专题2-6&立体几何（文）-2017届高三数学三轮考点总动员（第02篇易错考点大清查）&Word版含解析&&人教版 下载地址:: 资料下载说明:: 1、本网站完全免费，后即可以下载。每天登陆还送下载点数哦^_^ 2、资料一般为压缩文件，请下载后解压使用。建议使用IE浏览器或者搜狗浏览器浏览本站，不建议使用傲游浏览器。 3、有任何下载问题，请。视频及打包资料为收费会员专用（20元包年，超值！），网站大概需要6万/年维护费。 文件简介:: 第二篇易错考点大清查专题6立体几何1.立体图形的截面问题高考对用一平面去截一立体图形所得平面图形的考查实质上对学生空间想象能力及对平面基本定理及线面平行与面面平行的性质定理的考查。考生往往对这一类型的题感到吃力，实质上高中阶段对作截面的方法无非有如下两种：一种是利有平面的基本定理：一个就是一条直线上有两点在一平面内则这条直线上所在的点都在这平面内和两平面相交有且仅有一条通过该公共点的直线（即交线）（注意该定理地应用如证明诸线共点的方法：先证明其中两线相交，再证明此交点在第三条直线上即转化为此点为两平面的公共点而第三条直线是两平的交线则依据定理知交点在第三条直线；诸点共线：即证明此诸点都是某两平面的共公点即这此点转化为在两平的交线上）据这两种定理要做两平面的交线可在两平面内通过空间想象分别取两组直线分别相交，则其交点必为两平面的公共点，并且两交点的连线即为两平的交线。另一种方法就是依据线面平行及面面平行的性质定理，去寻找线面平行及面面平行关系，然后根据性质作出交线。一般情况下这两种方法要结合应用例1.已知正三棱柱的底面边长是10，高是12，过底面一边AB，作与底面ABC成角的截面面积是___________________。【解析】学生用面积射影公式求解，。错误原因是没有弄清截面的形状不是三角形而是等腰梯形。正确答案是：。点评：判断截面的形状，应该将现有截面进行延伸，必须找出与整个几何体表面的截线.【举一反三】（1）正方体ABCD―A1B1C1D1中，p、q、r、分别是AB、AD、B1C1的中点。那么正方体的过P、Q、R的截面图形是（）(A)三角形（B）四边形（C）五边形（D）六边形【答案】D（2）在正三棱柱-中，P、Q、R分别是、、的中点，作出过三点P、Q、R截正三棱柱的截面并说出该截面的形状。【答案】五边形2.三视图高考对三视图的考查主要有：（1）能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图．（2）会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．（3）会画出某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）例2.【2017江西上饶一模】设某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.8B.4C.2D.【答案】B
> 95学基础题题库(二)(立体几何) 高考资源网（） ，您身边的高考专家基础题题库二 立体几何101. ?A?B?C ? 是△ABC 在平面 α 上的射影，那么 ?A?B?C ? 和∠ABC 的大小关系是 (A) ?A?B?C ? &∠ABC (C) ?A?B?C ? ≥∠ABC 解析：D 一个直角，当有一条直角边平行于平面时，则射影角可以等于原角大小，但一般情况 不等． 102. 已知: 如图, △ABC 中, ?ACB = 90?, CD?平面 ? , AD, BD 和平面 ? 所成的角分别为 30?和 45?, CD = h, 求: D 点到直线 AB 的距离。 解析：1、先找出点 D 到直线 AB 的距离, 即过 D 点作 DE?AB, 从图形以及条件可知, 若把 DE 放在△ ABD 中不易求解。 2、由于 CD?平面 ? , 把 DE 转化到直角三角形中求解, 从而转化为先求 DE 在平面 ? 内的射影长。 (B) ?A?B?C ? &∠ABC (D) 不能确定 ( )解: 连 AC, BC, 过 D 作 DE?AB, 连 CE, 则 DE 为 D 到直线 AB 的距离。 ∵CD? ? ∴AC, BC 分别是 AD, BD 在 ? 内的射影。 ∴?DAC, ?DBC 分别是 AD 和 BD 与平面 ? 所成的角 ∴?DAC = 30?, ?DBC = 45? 在 Rt△ACD 中, ∵CD = h, ?DAC = 30? ∴AC =3h在 Rt△BCD 中高考资源网（） ，您身边的高考专家∵CD = h, ?DBC = 45?∴BC = h ∵CD? ? , DE?AB ∴CE?AB 在 Rt△ACB 中AB ? AC 2 ? BC 2 ? 2hS?1 1 AC ? BC ? AB?CE 2 2AC ? BC ? AB 3h?h 3 ? h 2h 2∴ CE ?∴在 Rt△DCE 中,DE ? DC 2 ? CE 2 ? h 2 ? ( 3 2 7 h) ? h 2 2∴点 D 到直线 AB 的距离为7 h。 2103. 已知 a、b、c 是平面 α 内相交于一点 O 的三条直线，而直线 l 和 α 相交，并且和 a、b、c 三条直 线成等角． 求证：l⊥α 证法一：分别在 a、b、c 上取点 A、B、C 并使 AO = BO = CO．设 l 经过 O，在 l 上取一点 P，在△POA、 △POB、△POC 中， ∵ PO 公用，AO = BO = CO，∠POA =∠POB=∠POC， ∴ △POA≌△POB≌△POC高考资源网（） ，您身边的高考专家∴ PA = PB = PC．取 AB 中点 D．连结 OD、PD，则 OD⊥AB，PD⊥AB， ∵ PD ? OD ? D ∴ AB⊥平面 POD ∵ PO ? 平面 POD． ∴ PO⊥AB． 同理可证 PO⊥BC∵ AB ? ? ， BC ? ? ， AB ? BC ? B ∴ PO⊥α，即 l⊥α 若 l 不经过 O 时，可经过 O 作 l ? ∥l．用上述方法证明 l ? ⊥α， ∴ l⊥α． 证法二：采用反证法 假设 l 不和 α 垂直，则 l 和 α 斜交于 O． 同证法一，得到 PA = PB = PC． 过 P 作 PO? ? ? 于 O ? ，则 AO? ? BO? ? CO? ，O 是△ABC 的外心．因为 O 也是△ABC 的外心，这样， △ABC 有两个外心，这是不可能的． ∴ 假设 l 不和 α 垂直是不成立的． ∴ l⊥α 若 l 不经过 O 点时，过 O 作 l ? ∥l，用上述同样的方法可证 l ? ⊥α， ∴ l⊥α 评述： （1）证明线面垂直时，一般都采用直接证法（如证法一） ，有时也采用反证法（如证法二）或同 一法． 104. P 是△ABC 所在平面外一点，O 是点 P 在平面 α 上的射影． （1）若 PA = PB = PC，则 O 是△ABC 的____________心． （2）若点 P 到△ABC 的三边的距离相等，则 O 是△ABC_________心．高考资源网（） ，您身边的高考专家（3）若 PA 、PB、PC 两两垂直，则 O 是△ABC_________心． （4）若△ABC 是直角三角形，且 PA = PB = PC 则 O 是△ABC 的____________心． （5）若△ABC 是等腰三角形，且 PA = PB = PC，则 O 是△ABC 的____________心． （6）若 PA、PB、PC 与平面 ABC 所成的角相等，则 O 是△ABC 的________心； 解析： （1）外心．∵ PA=PB=PC，∴ OA=OB=OC，∴ O 是△ABC 的外心． （2）内心（或旁心） ．作 OD⊥AB 于 D，OE⊥BC 于 E，OF⊥AC 于 F，连结 PD、PE、PF．∵ PO ⊥平面 ABC，∴ OD、OE、OF 分别为 PD、PE、PF 在平面 ABC 内的射影，由三垂线定理可知，PD ⊥AB， PE⊥BC， PF⊥AC． 由已知 PD=PE=PF， OD=OE=OF， 得 ∴ O 是△ABC 的内心． （如图答 9-23） （3）垂心． （4）外心． （5）外心 （6）外心．PA 与平面 ABC 所成的角为∠PAO，在△PAO、△PBO、△PCO 中，PO 是公共边，∠POA= ∠POB=∠POC=90°， ∠PAO=∠PBO=∠PCO， ∴ △PAO≌△PBO≌△PCO， ∴ OA=OB=OC， ∴ O 为△ABC 的外心．（此外心又在等腰三角形的底边高线上） ．105. 将矩形 ABCD 沿对角线 BD 折起来，使点 C 的新位置 C ? 在面 ABC 上的射影 E 恰在 AB 上． 求证： AC ? ? BC ? 分析： 欲证 AC ? ? BC ? ， 只须证 BC ? 与 AC ? 所在平面 AC ?D 垂直； 而要证 BC ? ⊥平面 AC ?D ， 只须证 BC ? ⊥ C ?D 且 BC ? ⊥AD．因此，如何利用三垂线定理证明线线垂直就成为关键步骤了．高考资源网（） ，您身边的高考专家证明：由题意， BC ? ⊥ C ?D ，又斜线 BC ? 在平面 ABCD 上的射影是 BA， ∵ BA⊥AD，由三垂线定理，得 C ?B ? AD ， C ?D ? DA ? D ． ∴ BC ? ⊥平面 C ?AD ，而 C ?A ? 平面 C ?AD ∴ BC ? ⊥ AC ? 106. 已知异面直线 l1 和 l2，l1⊥l2，MN 是 l1 和 l2 的公垂线，MN = 4，A∈l1，B∈l2，AM = BN = 2，O 是 MN 中点．① 求 l1 与 OB 的成角．②求 A 点到 OB 距离． 分析：本题若将条件放入立方体的“原型”中，抓住“一个平面四条线”的图形特征及“直线平 面垂直”的关键性条件，问题就显得简单明了． 解析： （1）如图，画两个相连的正方体，将题目条件一一标 OB 在底面上射影 NB⊥CD，由三垂线定理，OB⊥CD，又 CD ∴ OB⊥MA 即 OB 与 l1 成 90° （2）连结 BO 并延长交上底面于 E 点． ME = BN， ∥ ∴ ME = 2，又 ON = 2 ∴ OB ? OE ? 2 2 ． 作 AQ⊥BE，连结 MQ． 对于平面 EMO 而言，AM、AQ、MQ 分别为垂线、斜线、斜线在平面内的射影，由三垂线逆定理得 MQ ⊥EO． 在 Rt△MEO 中， MQ ? 在图中． ∥MA，ME ? MO 2 ? 2 ? ? 2． EO 2 2AM 2 ? MQ 2 ? 4 ? 2 ? 6 ，本题通过补形法使较困难的问题变得垂直的评述：又在 Rt△AMQ 中， AQ ?明显易解；求点到直线的距离，仍然是利用直线与平面 关键条件，抓住“一个面四条线”的图形特征来解决的． 107. 已知各棱长均为 a 的正四面体 ABCD， 是 AD 边的 E 连结 CE．求 CE 与底面 BCD 所成角的正弦值． 解析：作 AH⊥底面 BCD，垂足 H 是正△BCD 中心，中点，高考资源网（） ，您身边的高考专家连 DH 延长交 BC 于 F，则平面 AHD⊥平面 BCD， 作 EO⊥HD 于 O，连结 EC， 则∠ECO 是 EC 与底面 BCD 所成的角 则 EO⊥底面 BCD．HD ?2 2 3 3 DF ? ? a? a 3 3 2 3a2 6 ? a 3 3AH ? AD 2 ? HD 2 ? a 2 ?EO ?1 1 6 6 3 AH ? ? a? a ， CE ? a 2 2 3 6 26 a EO 2 ∴ sin ?ECO ? ? 6 ? 3 EC 3 a 2108. 已知四面体 S－ABC 中， SA⊥底面 ABC， △ABC 是锐角三角形， 是点 A 在面 SBC 上的射影． H 求证： H 不可能是△SBC 的垂心． 分析：本题因不易直接证明，故采用反证法． 