三角恒等变换技巧--《广东教育(高中版)》2014年12期
三角恒等变换技巧
【摘要】：正三角恒等变换问题在历年高考和自主招生试题中屡见不鲜,主要考查考生的逻辑推理和运算求解能力.主要是通过三角公式进行等价变换以达到化简、求值、证明的目的.其实三角恒等变换说起来就那么几个公式——虽然多,但是有规律;就那么几个套路——不是正用就逆用;但从实际考试效果看,还是有相当一部分考生不能在短时间内找到解决问题的最佳方案.针对这些问题,本文着重分析各类试题中有关三角恒等变换的问题,主要剖析命题切入点,以及围绕三角恒等变换的解题方法和思路.
【作者单位】：
【分类号】：G634.6
欢迎：、、)
支持CAJ、PDF文件格式，仅支持PDF格式
【相似文献】
中国期刊全文数据库
杨明正;杨沐逸;;[J];中学生数理化(高一版);2014年06期
刘康宁;党效文;;[J];数学通讯;2007年08期
黄伟军;;[J];广东教育(高中版);2008年12期
王翔;;[J];考试(高考数学版);2008年Z4期
罗长富;;[J];中学生数理化(高一版);2009年06期
韩雪;;[J];中国科教创新导刊;2009年03期
韩玉宝;;[J];新高考(高一版);2009年02期
张福俭;;[J];新高考(高一版);2009年02期
李昭平;;[J];中学生数理化(高一版);2011年06期
华丽凤;;[J];高中数理化;2011年22期
中国重要报纸全文数据库
莱芜市凤城高中
李春霞;[N];学知报;2011年
江世栋　通讯员
杨彬彬;[N];咸宁日报;2010年
&快捷付款方式
&订购知网充值卡
400-819-9993正确教育旗下网站
网校：13463所
24小时更新：3528
总量：6877861
2019年高考文数全国通用版一轮复习精准备考达标检测
2019年高考文数全国通用版一轮复习精准备考达标检测
发布时间： 09:46:01
浏览量：55次
官方微信公共账号
资源库-微信公众号《2014年广东省高考数学试卷(理科)》 www.wenku1.com
2014年广东省高考数学试卷(理科)日期：
2014年广东省高考数学试卷（理科） 一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分. 1．（5分）（2014o广东）已知集合M{﹣1，0，1}，N={0，1，2}，则M ∪N=（ ） A ．{0，1} B ．{﹣1，0，1，2} C ．{﹣1，0，2} D ．{﹣1，0，1} 2．（5分）（2014o广东）已知复数z 满足（3+4i）z=25，则z=（ ） A ．3﹣4i B ．3+4i C ．﹣3﹣4i D ．﹣3+4i3．（5分）（2014o广东）若变量x ，y 满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m 和n ，则m ﹣n=（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．84．（5分）（2014o广东）若实数k 满足0＜k ＜9，则曲线﹣=1与曲线﹣=1的（ ）A ．焦距相等 B．实半轴长相等 C．虚半轴长相等 D．离心率相等5．（5分）（2014o广东）已知向量=（1，0，﹣1），则下列向量中与成60°夹角的是（ ） A ．（﹣1，1，0） B．（1，﹣1，0） C．（0，﹣1，1） D．（﹣1，0，1） 6．（5分）（2014o广东）已知某地区中小学学生的近视情况分布如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ） A ．200，20 B ．100，20 C ．200，10 D ．100，10 7．（5分）（2014o广东）若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是（ ） A ．l 1⊥l 4 B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行 D ．l 1与l 4的位置关系不确定 8．（5分）（2014o广东）设集合A={（x 1，x 2，x 3，x 4，x 5）|xi ∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4，5}，那么集合A 中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为（ ） A ．60 B ．90 C ．120 D ．130二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分（. 一）必做题（9~13题） 9．（5分）（2014o广东）不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集为 10．（5分）（2014o广东）曲线y=e+2在点（0，3）处的切线方程为 11．（5分）（2014o广东）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 ． 12．（5分）（2014o广东）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知bcosC+ccosB=2b，则=13．（5分）（2014o广东）若等比数列{an }的各项均为正数，且a 10a 11+a9a 12=2e，则lna 1+lna2+…lna 20=． （二）、选做题（14~15题，考生只能从中选作一题）【坐标系与参数方程选做题】214．（5分）（2014o广东）在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为ρsin θ=cosθ和ρsin θ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2交点的直角坐标为 ．【几何证明选讲选做题】 15．（2014o广东）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB=2AE，AC 与DE 交于点F ，则= ． 5﹣5x 三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（12分）（2014o广东）已知函数f （x ）=Asin（x+（1）求A 的值；（2）若f （θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f （﹣θ）．），x ∈R ，且f （）=．17．（13分）（2014o广东）随机观测生产某种零件的某工作厂25名工人的日加工零件个数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36．根据上述数据得到样本的频率分布表（1）确定样本频率分布表中n 1，n 2，f 1和f 2的值； （2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率． 18．（13分）（2014o广东）如图，四边形ABCD 为正方形．PD ⊥平面ABCD ，∠DPC=30°，AF ⊥PC 于点F ，FE ∥CD ，交PD 于点E ． （1）证明：CF ⊥平面ADF ；（2）求二面角D ﹣AF ﹣E 的余弦值． 19．（14分）（2014o广东）设数列{an }的前n 项和为S n ，满足S n =2nan+1﹣3n ﹣4n ，n ∈N ，且S 3=15．（1）求a 1，a 2，a 3的值； （2）求数列{an }的通项公式．20．（14分）（2014o广东）已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的右焦点为（，0），离心2*率为．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点P （x 0，y 0）为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．21．（14分）（2014o广东）设函数f （x ）=＜﹣2．