如图ABCD是一张现有一长方形纸片abcd且AD等于2AB

(2011o威海)如图,ABCD是一张矩形纸片,AD=BC=1,AB=CD=5.在矩形ABCD的边AB上取一点M,在CD上取一点N,将纸片沿MN折叠,使MB与DN交于点K,得到△MNK.
(1)若∠1=70°,求∠MKN的度数;
(2)△MNK的面积能否小于?若能,求出此时∠1的度数;若不能,试说明理由;
(3)如何折叠能够使△MNK的面积最大?请你用备用图探究可能出现的情况,求最大值.
(1)根据矩形的性质和折叠的性质求出∠KNM,∠KMN的度数,根据三角形内角和即可求解;
(2)过M点作ME⊥DN,垂足为E,通过证明NK≥1,由三角形面积公式可得△MNK的面积不可能小于;
(3)分情况一:将矩形纸片对折,使点B与D重合,此时点K也与D重合;情况二:将矩形纸片沿对角线AC对折,此时折痕即为AC两种情况讨论求解.
解:(1)∵ABCD是矩形,
∴AM∥DN.
∴∠KNM=∠1.
∵∠1=70°,
∴∠KNM=∠KMN=70°,
∴∠MKN=40°.
(2)不能.
过M点作ME⊥DN,垂足为E,则ME=AD=1.
∵∠KNM=∠KMN,
又MK≥ME,
∴△MNK的面积=NKoME≥.
∴△MNK的面积不可能小于.
(3)分两种情况:
情况一:将矩形纸片对折,使点B与D重合,此时点K也与D重合.
MK=MB=x,则AM=5-x.
由勾股定理得12+(5-x)2=x2,
解得x=2.6.
∴MD=ND=2.6.
S△MNK=S△MND==1.3.
情况二:将矩形纸片沿对角线AC对折,此时折痕即为AC.
MK=AK=CK=x,则DK=5-x.
同理可得MK=NK=2.6.
∴S△MNK==1.3.
△MNK的面积最大值为1.3.如图,在一张矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=8,点E,F分别在AD,BC上,将纸片ABCD沿直线EF折叠,点C落在AD上的一点H处,点D落在点G处,有以下四个结论:
①四边形CFHE是菱形;
②EC平分&DCH;
③线段BF的取值范围为3&BF&4;
④当点H与点A重合时,EF=2$\sqrt{5}$.
以上结论中,你认为正确的有(  )个.
已用时:00:00:0试题分析:27.【答案】(1)由折叠可知EF⊥AC,AO=CO
∴∠EAO=∠FCO,∠AEO=∠CFO
∴△AOE≌△COF
∴四边形AFCE是菱形.
(2)由(1)得AF=AE=10
设AB=a,BF=b,得
a2+b2=100 ①,ab=48 ②
①+2×②得& (a+b)2=196,得a+b=14(另一负值舍去)
∴△ABF的周长为24cm
(3)存在,过点E作AD的垂线交AC于点P,则点P符合题意.
证明:∵∠AEP=∠AOE=90°,∠EAP=∠OAE
∴△AOE∽△AEP
∴,得AE2=AO?AP即2AE2=2AO?AP
∴2AE2=AC?AP
【思路分析】(1)对角线已经互相垂直,再证互相平分,即证OE=OF,通过证△AOE≌△COF即可;(2)将条件集中到Rt△ABF中,就是已知斜边和面积求周长,可将直角边设为未知数列出方程,本题只求周长,所以不必解方程,只要求出两直角边的和就行了;(3)分析时,首先要处理2AE2=AC?AP中的2倍,注意到AC=2AO,代入就化为AE2=AO?AP,即,又∠EAP=∠OAE,得△AOE∽△AEP,反过来只要△AOE∽△AEP,就能得2AE2=AC?AP,它们已有一对角相等,只要找的P点能得另一对角相等就能得相似,∠AOE=90°,这就需∠AEP=90°,就得到找P点的方法,过点E作AD的垂线与AC的交点就是所要找的P点.
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(2011兰州)13.现给出下列四个命题:①无公共点的两圆必外离;②位似三角形是相似三角形;③菱形的面积等于两条对角线的积;④对角线相等的四边形是矩形.
其中真命题的个数是
A.1&&&&&&&&&&& B.2&&&&&&&&&&& C.3&&&&&&&&&&& D.4
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站长:朱建新(已知:如图所示的一张矩形纸片ABCD(AD&AB),将纸片折叠一次,使点A与点C重合,再展开,折痕EF交AD边于点E,交BC边于点F,分别连结AF和CE。(1)求证:四边形AFCE是菱形;(2)若AE=10cm,△ABF的面积为24cm2,求△ABF的周长;(3)在线段AC上是否存在一点P,使得2AE2=AC·AP?若存在,请说明点P的位置,并予以证明;若不存在,请说明理由。
(1)见解析;(2)24cm;(3)存在,过E作EP⊥AD交AC于P,则P就是所求的点,证明见解析.