证明：假设 H 是△SBC 的垂心，连结 BH，并延长交 SC 于 D 点，则 BH⊥SC ∵ AH⊥平面 SBC，S∴ BH 是 AB 在平面 SBC 内的射影 ∴ SC⊥AB（三垂线定理）AD HC又∵ SA⊥底面 ABC，AC 是 SC 在面内的射影B∴ AB⊥AC（三垂线定理的逆定理） ∴ △ABC 是 Rt△与已知△ABC 是锐角三角形相矛盾，于是假设不成立． 故 H 不可能是△SBC 的垂心． 109. 已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC高考资源网（） ，您身边的高考专家＝2．求点B到平面EFG的距离．解析：如图，连结EG、FG、EF、BD、AC、EF、BD分别交AC于H、O． 因为ABCD是正方形，E、F分别 为AB和AD的中点，故EF∥BD，H为AO的中点． BD不在平面EFG上．否则，平面EFG和平面ABCD重合，从而点G在平面的ABCD上，与题设矛盾． 由直线和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG，所以BD和平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离． ∵ BD⊥AC， ∴ EF⊥HC． ∵ GC⊥平面ABCD， ∴ EF⊥GC， ∴ EF⊥平面HCG． ∴ 平面EFG⊥平面HCG，HG是这两个垂直平面的交线．――4分――6分作OK⊥HG交HG于点K， 由两平面垂直的性质定理知OK⊥平面EFG， 所以线段OK的长就是点B到平面EFG 的距离． ――8分 ∵ 正方形ABCD的边长为4，GC=2， ∴ AC=4 2 ，HO= 2 ，HC=3 2 ． ∴ 在Rt△HCG中，HG=?3 2 ?2? 2 2 ? 22 ．由于Rt△HKO和Rt△HCG有一个锐角是公共的，故Rt△HKO∽△HCG．高考资源网（） ，您身边的高考专家∴ OK=HO ? GC ? HG2?2 22?2 11 ． 11――10分即点B到平面EFG的距离为2 11 ． 11注：未证明“BD 不在平面 EFG 上”不扣分． 110. 已知：AB 与 CD 为异面直线，AC＝BC，AD＝BD． 求证：AB⊥CD． 说明： （1）应用判定定理，掌握线线垂直的一般思路． （2）思路：欲证线线垂直，只需证线面垂直，再证线线垂直，而由已知构造线线垂直是关键． （3）教学方法，引导学生分析等腰三角形三线合一的性质构造图形，找到证明方法． 证明：如图，取 AB 中点 E，连结 CE、DE ∵AC＝BC，E 为 AB 中点． ∴CE⊥AB 同理 DE⊥AB，又 CE∩DE＝E， 且 CE ? 平面 CDE，DE ? 平面 CDE． ∴AB⊥平面 CDE 又 CD ? 平面 CDE ∴AB⊥CD． 111. 两个相交平面?、??都垂直于第三个平面??，那么它们的交线 a 一定和第三个平面垂直． 证明：在??内取一点 P，过 P 作 PA 垂直??与?? P 作 PB 垂直??与??的交线． ∵ ?⊥???且?⊥? ∴ PA⊥?且 PB⊥? 的交线； 过高考资源网（） ，您身边的高考专家∴ PA⊥a 且 PB⊥a ∴ a⊥?112. 在立体图形 P－ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，PA⊥底面 ABCD，PA＝AB，Q 是 PC 中点． AC，BD 交于 O 点． （Ⅰ）求二面角 Q－BD－C 的大小： （Ⅱ）求二面角 B－QD－C 的大小． 解析： （Ⅰ）解：连 QO，则 QO∥PA 且 QO＝ ∵ PA⊥面 ABCD ∴ QO⊥面 ABCD 面 QBD 过 QO， ∴ 面 QBD⊥面 ABCD 故二面角 Q－BD－C 等于 90°． （Ⅱ）解：过 O 作 OH⊥QD，垂足为 H，连 CH．Q1 PA＝ 21 AB 2∵ 面 QBD⊥面 BCD，BH D C又∵ CO⊥BD CO⊥面 QBD CH 在面 QBD 内的射影是 OH ∵ OH⊥QD ∴ CH⊥QD 于是∠OHC 是二面角的平面角． 设正方形 ABCD 边长 2，O高考资源网（） ，您身边的高考专家则 OQ＝1，OD＝ 2 ，QD＝ 3 ． ∵ OH?QD＝OQ?OD∴ OH＝2 3．又 OC＝ 2在 Rt△COH 中：tan∠OHC＝2 OC ＝ 2? ＝ 3 OH 3∴ ∠OHC＝60° 故二面角 B－QD－C 等于 60°． 113. 如图在Δ ABC 中， AD⊥BC， ED=2AE， 过 E 作 FG∥BC， 且将Δ AFG 沿 FG 折起， 使∠A'ED=60°， 求证:A'E⊥平面 A'BC解析：弄清折叠前后，图形中各元素之间的数量关系和位置关系。 解： ∵FG∥BC，AD⊥BC ∴A'E⊥FG ∴A'E⊥BC 设 A'E=a，则 ED=2a 由余弦定理得： A'D =A'E +ED -2?A'E?EDcos60° =3a2 2 2 2 2 2A' G A E FC D B∴ED =A'D +A'E ∴A'D⊥A'E2∴A'E⊥平面 A'BC 114. α、β 是两个不同的平面，m，n 是平面 α 及 β 之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n，②高考资源网（） ，您身边的高考专家α⊥β，③n⊥β，④m⊥α．以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一 个命题，并证明它． 解析：m⊥α，n⊥β，α⊥β ? m⊥n（或 m⊥n，m⊥α，n⊥β ? α⊥β） 证明如下：过不在 α、β 内的任一点 P，作 PM∥m，PN∥n 过 PM、PN 作平面 r 交 α 于 MQ，交 β 于 NQ．m ?? ? ? ? PM ? ? ? PM ? MQ ， PM // m?同理 PN⊥NQ． 因此∠MPN＋∠MQN = 180°， 故∠MQN = 90° ? ∠MPN = 90° 即 α⊥β ? m⊥n． 115. 已知： ? ? ? ? a ，α⊥γ ，β⊥γ ，b∥α，b∥β． 求证：a⊥γ 且 b⊥γ ．解析：在 a 上任取一点 P，过 P 作 PQ⊥r． ∵ β⊥r， ∵ α⊥r， ∴ PQ ? ? ， ∴ PQ ? ? ，∴ PQ 与 a 重合，故 a⊥r． 过 b 和点 P 作平面 S， 则 S 和 α 交于 PQ1，S 和 β 交于 PQ2， ∵ b∥α，b∥β ∴ b∥PQ1，且 b∥PQ2． 于是 PQ1 和 PQ2 与 a 重合，高考资源网（） ，您身边的高考专家故 b∥a， 而 a⊥r， ∴ b⊥r． 求点 P 到 116. 已知 PA⊥矩形 ABCD 所在平面，且 AB＝3，BC＝4，PA＝3， CD 和 BD 的距离． 解析：∵ PA⊥平面 ABCD，AD⊥CD，且 CD ? 平面 ABCD． ∴ PD⊥CD （三垂线定理） 在 Rt△PAD 中， ． PD＝ PA ? AD ＝2 23 2 ? 4 2 ＝5．又作 PH⊥BD 于 H，连结 AH，由三垂线定理的逆定理， 有 AH⊥BD．这里，PH 为点 P 到 BD 的距离． 在 Rt△ABD 中，AH＝AB ? AD 12 ＝ BD 52369 ? 12 ? 2 2 2 在 Rt△PAH 中，PH＝ PA ? AH ＝ 3 ? ? ? ＝ 5 ?5?117. 点 P 在平面 ABC 的射影为 O，且 PA、PB、PC 两两垂直，那么 O 是△ABC 的( (A) 内心 (C) 垂心 (B) 外心 (D) 重心 )解析：由于 PC⊥PA，PC⊥PB，所以 PC⊥平面 PAB， ∴ PC⊥AB． 又 P 在平面 ABC 的射影为 O，连 CO，则 CO 是 PC 在平面 ABC 的 三垂线定理的逆定理，得：CO⊥AB， 同理可证 AO⊥BC，O 是△ABC 的垂心，答案选 C． 118. 如图 02，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，P、Q、R 分别是棱 AA1、BB1、BC 上的点，PQ∥AB，C1Q ⊥PR，求证：∠D1QR=90°． 证明：∵ PQ∥AB，AB⊥平面 BC1， ∴ PQ⊥平面 BC1，QR 是 PR 在平面 BC1 的射影． 根据三垂线定理的逆定理，由 C1Q⊥PR 得 C1Q⊥QR． 射影， 根据高考资源网（） ，您身边的高考专家又因 D1C1⊥平面 BC1，则 C1Q 是 D1Q 在平面 B1C 的射影，根据三垂线定理，由 C1Q⊥QR 得 QR⊥D1Q． ∴ ∠D1QR=90° 119. 在空间四边形 ABCD 中, 已知 AC?BD, AD?BC, 求证: AB?CD。 解析： 1、条件 AC?BD, AD?BC, 可以看作斜线 AD, AC 与平面 BCD 内的直线的位置关系, 从而联想到 用三垂线定理或其逆定理证明命题。 2、如何找斜线在平面内的射影, 显然是过 A 点作直线垂直于平面 BCD, 这样斜线与直线的位置关 系, 通过射影与直线的位置关系判定。 证明: 过 A 点作 AO 垂直于平面 BCD 于 O连 BO, CO, DO ∵AO?平面 BCD, AC?BD ∴CO?BD∵AO?平面 BCD, AD?BC∴DO?BC ∴O 为△BCD 的垂心 ∴BO?CD ∴AB?CD 120. 如图, 在空间四边形 SABC 中, SA?平面 ABC, ?ABC = 90?, AN?SB 于 N, AM?SC 于 M。 求证: ①AN?BC; ②SC?平面 ANM 解析： ①要证 AN?BC, 转证, BC?平面 SAB。 ②要证 SC?平面 ANM, 转证, SC 垂直于平面 ANM 内的两条相交直线, 即证 SC?AM, SC?AN。 要证 SC?AN, 转证 AN?平面 SBC, 就可以了。高考资源网（） ，您身边的高考专家证明: ①∵SA?平面 ABC ∴SA?BC又∵BC?AB, 且 AB ? SA = A∴BC?平面 SAB ∵AN ? 平面 SAB ∴AN?BC ②∵AN?BC, AN?SB, 且 SB ? BC = B ∴AN?平面 SBC ∵SCC 平面 SBC ∴AN?SC 又∵AM?SC, 且 AM ? AN = A ∴SC?平面 ANM 121. 已知如图，P ? 平面 ABC，PA=PB=PC，∠APB=∠APC=60°，∠BPC=90 °求证：平面 ABC⊥平面 PBC 解析：要证明面面垂直，只要在其呈平面内找一条线，然后证 与另一平面垂直即可。显然 BC 中点 D，证明 AD 垂直平 PBC 即 证明： 取 BC 中点 D 连结 AD、PD ∵PA=PB；∠APB=60° 明直线 可高考资源网（） ，您身边的高考专家∴Δ PAB 为正三角形 同理Δ PAC 为正三角形 设 PA=a 在 RTΔ BPC 中，PB=PC=a BC= 2 a∴PD= 在Δ ABC 中 AD=2 a 2AB 2 ? BD 2=2 a 22 22? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ∵AD +PD = ? ? 2 a? ? ? 2 a? ? ? ? ?2=a =AP22∴Δ APD 为直角三角形 即 AD⊥DP 又∵AD⊥BC ∴AD⊥平面 PBC ∴平面 ABC⊥平面 PBC 122. 如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于这个平面。 已知：β⊥α ，γ ⊥α ，β ? γ =a高考资源网（） ，您身边的高考专家求证：a⊥α 解析：利用线面垂直的性质定理 证明：设α ? β =AB，α ? γ =CD 在平面β 内作 L1⊥AB， 在平面γ 内作 L1⊥CD， ∵α ⊥β ∴L1⊥α 同理 L2⊥α ∴L1//L2 ∴L1//β ∴L1//a ∴a⊥α 113. 