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分析新课标下的合情推理题
2008年第10期目录
&&&&&&本期共收录文章20篇
　　摘要：数学课堂教学中，要加强培养并提高学生的合情推理能力，让学生经历数学活动过程，并从中体会及感悟积极的态度与科学的思想方法所蕴含的意义与作用，促进学生创新精神的养成及学习能力的提高. 此文仅从年实施新课标的地区的中考试题中选出部分有关合情推理的题进行分析. 中国论文网 /9/view-1019299.htm　　关键词：合情推理；数形结合；规律；解决 　　 　　对合情推理能力的考查，就近两年的中考试题来看，有的是分析问题的实际情况，有的是借助归纳和类比发现与获得新知识. 考查学生合情推理能力的这类题目，同通常的“知识型”题目所反映出的考法有三点不同. 第一，考查目标和方向的立意不同，其立意或着眼于“猜想”能力的重要价值，或着眼于“数学活动过程”中的知识内涵，特别是思想方法内涵；第二，其载体的选取不同，突出地要求载体既要对学生具有现实性，又要对学生具有新颖性和适度的挑战性；第三，其呈现方式不同，既要考虑到“猜想”得以形成的足够条件，“思维活动”得以展开的必要导示，又要给学生留有尽可能多的思考时间和活动空间，以更多地发挥学生的自主性和独创性. 显然，这类题目本身就含有很多的“创造成分”. 　　限于篇幅，所选试题的解答也不再给出，请读者谅解. 　　 　　1. 借助归纳与概括来考查学生的合情推理能力 　　归纳就是从特殊到一般的过程，是由小见大，即从许多小的特殊的现实中总结出大的一般的原理. 能否完成归纳，关键在于通过思考后，能否发现载体表面、题设条件或变化过程中所隐含在现象背后的规律. 　　例1 （2006广西贵港）观察下列各等式：=－，=－，=－，根据你发现的规律，计算+++…+=____________. （n为正整数） 　　点评上题是对“数”和“式”的归纳，这种考查方式的重点是要求学生能用“慧眼”洞察出按顺序给出的数或式与自然数n的内在联系. 　　例2（1）（2007河南）将图1-1所示的正六边形进行分割后得到图1-2，将图1-2中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割后得到图1-3，将图1-3中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割……则第n个图形中,共有________个正六边形. 　　[图1-1 图1-2 图1-3][…] 　　（2）（2006贵州贵阳）两条平行直线上各有n个点，用这n对点按如下规则连接线段：平行线之间的点在连线段时，可以有共同的端点，但不能有其他交点；符合上述要求的线段必须全部画出． 　　图2-1展示了当n=1时的情况，此时图中三角形的个数为0； 　　图2-2展示了当n=2时的一种情况，此时图中三角形的个数为2． 　　①当n=3时，请在图2-3中画出使三角形个数最少的图形，此时图中三角形的个数为____________； 　　②试猜想，当有n对点时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？ 　　③当n=2 006时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？ 　　 　　 图2-1 图2-2 图2-3 　　点评上述两小题是通过“形”来考查学生的归纳能力. 第（1）小题考查多边形的数目变化情况，第（2）小题虽然题目叙述较长，所要寻找的图形需要学生自己作出，但最后呈现的规律却比较明显. 　　我们可以发现，这类考题都是分别以一系列的数或等式罗列，点的摆放或图形的特定割、补（操作）为知识载体，题目的知识只是一种呈现形式，问题的本质却是考查学生揭示事物内在本质规律（即事物共性）的能力. 这样的题目实际上是考查“数学思考”. 　　 　　2. 借助类比与猜想来考查学生的合情推理能力 　　类比就是从特殊到特殊的过程. 考查类比思考能力的题目，关键是要将条件、操作过程或结果进行恰当的类比，寻找到“类比点”. 　　例3（2006新疆）试用举反例的方法说明下列命题是假命题． 　　例如：如果ab<0，那么a+b<0. 　　反例：设a=4，b=－3，ab=4×（－3）＝－12＜0，而a＋b＝4＋（－3）＝1＞0. 　　所以，这个命题是假命题． 　　①如果a+b>0，那么ab>0. 　　反例： 　　②如果a是无理数，b是无理数，那么a+b是无理数． 　　反例： 　　③考生注意：本小题为超量给分题. 　　两个三角形中，两边及其中一边的对角对应相等，则这两个三角形全等． 　　反例：（画出图形，并加以说明） 　　点评此题是一道典型且明显的考查类比能力的题. 题目要求考生通过类比法，写出不同问题的反例，各个小题依次加深，有一定的跨度，适合于考查不同水平的学生. 　　例4（2006北京）请阅读下列材料. 　　问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图3-1，请把它们分割后拼接成一个新的正方形． 要求画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形． 　　小东同学的做法是：设新正方形的边长为x（x＞0）． 依题意，割补前后图形的面积相等，有x2=5，解得x=． 由此可知新正方形的边长等于两个正方形组成的矩形对角线的长． 于是，画出如图3-2所示的分割线，拼出如图3-3所示的新正方形． 　　[图3-1图3-2][图3-3] 　　请你参考小东同学的做法，解决如下问题： 　　现有10个边长为1的正方形，排列形式如图4-1，请把它们分割后拼接成一个新的正方形． 