（1）求函数f （x ）的定义域D （用区间表示）； （2）讨论函数f （x ）在D 上的单调性；（3）若k ＜﹣6，求D 上满足条件f （x ）＞f （1）的x 的集合（用区间表示）．，其中k 2014年广东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析 一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分. 1．（5分）（2014o广东）已知集合M{﹣1，0，1}，N={0，1，2}，则M ∪N=（ ） A ．{0，1} B ．{﹣1，0，1，2} C ．{﹣1，0，2} D ．{﹣1，0，1} 【考点】并集及其运算． 【专题】集合．【分析】根据集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：∵集合M{﹣1，0，1}，N={0，1，2}， ∴M ∪N={﹣1，0，1，2}， 故选：B【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础． 2．（5分）（2014o广东）已知复数z 满足（3+4i）z=25，则z=（ ） A ．3﹣4i B ．3+4i C ．﹣3﹣4i D ．﹣3+4i 【考点】复数相等的充要条件． 【专题】数系的扩充和复数．【分析】根据题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，计算求得z 的值．【解答】解：∵复数z 满足（3+4i）z=25，则z====3﹣4i ， 故选：A ． 【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，属于基础题．3．（5分）（2014o广东）若变量x ，y 满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m 和n ，则m ﹣n=（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，进行平移即可得到结论． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A ， 直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z 最小，由，解得，即A （﹣1，﹣1），此时z=﹣2﹣1=﹣3，此时n=﹣3，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B ， 直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z 最大， 由，解得，即B （2，﹣1），此时z=2×2﹣1=3，即m=3， 则m ﹣n=3﹣（﹣3）=6， 故选：B ． 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．4．（5分）（2014o广东）若实数k 满足0＜k ＜9，则曲线﹣=1与曲线﹣=1的（ ）A ．焦距相等 B．实半轴长相等 C．虚半轴长相等 D．离心率相等 【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据k 的取值范围，判断曲线为对应的双曲线，以及a ，b ，c 的大小关系即可得到结论．【解答】解：当0＜k ＜9，则0＜9﹣k ＜9，16＜25﹣k ＜25，即曲线﹣=1表示焦点在x 轴上的双曲线，其中a =25，b =9﹣k ，c =34﹣k ，222曲线﹣=1表示焦点在x 轴上的双曲线，其中a =25﹣k ，b =9，c =34﹣k ，222即两个双曲线的焦距相等， 故选：A ．【点评】本题主要考查双曲线的方程和性质，根据不等式的范围判断a ，b ，c 是解决本题的关键．5．（5分）（2014o广东）已知向量=（1，0，﹣1），则下列向量中与成60°夹角的是（ ） A ．（﹣1，1，0） B．（1，﹣1，0） C．（0，﹣1，1） D．（﹣1，0，1） 【考点】数量积表示两个向量的夹角． 【专题】空间向量及应用．【分析】根据空间向量数量积的坐标公式，即可得到结论．【解答】解：不妨设向量为=（x ，y ，z ）， A ．若=（﹣1，1，0），则cos θ==，不满足条件．B ．若=（1，﹣1，0），则cos θ===，满足条件．C ．若=（0，﹣1，1），则cos θ==，不满足条件．D ．若=（﹣1，0，1），则cos θ==，不满足条件．故选：B【点评】本题主要考查空间向量的数量积的计算，根据向量的坐标公式是解决本题的关键． 6．（5分）（2014o广东）已知某地区中小学学生的近视情况分布如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ） A ．200，20 B ．100，20 C ．200，10 D ．100，10 【考点】频率分布直方图． 【专题】概率与统计．【分析】根据图1可得总体个数，根据抽取比例可得样本容量，计算分层抽样的抽取比例，求得样本中的高中学生数，再利用图2求得样本中抽取的高中学生近视人数． 【解答】解：由图1知：总体个数为00=10000， ∴样本容量=10，分层抽样抽取的比例为，∴高中生抽取的学生数为40，∴抽取的高中生近视人数为40×50%=20． 故选：A ．【点评】本题借助图表考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样的特征是关键．7．（5分）（2014o广东）若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是（ ） A ．l 1⊥l 4 B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行 D ．l 1与l 4的位置关系不确定 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系． 【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面可得，∴l 1与l 4的位置关系不确定．【解答】解：∵l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，∴l 1与l 3的位置关系不确定， 又l 4⊥l 3，∴l 1与l 4的位置关系不确定． 故A 、B 、C 错误． 故选：D ．【点评】本题考查了空间直线的垂直关系的判定，考查了学生的空间想象能力，在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面．8．（5分）（2014o广东）设集合A={（x 1，x 2，x 3，x 4，x 5）|xi ∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4，5}，那么集合A 中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为（ ） A ．60 B ．90 C ．120 D ．130 【考点】排列、组合的实际应用． 【专题】排列组合．【分析】从条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”入手，讨论x i 所有取值的可能性，分为5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况进行讨论．【解答】解：由于|xi |只能取0或1，且“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”，因此5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况：①x i 中有2个取值为0，另外3个从﹣1，1中取，共有方法数：②x i 中有3个取值为0，另外2个从﹣1，1中取，共有方法数：③x i 中有4个取值为0，另外1个从﹣1，1中取，共有方法数：∴总共方法数是++=130．； ； ．即元素个数为130． 故选：D ．