已知 SA、 SC 是共点于 S 的且不共面的三条射线， SB、 ∠BSA= ASC=45°,∠BSC=60°，求证：平面 BSA⊥平面 SAC 解析：先作二面角 B-SA-C 的平面角，根据给定的条件，在棱 S 取一点 P，分别是在两个平面内作直线与棱垂直 证明：在 SA 上取一点 P 过 P 作 PR⊥SA 交 SC 于 R 过 P 作 PQ⊥SA 交 SB 于 Q ∴∠QPR 为二面角 B-SA-C 的平面角设 PS=a ∵∠PSQ=45°，∠SPQ=90° ∴PQ=a，SQ= 2 a 同理 PR= a，SR= ∠? a ? ? L ? L2 1 D ? ? A C B上2a∵∠PSQ=60°，SR=SQ= 2 a高考资源网（） ，您身边的高考专家∴Δ RSQ 为正三角形则 RQ= 2 a ∵PR +PQ =2a =QR ∴∠QPQ=90° ∴二面角 B-SA-C 为 90° ∴平面 BSA⊥平面 SAC 114. 设 S 为 ?ABC 平面外的一点，SA=SB=SC， ?ASB ? 2? , ?BSC ? 2? , ?ASC ? 2? ，若2 2 2 2sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? ，求证：平面 ASC ? 平面 ABC。解析： （1）把角的关系转化为边的关系 （2）利用棱锥的性质（三棱锥的侧棱相等，则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心） 证明：设 D 为 AB 的中点? SA ? SB同理 sin ? ?? ?A S D ? ?BC AC , sin ? ? 2SB 2SCsin ? ?AD AB ? SA 2SA? SA ? SB ? SC 且 sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ?? AB2 ? BC 2 ? AC 2即 ?ABC 为 Rt?ABC 且 S 在平面上的射影 O 为 ?ABC 的外心 则 O 在斜边 AC 的中点。? SO ? 平面 ABC ? SO ? 平面 SAC?平面 ASC ? 平面 ABC115. 两个正方形 ABCD 和 ABEF 所在的平面互相垂直，求异面直线 AC 和 BF 所成角的大小． 解析：作 BP∥AC 交 DC 延长线于 P，则∠FBP(或补角)就是异面直线 BF 和 AC 所成的角，设正方形边长高考资源网（） ，您身边的高考专家为 a， PF ?6a 在△BPF 中，由余弦定理得 cos ?FBP ?1 ，异面直线 AC 和 BF 成 60°角． 2116. 二面角α －a－β 的值为θ (0°&θ &180°)，直线 l⊥α ，判断直线 l 与平面β 的位置关系，并证明你 的结论． 解析： 分两种情况，θ =90°，θ ≠90°．当θ =90°时，l∥β 或 l ? β ，这个结论可用反证法证明； 当θ ≠90°时，l 必与β 相交，也可用反证法证明． 117. 已知平面α ⊥平面β ，交线为 AB，C∈ ? ，D∈ ? ， AB ? AC ? BC ? 4 3 ，E 为 BC 的中点， AC⊥BD，BD=8． ①求证：BD⊥平面 ? ； ②求证：平面 AED⊥平面 BCD； ③求二面角 B－AC－D 的正切值． 解析：①AB 是 AC 在平面β 上的射影，由 AC⊥BD 得 AB⊥BD．∵ α ⊥β ．∴ DB⊥α ． ②由 AB=AC，且 E 是 BC 中点，得 AE⊥BC，又 AE⊥DB，故 AE⊥平面 BCD，因此可证得平面 AED⊥平面 BCD． ③设 F 是 AC 中点，连 BF，DF．由于△ABC 是正三角形，故 BF⊥AC．又由 DB⊥平面α ，则 DF⊥AC， ∠BFD 是二面角 B－AC－D 的平面角， 在 Rt△BFD 中， tg?BFD ?BD 4 ? ． BF 3118. 如图，△ABC 和△DBC 所在的两个平面互相垂直，且 AB=BC=BD，∠ABC= ∠DBC=120°，求 (1) A、D 连线和直线 BC 所成角的大小； (2) 二面角 A－BD－C 的大小D B C A解析： 在平面 ADC 内作 AH⊥BC， 是垂足， HD． H 连 因为平面 ABC⊥平面 BDC． 所以 AH⊥平面 BDC． HD 是 AD 在平面 BDC 的射影．依题设条件可证得 HD⊥BC，由三垂线定理得 AD⊥BC，即异面直线 AD 和 BC 形成的角为 90°． 在平面 BDC 内作 HR⊥BD，R 是垂足，连 AR．HR 是 AR 在平面 BDC 的射影，∴ AR⊥BD，∠ARH 是二高考资源网（） ，您身边的高考专家面角 A－BD－C 的平面角的补角，设 AB=a，可得，AH ?3 3 3 BH ? a， a ， HR ? 2 4 2∴ tg?ARH ?AH ? 2． HR∴ 二面角 A－BD－C 的大小为π －arctg2． 119. 正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E、F 分别是 BB1，CC1 的中点，求异面直线 AE 和 BF 所成 角的大小． 解析：取 DD1 的中点 G，可证四边形 ABFG 是平行四边形，得出 BF∥AG， 则∠GAE 是异面直线 AE 与 BF 所成的角．连 GF，设正方体棱长为 a，GE ? B1 D1 ? 2a ， AE ? AG ?在△AEG 中，由余弦定理得5 a． 2A1D1C1 B1GFDE C B5 5 ? ?2 2 2 2 AG ? AE ? GE 1 4 4 cos ?GAE ? ? ? 2 ? AG ? AE 5 5 5 2? ? 2 2∴ ?GAE ? arccos ．A1 5120. 矩形 ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线 BD 把△ABD 折起，使点 A 在平面 BCD 上的射影 A′落在 BC 上，求二面角 A-BD-C 的大小的余弦值．高考资源网（） ，您身边的高考专家在 Rt△AA′O 中，∠AA′O=90°，121. 已知：如图 12，P 是正方形 ABCD 所在平面外一点，PA=PB=PC=PD=a，AB=a． 求：平面 APB 与平面 CPD 相交所成较大的二面角的余弦值．高考资源网（） ，您身边的高考专家分析：为了找到二面角及其平面角，必须依据题目的条件，找出两个平面的交线． 解：因为 AB∥CD，CD 所以 AB∥平面 CPD． 又 P∈平面 APB，且 P∈平面 CPD， 因此 平面 APB∩平面 CPD=l，且 P∈l． 所以 二面角 B-l-C 就是平面 APB 和平面 CPD 相交所得到的一个二面角． 因为 AB∥平面 CPD，AB 所以 AB∥l． 过 P 作 PE⊥AB，PE⊥CD． 因为 l∥AB∥CD， 因此 PE⊥l，PF⊥l， 所以 ∠EPF 是二面角 B-l-C 的平面角． 因为 PE 是正三角形 APB 的一条高线，且 AB=a， 平面 APB，平面 CPD∩平面 APB=l， 平面 CPD，AB 平面 CPD．因为 E，F 分别是 AB，CD 的中点， 所以 EF=BC=a． 在△EFP 中，高考资源网（） ，您身边的高考专家122. 在四面体 ABCD 中，AB＝AD＝BD＝2，BC＝DC＝4，二面角 A－BD－C 的大小为 60°，求 AC 的长． 解析：作出二面角 A－BD－C 的平面角在棱 BD 上选取恰当的点AB＝AD，BC＝DC 解：取 BD 中点 E，连结 AE，EC ∵ AB＝AD，BC＝DC ∴ AE⊥BD，EC⊥BD ∴ ∠AEC 为二面角 A－BD－C 的平面角 ∴ ∠AEC＝60° ∵ AD＝2，DC＝4 ∴ AE＝ 3 ，EC＝ 15 ∴ 据余弦定理得：AC＝ 18 ? 3 5 ． 123. 河堤斜面与水平面所成角为 60°，堤面上有一条直道 CD，它与堤角的水平线 AB 的夹角为 30°， 沿着这条直道从堤角向上行走到 10 米时，人升高了多少（精确到 0.1 米）？ 解析： 已知 所求河堤斜面与水平面所成角为 60°E 到地面的距离利用 E 或 G 构造棱上一点 F以 EG 为边构造三角形解：取 CD 上一点 E，设 CE＝10 m，过点 E 作直线 AB 所在的水平面的垂线 EG，垂足为 G，则线段 EG高考资源网（） ，您身边的高考专家的长就是所求的高度． 在河堤斜面内，作 EF⊥AB．垂足为 F，连接 FG，由三垂线定理的逆定理，知 FG⊥AB．因此，∠EFG 就 是河堤斜面与水平面 ABG 所成的二面角的平面角，∠EFG＝60°． 由此得： EG＝EFsin60° ＝CE sin30°sin60°＝10×3 1 × ≈4.3（m） 2 2答：沿着直道向上行走到 10 米时，人升高了约 4.3 米． 124. 二面角 α―a―β 是 120°的二面角，P 是该角内的一点．P 到 α、β 的距离分别为 a，b．求：P 到 棱 a 的距离． 解析：设 PA⊥α 于 A，PB⊥β 于 B．过 PA 与 PB 作平面 r 与 α 交于 AO，与 β 交于 OB， ∵ PA⊥α，PB⊥β，∴ a⊥PA，且 a⊥PB ∴ a⊥面 r，∴ a⊥PO，PO 的长为 P 到棱 a 的距离． 且∠AOB 是二面角之平面角，∠AOB =120° ∴ ∠APB = 60°，PA = a，PB = b．AB ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos 60 ? ? a 2 ? ab ? b 2∵AB sin ?APB? PO ，∴ PO ?2 3 ? a 2 ? ab ? b 2 ． 3125. 如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E、F 分别为 AB、CC1 的中点，则异面直线 A1C 与 EF 所成角的 余弦值是 ( )(A)3 3(B)2 3(C)1 3(D)1 6高考资源网（） ，您身边的高考专家解析：选哪一点，如何作平行线是解决本题的关键，显然在 EF 点作 AC 的平行线要简单易行，观察图形，看出 F 与 A1C 确定的 A1CC1 恰是正方体的对角面，在这个面内，只要找出 A1C1 的中点 OF，这条平行线就作出了，这样，∠EFO 即为异面直线 A1C 与 的角．容易算出这个角的余弦值是 上选一 平面 O， 连结 EF 所成2 ，答案选 B． 3面N的126．在 60°的二面角 M－a－N 内有一点 P，P 到平面 M、平 距离分别为 1 和 2，求 P 点到直线 a 的距离．解析：本题涉及点到平面的距离，点到直线的距离，二面角的 平面角 等概念， 图中都没有表示， 按怎样的顺序先后作出相应的图形 是解决 本题的关键．可以有不同的作法，下面仅以一个作法为例，说 明这些 概念的特点，分别作 PA⊥M，M 是垂足，PB⊥N，N 是垂足， 先作了 两条垂线， 找出 P 点到两个平面的距离， 其余概念要通过推理 得出： 于是 PA、PB 确定平面α ，设α ∩M=AC，α ∩N=BC，c∈a．由 于 PA⊥ M，则 PA⊥a，同理 PB⊥a，因此 a⊥平面α ，得 a⊥PC．这样，∠ACB 是二面角的平面角，PC 是 P 点 到直线 a 的距离，下面只要在四边形 ACBP 内，利用平面几何的知识在△PAB 中求出 AB，再在△ABC 中利用正弦定理求外接圆直径 2R＝2 21 2 21 ，即为 P 点到直线 a 的距离，为 ． 3 3127. 已知空间四边形 ABCD 中，AB = BC =CD= AD = BD = AC, E、F 分别为 AB、CD 的中点， （1）求证：EF 为 AB 和 CD 的公垂线 （2）求异面直线 AB 和 CD 的距离 解析：构造等腰三角形证明 EF 与 AB、CD 垂直，然后在等腰三角形中求 EF 解；①连接 BD 和 AC，AF 和 BF，DE 和 CE 设四边形的边长为 a ∵ AD = CD = AC = a ∴ △ABC 为正三角形 ∵ DF = FC∴ AF ? DC 且 AF =3 a 2同理 BF =3 A 2高考资源网（） ，您身边的高考专家? BF ? FA即△ AFB 为等腰三角形 在△ AFB 中， ∵ AE = BE ∴ FE ? AB 同理在 △ DEC 中 EF ? DC ∴ EF 为异面直线 AB 和 CD 的公垂线②在 △ AFB 中 ∵ EF ? AB 且 AF ?3 1 1 a, AE ? AB ? a a 2 2∴ EF ?AF 2 ? AE 2 ?2 a 2∵ EF ? DC , EF ? AB ∴ EF 为异面直线 AB 和 CD 的距离∴ AB 和 CD 的距离为2 a 2使二面128. 