（2011o威海）如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1，AB=CD=5．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK．
（1）若∠1=70°，求∠MKN的度数；
（2）△MNK的面积能否小于？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由；
（3）如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你用备用图探究可能出现的情况，求最大值．
（1）根据矩形的性质和折叠的性质求出∠KNM，∠KMN的度数，根据三角形内角和即可求解；
（2）过M点作ME⊥DN，垂足为E，通过证明NK≥1，由三角形面积公式可得△MNK的面积不可能小于；
（3）分情况一：将矩形纸片对折，使点B与D重合，此时点K也与D重合；情况二：将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕即为AC两种情况讨论求解．
解：（1）∵ABCD是矩形，
∴AM∥DN．
∴∠KNM=∠1．
∵∠1=70°，
∴∠KNM=∠KMN=70°，
∴∠MKN=40°．
（2）不能．
过M点作ME⊥DN，垂足为E，则ME=AD=1．
∵∠KNM=∠KMN，
又MK≥ME，
∴△MNK的面积=NKoME≥．
∴△MNK的面积不可能小于．
（3）分两种情况：
情况一：将矩形纸片对折，使点B与D重合，此时点K也与D重合．
MK=MB=x，则AM=5-x．
由勾股定理得12+（5-x）2=x2，
解得x=2.6．
∴MD=ND=2.6．
S△MNK=S△MND==1.3．
情况二：将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕即为AC．
MK=AK=CK=x，则DK=5-x．
同理可得MK=NK=2.6．
∴S△MNK==1.3．
△MNK的面积最大值为1.3．如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：
①四边形CFHE是菱形；
②EC平分&DCH；
③线段BF的取值范围为3&BF&4；
④当点H与点A重合时，EF=2$\sqrt{5}$．
以上结论中，你认为正确的有（　　）个．
已用时：00:00:0试题分析：27．【答案】（1）由折叠可知EF⊥AC，AO=CO
∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO
∴△AOE≌△COF
∴四边形AFCE是菱形．
（2）由（1）得AF=AE=10
设AB=a，BF=b，得
a2+b2=100 ①，ab=48 ②
①+2×②得& (a+b)2=196，得a+b=14（另一负值舍去）
∴△ABF的周长为24cm
（3）存在，过点E作AD的垂线交AC于点P，则点P符合题意．
证明：∵∠AEP=∠AOE=90°，∠EAP=∠OAE
∴△AOE∽△AEP
∴，得AE2=AO?AP即2AE2=2AO?AP
∴2AE2=AC?AP
【思路分析】（1）对角线已经互相垂直，再证互相平分，即证OE=OF，通过证△AOE≌△COF即可；（2）将条件集中到Rt△ABF中，就是已知斜边和面积求周长，可将直角边设为未知数列出方程，本题只求周长，所以不必解方程，只要求出两直角边的和就行了；（3）分析时，首先要处理2AE2=AC?AP中的2倍，注意到AC=2AO，代入就化为AE2=AO?AP，即，又∠EAP=∠OAE，得△AOE∽△AEP，反过来只要△AOE∽△AEP，就能得2AE2=AC?AP，它们已有一对角相等，只要找的P点能得另一对角相等就能得相似，∠AOE=90°，这就需∠AEP=90°，就得到找P点的方法，过点E作AD的垂线与AC的交点就是所要找的P点．
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(2011兰州)13．现给出下列四个命题：①无公共点的两圆必外离；②位似三角形是相似三角形；③菱形的面积等于两条对角线的积；④对角线相等的四边形是矩形．
其中真命题的个数是
A．1&&&&&&&&&&& B．2&&&&&&&&&&& C．3&&&&&&&&&&& D．4
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站长：朱建新（已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD&AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE。（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC·AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由。
(1)见解析；（2）24cm；（3）存在，过E作EP⊥AD交AC于P，则P就是所求的点，证明见解析.