【点评】本题看似集合题，其实考察的是用排列组合思想去解决问题．其中，分类讨论的方法是在概率统计中经常用到的方法，也是高考中一定会考查到的思想方法． 二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分（. 一）必做题（9~13题）9．（5分）（2014o广东）不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集为． 【考点】绝对值不等式的解法． 【专题】不等式的解法及应用．【分析】把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：由不等式|x﹣1|+|x+2|≥5，可得 ①，或②，或③．解①求得x ≤﹣3，解②求得 x ∈?，解③求得x ≥2． 综上，不等式的解集为（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）， 故答案为：（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．10．（5分）（2014o广东）曲线y=e+2在点（0，3）处的切线方程为． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】导数的概念及应用．【分析】利用导数的几何意义求得切线的斜率，点斜式写出切线方程．﹣5x【解答】解；y ′=﹣5e ，∴k=﹣5，﹣5x∴曲线y=e+2在点（0，3）处的切线方程为y ﹣3=﹣5x ，即y=﹣5x+3． 故答案为：y=﹣5x+3【点评】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线方程，属基础题． 11．（5分）（2014o广东）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 ．﹣5x【考点】众数、中位数、平均数． 【专题】概率与统计．【分析】根据条件确定当中位数为6时，对应的条件即可得到结论． 【解答】解：从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，有种方法，若七个数的中位数是6，则只需从0，1，2，3，4，5，选3个，从7，8，9中选3个不同的数即可，有种方法，则这七个数的中位数是6的概率P==．故答案为：．【点评】本题主要考查古典概率的计算，注意中位数必须是按照从小到大的顺序进行排列的．比较基础．12．（5分）（2014o广东）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知bcosC+ccosB=2b，则=【考点】正弦定理．【专题】三角函数的求值．【分析】已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理变形即可得到结果．【解答】解：将bcosC+ccosB=2b，利用正弦定理化简得：sinBcosC+sinCcosB=2sinB， 即sin （B+C）=2sinB， ∵sin （B+C）=sinA， ∴sinA=2sinB，利用正弦定理化简得：a=2b，则=2．故答案为：2【点评】此题考查了正弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．13．（5分）（2014o广东）若等比数列{an }的各项均为正数，且a 10a 11+a9a 12=2e，则lna 1+lna2+…lna 20=【考点】等比数列的性质；对数的运算性质． 【专题】等差数列与等比数列．5【分析】直接由等比数列的性质结合已知得到a 10a 11=e，然后利用对数的运算性质化简后得答案．5【解答】解：∵数列{an }为等比数列，且a 10a 11+a9a 12=2e，5∴a 10a 11+a9a 12=2a10a 11=2e，5则a 10a 11=e， ∴lna 1+lna2+…lna 20=510505 =ln（e ）=lne=50． 故答案为：50．【点评】本题考查了等比数列的运算性质，考查对数的运算性质，考查了计算能力，是基础题． （二）、选做题（14~15题，考生只能从中选作一题）【坐标系与参数方程选做题】 14．（5分）（2014o广东）在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为ρsin θ=cosθ和ρsin θ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2交点的直角坐标为 （1，1） ． 【考点】点的极坐标和直角坐标的互化． 【专题】坐标系和参数方程．【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，再把两条曲线的直角坐标方程联立方程组，求得两条曲线的交点坐标．2【解答】解：曲线C 1的方程 ρsin θ=cosθ 化为直角坐标方程为 y =x，22C 2的方程 ρsin θ=1即 y=1，由，求得 ，∴曲线C 1和C 2交点的直角坐标为（1，1），故答案为：（1，1）．【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，求两条曲线的交点坐标，属于基础题．【几何证明选讲选做题】 15．（2014o广东）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB=2AE，AC 与DE 交于点F ，则= 9 ． 【考点】相似三角形的判定；三角形的面积公式． 【专题】解三角形．【分析】利用ABCD 是平行四边形，点E 在AB 上且EB=2AE，可得△CDF ∽△AEF ，可求．=，利用【解答】解：∵ABCD 是平行四边形，点E 在AB 上且EB=2AE， ∴=，∵ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，∴△CDF ∽△AEF ， ∴=（）=9．2故答案为：9．【点评】本题考查相似三角形的判定，考查三角形的面积比，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（12分）（2014o广东）已知函数f （x ）=Asin（x+（1）求A 的值；（2）若f （θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f （﹣θ）．），x ∈R ，且f （）=．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；两角和与差的正弦函数． 【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（1）由函数f （x ）的解析式以及f （（2）由（1）可得 f （x ）=由 θ∈（0，sin （x+）=，求得A 的值．），根据f （θ）+f（﹣θ）=，求得cos θ 的值，再﹣θ） 的值．）=．），求得sin θ 的值，从而求得f （【解答】解：（1）∵函数f （x ）=Asin（x+∴Asin （∴A=．sin （x+）+），+）=Asin=Ao=，），x ∈R ，且f （（2）由（1）可得 f （x ）=∴f （θ）+f（﹣θ）=∴cos θ=∴f （sin （θ+sin （﹣θ+．）=2sin cos θ=cos θ=，，再由 θ∈（0，﹣θ）=sin （），可得sin θ=﹣θ+）=sin （π﹣θ）=sin θ=．【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，同角三角函数的基本关系，属于中档题． 17．（13分）（2014o广东）随机观测生产某种零件的某工作厂25名工人的日加工零件个数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36．根据上述数据得到样本的频率分布表（1）确定样本频率分布表中n 1，n 2，f 1和f 2的值； （2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率．