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计算机代数学及其软件系统
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计算机科学反思录
导读：计算机科学反思录，计算机科学这一门科学深深的吸引着我们这些同学们，上计算机系已经有近三年了，自己也做了一些思考,我一直认为计算机科学这门专业，在本科阶段是不可能切分成计算机科学和计算机技术的，因为计算机科学需要相当多的实践，每一个人(包括非计算机专业)，掌握简单的计算机技术都很容易（包括程序设计），但计算机专业的优势就在于，非计算机专业的人可以很容易地做一个芯片，但他们做不出计算机专业能够做出
计算机科学反思录
计算机科学这一门科学深深的吸引着我们这些同学们，上计算机系已经有近三年了，自己 也做了一些思考,我一直认为计算机科学这门专业，在本科阶段是不可能切分成计算机科学 和计算机技术的，因为计算机科学需要相当多的实践，而实践需要技术；每一个人(包括非 计算机专业)，掌握简单的计算机技术都很容易（包括程序设计），但计算机专业的优势就 在于，我们掌握许多其他专业并不“深究”的东西，例如，算法，体系结构，等等。非计算 机专业的人可以很容易地做一个芯片，写一段程序，但他们做不出计算机专业能够做出来的 大型系统。今天我想专门谈一谈计算机科学，并将重点放在计算理论上。
计算机理论的一个核心问题――从数学谈起：
记得当年大一入学，每周六课时高等数学，天天作业不断(那时是六日工作制)。颇有些同
学惊呼走错了门:咱们这到底念的是什么系？不错，你没走错门，这就是计算机科学与技
术系。我国计算机科学系里的传统是培养做学术研究，尤其是理论研究的人（方向不见得
有问题，但是做得不是那么尽如人意）。而计算机的理论研究，说到底了，如网络安全，
图形图像学，视频音频处理，哪个方向都与数学有着很大的关系，虽然也许是正统数学家
眼里非主流的数学。这里我还想阐明我的一个观点：我们都知道，数学是从实际生活当中
抽象出来的理论，人们之所以要将实际抽象成理论，目的就在于想用抽象出来的理论去更
好的指导实践，有些数学研究工作者喜欢用一些现存的理论知识去推导若干条推论，殊不
知其一：问题考虑不全很可能是个错误的推论，其二：他的推论在现实生活中找不到原型， 不能指导实践。严格的说，我并不是一个理想主义者，政治课上学的理论联系实际一直是 指导我学习科学文化知识的航标（至少我认为搞计算机科学与技术的应当本着这个方向）。
其实我们计算机系学数学光学高等数学是不够的（典型的工科院校一般都开的是高等数学， 我们应该像数学系一样学一下数学分析（清华计算机系开的就是数学分析），数学分析这 门科学，咱们学计算机的人对它有很复杂的感情。在于它是偏向于证明型的数学课程，这 对我们培养良好的分析能力极有帮助。我的软件工程学导师北工大数理学院的王仪华先生 就曾经教导过我们，数学系的学生到软件企业中大多作软件设计与分析工作，而计算机系 的学生做程序员的居多，原因就在于数学系的学生分析推理能力，从所受训练的角度上要 远远在我们之上。当年出现的怪现象是：计算机系学生的高中数学基础在全校数一数二(希 望没有冒犯其它系的同学)，教学课时数也仅次于数学系，但学完之后的效果却不尽如人意。 难道都是学生不努力吗，我看未见得，方向错了也说不一定，其中原因何在，发人深思。
我个人的浅见是：计算机系的学生，对数学的要求固然跟数学系不同，跟物理类差别则更
大。通常非数学专业的所谓“高等数学”，无非是把数学分析中较困难的理论部分删去，
强调套用公式计算而已。而对计算机系来说，数学分析里用处最大的恰恰是被删去的理论
部分。说得难听一点，对计算机系学生而言，追求算来算去的所谓“工程数学”已经彻底
地走进了误区。记上一堆曲面积分的公式，难道就能算懂了数学？那倒不如现用现查，何
必费事记呢？再不然直接用Mathematics或是Matalab好了。