正方形 ABCD 中， 以对角线 BD 为折线， 把Δ ABD 折起， 角 A@-BD-C 为 60°，求二面角 B-A@C-D 的余弦值高考资源网（） ，您身边的高考专家解析：要求二面角 B-A@C-D 的余弦值，先作出二面角的平面角，抓住图形中 A@B=BC，A@D=DC 的关 系，采用定义法作出平面角∠BED（E 为 AC 的中点）然后利用余弦定理求解 解：连 BD、AC 交于 O 点 则 A@O⊥BD，CO⊥BD ∴∠A@OC 为二面角 A@-BD-C 的平面角 ∴∠A@OC=60° 设正方形 ABCD 的边长为 a∵A′O=OC=1/2AC= ∠A′OC=60°2 a 2∴Δ A′OC 为正三角形则 A′C= 取 A′C 的中点，连 DE、BE ∵A′B=BC ∴BE⊥A′C 同理 DE⊥A′C2 a 2∴∠DEB 为二面角 B-A′C-D 的平面角在Δ BA′C 中BE= BA ? AE22? a2 ? (2 2 14 a) ? a 4 4同理 DE=14 a 4在Δ BED 中，BD= 2 a∴ cos∠BED=BE 2 ? DE 2 ? BD 2 2 BE ? DE高考资源网（） ，您身边的高考专家? 14 ? ? 14 ? ? ? ? ? ? 4 a ? ? ? 4 a ? ? 2a ? ? ? ? = 14 14 2? a? a 4 4=-2 2? ?21 7 1 7Δ 的余∴二面角 B-A′C-D 的余弦值为-129. 如图平面 SAC⊥平面 ACB， SAC 是边长为 4 的等边三角形， Δ ACB 为直角三角形，∠ACB=90°，BC= 4 2 ，求二面角 S-AB-C 弦值。 解析：先作出二面角的平面角。由面面垂直可得线面垂直，作 平面 ACB，然后利用三垂线定理作出二面角的平面角 解：过 S 点作 SD⊥AC 于 D，过 D 作 DM⊥AB 于 M，连 SM ∵平面 SAC⊥平面 ACB ∴SD⊥平面 ACB ∴SM⊥AB 又∵DM⊥AB ∴∠DMS 为二面角 S-AB-C 的平面角SD⊥在Δ SAC 中 SD=4×3 ?2 3 2在Δ ACB 中过 C 作 CH⊥AB 于 H ∵AC=4，BC= 4 2 ∴AB= 4 3 ∵S=1/2AB?CH=1/2AC?BC高考资源网（） ，您身边的高考专家∴CH=AC ? BC 4 ? 4 2 4 2 ? ? AB 4 3 3∵DM∥CH 且 AD=DC∴DM=1/2CH=2 2 3∵SD⊥平面 ACB ∴SD⊥DM 在 RTΔ SDM 中 SM= SD ? DM2 2DM?平面 ACB=? ?11 3?2 2? ? 2 3 ?? ? 3 ? ? ?22=2∴cos∠DMS=DM SM2 2=3 11 2 3=22 11130. 已知等腰?ABC 中，AC = BC = 2， ? ACB = 120?，?ABC 所在平面外的一点 P 到三角形三顶点的距离 都等于 4，求直线 PC 与平面 ABC 所成的角。 解析：解：设点 P 在底面上的射影为 O，连 OB、OC，高考资源网（） ，您身边的高考专家则 OC 是 PC 在平面 ABC 内的射影，∴ ? PCO 是 PC 与面 ABC 所成的角。∵ PA = PB = PC， ∴点 P 在底面的射影是?ABC 的外心， 注意到?ABC 为钝角三角形， ∴点 O 在?ABC 的外部， ∵AC = BC，O 是?ABC 的外心， ∴OC⊥AB 在?OBC 中，OC = OB， ? OCB = 60?， ∴?OBC 为等边三角形，∴OC = 2 在 Rt?POC 中， cos?PCO ? ∴ ? PCO = 60? 。 131. 如图在二面角α - l-β 中，A、B∈α ，C、D∈l，ABCD P∈β ，PA⊥α ，且 PA=AD，MN 依次是 AB、PC 的中点 ⑴ 求二面角α - l-β 的大小 ⑵ 求证明：MN⊥AB ⑶ 求异面直线 PA 与 MN 所成角的大小 解析：⑴ 用垂线法作二面角的平面角 为矩形，OC 1 ? PC 2高考资源网（） ，您身边的高考专家⑵ 只要证明 AB 垂直于过 MN 的一个平面即可 ⑶ 过点 A 作 MN 的平行线，转化为平面角求解 解： ⑴ 连 PD ∵PA⊥α ，AD⊥l ∴PD⊥l ∴∠PDA 为二面角α - l-β 的平面角 在 RTΔ PAD 中 ∵PA=PD ∴∠PDA=45° ∴二面角α - l-β 为 45° ⑵ 设 E 是 DC 的中点，连 ME、NE ∵M、N、E 分别为 AB、PC、D 的中点 ∴ME∥AD，NE∥PD ∴ME⊥l，NE⊥l ∴l⊥平面 MEN ∵AB∥l ∴AB⊥平面 MEN ∵MN?平面 MNE ∴MN?AB ⑶ 设 Q 是 DP 听中点，连 NQ、AQ 则 NQ∥DC，且 NQ=1/2DC ∵AM∥DC，且 AM=1/2AB=1/2DC高考资源网（） ，您身边的高考专家∴QN∥AM，QN=AM ∴QNMQ 为平行四边形 ∴AQ∥MN ∴∠PAQ 为 PA 与 MN 所成的角 ∵Δ PAQ 为等腰直角三角形，AQ 为斜边上的中线 ∴∠PAQ=45° 即 PA 与 MN 所成角的大小为 45° 132. 如图: △ABC 的?ABC= 90?, V 是平面 ABC 外的一点, VA = VB = VC = AC, 求 VB 与平面 ABC 所成的角。 解析：1、要求 VB 与平面 ABC 所成的角, 应作出它们所成的角。 2、要作出 VB 与平面 ABC 所成的角, 只要找出 VB 在平 面 ABC 内的射影就可以了。 3、作斜线在平面内的射影, 只要在斜线上找一点作直线 垂直于平面, 即找此点在平面内的射影, 显然 找 V 点, V 点在平面内的射影在何处？由条件可知, 射影为△ABC 的外心。 解: 作 VO?平面 ABC 于 O, 则 OB 为 VB 在平面 ABC 内的射影, ∴?VBO 为 VB 与平面 ABC 所成的角。 连 OA、OB、OC, 则 OA、OB、OC 分别为斜线段 VA、VB、VC 在平面 ABC 内的射影。 ∵VA = VB = VC ∴OA = OB = OC ∴O 为△ABC 为外心 ∵△ABC 为直角三角形, 且 AC 为斜边 ∴O 为 AC 的中点高考资源网（） ，您身边的高考专家设 VA = a, 则 VA = VC = AC = a,VO ?3 a 23 a VO 2 ? 3 在 Rt△VOB 中, sin ?VBO ? ? VB a 2∴?VBO = 60? ∴VB 与平面 ABC 所成的角为 60?。 133. 已知：平面α ∩平面β =直线 a． α ，β 同垂直于平面γ ，又同平行于直线 b． 求证：(Ⅰ)a⊥γ ； (Ⅱ)b⊥γ ．证明： 证法一(Ⅰ)设α ∩γ =AB，β ∩γ =AC．在γ 内任取一点 P 并于γ 内作直线 PM⊥AB，PN⊥ AC． ――1 分 ∵ γ ⊥α ， ∴ PM⊥α ． 而 a?α ， ∴ PM⊥a． 同理 PN⊥a． 又 PM ? γ ，PN ? γ ， ――4 分高考资源网（） ，您身边的高考专家∴ a⊥γ ． ――6 分 ――7 分 (Ⅱ)于 a 上任取点 Q，过 b 与 Q 作一平面交α 于直线 a1，交β 于直线 a2． ∵ b∥α ，∴ b∥a1． 同理 b∥a2． ∵ a1，a2 同过 Q 且平行于 b， ∵ a1，a2 重合． 又 a1 ? α ，a2 ? β ， ∴ a1，a2 都是α 、β 的交线，即都重合于 a． ∵ b∥a1，∴ b∥a． 而 a⊥γ ， ∴ b⊥γ ． 注：在第Ⅱ部分未证明 b∥a 而直接断定 b⊥γ 的，该部分不给分． 证法二(Ⅰ)在 a 上任取一点 P，过 P 作直线 a′⊥γ ． ∵ α ⊥γ ，P∈α ， ∴ a′ ? α ． 同理 a′ ? β ． 可见 a′是α ，β 的交线． 因而 a′重合于 a． 又 a′⊥γ ， ∴ a⊥γ ． ――6 分 ――5 分 ――3 分 ――1 分 ――12 分 ――10 分 ――8 分(Ⅱ)于α 内任取不在 a 上的一点，过 b 和该点作平面与α 交于直线 c．同法过 b 作平面与β 交于直线 d． ――7 分 ∵ b∥α ，b∥β ． ∴ b∥c，b∥d． ――8 分高考资源网（） ，您身边的高考专家又 c ? β ，d ? β ，可见 c 与 d 不重合．因而 c∥d． 于是 c∥β ． ∵ c∥β ，c ? α ，α ∩β =a， ∴ c∥a． ∵ b∥c，a∥c，b 与 a 不重合(b ? α ，a ? α )， ∴ b∥a． 而 a⊥γ ， ∴ b⊥γ ． 注：在第Ⅱ部分未证明 b∥a 而直接断定 b⊥γ 的，该部分不给分． 134. 设 S 为 ?ABC 平面外的一点，SA=SB=SC， ?ASB ? 2? , ?BSC ? 2? , ?ASC ? 2? ，若 ――12 分 ――11 分 ――10 分 ――9 分sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? ，求证：平面 ASC ? 平面 ABC。解析： （1）把角的关系转化为边的关系 （2）利用棱锥的性质（三棱锥的侧棱相等，则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心） 证明：设 D 为 AB 的中点? SA ? SB同理 sin ? ?? ?A S D ? ?BC AC , sin ? ? 2SB 2SCsin ? ?AD AB ? SA 2SA? SA ? SB ? SC 且 sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ?? AB2 ? BC 2 ? AC 2即 ?ABC 为 Rt?ABC 且 S 在平面上的射影 O 为 ?ABC 的外心 则 O 在斜边 AC 的中点。? SO ? 平面 ABC高考资源网（） ，您身边的高考专家? SO ? 平面 SAC?平面 ASC ? 平面 ABC135. 已知如图，P ? 平面 ABC，PA=PB=PC，∠APB=∠APC=60°，∠BPC=90 °求证：平面 ABC⊥平面 PBC 解析：要证明面面垂直，只要在其呈平面内找一条线，然后证 与另一平面垂直即可。显然 BC 中点 D，证明 AD 垂直平 PBC 即 证明： 取 BC 中点 D 连结 AD、PD ∵PA=PB；∠APB=60° ∴Δ PAB 为正三角形 同理Δ PAC 为正三角形 设 PA=a 在 RTΔ BPC 中，PB=PC=a BC= 2 a 明直线 可∴PD= 在Δ ABC 中 AD=2 a 2AB 2 ? BD 2=2 a 22 22? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ∵AD +PD = ? ? 2 a? ? ? 2 a? ? ? ? ?2=a =AP22∴Δ APD 为直角三角形 即 AD⊥DP 又∵AD⊥BC高考资源网（） ，您身边的高考专家∴AD⊥平面 PBC ∴平面 ABC⊥平面 PBC 136. 如图，正方形 ABCD 所在平面与正方形 ABEF 所在平面 成 60°的二面角，则异面直线 AD 与 BF 所成角的余弦值 是 解析： ．?DAF为二面角60? , 可设AD长为a, 则DF 长为a又 ? AB ? 平面CDF ? CD ? 平面CDF , CD ? DF ,? CF ? 2a, 又在? BCF中, BC ? a, BF ? 2a 根据余弦定理可得.137. 