＝bx＋a方程中的a，
b，这种方法叫做最小二乘法.
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第一篇:回归方程线性回归方程
线性回归证明公式 变量的相关关系中最为简单的是线性相关关系,设随机变量*与变量之 间存在线性相关关系,则由试验数据得到的点(,)将散布在某一直线周围, 因此,可以认为关于的回归函数的类型为线性函数,即,下面用最小二乘法 估计参数、b,设服从正态分布,分别求对 a、b 的偏导数,并令它们等于零， 得方程组 解得 其中 ，
线性回归证明公式 且为观测值的样本方差. 线性方程称为关于的线性回归方程,称为回归系数,对应的直线称为回 归直线.顺便指出,将来还需用到,其中为观测值的样本方差. 利用公式求解：b=
线性回归方程公式 求出 a
线性回归方程公式 是总的公式 线性回归方程 y=bx+a 过定点（x 拔，y 拔）
第一篇:回归方程第二章 一元线性回归模型
回归的含义
?OLS估计量的性质
总体回归函数
样本回归函数
?OLS估计量的概率分布 ?假设检验与置信区间
普通最小二乘法（OLS）
线性模型与非线性模型 关于随机误差项的古典假设
?案例分析与Eviews的应用
回归的含义
? 回归的历史含义
?F.加尔顿最先使用“回归（regression）”。?父母高，子女也高；父母矮，子女也矮。?给定父母的身高，子女平均身高趋向于“回归”到 全体人口的平均身高。
? 回归的现代释义
回归分析用于研究一个变量关于另一个（些）变量的具体
依赖关系的计算方法和理论。
?商品需求函数?生产函数?菲利普斯曲线：
Q ? a ? bP
ln Q ? ln A ? ? ln K ? ? ln L
1 inflation? a ? b unem ploymnt e
?拉弗曲线：
Tax ? ? ? ?TR ? ? (TR)
? 回归的现代释义
等式左边的变量被称为被解释变量（Explained Variable）或应
变量 （Dependeni Variable）。
?等式右边的变量被称为解释变量（Explanaiory Variable）或自
变量（Independeni Variable）。
? 回归分析的目的
根据自变量的值，估计因变量的均值。
?检验（基于经济理论的）假设。?根据样本外自变量的值，预测因变量的均值。
? 回归与因果关系
从逻辑上说，统计关系式本身不可能意味着任何 因果关系。
“一个统计关系式，不管多强也不管多么有启发性， 却永远不能确立因果方面的联系：对因果关系的理念， 必须来自统计学以外，最终来自这种或那种理论。” ――Kendall 和Stuart 前面四个例子都是基于经济理论设定的，包括身高 和体重的关系。
总体回归函数
? 假想案例 ? 总体回归函数的随机设定 ? 随机误差项的意义
? 假想案例
假设一个国家只有60户居民，他们的可支配收 入和消费支出数据如下（单位：美元）：
X Y 80 55 60 65 70 75 － － 户数 5 100 65 70 74 80 85 88 － 6 120 79 84 90 94 98 － － 5 140 80 93 95 103 108 113 115 7 160 102 107 110 116 118 125 － 6 180 110 115 120 130 135 140 － 6 200 120 136 140 144 145 － － 5 220 135 137 140 152 157 160 162 7 240 137 145 155 165 175 189 － 6 260 150 152 175 178 180 185 191 5
（1）由于不确定因素的影响，对同一收入水平X，不同家
庭的消费支出不完全相同； （2）但由于调查的完备性，给定收入水平X的消费支出Y 的分布是确定的，即以X的给定值为条件的Y的条件分布 （Conditional distribution）是已知的，
P(Y=55|X=80）=1/5。
因此，给定收入X的值Xi，可得消费支出Y的条件均值 (conditional mean)或条件期望（conditional expectation）E(Y|X=Xi) 该例中E(Y | X=80)=65
描出散点图发现：随着收入的增加，消费“平均地说”也在增加，且Y
的条件均值均落在一根正斜率的直线上。这条直线称为总体回归线。
E(Y|Xi) = ?0 + ?1Xi=17.00+0.6Xi
? 总体回归函数 E(Y|Xi) = ?0 + ?1Xi
其中Y――被解释变量； X――解释变量；
?0，?1―回归系数（待定系数或待估参数）
“天行有常，不为尧存，不为桀亡。应之以 治则吉，应之以乱则凶。” ---荀子《天论》
? 总体回归函数的随机设定
? 对于某一个家庭，如何描述可支配收入和消费支出的关系? Yi=E(Y|Xi) + ui =?0 + ?1 Xi + ui
某个家庭的消费支出分为两部分：一是E(Y|Xi)=?0 + ?1 Xi ，称 为系统成分或确定性成分；二是ui，称为非系统或随机性成分。
.. . . . . . . .