我在系里最爱做的事情就是给学弟学妹们推荐参考书。中文的数学分析书，一般都认为以
北大张筑生老师的“数学分析新讲”为最好。万一你的数学实在太好，那就去看菲赫金哥
尔茨的“微积分学教程”好了--但我认为没什么必要，毕竟你不想转到数学系去。吉米多
维奇的“数学分析习题集”也基本上是计算型的东东。书的名气很大，倒不见得适合我们， 还是那句话，重要的是数学思想的建立，生活在信息社会里我们求的是高效，计算这玩 意还是留给计算机吧。不过现在多用的似乎是复旦大学的《数学分析》也是很好的教材。
中国的所谓高等代数，就等于线性代数加上一点多项式理论。我以为这有好的一面，因为
可以让学生较早感觉到代数是一种结构，而非一堆矩阵翻来覆去。这里不得不提南京大学
林成森，盛松柏两位老师编的“高等代数”，感觉相当舒服。此书相当全面地包含了关于
多项式和线性代数的基本初等结果，同时还提供了一些有用的又比较深刻的内容，如Sturm 序列，Shermon-Morrison公式，广义逆矩阵等等。可以说，作为本科生如能吃透此书，
就可以算高手。国内较好的高等代数教材还有清华计算机系用的那本，清华出版社出版，
书店里多多，一看就知道。从抽象代数的观点来看，高等代数里的结果不过是代数系统性
质的一些例子而已。莫宗坚先生的《代数学》里，对此进行了深刻的讨论。然而莫先生的
书实在深得很，作为本科生恐怕难以接受，不妨等到自己以后成熟了一些再读。
正如上面所论述的，计算机系的学生学习高等数学：知其然更要知其所以然。你学习的目
的应该是：将抽象的理论再应用于实践，不但要掌握题目的解题方法，更要掌握解题思想， 对于定理的学习：不是简单的应用，而是掌握证明过程即掌握定理的由来，训练自己的
推理能力。只有这样才达到了学习这门科学的目的，同时也缩小了我们与数学系的同学之
间思维上的差距。
概率论与数理统计这门课很重要，可惜大多数院校讲授这门课都会少些东西。少了的东西
现在看至少有随机过程。到毕业还没有听说过Markov过程，此乃计算机系学生的耻辱。没
有随机过程，你怎么分析网络和分布式系统？怎么设计随机化算法和协议？清华计算机系 开有“随机数学”，早就是必修课。另外，离散概率论对计算机系学生来说有特殊的重要 性。而我们国家工程数学讲的都是连续概率。现在，美国已经有些学校开设了单纯的“离 散概率论”课程，干脆把连续概率删去，把离散概率讲深些。我们不一定要这么做，但应 该更加强调离散概率是没有疑问的。这个工作我看还是尽早的做为好。
计算方法学（有些学校也称为数学分析学）是最后一门由数理学院给我们开的课。一般学
生对这门课的重视程度有限，以为没什么用。不就是照套公式嘛！其实，做图形图像可离
不开它，密码学搞深了也离不开它。而且，在很多科学工程中的应用计算，都以数值的为
主。这门课有两个极端的讲法：一个是古典的“数值分析”，完全讲数学原理和算法；另
一个是现在日趋流行的“科学与工程计算”，干脆教学生用软件包编程。我个人认为，计
算机系的学生一定要认识清楚我们计算机系的学生为什么要学这门课，我是很偏向于学好
理论后用计算机实现的，最好使用C语言或C++编程实现。向这个方向努力的书籍还是挺多
的，这里推荐大家高等教育出版社（CHEP）和施普林格出版社(Springer)联合出版的《计
算方法（Computational Methods）》,华中理工大学数学系写的（现华中科技大学），这
方面华科大做的工作在国内应算是比较多的，而个人认为以这本最好，至少程序设计方面
涉及了：任意数学函数的求值，方程求根，线性方程组求解，插值方法，数值积分，场微
分方程数值求解。李庆扬的那本则理论性过强，与实际应用结合得不太紧。
每个学校本系里都会开一门离散数学，涉及集合论，图论，和抽象代数，数理逻辑。不过，
这么多内容挤在离散数学一门课里，是否时间太紧了点？另外，计算机系学生不懂组合
和数论，也是巨大的缺陷。要做理论，不懂组合或者数论吃亏可就太大了。从理想的状态
来看，最好分开六门课：集合，逻辑,图论，组合，代数，数论。这个当然不现实，因为