如图，M、N、P 分别是正方体 ABCD－A1B1C1D1 的三个侧面 ABCD、CC1D1D、BCC1B1 的中心，则 A1M 与 NP 所成的角是( ) (A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 90°解析：D 如图所示高考资源网（） ，您身边的高考专家138. 相交成 90°的两条直线和一个平面所成的角分别是 30°和 45°，则这两条直线在该平面内的射 影所成的锐角是（ ） (A) arccos? ? (C) ? ? arcsin? ? ?3? ? 3 ? ?(B)?2? arcsin 6 36 36 3(D) arcsin解析：分析：设直角顶点到平面的距离是 1，所求的角为 θ，则 cos ? ? 139. 在三棱锥 P-ABC 中， ? APB= ? BPC= ? CPA=600， 求二面角 A-PB-C 的 解析： 在二面角的棱 PB 上任取一点 Q， 在半平面 PBA 面 PBC 上作 QM ? PB，QN ? PB，则由定义可知 即为二面角的平面角。 设 PM=a,则在 Rt ? PQM 和 Rt ? PQN 中可求得 QM=QN= B Q12 ?? 3? ? ? 6 ?222? 3．P余弦值。 和半平 ? MQNM N A3 a； 2?A C G又由 ? PQN ? ? PQM 得 PN=a,故在正 ? PMN 中 MN=a,在? MQN?H高考资源网（） ，您身边的高考专家中由余弦定理得 cos ? MQN=1 1 ，即二面角的余弦值为 。 3 3140. 三棱柱 ABC-A1B1C1 中， ? BAC=900，AB=BB1=1，直线 B1C 与平面 ABC 成 300 角，求二面 角 B-B1C-A 的正弦值。 解析：可以知道，平面 ABC 与平面 BCC1B1 垂直，故 直的性质来寻找从一个半平面到另一个半平面的垂 解：由直三棱柱性质得平面 ABC ? 平面 BCC1B1，过 面 BCC1B1，垂足为 N，则 AN ? 平面 BCC1B1， （AN 找的垂线）在平面 BCB1 内过 N 作 NQ ? 棱 B1C，垂 QA，则 ? NQA 即为二面角的平面角。 B ∵AB1 在平面 ABC 内的射影为 AB，CA ? AB，∴ AB=BB1=1，得 AB1= 2 。∵直线 B1C 与平面 ABC B1 A1 Q N C CA ? B1A， A 成 300 角，∴ AC= 2 ，∴ C1 可由面面垂 线。 A 作 AN ? 平 即为我们要 足为 Q，连? B1CB=300，B1C=2，Rt△B1AC 中，由勾股定理得AQ=1。在 Rt△BAC 中，AB=1，AC= 2 ，得 AN=6 。 3sin ? AQN= ANAQ=6 6 。即二面角 B-B1C-A 的正弦值为 。 3 3141. 已知菱形 ABCD 边长为 a，且其一条对角线 BD＝a，沿对角线 BD 将 ?ABD 折起 与?BCD 所在平 面成直二面角，点 E、F 分别是 BC、CD 的中点。 (1)求 AC 与平面 AEF 所成的角的余弦值 (2)求二面角 A－EF－B 的正切值。 (1) 解析： ：菱形 ABCD 的对角线 AC?BD，因此BD?AO ， BD?OC ? BD?面AOC ，中位线 EF//BD，可知 EF? 面 AOC， EF ? 面AEF ，故面 AEF?面AOC ，这样 AC 在面 AEF 内的射 影就是 AG， ?CAG 就是 AC 与平面 AEF 的成角，解三角形 AOC 可得AC ?6 3 15 a，CG ? a，AG ? a。 2 4 4 3 10 10? cos ?CAG ?(2)分析：由前一小问的分析可知 EF?平面AOC ，? EF?AG，EF?OG，故?AGO高考资源网（） ，您身边的高考专家就是二面角 A－EF－B 的平面角，在 Rt?AOG 中， ?AOG ? 90? ， AO ?3 3 a ， OG ? a。 2 43 a AO 2 ?2 ? tg?AGO ? ? OG 3 a 4142. 如图，ABCD-A1B1C1D1 是正方体，E 是 CC1 的中点，求二面角 B-B1E-D 的余弦值。 解析：图中二面角的二个半平面分别为△DEB1 所在的半平面和△BEB1 所在的半平面，即正方体 的右侧面，它们的交线即二面角的棱 B1E。不难找到 DC 即为从其中的一个半平面出发，并且垂直 于另一个半平面的直线。 解： 由题意可得直线 DC ? 平面 BEB1，且垂足为 C，过 C 作 CF ? B1E 于 F（如图，F 在 B1E 的 延长线上） ，连 DF，则由三垂线定理可得 ? DFC 即二面角的平面角。 △B1C1E~△CFE，∴ B1 D1 A1 B D C B B1 C1 EB C ? CE 5 ? a； CF= 1 1 B1 E 5DF= a ?2C1 E F FC1 2 30 a ? a. 5 55 a ∴cos ? DFC= 530 a 5?6 。 6A即二面角的平面角的余弦值为6 。 6P?C P，P 到 ? 、 ? 少？（2）P 到 E l143. 如图， 在平面角为 600 的二面角 ? -l- ? 内有一点 分别为 PC=2cm,PD=3cm,则垂足的连线 CD 等于多D?高考资源网（） ，您身边的高考专家棱 l 的距离为多少？ 解析：对于本题若这么做：过 C 在平面 ? 内作棱 l 的垂线，垂足为 E，连 DE，则 ? CED 即为二 面角的平面角。这么作辅助线看似简单，实际上在证明 ? CED 为二面角的平面角时会有一个很麻 烦的问题，需要证明 P、D、E、C 四点共面。这儿，可以通过作垂面的方法来作二面角的平面角。 解：∵PC、PD 是两条相交直线， ∴PC、PD 确定一个平面 ? ，设 ? 交棱 l 于 E，连 CE、DE。 ∵PC⊥ ? ， ∴PC⊥l,又∵PD⊥ ? ，∴PD⊥l。 ∴l⊥平面 ? ，则 l⊥CE、DE，故 ? CED 即为二面角的平面角，即 ? CED=600。 ∴ ? CPD=1200，△PCD 中，PD=3，PC=2，由余弦定理得 CD= 19 cm。由 PD⊥DE，PC⊥CE 可得 P、 E、 四点共圆， PE 为直径， D、 C 且 由正弦定理得 PE=2R=19 CD 2 = = 57 cm。 0 sin ?CED sin 60 3说明：三垂线定理及其逆定理是作二面角的平面角的最主要的方法，要引起重视。 144. 如图， 梯形 ABCD 中， BA⊥AD， CD⊥AD， AB=2， CD=4， 为平面 ABCD 外一点， P 平面 PAD⊥平面 ABCD， △PBC 是边长为 10 的正三角形，求平面 PAD 与面 PBC 所成的角. 解法一：如图，延长 DA、CB 交于 E，AB 2 1 ＝ ＝ ，∴AB 是△ECD 的中位线，CB＝BE＝10.又△PCB CD 4 2为正△， 易证△PCE 为直角三角形， PE⊥PC.又平面 PDA⊥平面 ABCD， CD⊥交线 DA， 且 ∴CD⊥平面 PDE.PE 是 PC 在平面 PDE 内的射影， ∴PE⊥PD(三垂线定理的逆定理).故∠CPD 是 D-PE-C 的平面角.在 Rt△CDP 中，sin∠DPC＝4 2 2 ＝ ，故二面角大小为 arcsin . 10 5 5解法二：利用 Scosθ ＝S′.如右图， 平面 PAD⊥平面 ABCD?CD⊥AD，BA⊥AD BA⊥平面 PAD?高考资源网（） ，您身边的高考专家CD⊥平面 PAD △PAD 是△PBC 在平面 PDA 内的射影.设面 PDA 与面 PCB 所成的二面角为θ ，则 S△PDA＝S△PCB?cosθ .Rt △PAB 中，PA＝4 6 ＝AD；Rt△PDC 中，PD＝2 21 . ∴△PAD 为等腰三角形且 S△PAD＝1 PD?AH＝15 7 . 2cosθ ＝S ?PAD 15 7 21 ＝ ＝ ， S ?PBC 5 25 3θ ＝arccos＝21 . 5D1 A1C1 B1 在底面 求二面145. 如图，平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 的底面为正方形，点 A1 的射影 O 在 AB 上， 已知侧棱 A1A 与底面 ABCD 成 450 角， 1A=a。 A 角 A1-AC-B 的平面角的正切值。 （答案： 2 ） DC A O1B作OE ? AC , 连接A1E , 根据三垂线定理EO ? AC , A1E ? AC , ??A1EO为A1 -AC-B的平面角.146. 如图，在梯形 ABCD 中，AD//BC， ? ABC=900，P 角 P-CD-A A A B B C D5 ,又 PA⊥平面 ABCD，PA=a，求二面 5 5 的大小。 （答案：arctg ） 3AB=a,AD=3a,sin ? ADC=高考资源网（） ，您身边的高考专家作AE ? CD, 连接PE,则?PEA为P-CD-A的平面角,又 ? 5 AE ,在RT? ADE中,sin ?ADC= , 可求AE. 5 AD 又PA ? a, 可求出二面角?PEA的正切值来. sin ?ADC=147. 已知 Rt△ ABC 的两直角边 AC=2，BC=3，P 为斜边上一 点，沿 CP 将此直角三角形折成直二面角 A―CP―B，当 AB=71/2 时，求二面角 P―AC―B 的大小。作法一：∵A―CP―B 为直角二面角， ∴过 B 作 BD⊥CP 交 CP 的延长线于 D，则 BD⊥DM APC。 ∴过 D 作 DE ⊥AC，垂足为 E，连 BE。 ∴∠DEB 为二面角 A―CP―B 的平面角。 作法二：过 P 点作 PD′⊥PC 交 BC 于 D′，则 PD′⊥面 APC。 ∴过 D′作 D′E′⊥AC，垂足为 E′，边 PE′， ∴∠D′E′P 为二面角 P―AC―B 的平面角。 148. 矩形 ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线 BD 把△ ABD 折起， 使点 A 在平面 BCD 上的射影 A′落在 BC 上，求二面角 A―BC-―C 的大小。这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题，解决问题的关键在 于搞清折叠前后“变”与“不变”。结果在平面图形中过 A 作 AE⊥BD 交 BD 于 O、交 BC 于 E，则折叠 后 OA、OE 与 BD 的垂直关系不变。但 OA 与 OE 此时变成相交两线段并确定一平面，此平面必与 棱垂直。由特征Ⅱ可知，面 AOE 与面 ABD、面 CBD 的交线 OA 与 OE 所成的角，即为所求二面角高考资源网（） ，您身边的高考专家的平面角。另外，A 在面 BCD 上的射影必在 OE 所在的直线上，又题设射影落在 BC 上,所以 E 点就 是 A′，这样的定位给下面的定量提供了优质服务。事实上，AO=AB? AD/BD=3*4/5=12/5， OA′=OE=BO? tgc∠CBD， BO=AB2/BD=9/5, tg∠CBD， OA′=27/20。 Rt△ AA′O 中， 而 故 在 ∠AA′O=90° 所以 cos∠AOA′=A′O/AO=9/16，ty∠AOA′=arccos9/16 即所求的二面 arccos9/16。 149. 将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，使得 BD ? a ，则三棱锥 D ― ABC 的体积 为 （ ）A. Da3 6B.a3 12C.3 3 a 12D.2 3 a 12解析：取 BD 的中点为 O，BD⊥平面 OAC， S?AOC ?1 1 2 2 ? 2a ? a ? a ，则 2 2 4VD ? ABC ? 2VB ? AOC =2 3 a 。选 D 12150. 在矩形 ABCD 中，AB=a，AD=2b，a&b，E、F 分别是 AD、BC 的中点，以 EF 为折痕把四边形 EFCD 折起， 当 ?CEB ? 