Y2 u2 u3 Y3
E(Y|Xi) = ?0 + ?1 Xi
―总体回归直线
ui＝Yi - E(Y|Xi)
―随机误差项
随机性总体回归函数
Yi=?0 + ?1 Xi + ui
确定性总体回归函数
E(Y|Xi) = ?0 + ?1 Xi,
? 随机误差项u的意义 ? 反映被忽略掉的因素对被解释变量的影响。或者理论不够完善，或者数据缺失；或者影
?模型设定误差
? 人类行为内在的随机性
样本回归函数
? 为研究总体，我们需要抽取一定的样本。
X Y 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260
? 第 一 个 样 本
60 65 ― 75 － － 户数 总支出 4 255
― 74 ― ― 88 － 2 162
― ― 94 98 － － 2 192
93 95 103 108 113 115 6 627
107 110 ― ― 125 － 3 342
115 120 ― 135 ― － 3 370
― ― 144 ― － － 1 144
― 140 ― ― ― 162 3 337
― ― ― 175 189 － 3 501
― 175 178 ― ― 191 3 544
样本回归线
样本均值连线
样本回归函数
? 第二个样本
X Y 80 ― 60 ― ― 75 － 100 65 70 74 80 85 ― 120 79 84 90 ― ― － 140 ― 93 ― ― ― ― 160 102 ― ― 116 118 ― 180 ― 115 ― ― ― 140 200 120 ― ― 144 145 － 220 135 ― ― 152 ― 160 240 ― 145 155 165 ― 189 260 ― 152 ― ― 180 185
样本回归线
样本均值连线
? 总体回归模型和样本回归模型的比较
E(Y|Xi) = ?0 + ?1 Xi
注意：分清几个关系式和表示符号
（1）总体（真实的）回归直线：
? ? ? Yi ? ?0 ? ?1 X i
E( Y | X i ) ? ?0 ? ?1 X i
（2）样本（估计的）回归直线：
? ? ? Yi ? ?0 ? ?1 X i
（3）总体（真实的）回归函数Xi
（4）样本（估计的）回归函数：
Yi ? ?0 ? ?1 X i ?ui
? ? Yi ? ?0 ? ?1 X i ? ei
ui――随机误差项
ei――残差项
普通最小二乘法
对于所研究的经济问题，通常总体回归直线 E(Yi|Xi) = ?0 + ?1Xi 是 观测不到的。可以通过收集样本来对总体（真实的）回归直线做出估计。
样本回归模型：
? ? ? Yi ? ?0 ? ?1 X i
? ? 或Yi ? ?0 ? ?1 X i ? ei
? ? ? 其中Yi 为Yi的估计值（拟合值）； ?0 , ?1 为 ?0 , ?1 的估计值；
ei为残差，可视为ui的估计值。
如何得到一条能够较好地反映这些点变化规律 的直线呢？
200 180 160 140 120 100 80 60 40 40 80 120 160 X 200 240 280
对于参数的估计采用最小二乘估计法、最小二乘法的原则是以
“残差平方和最小” 确定直线位置（即估计参数）。（Q为残差平方 和）
样本回归模型：
? ? Yi ? ? 0 ? ?1 X i ? ei ? ? ?e ?Y ?? ?? X
? ? ? ? 则通过Q最小确定这条直线，即确定 ?0 , ?1 ，以 ?0 , ?1 为变量，
把它们看作是Q的函数，就变成了一个求极值的问题，可以通过求 导数得到。
? (Y ? Y? )
? ? (Yi ? ? 0 ? ?1 X i ) 2 ?