没那么多课时。也许将来可以开三门课：集合与逻辑，图论与组合，代数与数论。（这方
面我们学校已经着手开始做了）不管课怎么开，学生总一样要学。下面分别谈谈上面的三
古典集合论，北师大出过一本《基础集合论》不错。 数理逻辑，中科院软件所陆钟万教
授的《面向计算机科学的数理逻辑》就不错。现在可以找到陆钟万教授的讲课录像http:/
/www./html/Dir//3391.htm自己去看看吧。总的来说，学集合/ 逻辑起手不难，普通高中生都能看懂。但越往后越感觉深不可测。
学完以上各书之后，如果你还有精力兴趣进一步深究，那么可以试一下GTM系列中的《Int
roduction to Axiomatic Set Theory》和《A Course of Mathematical Logic》。这
两本都有世界图书出版社的引进版。你如果能搞定这两本，可以说在逻辑方面真正入了门，
也就不用再浪费时间听我瞎侃了。
据说全中国最多只有三十个人懂图论。此言不虚。图论这东东，技巧性太强，几乎每个问
题都有一个独特的方法，让人头痛。不过这也正是它魅力所在：只要你有创造性，它就能
给你成就感。我的导师说，图论里面随便揪一块东西就可以写篇论文。大家可以体会里面
内容之深广了吧！国内的图论书中，王树禾老师的“图论及其算法”非常成功。一方面，
其内容在国内教材里算非常全面的。另一方面，其对算法的强调非常适合计算机系(本来
就是科大计算机系教材)。有了这本书为主，再参考几本翻译的，如Bondy & Murty的《图
论及其应用》，人民邮电出版社翻译的《图论和电路网络》等等，就马马虎虎，对本科生
足够了。再进一步，世界图书引进有GTM系列的&Modern Graph Theory&。此书确实经典！
国内好象还有一家出版了个翻译版。不过，学到这个层次，还是读原版好。搞定这本书，
也标志着图论入了门。
离散数学方面我们北京工业大学实验学院有个世界级的专家，叫邵学才，复旦大学概率论
毕业的，教过高等数学，线性代数，概率论，最后转向离散数学，出版著作无数，论文集
新加坡有一本，堪称经典，大家想学离散数学的真谛不妨找来看看。这老师的课我专门去
听过，极为经典。不过你要从他的不经意的话中去挖掘精髓。在同他的交谈当中我又深刻
地发现一个问题，虽说邵先生写书无数，但依他自己的说法每本都差不多，我实在觉得诧
异，他说主要是有大纲的限制，不便多写。这就难怪了，很少听说国外写书还要依据个什
么大纲（就算有，内容也宽泛的多），不敢越雷池半步，这样不是看谁的都一样了。外版
的书好就好在这里，最新的科技成果里面都有论述，别的先不说，至少是“紧跟时代的理
论知识”。
组合感觉没有太适合的国产书。还是读Graham和Knuth等人合著的经典“具体数学”吧，西 安电子科技大学出版社有翻译版。 抽象代数，国内经典为莫宗坚先生的“代数学”。此书 是北大数学系教材，深得好评。然而对本科生来说，此书未免太深。可以先学习一些其它 的教材，然后再回头来看“代数学”。国际上的经典可就多了，GTM系列里就有一大堆。推 荐一本谈不上经典，但却最简单的，最容易学的http://www.math.miami.edu/~ec/book/ 这本“Introduction to Linear and Abstract Algebra&非常通俗易懂，而且把抽象代
数和线性代数结合起来，对初学者来说非常理想，我校比较牛的同学都有收藏。
数论方面，国内有经典而且以困难著称的”初等数论“(潘氏兄弟著，北大版)。再追溯一
点，还有更加经典(可以算世界级)并且更加困难的”数论导引“(华罗庚先生的名著，科
学版，九章书店重印，繁体的看起来可能比较困难)。把基础的几章搞定一个大概，对本
科生来讲足够了。但这只是初等数论。本科毕业后要学计算数论，你必须看英文的书，如
Bach的&Introduction to Algorithmic Number Theory&。
计算机科学理论的根本，在于算法。现在很多系里给本科生开设算法设计与分析，确实非
