【图文】高中数学必修二2.3.1-3点到平面的距离_百度文库
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高中数学必修二2.3.1-3点到平面的距离
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你可能喜欢空间几何体；一、知识梳理；1．简单几何体；2．几种常用的多面体：；(1)棱柱：一般地，有两个在面互相平行，其余各面；按底面多边形边数棱柱可分为，，，六棱柱等；按侧棱与底成是否垂直可分为和；斜棱柱：；直棱柱：；正棱柱：；底面是的四棱柱叫平；(2)棱锥：一般地，有一个面是多边形，其余各面都；正棱锥的两个本质特征：①；②；(3)棱台可由的平面截棱锥得到，；3、旋转
空间几何体
一、知识梳理
1．简单几何体
2．几种常用的多面体：
(1)棱柱：一般地，有两个在面互相平行，其余各面都有是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫棱柱；棱柱中互相平行的面叫棱柱的______;简称底；其余各面叫做棱柱的______,相邻侧面的公共边叫做棱柱的_______,侧面与底面的公共点称为棱柱的______
按底面多边形边数棱柱可分为
，六棱柱等。
按侧棱与底成是否垂直可分为
；直棱柱：
；正棱柱：
的四棱柱叫平行六面体；
的平行六面体叫直平行六面体；底面是 的直平行六面体叫长方体；
(2)棱锥：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共点的三角形，由这些面围成的几何体叫做_______,这个多边形面叫做______；有公共顶点的各个三角形面叫_____;各侧面的公共顶点叫________;相邻侧面的公共边叫做_________。
正棱锥的两个本质特征：①
正棱锥的性质：①
(3)棱台可由的平面截棱锥得到，
3、旋转体的结构特征 (请结合右图分析)
(1)圆柱可以由矩形绕其_______旋转得到
(2)圆锥可以由直角三角形绕其____
(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线 或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，
也可由_______的平面截圆锥得到．
(4)球可以由半圆或圆绕其______
4、空间几何体的三视图
三视图包括正视图、侧视图、俯视图。
围成的平面图形． (2)在
的下面，长度与
一样，左视图放在
的右面，高度与
的高度一样，宽度与
的宽度一样，即“
”，或说“
”，注意虚、实线的区别．
5、空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用
画法来画，基本步骤是：
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴 ，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于O′，且使∠x′O′y′＝
(2)已知图形中平行于x轴、y
6、中心投影与平行投影
(1)平行投影的投影线
，而中心投影的投影线
(2)从投影的角度看，三视图和用斜二测画法画出的直观图都是在投影下画出来的图形．
注：空间几何体的三视图和直观图在观察角度和投影效果上的区别是：
（1）观察角度：三视图是从三个不同位置观察几何体而画出的图形；直观图是从某一点观察几何体而画出的图形；
（2）投影效果：三视图是正投影下的平面图形，直观图是在平行投影下画出的空间图形。
7、侧面积公式：直棱柱的侧面积：S?，斜棱柱的侧面积：S?。
圆柱的侧面积：S?，圆锥的侧面积：S?，
正棱锥的侧面积：S?，正棱台的侧面积：S?，
圆台的侧面积：S?，球的表面积：S?
8、体积公式：柱体的体积：V?V?
台体的体积：V? 球体的体积：V?，
二、典例精析
考点一、空间几何体的结构特征
1、平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：
充要条件①
充要条件②
思路解析：利用类比推理中“线?面”再验证一下所给出的条件是否正确即可。
解答：平行六面体实质是把一个平行四边形按某一方向平移所形成的几何体，因此“平行四边形”与
四边形（任选两个即可）。
2、一正方体表面沿着几条棱裁开放平得到如图的展开图，则在原正方体中（ ）
解答：选C。折回原正方体如图，则C与E重合，D与B重合。显见CD∥GH
3、．下列命题中，不正确的是______．
①棱长都相等的长方体是正方体
②有两个相邻侧面为矩形的棱柱为直棱柱
③有两个侧面与底面垂直的棱柱为直棱柱
④底面为平行四边形的四棱柱叫平行六面体
解析：由平行六面体、正方体的定义知①④正确；对于②，相邻两侧面垂直于底面，则侧棱垂直于底面，所以该棱柱为直棱柱，因而②正确；对于③，若两侧面平行且垂直于底面，则不一定是直棱柱．答案：③
4．下面是关于三棱锥的四个命题：
①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．
②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．
③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥．
④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．
其中，真命题的编号是______．(写出所有真命题的编号)
解析：对于①，设四面体为D－ABC，过棱锥顶点D作底面的垂线DE，过E分别作AB，BC，CA边的垂线，其垂足依次为F，G，H，连结DF，DG，DH，则∠DFE，∠DGE，∠DHE分别为各侧面与底面所成的角，所以∠DFE＝∠DGE＝∠DHE，于是有FE＝EG＝EH，DF＝DG＝DH，故E为△ABC的内心，又因△ABC为等边三角形，所以F，G，H为各边的中点，所以△AFD≌△BFD≌△BGD≌△CGD≌△AHD，故DA＝DB＝DC，故棱锥为正三棱锥．所以为真命题．对于②，侧面为等腰三角形，不一定就是侧棱为两腰，所以为假命题．对于③，面积相等，不一定侧棱就相等，只要满足斜高相等即可，所以为假命题．对于④，由侧棱与底面所成的角相等，可以得出侧棱相等，又结合①知底面应为正三角形，所以为真命题．综上，①④为真命题．答案：①④