90 时，二面角 C―EF―B 的平面角的余?E a b F D C弦值等于（）B AA．0a2 B． 2 ba2 C． ? 2 bCE=BE= a ? b2 2a D． ? b解析：由图可知? 当 ?CEB ? 90 时，CB= 2(a ? b ) 。 ?CFB 为所2 2求平面角，由余弦定理得 cos ?CFB ?2b 2 ? 2(a 2 ? b 2 ) a2 ? ? 2 。 选（C） 。 2b 2 b151. ．已知 E、F 分别是正方体 ABCD―A1B1C1D1 的棱 BC，CC1 的中点，则截面 AEFD1 与底面 ABCD 所成二面角的正弦值是 （ ）A．2 3B．2 3C． 解析：C5 2 2 D． 3 3高考资源网（） ，您身边的高考专家D ?CG用求 cos? 求出 DG 的长度，则所求函数值可求。如图， ?D1GD 为所求的二面角的平面角。A?B可利152. 与正方形各面成相等的角且过正方体三个顶点的截面的个数是________． 解析：如图中，截面 ACD1 和截面 ACB1 均符合题意要求，这样的截面共有 8 个； D1 A1 B1 D A B C C1153. 已知矩形 ABCD 的边 AB=1，BC=a，PA⊥平面 ABCD，PA=1，问 BC 边上是否存在点 Q，使得 PQ⊥QD，并说明理由.PADBQC解析：连接 AQ，因 PA⊥平面 ABCD，所以 PQ⊥QD ? AQ⊥QD，即以 AD 为直经的圆与 BC 有交点． 当 AD=BC=a ? AB=1,即 a ? 1 时，在 BC 边上存在点 Q，使得 PQ⊥QD；．．．． 分 ．．．．．5高考资源网（） ，您身边的高考专家当 0&a&1 时，在 BC 边上不存在点 Q，使得 PQ⊥QD．． ． 154. 如图，正三棱柱 ABC―A1B1C1 的底面边长的 3，侧棱 AA1= （Ⅰ）求证：直线 BC1//平面 AB1D； （Ⅱ）求二面角 B1―AD―B 的大小； （Ⅲ）求三棱锥 C1―ABB1 的体积.A C3 3 , D 是 CB 延长线上一点，且 BD=BC. 2C1 B1 A1BD（Ⅰ）证明：CD//C1B1，又 BD=BC=B1C1， ∴ 四边形 BDB1C1 是平行四边形， ∴BC1//DB1. 又 DB1 ? 平面 AB1D，BC1 ? 平面 AB1D，∴直线 BC1//平面 AB1D.．．．．．．．．．．5 分 ．．．．．．．．． （Ⅱ）解：过 B 作 BE⊥AD 于 E，连结 EB1， ∵B1B⊥平面 ABD，∴B1E⊥AD ，∴∠B1EB 是二面角 B1―AD―B 的平面角， ∵BD=BC=AB， ∴E 是 AD 的中点， BE ? 1 AC ? 3 .2 23 3 B1 B 2 在 Rt△B1BE 中， tg?B BE ? ? ? 3. ∴∠B1EB=60°。即二面角 B1―AD―B 的大小为 1 3 BE 2 60°????10 分（Ⅲ）解法一：过 A 作 AF⊥BC 于 F，∵B1B⊥平面 ABC，∴平面 ABC⊥平面 BB1C1C，∴AF⊥平面 BB1C1C，且 AF=3 3 ?3 ? 3 ,? VC ? ABB ? V A ? BB C ? 1 S ? B B C ? AF 2 2 31 1 1 1 1 1 1 1高考资源网（） ，您身边的高考专家1 1 3 3 3 3 27 即三棱锥 C1―ABB1 的体积为 27 ????15 分 ? ( ? ? 3) ? ? . . 3 2 2 2 8 8解法二：在三棱柱 ABC―A1B1C1 中，? S ?ABB ? S ?AA B ?VC1 ? ABB 1 ? VC1 ? AA1B1 ? V A? A1B1C11 1 1?1 1 3 2 3 3 27 即为三棱锥 C1―ABB1 的体积． S?A B C ? AA1 ? (4 ? ?3 )? ? . 3 111 3 4 2 8155. 已知空间四边形 ABCD 的边长都是 1，又 BD= 3 ，当三棱锥 A―BCD 的体积最大时，求二面 角 B―AC―D 的余弦值． 解析：如图，取 AC 中点 E，BD 中点 F，由题设条件知道 （1） ? BED 即二面角 B―AC―D 的平面角．．．．．．．．．．．．．． 分 ．．．．．．．．．．．．．．3 （2）当 AF ? 面 BCD 时，VA―BCD 达到最大．．．．．．．．．．．．．．．6 分 ．．．．．．．．．．．．．． 这时 ED2=AD2-AE2=1-AE2=1- (AF 2 ? FC 2 AC 2 ) =14 2=1-AF 2 1 1 BD 2 1 3 7 ? 1 ? ( AD 2 ? FD 2 ) ? 1 ? (1 ? ) ? 1 ? (1 ? ) ? ， 2 2 2 4 2 4 8又 BE2=ED2， ∴ cos ?BED ?2 ED 2 ? BD 2 5 ? ? ．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．．．．．．．．．．．．．．12 分 2 ED ? BE 7AEBF CD156. 有一矩形纸片 ABCD，AB=5，BC=2，E，F 分别是 AB，CD 上的点，且 BE=CF=1，把纸片沿 EF 折成直 二面角．高考资源网（） ，您身边的高考专家（1）求 BD 的距离； （2）求证 AC，BD 交于一点且被这点平分．解析：将平面 BF 折起后所补形成长方体 AEFD-A1BCD1，则 BD 恰好是长方体的一条对角线． （1）解：因为 AE，EF，EB 两两垂直， 所以 BD 恰好是以 AE，EF，EB 为长、宽、高的长方体的对角线，．．．．．．．． 分 ．．．．．．．．6 （2）证明：因为 AD EF，EF BC，所以 AD BC．所以 ACBD 在同一平面内， 且四边形 ABCD 为平行四边形． 所以 AC、BD 交于一点且被这点平分157.已知△BCD 中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面 BCD， ∠ADB=60°，E、F 分别是 AC、AD 上的动点，且 AE ? AF ? ? (0 ? ? ? 1).AC AD（Ⅰ）求证：不论λ 为何值，总有平面 BEF⊥平面 ABC；高考资源网（） ，您身边的高考专家（Ⅱ）当λ 为何值时，平面 BEF⊥平面 ACD？证明： （Ⅰ）∵AB⊥平面 BCD， ∴AB⊥CD， ∵CD⊥BC 且 AB∩BC=B， ∴CD⊥平面 ABC.????????????3 分 又? AE ? AF ? ? (0 ? ? ? 1), AC AD ∴不论λ 为何值，恒有 EF∥CD，∴EF⊥平面 ABC，EF ? 平面 BEF, ∴不论λ 为何值恒有平面 BEF⊥平面 ABC （Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又平面 BEF⊥平面 ACD， ∴BE⊥平面 ACD，∴BE⊥AC.??????8 分 ∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°， ∴ BD ?2 , AB ? 2 tan 60 ? ? 6 ,2 AB 2 ? BC 2 ? 7 , 由 AB =AE?AC 得 AE ? 6 ,? ? ? AE ? 6 ,? AC ?7AC7故当 ? ?6 时，平面 BEF⊥平面 ACD.??????????????????12 分 7158. 设△ABC 内接于⊙O，其中 AB 为⊙O 的直径，PA⊥平面 ABC。 如图 cos ?ABC ?5 , PA : PB ? 4 : 3, 求直线 PB 和平面 PAC 所成角的大小 6高考资源网（） ，您身边的高考专家设PA ? 4 x, AB ? 3 x, 则PB ? 5 x, BC ? 3 x cos ?ABC ? ? AB是?O的直径 ? ?ACB ? 90 ? ,即BC ? AC 又 ? PA ? 面ABC,? PA ? BC ? BC ? 面PAC ? ?BPC是PB和面PAC所成的角 5x 1 在Rt?BPC中, sin ?BPC ? 2 ? ,? ?BPC ? 30 ? 5x 2 即直线PB和平面PAC所成的角为30 ? 5 x 2159. 如图，在正方体 ABCD―A1B1C1D1 中，已知 P，Q，R，S 分别为棱 A1D1，A1B1，AB，BB1 的中 点，求证：平面 PQS⊥平面 B1RC.(12 分) 证明：连结 BC1 交 B1C 于 O，则 O 为 BC1 的中点 连结 RO，AC1，∵R 是 AB 的中点 ∴RO∥AC1 ∵P,Q 分别为 A1D1，A1B1 的中点，易知 A1C1⊥PQ ∴AC1⊥PQ（三垂线定理）同理证OS ? AC1 ? AC1 ? 面PQS ? RO ? 面PQS 又 ? RO ? 面B1 RC ? 面PQS ? 面B1 RC160. 把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折成直二面角 B―AC―D，E、F 分别为 AD、BC 的中点，O 为正方形 的中心，求折起后∠EOF 的大小 证明：过 F 作 FM⊥AC 于 M，过 E 作 EN⊥AC 于 N，则 M，N 分别为 OC、AO 的中点 解析：高考资源网（） ，您身边的高考专家? AN ? 1 2 AC ? a ? EN (设正方形的边长为a ) 4 4 2 2 3 FM ? a, MN ? a, EF 2 ? EN 2 ? FM 2 ? MN 2 ? a 2 4 2 4 在?EOF中, EF 2 ? EO 2 ? FO 2 ? 2 EO ? FO cos ?EOF1 ? cos ?EOF ? ? , ?EOF ? 120 ? 2 另证 :? EO // CD, 延长FO交AD ?于G , OG // CD ? ? ?EOG ? ?DCD ? ? B ? AC ? D为直二面角, DO ? AC ? DO ? 平面ABC ? DC ? DD ? ? CD ? ? a 即?DCD ?为正三角形,? ?DCD ? ? 60 ? ? ?EOF ? 180 ? ? ?EDG ? 120 ?161. 如图，正方体 AC1 中，已知 O 为 AC 与 BD 的交点，M 为 DD1 的中点。 （1）求异面直线 B1O 与 AM 所成角的大小。 （2）求二面角 B1―MA―C 的正切值。 （14 分） 解析：方法一 : BO ? AC ,? B1O ? AC , 设正方体的棱长为a, 则 6 3 3 a, MO ? a, MB1 ? a 2 2 2 2 2 2 MB1 ? B1D ? MO ,? MO ? B1O B1O ? ? B1O ? 面MAO ? B1O ? AM方法二：取 AD 中点 N，连结 A1N，则 A1N 是 B1O 在侧面 ADD1A1 上的射影. 易证 AM⊥A1N ∴AM⊥B1O（三垂线定理） （2）连结 MB1，AB1，MC，过 O 作 OH⊥AM 于 H 点，连结 B1H， ∵B1O 平面 MAC，∴∠B1HO 就是所求二面角 B1―MA―C 的平面角.? 2 HO ? AM ? AC ? MO,? HO ? 30 10 BO 在Rt?BHO中,? tan ?B1 HO ? 1 ? 5 HO高考资源网（） ，您身边的高考专家162. 在正方体 AC1 中，E 为 BC 中点（1）求证：BD1∥平面 C1DE； （2）在棱 CC1 上求一点 P，使平面 A1B1P⊥平面 C1DE； （3）求二面角 B―C1D―E 的余弦值。 （14 分） 解析：(1)连C1D交CD1于F , 则EF // BD1 , ? BD1 ? 面C1DE , EF ? 面C1DE , ? BD1 // 面C1DE. (2) ? A1B1 ? 面BCC1B1 , C1E ? 平面BCC1B1 , ? A1B1 ? C1E 故保要过B1作B1P ? C1E交C1C于P点即可 此时P为CC1的中点. 事实上, 当P为CC1的中点时, B1P ? C1E从而C1 E ? 