常正确。环顾西方世界，大约没有一个三流以上计算机系不把算法作为必修的。算法教材
目前公认以Corman等著的&Introduction to Algorithms&为最优。对入门而言，这一本 已经足够，不需要再参考其它书。
再说说形式语言与自动机。我看过北邮的教材，应该说写的还清楚。但是，有一点要强调： 形式语言和自动机的作用主要在作为计算模型，而不是用来做编译。事实上，编译前端已 经是死领域，没有任何open problems，北科大的班晓娟博士也曾经说过，编译的技术已 相当成熟。如果为了这个，我们完全没必要去学形式语言--用用yacc什么的就完了。北邮 的那本在国内还算比较好，但是在深度上，在跟可计算性的联系上都有较大的局限，现代 感也不足。所以建议有兴趣的同学去读英文书，不过国内似乎没引进这方面的教材。可以 去互动出版网上看一看。入门以后，把形式语言与自动机中定义的模型，和数理逻辑中用 递归函数定义的模型比较一番，可以说非常有趣。现在才知道，什么叫“宫室之美，百官 之富”！
计算机科学和数学的关系有点奇怪。二三十年以前，计算机科学基本上还是数学的一个分
支。而现在，计算机科学拥有广泛的研究领域和众多的研究人员，在很多方面反过来推动
数学发展，从某种意义上可以说是孩子长得比妈妈还高了。但不管怎么样，这个孩子身上
始终流着母亲的血液。这血液是the mathematical underpinning of computer science
(计算机科学的数学基础)，也就是理论计算机科学。原来在东方大学城图书馆中曾经看过 一本七十年代的译本（书皮都没了，可我就爱关注这种书），大概就叫《计算机数学》。 那本书若是放在当时来讲决是一本好书，但现在看来，涵盖的范围还算广，深度则差了许 多，不过推荐大一的学生倒可以看一看，至少可以使你的计算数学入入门。
最常和理论计算机科学放在一起的一个词是什么？答：离散数学。这两者的关系是如此密
切，以至于它们在不少场合下成为同义词。（这一点在前面的那本书中也有体现）传统上， 数学是以分析为中心的。数学系的同学要学习三四个学期的数学分析，然后是复变函数， 实变函数，泛函数等等。实变和泛函被很多人认为是现代数学的入门。在物理，化学，工 程上应用的，也以分析为主。
随着计算机科学的出现，一些以前不太受到重视的数学分支突然重要起来。人们发现，这
些分支处理的数学对象与传统的分析有明显的区别：分析研究的问题解决方案是连续的，
因而微分，积分成为基本的运算；而这些分支研究的对象是离散的，因而很少有机会进行
此类的计算。人们从而称这些分支为“离散数学”。“离散数学”的名字越来越响亮，最
后导致以分析为中心的传统数学分支被相对称为“连续数学”。
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　　贵州师范大学数学与计算机科学学院是以数学、计算数学、计算机科学与技术、信息与计算科学等学科为主的教学科研单位，具有较好的师资力量与教学环境。有教授11人，副教授14人，讲师15人。教师中有省管专家3人，享受政府津贴专家6人，校学科带头人5人，校中青年骨干教师5人。 　　　　贵州师范大学数学与计算机科学学院现有两个硕士点，一个省级重点学科。主要研究方向：有限元、网络计算、计算机图形学、跨文化数学教育、函数论、代数学、计算机辅助教育、网络通信与信息安全、GIS应用与开发、计算理论、计算机控制、积分几何、中小学教学教育等方向。现有“数学与应用数学”、“计算机科学与技术”两个本科专业，在校本科学生1500人，在读研究生52人。计算机科学与技术学科主要从事计算机应用和计算理论研究，在计算机辅助教育、网络计算、计算机图形学等方向培养了多届研究生,并在网络通信与信息安全、网络多媒体教学应用研究、网络计算、有限元分析、GIS应用与开发等方面取得了一些可喜的科研成果。
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