? ? ? ? 则通过Q最小确定这条直线，即确定 ?0 , ?1 ，以 ?0 , ?1 为变量，
把它们看作是Q的函数，就变成了一个求极值的问题，可以通过求 导数得到。
正规方程组
求Q对 两个待估参数 的偏导数：
? ? = 2? (Yi ? ? 0 ? ?1 X i )(?1) = 0
?Q ? ? = 2? (Yi ? ? 0 ? ?1 X i )(? X i ) = 0 ? ??1 i ?1
? ? ei ? 0 ? ?? ei X i ? 0
根据以上两个偏导方程得以下正规方程 （Normal equation） ：
? ? ? n?0 ? ?1 ? X i
? ? Yi X i ? ?0 ? X i ? ?1 ? X i2 ?
? ? ? ( X i ? X )(Yi ? Y ) ? ? xi yi ?1 ( X i ? X )2 xi2 ? ?
? ? ?0 ? Y ? ?1 X
其中, X和Y分别为X、Y的均值， xi ? X i ? X）和yi ? Yi ? Y）为离差。（ （
OLS回归直线的性质
（1）残差和等于零
由正规方程
? ? 2? (Yi ? ? 0 ? ?1 X i )(?1) 可得。
（2）估计的回归直线
? ? ? Yi ? ?0 ?? 1X i
（3） Yi 的拟合值的平均数等于其样本观测值的平均数
1 T ? ? Y ? ? Yi n i ?1
1 n ? ? (?0 ? ??1 X i ) n i ?1
? ? ?0 ? ?1 X
（4）Cov（ei,Xi）= 0
1 Cov(ei , X i ) = ? ( ei ? e )( X i ? X ) n
1 = ? ( ei X i ? ei X ) ? 0 n
? （5）Cov（ei, Yi ）= 0
1 ? Cov(ei , Yi ) = n ? ( ei ? e )( Yi ? Y )
1 ? ? ? ( eiYi ? eiY ) n
1 ? ? ? X )?Y 1 e ? 0 ? ? ( ei ( ? 0 ? 1 i ?i n n
线性与非线性
?生产函数：
ln Q ? ln A ? ? ln K ? ? ln L
q ? ln Q, a ? ln A, k ? ln K , l ? ln L
q ? a ? ?k ? ?l
1 inftion ? a ? b unem ploymnt e 1 ? invune ?菲利普斯曲线unem ploymnt e
inftion ? a ? binvune
?拉弗曲线：
Tax ? a ? ?TR ? ? (TR) 2 Y ? (TR) 2 Tax ? a ? ?TR ? ?Y
受教育年限与平均小时工资
? Yi ? ?0.1 i X
Yt ? ?0.4( X t ? 2.5)
股票价格与利率
古董钟与拍卖价格
? ? ?15. 517 1 Yt . Xt
P ? ?191.6Agei ? ei i
问题结束了吗？
利用OLS方法得到一个样本回归模型（一 条样本回归线）后，问题结束了吗？
为什么要用普通最小二乘法？ 样本回归模型有无穷多个，我们仅仅得到其中 一个，它能反映真实的总体回归模型吗？ 如何用样本回归模型进行预测？
? 样本回归模型对数据的拟合程度可以接受吗？
古典线性回归模型的基本假定
假定1：解释变量是非随机的。假定2零期望假定：E(ui) = 0。E(ui|Xi) = 0。
Y E(Y|Xi) = ?0 + ?1 Xi
假定3：同方差性假定：Var(ui) = E[ui - E(ui) ]2 = E(ui2) = ? 2。
假定4：无序列相关（无自相关）假定Cov(ui, uj) = E[(ui - E(ui) ) ( uj - E(uj) )] = E(uiuj) = 0, (i ? j )。
假定5：ui服从正态分布, ui ~N(0,?2)
其他一些假定的说明：
假定6*：解释变量X与随机误差项u不相关 Cov(ui, Xi) = E[(ui - E(ui) ) (Xi - E(Xi) )] = E(ui Xi) = 0 如果X为确定性变量，该假定自然满足