试题分析:(1)由四边形ABCD是矩形与折叠的性质,易证得△AOE≌△COF,即可得AE=CF,则可证得四边形AFCE是平行四边形,又由AC⊥EF,则可证得四边形AFCE是菱形;由已知可得:S△ABF=ABoBF=24cm2,则可得AB2+BF2=(AB+BF)2-2ABoBF=(AB+BF)2-2×48=AF2=100(cm2),则可求得AB+BF的值,继而求得△ABF的周长.过E作EP⊥AD交AC于P,则P就是所求的点,首先证明四边形AFCE是菱形,然后根据题干条件证明△AOE∽△AEP,列出关系式.试题解析:(1)∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO,由折叠的性质可得:OA=OC,AC⊥EF,在△AOE和△COF中,∵ ,∴△AOE≌△COF(ASA),∴AE=CF,∴四边形AFCE是平行四边形,∵AC⊥EF,∴四边形AFCE是菱形;(2)∵四边形AFCE是菱形,∴AF=AE=10cm,∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=90°,∴S△ABF=ABoBF=24cm2,∴ABoBF=48(cm2),∴AB2+BF2=(AB+BF)2-2ABoBF=(AB+BF)2-2×48=AF2=100(cm2),∴AB+BF=14(cm)∴△ABF的周长为:AB+BF+AF=14+10=24(cm).(3)证明:过E作EP⊥AD交AC于P,则P就是所求的点.当顶点A与C重合时,折痕EF垂直平分AC,∴OA=OC,∠AOE=∠COF=90°,∵在平行四边形ABCD中,AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO,∴△AOE≌△COF,∴OE=OF∴四边形AFCE是菱形.∴∠AOE=90°,又∠EAO=∠EAP,由作法得∠AEP=90°,∴△AOE∽△AEP,∴,则AE2=A0oAP,∵四边形AFCE是菱形,∴AO=AC,∴AE2=ACoAP,∴2AE2=ACoAP.
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旗下成员公司有一张长方形纸片ABCD,其中AB=3,BC=4,将它折叠后,可使点C与点A重合(图1),也可使点C与AB上的点E重合(图2),也可使点C与AD上的点E重合(图3),折痕为线段FG.
(1)如图1,当点C与点A重合时,则折痕FG的长为.
(2)如图2,点E在AB上,且AE=1,当点C与点E重合时,则折痕FG的长为.
(3)如图3,当C与AD上的点E重合,折痕FG与边BC、CD分别相交于点F、G,AE=x,BF=y,求y关于x的函数解析式,并写出函数定义域.
(4)如果折叠后,使点C与这张纸的边上点E重合,且DG=1,那么点E可以在边AB、AD、BC&上(写出所有可能的情况).
解:(1)连接CG.
∵点C与点A关于FG对称,
∴FG垂直平分AC,
∴∠AHG=90°,AH=AC=2.5.
在△AHG与△CBA中,∵∠AHG=∠CBA,∠GAH=∠ACB,
∴△AHG∽△CBA,
∴HG:AB=AH:BC,
∴HG=3×2.5÷4=.
在△AHG与△CHF中,
∠GAH=∠HCF,AH=CH,∠AHG=∠CHF,
∴△AHG≌△CHF,
∴FG=2HG=;(3分)
(2)连接CG,EG,则FG垂直平分CE.
在△CHF与△CBE中,∠CHF=∠B=90°,∠HCF=BCE,
∴△CHF∽△CBE,
∴HF:BE=CH:BC,
∴CH=2HF.
设HF=x,则CE=2CH=4x.
在△BCE中,∠B=90°,
∴CE2=BE2+BC2,
∴16x2=4+16,
设DG=y,则AG=4-y.
∴12+(4-y)2=32+y2,
∴GC2=DG2+CD2=1+9=10,
∴GH2=GC2-CH2=10-5=5,
∴GF=GH+HF=+=;(3分)
(3)过点F作FH⊥AD,H为垂足,连接FE.则FE=FC=4-y,HE=x-y,FH=3,(3分)
由勾股定理有(x-y)2+32=(4-y)2,
(1<x<);(1分)
(4)AB、AD、BC.(3分)
故答案为;;AB、AD、BC.
(1)连接CG,可证△AHG∽△CBA,根据相似三角形的对应边成比例可求出HG的长度;易证△AHG≌△CHF,则FG=2HG;
(2)连接CG,EG,则FG垂直平分CE.易证△CHF∽△CBE,得出CH=2HF.在直角△BCE中,运用勾股定理,可出CE的长度,求出HF的值;设DG=y,由GE=GC,运用勾股定理求出y的值,得到CG的长度,从而在直角△CHG中,由勾股定理计算出GH的值,则GF=GH+HF;
(3)过点F作FH⊥AD,H为垂足,连接FE.在直角△HFE中,运用勾股定理可求得y关于x的函数解析式,并根据条件得到函数的定义域;
(4)(2)中点C与点E重合,且DG=1,即点E可以在边AB上,同样,可知点E可以在边AD、BC上.}

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