【考点】频率分布直方图；频率分布表；古典概型及其概率计算公式． 【专题】概率与统计． 【分析】（1）利用所给数据，可得样本频率分布表中n 1，n 2，f 1和f 2的值； （2）根据上述频率分布表，可得样本频率分布直方图； （3）利用对立事件可求概率． 【解答】解：（1）（40，45]的频数n 1=7，频率f 1=0.28；（45，50]的频数n 2=2，频率f 2=0.08；（2）频率分布直方图： （3）设在该厂任取4人，没有一人的日加工零件数落在区间（30，35]为事件A ，则至少有一人的日加工零件数落在区间（30，35]为事件， 已知该厂每人日加工零件数落在区间（30，35]的概率为∴P （A ）=∴P （）=1﹣P （A ）==，．，，∴在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率为【点评】本题考查了频数分布表，频数分布直方图和概率的计算，属于中档题． 18．（13分）（2014o广东）如图，四边形ABCD 为正方形．PD ⊥平面ABCD ，∠DPC=30°，AF ⊥PC 于点F ，FE ∥CD ，交PD 于点E ． （1）证明：CF ⊥平面ADF ；（2）求二面角D ﹣AF ﹣E 的余弦值． 【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法． 【专题】空间位置关系与距离；空间向量及应用． 【分析】（1）结合已知又直线和平面垂直的判定定理可判PC ⊥平面ADF ，即得所求； （2）由已知数据求出必要的线段的长度，建立空间直角坐标系，由向量法计算即可． 【解答】解：（1）∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥AD ， 又CD ⊥AD ，PD ∩CD=D，∴AD ⊥平面PCD ， ∴AD ⊥PC ，又AF ⊥PC ，∴PC ⊥平面ADF ，即CF ⊥平面ADF ；（2）设AB=1，在RT △PDC 中，CD=1，∠DPC=30°， ∴PC=2，PD=，由（1）知CF ⊥DF ， ∴DF=∴CF=∴，AF==，=，又FE ∥CD ， ，∴DE=，同理可得EF=CD=，如图所示，以D 为原点，建立空间直角坐标系， 则A （0，0，1），E （，0，0），F （，，0），P （，0，0），C （0，1，0） ，，设向量=（x ，y ，z ）为平面AEF 的法向量，则有∴，令x=4可得z=，∴=（4，0，），由（1）知平面ADF 的一个法向量为=（，1，0），设二面角D ﹣AF ﹣E 的平面角为θ，可知θ为锐角， cos θ=|cos＜，＞|=== ∴二面角D ﹣AF ﹣E 的余弦值为： 【点评】本题考查用空间向量法求二面角的余弦值，建立空间直角坐标系并准确求出相关点的坐标是解决问题的关键，属中档题．19．（14分）（2014o广东）设数列{an }的前n 项和为S n ，满足S n =2nan+1﹣3n ﹣4n ，n ∈N ，且S 3=15．（1）求a 1，a 2，a 3的值； （2）求数列{an }的通项公式．【考点】数列递推式；数列的函数特性． 【专题】点列、递归数列与数学归纳法．2*【分析】（1）在数列递推式中取n=2得一关系式，再把S 3变为S 2+a3得另一关系式，联立可求a 3，然后把递推式中n 取1，再结合S 3=15联立方程组求得a 1，a 2；（2）由（1）中求得的a 1，a 2，a 3的值猜测出数列的一个通项公式，然后利用数学归纳法证明．2*【解答】解：（1）由S n =2nan+1﹣3n ﹣4n ，n ∈N ，得： S 2=4a3﹣20 ① 又S 3=S2+a3=15 ② 联立①②解得：a 3=7．2再在S n =2nan+1﹣3n ﹣4n 中取n=1，得： a 1=2a2﹣7 ③又S 3=a1+a2+7=15 ④联立③④得：a 2=5，a 1=3．∴a 1，a 2，a 3的值分别为3，5，7；（2）∵a 1=3=2×1+1，a 2=5=2×2+1，a 3=7=2×3+1． 由此猜测a n =2n+1．下面由数学归纳法证明：1、当n=1时，a 1=3=2×1+1成立．2、假设n=k时结论成立，即a k =2k+1． 那么，当n=k+1时， 由S n =2nan+1﹣3n ﹣4n ，得2，，两式作差得：∴ ．==2（k+1）+1．综上，当n=k+1时结论成立． ∴a n =2n+1．【点评】本题考查数列递推式，训练了利用数学归纳法证明与自然数有关的命题，考查了学生的灵活应变能力和计算能力，是中档题．20．（14分）（2014o广东）已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的右焦点为（，0），离心率为．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点P （x 0，y 0）为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．【考点】轨迹方程；椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）根据焦点坐标和离心率求得a 和b ，则椭圆的方可得．（2）设出切线的方程，带入椭圆方程，整理后利用△=0，整理出关于k 的一元二次方程，利用韦达定理表示出k 1ok 2，进而取得x 0和y 0的关系式，即P 点的轨迹方程． 【解答】解：（1）依题意知，求得a=3，b=2，∴椭圆的方程为+=1．（2）①当两条切线中有一条斜率不存在时，即A 、B 两点分别位于椭圆长轴与短轴的端点，P 的坐标为（±3，±2），符合题意，②当两条切线斜率均存在时，设过点P （x 0，y 0）的切线为y=k（x ﹣x 0）+y0， +2=+=1，整理得（9k +4）x +18k（y 0﹣kx 0）x+9[（y 0﹣kx 0）22﹣4]=0，222∴△=[18k（y 0﹣kx 0）]﹣4（9k +4）×9[（y 0﹣kx 0）﹣4]=0，222整理得（x 0﹣9）k ﹣2x 0×y 0×k+（y 0﹣4）=0， ∴﹣1=k1ok 2=22=﹣1，∴x 0+y0=13．把点（±3，±2）代入亦成立，∴点P 的轨迹方程为：x +y=13．【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，轨迹方程的相关问题．对于求轨迹方程，最重要的是建立模型求得x 和y 关系．21．（14分）（2014o广东）设函数f （x ）=＜﹣2．（1）求函数f （x ）的定义域D （用区间表示）； （2）讨论函数f （x ）在D 上的单调性；（3）若k ＜﹣6，求D 上满足条件f （x ）＞f （1）的x 的集合（用区间表示）． 【考点】复合函数的单调性；函数的定义域及其求法；函数单调性的性质． 【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用． 【分析】（1）利用换元法，结合函数成立的条件，即可求出函数的定义域． （2）根据复合函数的定义域之间的关系即可得到结论． （3）根据函数的单调性，即可得到不等式的解集．22，其中k【解答】解：（1）设t=x+2x+k，则f （x ）等价为y=g（t ）=2，要使函数有意义，则t +2t﹣3＞0，解得t ＞1或t ＜﹣3，22即x +2x+k＞1或x +2x+k＜﹣3，22则（x+1）＞2﹣k ，①或（x+1）＜﹣2﹣k ，②， ∵k ＜﹣2，∴2﹣k ＞﹣2﹣k ， 由①解得x+1＞由②解得﹣或x+1＜x+1＜，即x ＞，即﹣1﹣﹣1或x ＜x ＜﹣1+）∪（﹣1﹣，，，2综上函数的定义域为（﹣1+（2）f ′（x ）=）．﹣1，+∞）∪（﹣∞，﹣1﹣= =﹣2，由f' （x ）＞0，即2（x +2x+k+1）（x+1）＜0，则（x+1+解得x ＜﹣1﹣1+，或﹣1＜x ＜﹣1+）（x+1﹣）（x+1）＜0 或﹣1＜x ＜﹣，结合定义域知，x ＜﹣1﹣即函数的单调递增区间为：（﹣∞，﹣1﹣同理解得单调递减区间为：（﹣1﹣22），（﹣1，﹣1+，﹣1），（﹣1+2）， ，+∞）．