什么叫变上限积分?
你大爷XlQq
通俗的理解其实就是定积分,只不过上限是正负无穷大
为什么这么变,教材有点看不懂
定积分表示一个曲面，而变上限是指这个曲面可能是无限延伸的
感觉你回答的不对,变上限是积分和不定积分的桥梁,但我不理解为什么这么换
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如何对变限积分函数求导？
最常见的是变上限函数的积分，即∫f(t)dt（积分限a到x），根据映射的观点，每给一个x就积分出一个实数，因此这是关于x的一元函数，记为g(x)=∫f(t)dt（积分限a到x），注意积分变量用什么符号都不影响积分值，改用t是为了不与上限x混淆。现在用导数定义求g'(x)，根据定义，g'(x)=lim[∫f(t)dt-∫f(t)dt]/h（h趋于0，积分限前者为a到x+h，后者为a到x）=lim∫f(t)dt/h（积分限x到x+h，根据的是积分的区间可加性），根据积分中值定理，存在ξ属于(x,x+h)，使得∫f(t)dt/h=f(ξ)h，又因为h趋于0时ξ是趋于x的，故极限=limf(ξ)h/h=f(x)，至此证明了g'(x)=f(x)。对于最一般形式的变限积分，其积分的上下限都可以是函数，分别用u(x)和v(x)表示，即g(x)=∫f(t)dt（积分限v(x)到u(x)），用类似的方法可以证明，g'(x)=u'(x)f[u(x)]-v'(x)f[v(x)]，这是最一般的变限积分求导公式，任何变限积分求导问题都可用此式解决。
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出门在外也不愁变积分上限函数与下限的关系是什么?变积分上限函数求导时与积分下限有关吗?计算时呢?
潐幮熕制櫬
下面的例子或许会对你的理解有所帮助：设F(x)=∫f(t)dt ...(1)1.当方程(1)等号右边的积分下限是常数a上限是常数b时,得：(a,b)∫f(t)dt=F(b)-F(a)如对上式微分,因F(b)和F(a)都是常数,则得：[(a,b)∫f(t)dt]&#697;=[F(b)-F(a)]&#697;=02.当方程(1)等号右边的积分下限是常数a上限是变数x时,得：(a,x)∫f(t)dt=F(x)-F(a)从上式可知,积分的结果与下限有关.可是因F(x)是x的函数,F(a)是常数,如对上式微分,则得：[(a,x)∫f(t)dt]&#697;=F&#697;(x)-F&#697;(a)=f(x)-0=f(x)因常数的导数是0,上面的导数就与下限无关了.3.当方程(1)等号右边的积分下限是变数x上限也是变数,如x&sup2;时,得：(x,x&sup2;)∫f(t)dt=F(x&sup2;)-F(x)如对上式微分,因F(x&sup2;)和F(x)都是x的函数,则得：[(x,x&sup2;)∫f(t)dt]&#697;=F&#697;(x&sup2;)-F&#697;(x)=2xf(x&sup2;)-f(x)上面的导数与下限有关.因此,对变积分限的函数求导时,如积分下限也是一个变量,则其导数与下限有关.但若积分下限是一个常数,则其导数与下限无关.
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如果F(x)=\int_a^x f(t)dt,则F'(x)=f(x)
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