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在平面四边形PABC中,PA=AC=2,∠P=45°,∠B=90°,∠PCB=105°,将四边形PABC沿AC折起,使面PAC⊥面ABC,D,E分别是棱PB,PC的中点.（1）求证：BC⊥面PAB；（2）求面ADE与面ABC所成角的余弦值.（1）证明：∵在平面四边形PABC中,PA=AC=2,∠P=45°,∴PA⊥AC∵∠B=90°,∠PCB=105°,∴∠ACB=60°,∠BAC=30°,∵PAC⊥面ABC,∴PA⊥面ABC∵面PAC∩面PAB=PA,∴面PAB⊥面ABC∵∠ABC=90°,∴BC⊥面PAB；（2）解析：过A作AG⊥面PAC；建立以A为原点,以AC方向为X轴,以AG方向盘为Y轴,以AP方向盘为Z轴正方向的空间直角三角形坐标系A-xyz则点坐标：A(0,0,0),B(3/2,√3/2,0),C(2,0,0),P(0,0,2),E(1,0,1),D(3/4,√3/4,1)向量AD=(3/4,√3/4,1),向量AE=(1,0,1),设向量m=(x,y,z)是面ADE的一个法向量向量AE*m=x+z=0向量AD*m=3/4x+√3/4y+z=0令y=√3,则x=3,z=-3∴向量m=(3,√3,-3)==>|向量m|=√21取平面ABC的法向量n=(0,0,1)向量m*向量n=-3则cos=m*n/[|m||n|]=-3/√21=-√21/7∴ADE与面ABC所成角的余弦值为√21/7
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