2（3）由f （x ）=f（1）得（x +2x+k）+2（x +2x+k）﹣3=（3+k）+2（3+k）﹣3，2222则[（x +2x+k）﹣（3+k）]+2[（x +2x+k）﹣（3+k）]=0，22∴（x +2x+2k+5）（x +2x﹣3）=0 即（x+1+∴x=﹣1﹣∵k ＜﹣6， ∴1∈（﹣1，﹣1+），﹣3∈（﹣1﹣）=f（﹣1+）（x+1﹣或x=﹣1+）（x+3）（x ﹣1）=0， 或x=﹣3或x=1，，﹣1），），∵f （﹣3）=f（1）=f（﹣1﹣且满足﹣1﹣∈（﹣∞，﹣1﹣），﹣1+∈（﹣1+，+∞），由（2）可知函数f （x ）在上述四个区间内均单调递增或递减，结合图象，要使f （x ）＞f（1）的集合为： （∪（﹣1+，﹣1+）∪（﹣1﹣）．，﹣3）∪（1，﹣1+）【点评】本题主要考查函数定义域的求法，以及复合函数单调性之间的关系，利用换元法是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．参与本试卷答题和审题的老师有：maths ；caoqz ；清风慕竹；任老师；liu 老师；sllwyn ；sxs123；刘长柏；lincy ；wsj1012（排名不分先后） 菁优网日考点卡片 1．三角形的面积公式 三角形的面积公式①已知三角形的底边长为a ，高为h ，则三角形面积S=底×高÷2=； ②已知三角形的两边及其夹角，则三角形的面积公式：S=absinC=bcsinA=casinB ． ③已知三角形的周长为l ，内切圆半径为r ，则三角形面积S=； ④已知三角形的三边长的乘积为L ，外接圆半径为R ，则三角形面积S=； ⑤已知三角形AOB 中，向量S=o=，=，则三角形的面积．此公式也适用于空间三角形求面积．⑥在平面直角坐标系中，△ABC 的三顶点分别为：A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）、C （x 3，y 3），记K=，则三角形的面积S=|K|=|x1y 2+x2y 3+x3y 1﹣x 1y 3﹣x 2y 1﹣x 3y 2|；特别的，当C （0，0），此时S=|x1y 2﹣x 2y 1|．⑦海伦公式：△ABC 中，AB=c，BC=a，CA=b，p=（a+b+c），则三角形面积S=． 2．并集及其运算 【知识点的认识】由所有属于集合A 或属于集合B 的元素的组成的集合叫做A 与B 的并集，记作A ∪B ． 符号语言：A ∪B={x|x∈A 或x ∈B}．图形语言：．A ∪B 实际理解为：①x 仅是A 中元素；②x 仅是B 中的元素；③x 是A 且是B 中的元素． 运算形状：①A ∪B=B∪A ．②A ∪?=A．③A ∪A=A．④A ∪B ?A ，A ∪B ?B ．⑤A ∪B=BA ?B ．⑥A ∪B=?，两个集合都是空集．⑦A ∪（C U A ）=U．⑧C U （A ∪B ）=（CUA ）∩（CUB ）．【解题方法点拨】解答并集问题，需要注意并集中：“或”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；注意并集中元素的互异性．不能重复．【命题方向】掌握并集的表示法，会求两个集合的并集，命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域联合命题．3．函数的定义域及其求法【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围． 求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零； ②根式（开偶次方）被开方式≥0；③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1； ④指数为零时，底数不为零． ⑤实际问题中函数的定义域； 【解题方法点拨】求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组．（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则f 下的量“x ”“x+a”“x ﹣a ”所要满足的范围是一样的；②函数g （x ）中的自变量是x ，所以求g （x ）的定义域应求g （x ）中的x 的范围． 【命题方向】高考会考中多以小题形式出现，也可以是大题中的一小题．4．函数单调性的性质 【知识点的认识】所谓单调性一般说的是单调递增或单调递减，即在某个定义域内，函数的值域随着自变量的增大而增大或者减小，那么我们就说这个函数具有单调性．它是求函数值域或者比较大小的常用工具．【解题方法点拨】定义法、导数法、性质法①定义法：在满足定义域的某区间内任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1＜x 2时都有f （x 1）＜f （x 2）．那么就说f （x ）在 这个区间上是增函数．②导数法：（当函数在所考察区间内可微（可导）时，才能利用导数研究它的单调性）若f' （x ）＞0则f （x ）单调上升，则函数严格单调递增（如果存在有限个孤立的点的导函数为0仍为递增函数）．③性质法：n 个单调递增（递减）的函数的和仍为递增（递减）函数【命题方向】函数单调性的应用．作为一个工具，凡是涉及到最值问题、大小比较问题都应立马联想到它的单调性，并对一般常见函数的单调性有清醒的认识，这里面的一个扩展是一些数列问题也可以转化为函数来求解． 5．复合函数的单调性【知识点的认识】所谓复合函数就是由两个或两个以上的基本函数构成，这种函数先要考虑基本函数的单调性，然后再考虑整体的单调性．平常常见的一般以两个函数的为主．【解题方法点拨】求复合函数y=f（g （x ））的单调区间的步骤：（1）确定定义域；（2）将复合函数分解成两个基本初等函数；（3）分别确定两基本初等函数的单调性；（4）按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间．【命题方向】理解复合函数的概念，会求复合函数的区间并判断函数的单调性． 6．对数的运算性质【知识点的认识】对数的性质：①=N；②log a a a ＞0且a ≠1）． N log a （MN ）=loga M+loga N ； log a =loga M ﹣log a N ；log a M =nloga M ； log a n =log a M ． 7．利用导数研究曲线上某点切线方程【考点描述】利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．【实例解析】例：已知函数y=xlnx，求这个函数的图象在点x=1处的切线方程．解：k=y'|x=1=ln1+1=1又当x=1时，y=0，所以切点为（1，0）∴切线方程为y ﹣0=1×（x ﹣1），即y=x﹣1．我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．8．简单线性规划【概念】生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．我们高中阶段接触的主要是由三个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜率的最值．【例题解析】例：若目标函数z=x+y中变量x ，y 满足约束条件．（1）试确定可行域的面积；（2）求出该线性规划问题中所有的最优解．解：（1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形ABC ，其中B （4，3），A （2，3），C （4，2），则可行域的面积S==． （2）由z=x+y，得y=﹣x+z，则平移直线y=﹣x+z，则由图象可知当直线经过点A （2，3）时，直线y=﹣x+z得截距最小，此时z 最小为z=2+3=5，当直线经过点B （4，3）时，直线y=﹣x+z得截距最大，此时z 最大为z=4+3=7，故该线性规划问题中所有的最优解为（4，3），（2，3）这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条直线在同一个坐标系中表示出来，然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通过目标函数的平移去找到它的最值．