要求在图4-1中画出分割线，并在图4-2的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形． 　　说明：直接画出图形，不要求写分析过程． 　　[图4-1][图4-2] 　　点评此题主要考查方法上的类比，它显示出类比是形成猜想，获得新认识的一条重要途径. 但需要区分的是，类比并不是完完全全的照搬. 　　 　　3. 将合情推理与演绎推理有机融为一体来综合考查学生的推理能力 　　学生自己的学习和证明过程，也正是在想想、猜猜、证证的过程中完成的，而更多的时候是先猜后证，运用合情推理去猜想，再运用逻辑推理去证明. 　　例5 （2006江西） 　　问题背景某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题. 　　（1）如图5-1，在正三角形ABC中，M，N分别是AC，AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=60°，则BM=CN； 　　[M][O][C][B][N][A][M][O][C][B][A][N][D] 　　图5-1 图5-2 　　（2）如图5-2，在正方形ABCD中，M，N分别是CD，AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=90°，则BM=CN．
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　　他们运用类比的思想提出了如下命题： 　　（3）如图5-3，在正五边形ABCDE中，M，N分别是CD，DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=108°，则BM=CN． 　　任务要求 　　（1）请从上述三个命题中选择一个进行证明； 　　（2）请你继续完成下面的探索： 　　①如图5-4，在正n（n≥3）边形ABCDEF…中，M，N分别是CD，DE上的点，BM与CN相交于点O，则当∠BON等于多少度时，结论BM=CN成立？（不要求证明） 　　[A][D][M][D][C][B][O][N][E][A][M][C][B][O][N][E][F] 　　图5-3 图5-4 　　②如图5-5，在正五边形ABCDE中，M，N分别是DE，AE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=108°时，请问结论BM=CN是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 　　[M][D][O][C][B][A][N][E] 　　图5-5 　　点评此题既是数学思想的整合，又是正多边形的“旋转”不变性知识的整合. 这种考查方式有助于考查学生从统一性来认识和运用数学思想及数学知识. 本题立意较高，载体围绕核心内容，能较好地考查出学生的综合能力. 　　例6（2007黑龙江牡丹江）已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F． 　　当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图6-1），易证AE+CF=EF． 　　当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF，即在图6-2和图6-3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 　　[D][N][F][C][B][M][E][A][D][N][F][C][B][M][E][A][图6-1][图6-2] 　　[M][E][D][N][C][F][B][A] 　　图6-3 　　点评有的试题需要先用类比，而后归纳，最后概括或推理证明. 如果学生能从前面的问题或结论中悟出规律，那么，就足以显示该生对归纳与类比有较好的掌握与运用. 这样的考题，能力立意明显，载体平易，呈现过程布局合理. 　　4. 根据问题的实际情况或现实可能性考查学生的合情推理能力 　　有很多的问题不能够也不必要用严密的逻辑推理来加以证明，因为它是实际情况中的“必然事件”或“不可能事件”，凭着那种潜在的感觉，就可以获得问题的结论. 　　例7（2006新疆）某公园计划砌一个形状如图7-1所示的喷水池，后来有人建议改为图7-2的形状，且外圆的直径不变，喷水池边沿的宽度、高度不变，你认为砌喷水池的边沿（） 　　A． 图7-1需要的材料多 　　B． 图7-2需要的材料多 　　C． 图7-1、图7-2需要的材料一样多 　　D． 无法确定 　　[图7-1][图7-2] 　　点评本题的设计是希望学生能通过观察，根据图形的“大小”，结合合情推理建立问题所涉及要素的联系. 图形是一组无字的数据，用合情推理的方法才能读懂图形，最终得出结论. 　　例8 （2007浙江绍兴）定义：打是拇指和食指在平面上伸直时，两者端点之间的距离. 那么以下估计正确的是（） 　　A. 课本的宽度约为4打 　　B. 课桌的高度约为4打 　　C. 黑板的长度约为4打 　　D. 字典的厚度约为4打 　　点评实践中有时人们会遇到“谁更合情理”的问题，要完成这个问题的判断就必须依赖于蕴含在其背后的“合乎数理”. 因此，这样的问题在一定程度上也具有考查学生数学素质发展的价值. 本题的问题原型是利用打作为度量单位来度量课本、课桌、黑板、字典的有关尺寸，在精确度要求不高的情况下，用来比较或估计它们的长度、高度或宽度等是可行的，学生要得出正确的结果就必须有一定的辨析能力. 　　