5、关于如图所示几何体的正确说法为________．
①这是一个六面体 ②这是一个四棱台
③这是一个四棱柱 ④这是一个四棱柱和三棱柱的组合体
⑤这是一个被截去一个三棱柱的四棱柱
答案：①②③④⑤
6、(2009年高考安徽卷)对于四面体ABCD，下列命题正确的是________．(写出所有正确命题的编号)．
①相对棱AB与CD所在的直线是异面直线；
②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点；
③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高的垂足重合；
④任何三个面的面积之和都大于 第四个面的面积；
⑤分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．
解析：②中的四面体如果对棱垂直，则垂足是△BCD的三条高线的交点；③中如果AB与CD垂直，则两条高的垂足重合．答案：①④⑤
7、下面命题正确的有________个．
①长方形绕一条直线旋转一周所形成的几何体是圆柱
②过圆锥侧面上一点有无数条母线
③三棱锥的每个面都可以作为底面
④圆锥的轴截面(过轴所作的截面)是等腰三角形
解析：①②错，③④正确．①错在绕一条直线，应该是绕长方形的一条边所在的直线；②两点确定一条直线，圆锥的母线必过圆锥的顶点，因此过圆锥侧面上一点只有一条母线．答案：2
8、给出以下命题：①底面是矩形的四棱柱是长方体；②直角三角形绕着它的一边旋转一周形成的几何体叫做圆锥；③四棱锥的四个侧面可以都是直角三角形．其中说法正确的是__________．
解析：命题①不是真命题，因为底面是矩形，若侧棱不垂直于底面，这时
四棱柱是斜四棱柱；命题②不是真命题，直角三角形绕着它的一条直角边旋转一周
形成的几何体叫做圆锥，如果绕着它的斜边旋转一周，形成的几何体则是两个具有
共同底面的圆锥；命题③是真命题，如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是
矩形，PA⊥平面ABCD，则可以得到四个侧面都是直角三角形．故填③.
9、下列结论正确的是①各个面都是三角形的几何体是三棱锥
②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥
④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
解析：①错误．如图(1)所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．
②错误．如图(2)(3)所示，若△ABC不是
直角三角形，或是直角三角形但旋转轴不是
直角边，所得的几何体都不是圆锥．
③错误．若六棱锥的所有棱长都相等，
则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．
④正确．答案：④
10、如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它
的腰，以下四个命题中，假命题是________．
①等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等
②等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补
③等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆
④等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上
解析：①如图，∵SA=SB=SC=SD，∴∠SAO=∠SBO=∠SCO=∠SDO，即等腰四棱锥腰与底面所成的角相等，正确；②等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角相等或互补不一定成立；③如图，由SA=SB=SC=SD得OA=OB=OC=OD，即等腰四棱锥的底面四边形存在外接圆，正确；④等腰四棱锥各顶点在同一个球面上，正确．故选②.答案：②
考点二、空间几何体的三视图
1将正三棱柱截去三个角（如图1所示A，B，C分别是△GHI三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（
F 图1 B A． B． B E F 图2 D E C． D．
解：在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案A
点评：本题主要考查三视图中的左视图，要有一定的空间想象能力。
2、由大小相同的正方体木块堆成的几何体的三视图如图所示，则该几何体中正方体木块的个数是
主视图 左视图
解：以俯视图为主，因为主视图左边有两层，表示俯视图中左边最多有两个木块，再看左视图，可得木块数如右图所示，因此这个几何体的正方体木块数的个数为5个。
点评：从三视图到确定几何体，应根据主视图和俯视图情况分析，再结合左视图的情况定出
几何体，最后便可得出这个立体体组合的小正方体个数。
3、如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角后所得多面体的直观图，它的正视
图和侧视图在下面画出（单位：cm）.在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图。
思路解析：根据正视图和侧视图可确定出点G、F的位置，从而可以画出俯视图。
解答：如图：
考点三、空间几何体的直观图
1、如图是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图。
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