【考点预测】线性规划在实际中应用广泛，因此具有很高的实用价值，所以也成为了高考的一个热点．大家在备考的时候，需要学会准确的画出可行域，然后会平移目标曲线． 9．数列的函数特性【知识点的认识】1、等差数列的通项公式：a n =a1+（n ﹣1）d ；前n 项和公式S n =na1+n （n ﹣1）d 或者S n =2、等比数列的通项公式：a n =a1qn ；前n 项和公式Sn=﹣1=（q ≠1）3、用函数的观点理解等差数列、等比数列（1）对于等差数列，an=a1+（n ﹣1）d=dn+（a 1﹣d ），当d ≠0时，an 是n 的一次函数，对应的点（n ，an ）是位于直线上的若干个点．当d ＞0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d=0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d ＜0时，函数是减函数，对应的数列是递减函数．2若等差数列的前n 项和为Sn ，则Sn=pn+qn（p 、q ∈R ）．当p=0时，{an}为常数列；当p ≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题．（2）对于等比数列：an=a1qn ．可用指数函数的性质来理解．当a 1＞0，q ＞1或a 1＜0，0＜q ＜1时，等比数列是递增数列；当a 1＞0，0＜q ＜1或a 1＜0，q ＞1时，等比数列{an}是递减数列．当q=1时，是一个常数列．当q ＜0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列． 【典型例题分析】2典例1：数列{an }满足a n =n+kn+2，若不等式a n ≥a 4恒成立，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[﹣9，﹣8]B ．[﹣9，﹣7]C ．（﹣9，﹣8）D ．（﹣9，﹣7）解：a n =n+kn+2=∵不等式a n ≥a 4恒成立， ∴解得﹣9≤k ≤﹣7，故选：B ．， 2﹣1，*典例2：设等差数列{an }满足a 1=1，a n ＞0（n ∈N ），其前n 项和为S n ，若数列{}也为等差数列，则的最大值是（ ）A ．310 B ．212 C ．180 D ．121解：∵等差数列{an }满足a 1=1，a n ＞0（n ∈N ），设公差为d ，则a n =1+（n ﹣1）d ， 其前n 项和为S n =∴==1，∵数列{∴==，，=， ， *}也为等差数列， +， ∴=1+，解得d=2．2∴S n+10=（n+10），=（2n ﹣1）， 2∴==， 由于2为单调递减数列， ∴≤=11=121，故选：D ． 10．等比数列的性质【知识点的知识】等比数列的常用性质（1）通项公式的推广：an=amoq m ，（n ，m ∈N*）．（2）若{an}为等比数列，且k+l=m+n，（k ，l ，m ，n ∈N*），则 ak oal=amoan（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{anobn}，仍是等比数列．（4）单调性：或{an}是递增数列；或{an}是递n ﹣减数列；q=1{an}是常数列；q ＜0{an}是摆动数列． 11．数列递推式【知识点的知识】1、递推公式定义：如果已知数列{an }的第1项（或前几项），且任一项a n 与它的前一项a n ﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．2、数列前n 项和S n 与通项a n 的关系式：a n =．在数列{an}中，前n 项和Sn 与通项公式an 的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握． 注意：（1）用a n =Sn ﹣S n ﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n ≥2，当n=1时，a 1=S1）；若a 1适合由an 的表达式，则an 不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．（2）一般地当已知条件中含有a n 与S n 的混合关系时，常需运用关系式a n =Sn ﹣S n ﹣1，先将已知条件转化为只含a n 或S n 的关系式，然后再求解．3、数列的通项的求法：（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．（2）已知S n （即a 1+a2+…+an =f（n ））求a n ，用作差法：a n =．一般地当已知条件中含有a n 与S n 的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解．（3）已知a 1oa 2…a n =f（n ）求a n ，用作商法：a n ，=．（4）若a n+1﹣a n =f（n ）求a n ，用累加法：a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a1（n ≥2）．（5）已知=f（n ）求a n ，用累乘法：a n =（n ≥2）．（6）已知递推关系求a n ，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，n ①形如a n =kan ﹣1+b、a n =kan ﹣1+b（k ，b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求a n ．②形如a n =的递推数列都可以用倒数法求通项．（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．12．数量积表示两个向量的夹角【知识点的知识】我们知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共线的，那么，当两条向量与不平行时，那么它们就会有一个夹角θ，并且还有这样的公式：cos θ=这公式，我们就可以求出两向量之间的夹角了．【典型例题分析】例：复数z=解：=+i与它的共轭复数对应的两个向量的夹角为 60° ． ====cos60°+isin60°． ．通过∴复数z=+i与它的共轭复数对应的两个向量的夹角为60°．故答案为：60°． 点评：这是个向量与复数相结合的题，本题其实可以换成是用向量（，1）与向量（，﹣1）的夹角． 【考点点评】这是向量里面非常重要的一个公式，也是一个常考点，出题方式一般喜欢与其他的考点结合起来，比方说复数、三角函数等，希望大家认真掌握． 13．复数相等的充要条件【复数】复数是一个比实数更大的域，它包括实数，另外还包括虚数，其符号是C ，一般表达式是a+bi；其中i 为虚数单位，我们把a=0且b ≠0的数叫做纯虚数，a ≠0，且b=0叫做实数．复数的模为．复数相等的充要条件就是实部和虚部都要相等，相当于要满足两个条件．【例题解析】例：下列命题中正确的是．A ．若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a+bi与c+di相等的充要条件是a=c或b=d． B ．任何复数都不能比较大小．C ．若轭复数是，则z 1=z2． D ．复数． 的共解：A 选项不正确，若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a+bi与c+di相等的充要条件是a=c且b=d，故不正确；B 选项不正确，当两个复数都是实数是则可以比较大小，故此命题不正确；C 选项正确，共轭复数相等，两个复数一定相等；D 选项不正确，因为复数综上C 选项是正确的，故选：C ． =，两者不是共轭的关系，故不正确．这个题考查了复数的概念，B 选项考查了复数是包括实数的，实数是可以比较大小的；还考察了复数的运算，对于两个复数相除，一般的方法就是分子分母同乘以分母的共轭复数，使分母变成实数；对于C 选项则告诉我们复数要相等，实部和虚部必须相等，因为复数和共轭复数的实部相等，若虚部也相等的话，那么这两个复数必相等．