平面A1 B1 P, ? 平面A1 B1 P ? 平面C1 DE . (3)连结BD, BC1 , 则BD ? BC1 , ED ? EC1 , 连结BF , 则BF ? DC1 , EF ? DC1 ? ?EFB即为二面角B ? C1 D ? E的平面角. 在?BEF中,? EF ? CE 2 ? CF 2 ? BE ? 1 2 2 2 即为所求 3 3 6 , BF ? CF 2 ? BC 2 ? 2 2由余弦定理 : cos ?EFB ?163.如图，立体图形 V-ABCD 中，底面是正方形 ABCD，其他四个侧面都是全等的正三角形，画出二面 角 V-AB-C 的平面角，并求它的度数．解：设底面边长为 a，则侧面三角形的边长也为 a． 取 AB 的中点 E，DC 中点 F，连 VE、EF． ∵ 侧面△VAB 是正三角形，高考资源网（） ，您身边的高考专家∴ VE⊥AB． 又 EF∥BC，BC⊥AB，∴ EF⊥AB．∠VEF 就是 V-AB-C 的平面角．a2 ? (cos∠VEF＝3 2 3 2 a) ? ( a) 3 2 2 ? 3 3 2a ? a 2 ．164. 已知二面角?-l-?是 45°角，点 P 在半平面?内，点 P 到半平面?的距离是 h，求点 P 到棱 l 的距离．解：经 P 作 PB⊥?于 B， 经 P 在平面?内作 PA⊥l 于 A． 连 AB，则 AB⊥l． ∠PAB 就是二面角的平面角，∠PAB＝45°． 那么在 Rt△PAB 中，PB＝h，PA＝ 2 h． 165. 自二面角内一点分别向这个二面角的两个面引垂线，求证：它们所成的角与这个二面角的平面角 互补．证明：如图 PQ⊥?，PQ⊥AB， PR⊥?，PR⊥AB，高考资源网（） ，您身边的高考专家则 AB⊥面 PQR． 经 PQR 的平面交?、?于 SR、SQ， 那么 AB⊥SR，AB⊥SQ． ∠QSR 就是二面角的平面角． 因四边形 SRPQ 中，∠PQS＝∠PRS＝90°， 因此∠P＋∠QSR＝180°． 166. 一张菱形硬纸板 ABCD 的中心是点 O， 沿它的一条对角线 AC 对折， BO⊥DO， 使 这时二面角 B-AC-D 是多少度？要使二面角 B-AC-D 为 60°，点 B 和 D 间的距离应是线段 BO 的几倍？解：因 ABCD 是菱形，故 AC⊥BD． 沿对角线 AC 折为空间图形后 BO⊥AC，DO⊥AC． ∠BOD 就是二面角 B-AC-D 的平面角． 因 BO⊥OD，故∠BOD＝90°， 即二面角 B-AC-D 是 90°． 要使二面角 B-AC-D 为 60°． 因 BO＝OD，故△BOD 是等边三角形， 此时 BD＝BO． 167.四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 a 的正方形，PB 垂直面 ABCD，证明无论四棱锥的高怎样变化，面 PAD 与面 PCD 所成的二面角恒大于 90°． 解析：：注意到题目中所给的二面角，面 PAD 与面 PCD 的棱为 PD，围绕 PD 而考虑问题解决途径．高考资源网（） ，您身边的高考专家证法一：利用定义法 经 A 在 PDA 平面内作 AE⊥PD 于 E，连 CE． 因底是正方形，故 CD＝DA． △CED≌△AED，AE＝EC，∠CED＝∠AED＝90°， 则 CE⊥PD． 故∠CEA 是面 PAD 与面 PCD 所成二面角的平面角． 设 AC 与 BD 交于 O，连 EO，则 EO⊥AC．2 因 2 OA＝ 2 × 2 ＝a，AE＜AD＜a．AE 2 ? EC 2 ? (2OA) 2 ( AE ? 2OA)( AE ? 2OA) 2 AE ? EC AE 2 cos∠AEC＝ ＝ ＜0．所以面 PAD 与面 PCD 所成的二面角恒大于 90°． 证法二：运用三垂线法 ∵ PB⊥面 ABCD，则 PB⊥AD，又 AD⊥AB， ∴ AD⊥面 PAB，即面 PAB⊥面 PAD． 过 B 作 BE⊥PA，则 BE⊥面 PAD． 在面 PBC 内作 PG BC，连 GD．高考资源网（） ，您身边的高考专家经 C 作 CF⊥面 PAD 于 F， 那么连结 EF，有 EF AD．经 F 作 FH⊥PD 于 H，连 CH， 则∠FHC 是所求二面角平面角的补角． 因 CF⊥FH，故∠FHC 是锐角． 则面 PAD 与面 PCD 所成二面角大于 90°． 此结论证明过程中与棱锥高无关． 证法三：利用垂面法找平面角． 在证法一所给图形中 连 AC、BD，因 AC⊥BD，PB⊥面 ABCD， ∴ AC⊥PD． 经 A 作 AE⊥PD 于 E，那么有 PD⊥面 AEC，连 CE， 即 PD⊥CE． 故 PD 与平面 AEC 垂直后，面 AEC 与面 ADC 及面 ADP 的交线 EA、EC 构成角∠CEA 就是二面角的 平面角． 以下同证法一． 168. 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 为棱 AA1 的中点，求平面 EB1C 和平面 ABCD 所成二面角的大小． 解：△EB1C 在底面 ABCD 内的射影三角形为 Rt△ABC． 因 E 点射影为 A，B1 点射影为 B．高考资源网（） ，您身边的高考专家设正方体棱长为 a，1 则 S△ABC＝ 2 a2．又在△EB1C 中，5 3 B1E＝ 2 a，B1C＝ 2 a，EC＝ 2 a，5 2 9 2 a ? a ? 2a 2 5 4 4 ? 5 5 3 2? a? a 2 2 故 cos∠B1EC＝ ．2 5 ∴ sin∠B1EC＝ 5 ．5 3 2 5 3 1 ∴ S ?B1EC ＝ 2 × 2 a?2 a? 5 ＝ 4 a2．设面ＥB1C 和面 ABCD 所成的二面角为?，则 cos?＝S ?ABC S ?B1ECa2 ? 2 3 2 2 a 4 ＝3．2 那么所求二面角的大小为 arccos 3 ．评述：此题属无棱二面角问题，图中没有二面角的棱，我们也可以去找到棱来解决，但这里通过高考资源网（） ，您身边的高考专家射影而直接求角更方便．S′＝S△ABC，S＝S ?B1EC ．169. 一个平面将空间分成几部分？二个平面将空间分成几部分？三个平面将空间分成几部分？ 解析：2 部分，３或４部分，４或６或７或８部分170. 如图：已知直线 l 与平行直线 a、b、c 都相交， 求证:l 与 a、b、c 共面。 设 L∩ａ＝A， α l cbaｌ∩ｂ＝A，L∩ｃ＝C，∵ａ∥ｂ，∴ａ、ｂ可确定一个平面α ，∵Ａ∈ａ，B∈ｂ，∴A∈α ，B∈α ， ∴AB ? α ，即 L ? α ．∵ｂ∥ｃ，∴ｂ、ｃ可确定一个平面β ， 同理ｌ ? β ．∵α 、β 均过相交直线ｂ、ｌ，∴α 、β 重合，∴ａ、ｂ、ｃ、ｌ共面； ７.提示：只需证明 P、Q、R 为平面 ABC 与α 的公共点； 171. 如图：已知△ABC 在平面α 外，AB∩α ＝P，AC∩α ＝R，BC∩α ＝Q。 求证:P、Q、R 三点共线。 A BC 解析：点在线上，线在面内，可得点在面内，证明 P，Q，R 三个点是平面? 与平面 ABC 的公共点，即可。QRPα172. 如图：已知 E、F、G、H 分别是空间四边形 ABCD 各边 AB、AD、CB、CD 上的点，且直线 EF 和 HG 交于点 P，求证：点 B、D、P 在同一条直线上。 A 解析：∵直线ＥＦ∩直线,HG＝P，∴P∈直线 EF，又 EF ? 平面 ABD， E D H FP高考资源网（） ，您身边的高考专家∴P∈平面 ABD，同理 P∈平面 CBD，由公理２，点 B、D、P 在同一条直线上。173. 如果把两条异面直线称作“一对” ，则在正方体十二条棱中，共有异面直线（ ）对 Ａ．12 解析：ＢD' A' B' C'Ｂ．24Ｃ．36Ｄ．48D A BC如图，棱 AA ' 有 4 条与之异面，所有所有棱能组成 4 ? 12=48 对，但每一对都重复计算一次，所以有 48 对 ?1 =24 对。 2174. 已知正方形 ABCD 所在的平面和正方形 ABEF 所在的平面相交于 AB，M、N 分别是对角线 AC、BF 上 的点,且 AM=FN,求证：MN∥平面 BCE. 解析：作 NP∥AB 交 BE 于点 P，作 MQ∥AB 交 BC 于点 Q， 证 MNPQ 是平行四边形，再证 MN∥面 BCE. F A D M C N E B175. 棱长为１的的正方体 ABCD―A1B1C1D1 中,求证：平面 A1BD∥平面 CB1D1. 解析：过ａ和直线ｂ上任意一点 P 作一平面γ 和平面β 交于 a ，∵α ∥β ，∴ａ∥ a ，∵ a ? ? ，' ''a ' ? ? ， a ? ? ，∴ a ' ? ? ，∵ a ' ? b ? P ， b ? ? ，ｂ∥β ，∴α ∥β ；８．∵Ａ1Ｂ∥Ｄ1Ｃ，∴A1B∥平面 CD1B1，同理 BD∥平面 CD1B1，高考资源网（） ，您身边的高考专家∵A1B ? 面 A1BD，BD ? 面 A1BD，∴面 A1BD∥面 CD1B1. 176. 已知（如图） ：平面α ∥平面β , A、C∈α ,B、D∈β ,AB 与 CD 是异面直线,E、F 分别是线段 AB、 CD 的中点,求证：EF∥β . α Ａ Ｃ α Ｆ αＥ β Ｂ Ｄ解析：0如图作辅助线，可得中线平行。 AD B D1C177. 如图：在△ABC 中，∠ACB＝90 ，M 是 AB 的中点，PM⊥平面 ABC， C1 B1 求证：PA＝PB＝PC. 解析：连结 MC，由∠ACB＝ 90 ，M 为 AB 的中点，MB＝MC＝MA， ∴PM⊥面 ABC，∴∠PMA＝∠PMB＝∠PMC＝ 90 ，又 PM 公用，∴△PMA≌△PMB≌△PMC，∴PA＝PB＝PC； 178. 四边形 ABCD 是距形，AB＝２，BC＝１，PC⊥平面 AC，PC＝２，求点 P 到 BD 的距离.0 0A1解析：作 CE⊥BD 于 E，连结 PE，2 30 5179. 如图：在斜边为 AB 的 Rt△ABC 中，过点 A 作 PA⊥平面 ABC，AE⊥PB 于 E，AF⊥PC 于 F， （１）求 证：BC⊥平面 PAC； （２）求证：PB⊥平面 AEF. P E F A C B解析： （１）PA⊥面 ACB，∴PA⊥BC，BC⊥AC，∴BC⊥面 PAC．(2)(1)知 BC⊥AF，高考资源网（） ，您身边的高考专家又 AF⊥PC，∴AF⊥面 PBC，∴AF⊥PB，又 PB⊥AE，∴PB⊥面 AEF. 180. 如图：ABCD―A1B1C1D1 是正方体.求证： （１）A1C⊥D1B1； （２）A1C⊥BC1 解析： （１）连 A1C1，则 A1C1⊥B1D1， 又 CC1⊥面 A1C1，由三垂线定理可知 A1C⊥B1D1， （２）连 B1C， 仿（１）可证； D A B A1 B1 CD1C1181. 如图：PA⊥平面 PBC，AB＝AC，M 是 BC 的中点，求证：BC⊥PM. 解析：由 AB＝AC 得ＡAM⊥BC，又 PA⊥面 PBC，BC ? 面 PBC，∴BC⊥AP， A ∴BC⊥面 AMP，∴BC⊥PMPC M B182. 如图：Rt△ABC 中，∠B＝90 ，P 为三角形所在平面外一点，PA⊥平面 ABC，指出四面 P 体 P―ABC 中有哪些三角形是直角三角形，说明理由. 由 PA⊥面 ABC 得 PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC；又 BC⊥AB， ∴BC⊥面 PBA，∴△PAB，△PBC，△PAC，△ABC 都是直角三角形 A B C0183. 已知直线 a∥直线 b，a⊥平面α ，求证 b⊥α . 解析：过ａ与α 的交点作两相交直线ｍ、ｎ，由ａ⊥α ，则ａ⊥ｍ，ａ⊥ｎ，又ｂ∥ａ，∴ ｂ⊥ｍ，ｂ⊥ｎ， 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 60高考资源网（） ，您身边的高考专家∴ｂ⊥α 184. 