科学合理地处理日常生活中的信息以及根据所接受的信息作出准确的判断是当代生活的重要特征. 而这种试题的选材广泛，既能体现“新课改”的基本理念，又易于与考生所在地区的现实结合，因而备受课改地区命题者的青睐. 　　5. 借助图形的运动变化判断函数关系来考查学生的合情推理能力 　　随着课程改革的深入，在“新课标”理念下考查学生合情推理能力的试题，已经呈现出灵活多样的内容和形式. 特别是一类运动变化问题，当不需要求函数的精确表示形式（解析表达式），而只用图象形式表示函数时，要利用合情推理的思考方法，借助图象判断对应的函数关系，把握函数表达变化的大致方式. 　　例9（1）（2006贵州贵阳）小明根据邻居家的故事写了一首小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还．” 如果用纵轴y表示父亲与儿子行进中离家的距离，用横轴x表示父亲离家的时间，那么下面的图象与上述诗的含义大致吻合的是（） 　　点评两道小题的共同特点都是要求考生借助合情推理的方法，探索量与量之间在某种变化过程中的“情理之中”的“大致”图象. 每个小题的问题情境，为学生利用合情推理获得正确的结论提供了现实支撑. 　　综观对一部分考查合情推理能力的试题分析，可以看出，合情推理的考题不仅存在于不同题型中，也存在于每块知识内容之中. 由于它包含了如观察、归纳、抽象、概括、类比、猜想等基本的思维活动，所以，此类试题容易检查出学生对基本的数学思想方法的理解程度，也有助于引导和促进教师教学方式和学生学习方式的改进及完善.
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＞＞＞（文）下列说法中正确的是（）A．合情推理就是类比推理B．归纳推理是从..
（文）下列说法中正确的是（　　）A．合情推理就是类比推理B．归纳推理是从一般到特殊的推理C．合情推理就是归纳推理D．类比推理是从特殊到特殊的推理
题型：单选题难度：中档来源：不详
类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理，合情推理不是类比推理，故A错；归纳推理是由部分到整体的推理，故B、C错；类比推理是由特殊到特殊的推理．故D对．故选D
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据魔方格专家权威分析，试题“（文）下列说法中正确的是（）A．合情推理就是类比推理B．归纳推理是从..”主要考查你对&&合情推理，演绎推理，综合法与分析法&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
合情推理演绎推理综合法与分析法
归纳推理的定义：
根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理（简称归纳）。归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理；
类比推理的定义：
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，叫做类比推理（简称类比）。类比推理是由特殊到特殊的推理。类比推理的一般步骤：
（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）；（3）一般地，事物之间的各个性质之间并不是孤立存在的，而是相互制约的。如果两个事物在某些性质上相同或类似，那么它们在另一些性质上也可能相同或类似，类比的结论可能是真的；（4）在一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题就越可靠。
归纳推理的一般步骤：
①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．
归纳推理和类比推理的特点：
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，统称为合情推理。
归纳推理的应用方法：
归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，要注意探求的对象的本质属性与因果关系．与数列有关的问题，要联想等差、等比数列，把握住数的变化规律．
类比推理的应用方法：
合情推理的正确与否来源于平时知识的积累，如平面到空间、长度到面积、面积到体积、平面中的点与空间中的直线、平面中的直线与空间巾的平面．
&演绎推理的定义：
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下得结论，我们把这种推理称为演绎推理。演绎推理是由一般到特殊的推理。
演绎推理的一般模式：
“三段论”，（1）大前提——已知的一般原理；（2）小前提——所研究的特殊情况；（3）结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断。 合情推理与演绎推理的区别与联系：
“三段论”可以表示为：
大前提：M是P．小前提：S是M，结论：S是P．
利用集合知识说明“三段论”：
若集合M的所有元素都有性质P，S是M的一个子集，那么．S中的所有元素也都具有性质P．
演绎推理的应用方法：
“三段论”是演绎推理的一般模式，其中第一段称为“大前提”，指一个一般原理．第二段称为“小前提”，指一种特殊情况．第三段称为“结论”，指所得结论．当大前提很显然时，常省略不写。综合法：
一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。图解：&