【考点分析】了解性的内容，能清楚复数相等的概念就可以了． 14．频率分布表【知识点的认识】1．频数与频率①频数：指一组数据中，某范围内的数据出现的次数．②频率：把频数除以数据的总个数，就得到频率．2、频率分布表当总体很大或不便于获得时，可以用样本的频率分布估计总体的频率分布．我们把反映总体频率分布的表格称为频率分布表．【解题方法点拨】绘制频率分布表的步骤：1．求全距：决定组数和组距，组距=；（全距指整个取值区间的长度，组距指分成的区间的长度）2．分组：通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；3．登记频数，计算频率，频率=，列出频率分布表．【命题方向】能根据频率分布表读取信息，进行简单计算，多以选择、填空题形式出现，作为大题时，比较常见和概率统计问题结合进行考查，但难度不大．在计算频率的时候，熟悉使用公式频率=求出频率是解题关键．A ．0.35 B ．0.45 C ．0.55 D ．0.65分析：先求出样本数据落在区间[10，40]频数，然后利用频率等于频数除以样本容量求出频率即可．解答：由频率分布表知样本在[10，40]上的频数为2+3+4=9故样本在[10，40]上的频率为9÷20=0.45故选B ．点评：本题主要考查了频率分布表，解题的关键是频率的计算公式是频率=于基础题． 15．频率分布直方图，属【知识点的认识】1．频率分布直方图：在直角坐标系中，横轴表示样本数据，纵轴表示频率与组距的比值，将频率分布表中的各组频率的大小用相应矩形面积的大小来表示，由此画成的统计图叫做频率分布直方图． 2．频率分布直方图的特征①图中各个长方形的面积等于相应各组的频率的数值，所有小矩形面积和为1． ②从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势．③从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息被抹掉．3．频率分布直方图求数据①众数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标．②平均数：频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和．③中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y 轴的直线横坐标．【解题方法点拨】绘制频率分布直方图的步骤： 16．众数、中位数、平均数【知识点的认识】1．众数、中位数、平均数众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数的应用最为广泛．（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；（2）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；（3）平均数：一组数据的算术平均数，即2．众数、中位数、平均数的优缺点． 【解题方法点拨】众数、中位数、平均数的选取：（1）平均数能较好地反映一组数据的总体情况；（2）中位数不受极端值影响，有时用它代表全体数据的中等水平（或一般水平）；（3）众数能反映一组数据的集中情况（即多数水平）．根据频率分布直方图估算众数、中位数、平均数：（1）众数：在频率分布直方图中，最高矩形的中点的横坐标就是众数． （2）中位数：在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值．（3）平均数：是频率分布直方图的“重心”，是直方图的平衡点．平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积（即落在该组中的频率）乘以小矩形底边中点的横坐标（组中值）之和． 17．古典概型及其概率计算公式【考点归纳】1．定义：如果一个试验具有下列特征：（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．则称这种随机试验的概率模型为古典概型．*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．2．古典概率的计算公式如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A 包含的结果有m 个，那么事件A 的概率为P （A ）==．【解题技巧】1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n 与事件A 中所包含的基本事件数．因此要注意清楚以下三个方面：（1）本试验是否具有等可能性；（2）本试验的基本事件有多少个；（3）事件A 是什么．2．解题实现步骤：（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A ；（3）分别求出基本事件的个数n 与所求事件A 中所包含的基本事件个数m ； （4）利用公式P （A ）=求出事件A 的概率． 3．解题方法技巧：（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率 （2）利用分析法求解古典概型．18．排列、组合的实际应用 【知识点的知识】排列、组合的实际应用： 1．排列数、组合数问题： （1）排列组合恒等式的计算 （2）排列组合恒等式的证明 （3）解排列组合恒等方程 2．排队问题 （1）相邻问题 （2）不相邻问题 （3）定序问题 3．排数问题（1）允许有重复数字的排数问题 （2）不允许有重复数字的排数问题 4．分组问题（1）平均分组问题 （2）不平均分组问题 5．排列组合综合问题．19．两角和与差的正弦函数 【知识点的认识】（1）C （α﹣β）：cos （α﹣β）=cosαcos β+sinαsin β； （2）C （α+β）：cos （α+β）=cosαcos β﹣sin αsin β； （3）S （α+β）：sin （α+β）=sinαcos β+cosαsin β； （4）S （α﹣β）：sin （α﹣β）=sinαcos β﹣cos αsin β； （5）T （α+β）：tan （α+β）=（6）T （α﹣β）：tan （α﹣β）=． ． 【命题方向】（1）第一类常考题型： （2）第二类常考题型： 【解题方法点拨】20．由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式第31页（共38页） 【知识点的知识】根据图象确定解析式的方法：在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M ，最小值为m ，则A=由周期T 确定，即由21．正弦定理 【知识点的知识】=T求出，φ由特殊点确定．，k=，ω2、三角形常用面积公式1．S=a oha （ha 表示边a 上的高）；2．S=absin C=\frac{1}{2}acsin B=\frac{1}{2}bcsin A． 3．S=\frac{1}{2}r（a+b+c）（r 为内切圆半径）．第32页（共38页）