假定7*：回归模型是关于参数线性的，但不一定关于变量线性。
OLS估计量的性质
? 高斯-马尔可夫定理
如果满足古典线性回归模型的基本假定（假定1-假定4）， 则在所有的线性估计量中，OLS估计量是最优线性无偏估
计量（BLUE）。
线性性 无偏性 有效性
? ? ?0 , ?1 都是Yi的线性函数。
? ( X ? X )(Y ? Y ) = ?(X ? X )
? ( X ? X )Y ? Y ? ( X ? X ) ?(X ? X )
线性估计量的 处理要比非线性 估计量更为容易
? ( X ? X )Y = ? xiY i2 = ? xi ?(X ? X )
( Xi ? X ) x ? i 2 ? ( X i ? X )2 ? xi
? 代入上式，得?1
? ? ?0 ? Y ? ?1 X ? ?Yi n ? ? XkiYi ? ? ?1 / n ? Xki ? i Y
( Xi - X ) x ? i 2 ? ( X i - X )2 ? xi
? E(?1 ) =
E?[ki (?0 ? ?1 X i ? ui ]
E(? kiYi )
?0 E[? ki ? ?1 ? ki X i ? ? kiui ]
?1E?[ki ( X i ? X )] ? E?(kiui )
?1 ? ? ki E(ui ) = ?1
? E(?1 ) =?1
~ E(?1 ) ??1
无偏估计量 有偏估计量
? 最小方差性与有效性
OLS估计量的方差比其他线性无偏估计量的方差都小。
? 一致性（了解）
? f (?1 ), n ? 200
概 率 密 度
? f (?1 ), n ? 150
? f (?1 ), n ? 100
? f (?1 ), n ? 50
? OLS估计量的方差
为什么要估计方差？
方差反映了数据的离散程度和估计结果的精确性。
受教育年限与每小时工资
? Yi ? ?0.1 i X
? ? ? Var(?1 ) ? E[?1 ? E (?1 )]2 ? E[? ki ui ]2
? E(uiu j ) ? 0
(i ? j) , E(ui2 ) ? ? 2 ,
? ?Var(?1 ) ? ? ki2ui2 ? ? 2 ? ki2 ?
? ? s( ?1 ) ? Var ( ?1 ) ?
? 对于?0：
? ?Y ?? X ? 1 Y ?? X ? ?0 ? i ?1 1 n 1 ? ? ? ( ? 0 ? ?1 X i ? ui ) ? ?1 X n
? ? ( ?1 ? ?1 ) X ? X ? k i ui
标准误( ? 0 ) se ? ? Var ( ? 0 ) ? ? n? x i2 X i2 ?
? Var( ? 0 ) ? E[(
? X ? ki ui ) ]
1 X ?( ? )? 2 ? ? 2 n ? x i2 n? x i2
? ?2的估计
Var(Yi ) ? Var(?0 ? ?1 X i ? ui ) ? Var(ui ) ? ? 2
总体（随机误差项）真实方差?2的估计量：
ui2 ?? n?2
( ? xi yi )2 xi2 ?
? ? ei2 ? ? ( Yi ? Yi )2 ?? yi2 ? ?12 ? xi2 ? ? yi2 ? ?
OLS估计量的概率分布
概率分布是进行假设检验的前提 受教育年限与每小时工资
? Yi ? ?0.1 i X
如果受教育年限的单位为月
? Yi ? ?0.0144? (0.X i ) ? ?0.3 i Z
如果受教育年限的单位为日
? Yi ? ?0.0144 ? (0.)(365X i ) ? ?0.0144 ? 0.0020Ti
假定7：ui 服从正态分布，即ui ? N (0, ? 2 )。
Yi=?0 + ?1 Xi + ui，所以Yi ~ N(?0 + ?1 Xi , ? 2 )
? E ( ?1 ) ? ?1
? E(?0 ) ? ?0
? Var(?1 ) ?
? Var ( ? 0 ) ? ?