试题分析：（1）由四边形ABCD是矩形与折叠的性质，易证得△AOE≌△COF，即可得AE=CF，则可证得四边形AFCE是平行四边形，又由AC⊥EF，则可证得四边形AFCE是菱形；由已知可得：S△ABF=ABoBF=24cm2，则可得AB2+BF2=（AB+BF）2-2ABoBF=（AB+BF）2-2×48=AF2=100（cm2），则可求得AB+BF的值，继而求得△ABF的周长．过E作EP⊥AD交AC于P，则P就是所求的点，首先证明四边形AFCE是菱形，然后根据题干条件证明△AOE∽△AEP，列出关系式．试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，由折叠的性质可得：OA=OC，AC⊥EF，在△AOE和△COF中，∵ ，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE=CF，∴四边形AFCE是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形；（2）∵四边形AFCE是菱形，∴AF=AE=10cm，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∴S△ABF=ABoBF=24cm2，∴ABoBF=48（cm2），∴AB2+BF2=（AB+BF）2-2ABoBF=（AB+BF）2-2×48=AF2=100（cm2），∴AB+BF=14（cm）∴△ABF的周长为：AB+BF+AF=14+10=24（cm）．（3）证明：过E作EP⊥AD交AC于P，则P就是所求的点．当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC，∴OA=OC，∠AOE=∠COF=90°，∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF∴四边形AFCE是菱形．∴∠AOE=90°，又∠EAO=∠EAP，由作法得∠AEP=90°，∴△AOE∽△AEP，∴，则AE2=A0oAP，∵四边形AFCE是菱形，∴AO＝AC，∴AE2=ACoAP，∴2AE2=ACoAP．
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旗下成员公司有一张长方形纸片ABCD，其中AB=3，BC=4，将它折叠后，可使点C与点A重合（图1），也可使点C与AB上的点E重合（图2），也可使点C与AD上的点E重合（图3），折痕为线段FG．
（1）如图1，当点C与点A重合时，则折痕FG的长为．
（2）如图2，点E在AB上，且AE=1，当点C与点E重合时，则折痕FG的长为．
（3）如图3，当C与AD上的点E重合，折痕FG与边BC、CD分别相交于点F、G，AE=x，BF=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域．
（4）如果折叠后，使点C与这张纸的边上点E重合，且DG=1，那么点E可以在边AB、AD、BC&上（写出所有可能的情况）．
解：（1）连接CG．
∵点C与点A关于FG对称，
∴FG垂直平分AC，
∴∠AHG=90°，AH=AC=2.5．
在△AHG与△CBA中，∵∠AHG=∠CBA，∠GAH=∠ACB，
∴△AHG∽△CBA，
∴HG：AB=AH：BC，
∴HG=3×2.5÷4=．
在△AHG与△CHF中，
∠GAH=∠HCF，AH=CH，∠AHG=∠CHF，
∴△AHG≌△CHF，
∴FG=2HG=；（3分）
（2）连接CG，EG，则FG垂直平分CE．
在△CHF与△CBE中，∠CHF=∠B=90°，∠HCF=BCE，
∴△CHF∽△CBE，
∴HF：BE=CH：BC，
∴CH=2HF．
设HF=x，则CE=2CH=4x．
在△BCE中，∠B=90°，
∴CE2=BE2+BC2，
∴16x2=4+16，
设DG=y，则AG=4-y．
∴12+（4-y）2=32+y2，
∴GC2=DG2+CD2=1+9=10，
∴GH2=GC2-CH2=10-5=5，
∴GF=GH+HF=+=；（3分）
（3）过点F作FH⊥AD，H为垂足，连接FE．则FE=FC=4-y，HE=x-y，FH=3，（3分）
由勾股定理有（x-y）2+32=（4-y）2，
（1＜x＜）；（1分）
（4）AB、AD、BC．（3分）
故答案为；；AB、AD、BC．
（1）连接CG，可证△AHG∽△CBA，根据相似三角形的对应边成比例可求出HG的长度；易证△AHG≌△CHF，则FG=2HG；
（2）连接CG，EG，则FG垂直平分CE．易证△CHF∽△CBE，得出CH=2HF．在直角△BCE中，运用勾股定理，可出CE的长度，求出HF的值；设DG=y，由GE=GC，运用勾股定理求出y的值，得到CG的长度，从而在直角△CHG中，由勾股定理计算出GH的值，则GF=GH+HF；
（3）过点F作FH⊥AD，H为垂足，连接FE．在直角△HFE中，运用勾股定理可求得y关于x的函数解析式，并根据条件得到函数的定义域；
（4）（2）中点C与点E重合，且DG=1，即点E可以在边AB上，同样，可知点E可以在边AD、BC上．}