22．轨迹方程 【知识点的认识】1．曲线的方程和方程的曲线在平面内建立直角坐标系以后，坐标平面内的动点都可以用有序实数对（x ，y ）表示，这就是动点的坐标．当点按某种规律运动形成曲线时，动点坐标（x ，y ）中的变量x 、y 存在着某种制约关系，这种制约关系反映到代数中，就是含有变量x 、y 的方程．一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C （看做适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f （x ，y ）=0的实数解建立了如下的关系： （1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线． 2．求曲线方程的一般步骤（直接法）（1）建系设点：建立适当的直角坐标系，用（x ，y ）表示曲线上任一点M 的坐标； （2）列式：写出适合条件p 的点M 的集合{M|p（M ）}； （3）代入：用坐标表示出条件p （M ），列出方程f （x ，y ）=0； （4）化简：化方程f （x ，y ）=0为最简形式；（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点【常用解法】（1）直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、夹角公式等）进行整理、化简．这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧．（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．关键是条件的转化，即转化为某一基本轨迹的定义条件． （3）相关点法：用所求动点P 的坐标（x ，y ）表示已知动点M 的坐标（x 0，y 0），即得到x 0=f（x ，y ），y 0=g（x ，y ），再将x 0，y 0代入M 满足的条件F （x 0，y 0）=0中，即得所求．一般地，定比分点问题、对称问题可用相关点法求解，相关点法的一般步骤是：设点→转换→代入→化简． （4）待定系数法 （5）参数法 （6）交轨法．23．椭圆的标准方程 【知识点的认识】椭圆标准方程的两种形式： （1）（a ＞b ＞0），焦点在x 轴上，焦点坐标为F （±c ，0），焦距|F1F 2|=2c；（2）（a ＞b ＞0），焦点在y 轴上，焦点坐标为F （0，±c ），焦距|F1F 2|=2c．222两种形式相同点：形状、大小相同；都有a ＞b ＞0；a =b+c两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．第33页（共38页） 24．双曲线的简单性质 【知识点的知识】 第34页（共38页） 25．空间中直线与直线之间的位置关系 【知识点的认识】26．直线与平面垂直的判定 【知识点的认识】 直线与平面垂直：如果一条直线l 和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l 和平面α互相垂直，记作l ⊥α，其中l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面． 直线与平面垂直的判定：（1）定义法：对于直线l 和平面α，l ⊥αl 垂直于α内的任一条直线．（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．27．用空间向量求平面间的夹角 【知识点的知识】1、用空间向量求平面间夹角的方法：设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则 （1）当0≤＜，＞≤，θ=＜，＞，此时cos θ=cos＜，＞=第35页（共38页） ．（2）当＜＜，＞≤π时，θ=cos（π﹣＜，＞）=﹣cos ＜，＞=﹣=． 2、用空间向量直线与平面所成角的求法：（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．（2）向量求法：设直线l 的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sin θ=|cos φ|=． 28．二面角的平面角及求法 【知识点的知识】 1、二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB 、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB ﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P 、Q ，将这个二面角记作P ﹣AB ﹣Q ．如果棱记作l ，那么这个二面角记作二面角α﹣l ﹣β或P ﹣l ﹣Q ．2、二面角的平面角在二面角α﹣l ﹣β的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB 的大小与点O 的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l 上的点O ． 3、二面角的平面角求法： （1）定义；（2）三垂线定理及其逆定理；①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．； （4）平移或延长（展）线（面）法；第36页（共38页） （5）射影公式；（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；（7）向量法：两平面所成的角的大小与分别垂直于这平面的两向量所成的角（或补角）相等．29．相似三角形的判定 【知识点的知识】 相似三角形的判定定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）．预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．30．点的极坐标和直角坐标的互化 【知识点的认识】 坐标之间的互化 （1）点的极坐标和直角坐标的互化 以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位（如图）．平面内任意一点P 的直角坐标与极坐标分别为（x ，y ）和（ρ，θ），则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：，．通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0，0≤θ＜2π．（2）空间点P 的直角坐标（x ，y ，z ）与柱坐标（ρ，θ，z ）之间的变换公式为：（3）空间点P 的直角坐标（x ，y ，z ）与球坐标（r ，φ，θ）之间的变换关系为：31．绝对值不等式的解法第37页（共38页） ．．【知识点的认识】 绝对值不等式的解法2、|ax+b|≤c （c ＞0）和|ax+b|≥c （c ＞0）型不等式的解法： （1）|ax+b|≤c ﹣c ≤ax+b≤c ；（2）|ax+b|≥c ax+b≥c 或ax+b≤﹣c ；（3）|x﹣a|+|x﹣b|≥c （c ＞0）和|x﹣a|+|x﹣b|≤c （c ＞0）型不等式的解法： 方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想． 方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 【解题方法点拨】1、解绝对值不等式的基本方法：（1）利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；（2）当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；（3）利用绝对值的几何意义，数形结合求解．2．解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式（组）进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x﹣a|+|x﹣b|＞m 或|x﹣a|+|x﹣b|＜m （m 为正常数），利用实数绝对值的几何意义求解较简便． 3．不等式|x﹣a|+|x﹣b|≥c 的解就是数轴上到A （a ），B （b ）两点的距离之和不小于c 的点所对应的实数，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解． 4．不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是ab ≥0，左侧“=”成立的条件是ab ≤0且|a|≥|b|；不等式|a|﹣|b|≤|a﹣b|≤|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是ab ≤0，左侧“=”成立的条件是ab ≥0且|a|≥|b|．第38页（共38页） 本文由(www.wenku1.com)首发，转载请保留网址和出处！
免费下载文档：}