在正方体 ABCD―A1B1C1D1 中，E 为 CC1 中点，F 为 AC 和 BD 的交点. 求证：A1F⊥平面 BED. 解析：∵AA1⊥面 ABCD，AF 是 A1F 在 ABCD 上的射影，由 AC⊥BD 得 A1F⊥BD，取 BC 的中点 G，连 FG，B1G，由 AB⊥BC1，∴FG⊥面 BC1， ∴B1G 是 A1F 在面 BC1 上的射影，又 B1G⊥BE，∴BE⊥A1F，∴A1F⊥面 BED； 185. P 是 ?ABC 所在平面外一点，若 ?PBC 和 ?ABC 都是边长为 2 的正三角形，PA= 6 ， 求二面角 P-BC-A 的大小。90 0 解析：取ＢＣ的中点Ｄ，连结 PD、AD，易证∠PDA 为二面角的平面角186. 如图， ?ABC 是等腰直角三角形，AC=BC=a，P 是 ?ABC 所在平面外一点， PA=PB=PC= 2a 。 （1）求证：平面 PAB ? 平面 ABC； （2）求 PC 与 ?ABC 所在平面所成的角。 ＰAAAAＢAＣ 解析：A A A A(1)取 AB 的中点Ｏ，连 PO，证明 PO⊥面 ABC，(2) 600187. 如图，A 是直二面角 ? ? EF ? ? 的棱 EF 上的点，AB、CD 分别是 ? 、 ? 内的射线，?EAB ? ?EAC ? 45? ，求 ?BAC 的大小.Ｅ 解析： 600B A Cα ＦA AβAA A A欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 61高考资源网（） ，您身边的高考专家作 BO ? DF，可得 BO ? 平面 ? ，解三角形 ABC，根据余弦定理 可得。 188. （如图）已知正方形 ABCD 的边长为 1，过 D 作 PD ? 平面 ABCD，且 PD=1,E、F 分别是 AB 和 CD 的中点。 （1）求 D 点到平面 PEF 的距离； （2）求直线 AC 到平面 PEF 的距离。PD F A E BC解析： ?1?3 17 17 , ?2 ? 17 171.作 DG ? 直线 PF， 则可得 AC ? 平面 PDB， 所以 EF ? 平面 PDB? EF DG 为 D 点到平面 PEF 的距离 2.过点 O 作平行于 DG 的直线，则为所求。? DG ?DG ? 平面 PEF。189. 在三棱锥 S―ABC 中，SA⊥底面 ABC，AB⊥BC，DE 垂直平分 SC，且分别交 AC 和 SC 于 D 和 E，又 SA=AB,SB=BC.求以 BD 为棱，以 BDE 与 BDC 为面的二面角度数. ∵E 为 SC 的中点 ∴BE⊥SC ∴SC⊥面 BDE SC⊥BD 面 SA⊥BD ∴BD⊥面 SAC 即 BD⊥ AC BD⊥DE ∴∠EDC 为所求.设 SA=a 则 AB=a SB=BC= 2 a SC=2a ∠ASC=60° ∠SCA=30° ∠EDC=60°欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 62高考资源网（） ，您身边的高考专家190. P 是△ABC 所在平面外一点，PA、PB、PC 两两垂直，G 为 △PAB 的重心，E、F 分别是 BC、PB 上的点，且 BE∶EC=PF∶ FB=1 ,求证：平面 GEF⊥平面 PBC 2 GB 2 BF ? ? GN 1 PF∴GF∥PA.解析：∵G 为△PAB 的重心，∴∵PA⊥PB PA⊥PC，∴PA⊥面 PBC.∴GF⊥面 PBC，∴面 GFE⊥ 面 PBC. 191. 如图 1 所示，边长 AC＝3，BC＝4，AB＝5 的三角形简易遮阳棚，其 A、B 是地面上南北 方向两个定点，正西方向射出的太阳光线与地面成 30°角，试问：遮阳棚 ABC 与地面成多 大角度时，才能保证所遮影面 ABD 面积最大?解析： 易知，Δ ABC 为直角三角形，由 C 点引 AB 的垂线，垂足为 Q，则应有 DQ 为 CQ 在地 面上的斜射影，且 AB 垂直于平面 CQD，如图 2 所示.因太阳光与地面成 30°角，所以∠CDQ＝30°，又知在Δ CQD 中，CQ＝12 ，由正弦定理，有 5QD CQ ＝ , sin 30 ? sin ?QCD即 QD＝6 sin∠QCD. 5为使面 ABD 的面积最大，需 QD 最大，这只有当∠QCD＝90°时才可达到，从而∠CQD＝ 60°. 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 63高考资源网（） ，您身边的高考专家故当遮阳棚 ABC 与地面成 60°角时，才能保证所遮影面 ABD 面积最大. 192. 如图所示，已知三棱锥 S―ABC 中，SA＝SB＝SC，且 AC +BC ＝AB ，由此可推出怎样的 结论? 解析： 引 SO⊥平面 ABC(O 为垂足)，连结 OC. ∵SA＝SB＝SC，∴OA＝OB＝OC， ∴O 是Δ ABC 的外心，(结论 1) 又∵AC +BC ＝AB ，2 2 2 2 2 2∴Δ ABC 是直角三角形，且 AB 是斜边，故 O 是斜边 AB 的中点.因而 SO ? 平面 SAB(结论 2) ∴平面 SAB⊥平面 ABC(结论 3) 193. 正三棱柱 ABC―A1B1C1 中，各棱长均为 2，M 为 AA1 中点，N 为 BC 的中点，则在棱柱的 表面上从点 M 到点 N 的最短距离是多少?并求之.解析： (1)从侧面到 N，如图 1，沿棱柱的侧棱 AA1 剪开，并展开，则 MN＝AM 2 ? AN 2 ＝12 ? (2 ? 1) 2 ＝ 10(2)从底面到 N 点，沿棱柱的 AC、BC 剪开、展开，如图 2.则 MN＝AM 2 ? AN 2 ? 2 AM ? AN cos120 ?欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 64高考资源网（） ，您身边的高考专家＝ 1 ? ( 3 ) ? 2 ? 1? 3 ?2 21 ＝ 4? 3 2∵ 4 ? 3 ＜ 10∴ M Nmin ＝ 4 ? 3 . 194. 已知二面角 A―BC―D 为 150°，Δ ABC 是边长为 a 的等边三角形，Δ BCD 是斜边为 BC 的等腰直角三角形.求两个顶点 A 和 D 间的距离.解析：.取 BC 的中点 E，连 DE 和 AE，利用余弦定理 AD＝7 a 2195. .如图，ABCDEF 为正六边形，将此正六边形沿对角线 AD 折叠.(1)求证：AD⊥EC，且与二面角 F―AD―C 的大小无关； (2)FC 与 FE 所成的角为 30°时，求二面角 F―AD―C 的余弦值. 解析：(1)正六边形 ABCDEF，在折叠前有 AD⊥EC，设 AD 与 EC 交于 M，折叠后即有 AD⊥ME， AD⊥MC.则 AD⊥平面 EMC，无论∠EMC 的大小如何，总有 AD⊥EC.(2)利用余弦定理，有 cos ∠EMC＝7 9196. 在直角 BVC 的角顶点 V，作直角所在平面的斜线 VA，使二面角 A―VB―C 与二面角 A ―VC―B 都等于 45°，求二面角 B―VA―C 的度数. 解析：在 VA 上取 A′作平面 VCB 的垂线，垂足为 O，作 OC′⊥VC，OB′⊥VB，连 A′C′、 A′B′，则∠A′C′O 和∠A′B′O 分别为二面角 A-VC―B 与二面角 A―VB―C 的平面角. 易证 VB′OC′为正方形.设 VB′＝a，可求得 A′B′＝ 2 a.VA′＝ 3 a.过 B′作 B′D⊥ VA，欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 65高考资源网（） ，您身边的高考专家连结 C′D.则∠B′DC′为二面角 B―VA―C 的平面角.在 RtΔ B′VA′中， 可求 B′D＝6 a， 3又 DE⊥B′C′，B′E＝ 为 120°.2 a，则在 RtΔ B′DE 中可求得∠B′DE＝60°.二面角 B―VA―C 2197. 已知直线 l 与平面α 内交于一点 O 的三条直线 OA、OB、OC 成等角，求证：l⊥α解析：若 l 过 O 点，在 l 上任取一点 P，作 PH⊥α ，垂足 H，则 H 即在∠AOB 的平分线上， 又在∠BOC 的平分线上，∴H 是它们的公共点，故 H 与 O 重合；若 l 不过 O 点，可作过 O 的 直线 l′，使 l′∥l 即可证明.198. 空间四边形 ABCD 的各边与两条对角线的长都为 1，点 P 在 AD 上移动，点 Q 在 CB 上移 A 动，求点 P 与点 Q 的最短距离。 Ｐ Ｂ Ｑ Ｃ Ｄ2 2解析： 角形 BQP 中可求得。如图作辅助线，可得 PQ 为 AD，BC 的公垂线。在直角三199. 若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（ A.三棱锥 解析：Ｄ B.四棱锥 C.五棱锥）D.六棱锥欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 66高考资源网（） ，您身边的高考专家AB O C? ABC 是正三角形，所以 OC=AC，而 ? AOC 是直角三角形，OC 为直角边，AC 为斜边，矛盾，所以正棱锥不是六棱锥。 200. A、B 为球面上相异的两点，则通过 A、B 可作大圆（ A.一个 解析：Ｄ 当 A，B 点在球直径上， ，这样的大圆有无数个，当不在球直径上，与球心 O 三个点唯一确定 一个平面。 B.无穷多个 C.零个 ）D.一个或无穷多个欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 67 95学基础题题库(一)(立体... 46页 免费 立体几何基础题题库1 64页 免费 高中数学 立体几何基础题... 5页 2下载券 立体几何基础题题库二 63页 1下载券...立体几何基础题题库一B 58页 免费 95学基础题题库(一)(立体... 46页 免费 立体几何基础题题库1 64页 免费 高中数学 立体几何基础题... 5页 2下载券 立...95学基础题题库(一)(立体几何)。高考数学精选高考资源网() ,您身边的高考专家湖北省荆州中学基础题题库一 湖北省荆州中学基础题题库一 基础题题库...95学基础题题库(二)(立体几... 67页 免费 立体几何基础题题库2(有详......立体几何基础试题 27页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能...高中数学必修二立体几何入门试题精选内容:空间几何体与异面直线 时间:90 分钟 分值:100 分一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题...如图所示,已知正四棱锥 S―ABCD 侧棱长为 2 ,底面边长为 3 ,E 是 SA 的...立体几何基础题题库一(有... 8页 免费 95学基础题题库(一)(立体... 46...立体几何基础题题库一(有详细答案) 1、二面角 2,则(A)∠1+∠2=90 0 &90 解析:C 0 是直二面角, ,设直线 与 所成的角分别为∠1 和∠ (B)∠1+∠2...数学立体几何基础测试题(2)_数学_高中教育_教育专区。基础1 、直线 L 与平面 ? 内的两条直线垂直,那么 L 与平面 ? 的位置关系是 () B、L?? 如果直线 a...高考数学基础题题库(立体几何1--100)_数学_高中教育_教育专区。今日...一起来学广场舞 广场舞活动方案 社区广场舞策划方案 广场舞有益于身心健康...关键词:学习资料 同系列文档 立体几何基础题题库二 立体几何基础题题库四1...C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且 AB=BC=AC=2, 求球的体积... 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