? （2） ? 0 的期望
? ? 1 服从
? （1）?1 的方差
? （2） ? 0 的方差
? ? 0 服从
N（ ? 0 , n x 2 ） ? i
? 2 ? X i2
假设检验与置信区间1
? 假设检验
受教育年限与每小时工资
Yi ? ?0 ? ?1 X i ? ui
零假设与备择假设 H0：?1=0 构造统计量
Z? ? ?1 ? ?1
? ?1 ~ N ( ?1 ,
? Z检验与t检验
? ?1 ~ N ( ?1 ,
? ?0 ~ N (?0 ,
? 2 ? X i2
? ? 2 ? X i2 n? xi2
? ?1 ? ?1 ? S ?1
? ?1 ? ?1 ? ?
~ t (n ? 2)
~ N (0,1) t ?
? ?0 ? ?0 ? S ?0
~ t (n ? 2)
?显著性检验（t 检验）的基本步骤
Yi ? ?0 ? ?1 X i ?ui
首先，提出原假设和备择假设H0?1 ? 0 其次，确定并计算统计量H1?1 ? 0
最后，给定显著性水平，查自由度为 t-2 的t分布表。则， 如果
t ? t? / 2 (n ? 2) t ? t? / 2 (n ? 2)
不能拒绝H0：?1=0，认为X对Y没有显著影响。
拒绝H0 ：?1=0 ，认为X对Y有显著影响。
同理,可对?0 进行显著性检验。
-t0.025 0 t0.025
受教育年限与每小时工资
? Yi ? ?0.1 i X
? ? 2 ? X i2 n? x
? 0.875 S ? ? ?
? ?1 ? ?1 S ??
0.7241? 0 ? ? 10.406 0.070
? 0.0144? 0 ? ? ?0.017 0.875
-2.201 0 2.201
? ?0 ? ?0 S ??
股票价格与利率
? ? ?15. 517 1 Yt . Xt
? ? 2 ? X i2 n? x
? 181.555 S ? ? ?
? ?1 ? ?1 S ??
? 0 . ? ? 2.606
? 15.6035? 0 ? ? ?0.086 181.555
? ?0 ? ?0 S ??
其他零假设检验
Yt ? ?0.4( X t ? 2.5)
Yt ? ?0.213X t ? 0.007
H0：?1=-0.4
? ?1 ? ?1 S ??
? 0.213? (?0.4) ? ? 1.585 0.118
? 对于双变量模型，自由度总为(n-2) ? 经验分析中，常用的?有1%、5%和10%。
为了避免显著水平选择的随意性，通常要给
双 侧 检 验
p值&0.05，接受原假设
-t0.025 0 t t0.025 t(n-2)
p/2 -t0.025 0 t0.025 t t(n-2)
p值&0.05，拒绝原假设
? 置信区间
? ?1 ? ?1 ? t P{ ?/2 (n-2) } = 1- ? s ??
-t?/2 (n-2)
t?/2 (n-2)
? ? P ?1 ? S ?? t ? / 2 (n ? 2) ? ?1 ? ?1 ? S ?? t ? / 2 (n ? 2) ? 1 ? ?
由大括号内不等式表示置信水平为1-α时?1的置信区间：
? ? ?1 ? ?1 ? S ?? t ? / 2 (n ? 2), ?1 ? S ?? t ? / 2 (n ? 2)
同理,可求得
? 0 的置信区间为：
? ? ? 0 ? ? 0 ? S ?? t ? / 2 (n ? 2), ? 0 ? S ?? t ? / 2 (n ? 2)
受教育年限与每小时工资
? Yi ? ?0.1 i X
? ? ?1 ? ?1 ? S ?? t ? / 2 (n ? 2), ?1 ? S ?? t ? / 2 (n ? 2)
S ?? ? 0.875
S ?? ? 0.070
? ? ?0. ? 2.201 0. ? 2.201 , ? {0.2 , }
? {?1.5 , }
? ?0 ? ?? 0.? 2.201 ? 0.? 2.201 ,
通过置信区间，可以直接对H0：?1=0进行检验吗？
股票价格与利率
? ? ?15. 517 1 Yt . Xt
S ?? ? 181.555
S ? ? 1000085 . ?
? ?1 ? ?2606.52 ? .101 2606.52 ? .101 . ,
? {505.33, 4707.71 }
? ?0 ? ?? 15.60 ? 181.56? 2.201 ? 15.60 ? 181.56? 2.201 ,
? {???, ? ??}
拟合优度与可决系数
离差平方和的分解
拟合优度：是指回归直线对观测值的拟合程度。显然，若观测值离回归直
线近，则拟合优度好，反之，则拟合优度差，度量拟合优度的
统计量是可决系数。
? 离差平方和的分解
? ? Y i?Y = Y i?Y + Y i ?Yi
总离差 = 回归差 + 残差
回归差：由样本回归直线解释的部分 残差：不能由样本回归直线解释的部分
. ... .. . .
? ? ? Yi ? ?0 ? ?1 X i
? ? (Y i?Y ) 2 ? ? (Y i?Yi ) 2 ? ? (Yi ? Y ) 2 ?
(Y i?Y )2 ?
(Y i?Yi ? Yi ? Y ) 2 ? ? ?
? ? ? (Y i?Yi ) 2 ? ? (Yi ? Y ) 2 ? 2? (Y i?Yi )(Yi ? Y ) ? ?
? (Y i?Y?i )(Y?i ? Y )
? ? (Y ?Y? )?? ( X =
? ? ? ? ? ?1 ? (Y i?Yi ) X i ? ?1 X ? (Y i?Yi ) ? ? ? ?1 ? ei X i ? ?1 X ? ei = 0
? ? (Y i?Y ) 2 ? ? (Y i?Yi ) 2 ? ? (Yi ? Y ) 2 ?
＋ 残差平方和
总离差平方和
回归平方和
? 可决系数
?i2 ? ? ei2 ?y ??y
回归平方和在总离差平方和中所占的比重越大，说明样本回归直线
对样本值拟合的程度越好。因此，用来表示拟合优度的样本可决系
数定义为：
(Yi ? Y ) 2 ? ?
? (Y ? Y )
yi2 ?? yi2 ?
RSS ESS = 1? TSS TSS
R2 的取值范围是 [0，1]。对于一组数据，TSS是不变，所以ESS↑（↓），RSS↓（↑）
表明解释变量X与被解释变量Y之间不存在线性关系；
R2=1时 表明样本回归线与样本值重合，这种情况极少发生；
一般情况下，R2越接近1表示拟合程度越好，X对Y的解释能力越强。
?12 xi 2 ??
? 2 ? xi ?1 2 yi ?
= ? xi2 ? yi 2
(? xi yi ) 2
相关系数与可决系数的关系
（1）样本相关系数是建立在相关分析的基础之上的，研究的是 随机变量之间的关系；可决系数则是建立在回归分析基础上，研 究的是非随机变量X对随机变量Y的解释程度。
（2）取值上，可决系数是样本相关系数的平方。
（3）样本相关系数是由随机的X和Y抽样计算得到，因而相关
关系是否显著，还需进行检验。
可决系数 就模型而言 说明解释变量对应变量的 解释程度 取值：[0,1]
相关系数 就两个变量而言 度量两个变量线性依存程 度。取值：[－1,1]
一元线性回归方程的预测
点预测Yi 区间预测 （1）单个值Yi的区间预测 （2）均值E(Yi)的区间预测
如果经过检验，样本回归方程的拟合优度好，且回归系数的估计值显 著不为0，则可以用回归方程进行预测。预测分为点预测和区间预测。
? ? ? 假设XF为解释变量的一个已知点，则带入样本回归方程 Yt ? ?0 ? ?1 X i
即可得到YF的估计值:
? ? ? YF ? ?0 ? ?1 X F
2、区间预测
估计值 Y 是一个点预测值，它可以是（1）总体真值YF的预测值； ?
? 也可以是（2）总体回归线E(YF|XF)的预测值。现在根据 YF 来对（1）
（2）进行区间预测。
（1）条件期望E(Y0|X0)的预测区间
E(YF|XF) 的预测区间是:
? ( X F ? X )2 1 ? YF ? t? /2 (n ? 2)? ? n ? ( X i ? X )2
YF的预测区间是:
? ( X F ? X )2 1 ? YF ? t? /2 (n ? 2)? 1 ? ? n ? ( X i ? X )2
各种预测值的关系
Y均值的置信区间
Y的个别值的置信区间
当X F ? X时，置信区间最小
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