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫做分析法。图解： 分析法的思维特点：执果索因；分析法的书写格式：要证明命题B为真，只需要证明命题为真，从而有……，这只需要证明命题为真，从而又有…… 这只需要证明命题A为真，而已知A为真，故命题B必为真。 分析法与综合法综合：
综合法的思维方法：
综合法的思维方向是”，即由已知条件出发，逐步推出其必要条件（由因导果），最后推导出所要证明的结论成立，故综合法又叫顺推证法或由因导果法．综合法的依据：已知条件以及逻辑推理的基本理论，在推理时要注意：作为依据和出发点的命题一定要正确．
分析法的思维方向：
分析法的思维方向是”，即由待证的结论出发，逐步逆求它要成立的充分条件（执果索因），最后得到的充分条件是已知（或已证）的命题，故分析法又叫逆推证法或执果索因法．
用分析法证明的模式：
用分析法证：为了证明命题B为真，这只需证明命题B，为真，从而有……这只需证明命题B：为真，从而有……这只需证明命题A为真．而已知A为真，故B必真．可见分析法是”，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法。特别提醒：当命题不知从何人手时，有时可以运用分析法来解决，特别是对于条件简单而结论复杂的题目，往往更是行之有效．用分析法证明时，往往在最后加上一句步可逆，这无形中就出现了两个问题：①分析法证明过程的每一步不一定”，也没有必要要求”，因为这时仅需寻找充分条件，而不是充要条件；②如果非要”，则限制了分析法解决问题的范围，使得分析法只适用于证明等价命题了，但是，只要我们搞清了用分析法证明问题的逻辑结构，明确四种命题之间的关系，那么用分析法证明不等式还是比较方便的。
发现相似题
与“（文）下列说法中正确的是（）A．合情推理就是类比推理B．归纳推理是从..”考查相似的试题有：
3953727650358748498551638875937978692.1.1合情推理 2.类比推理_文档库
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2.1.1合情推理 2.类比推理
第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理
2.类比推理
1、通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理这种基本的分析问题法，认识类比推理的基本方法与步骤，并把它们用于对问题的发现与解决中去。
2、类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。 学习过程：
一、温故：
1、什么叫推理?推理由哪几部分组成?
2、合情推理的主要形式有
3、归纳推理是从
事实中概括出
结论的一种推理模式
4、归纳推理的特点:
a,b均为实数）， ?请推测a=
二、知新：
春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.
他的思路是这样的：茅草是齿形的，茅草能割破手，需要一种能割断木头的，它也可以是齿形的。这个推理过程是归纳推理吗？
例如：试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质：
猜想不等式的性质：
a=b?a+c=b+c;
a＞b?a+c＞b+c
(2) a=b? ac=(2) a＞b? ac＞
(3) a=b?a2=b2;等等
(3) a＞b?a2＞b2;等等。
问：这样猜想出的结论是否一定正确？
，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出
的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
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2.1合情推理与演绎推理 2.1.1合情推理(2) ——类比推理理解类比推理概念,能利用类比推理的 方法进行简单的推理,体会并认识合情 推理在数学发现中的作用. 本...2.1.1合情推理 (类比推理) 合情推理 类比推理)中国人民大学附属中学 (一)类比推理 在学习空间向量时, 在学习空间向量时,我们是这样推测空 间向量的基本定理的...2.1.1合情推理-类比推理_高三数学_数学_高中教育_教育专区。合情推理-类比推理类比推理是由两类对象具有某些类似特征 和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类 ...2.1.1合情推理(2)-类比推理-试题 隐藏&& 苏教高中数学选修2-2 数学家波利亚曾指出“类比是一个伟大的引路人, 求解立体几何往往有赖于平面几何的类比问题.”...2.1.1 合情推理(归纳类比推理)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。第二章 推理与证明 归纳推理哥德巴赫猜想的提出过程: 3+7=10,3+17=20,13+17=30, 10=...2.1.1合情推理-类比推理_高二数学_数学_高中教育_教育专区。2.1合情推理与演绎推理 2.1.1类比推理 1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发 明了锯 2....2.1.1合情推理-类比推理1_数学_高中教育_教育专区。 一.复习: 1.什么叫推理?推理由哪几部分组成? 从一个或几个已知命题得出另一个新命题的 思维过程称为推...2.1.1合情推理-类比推理_数学_高中教育_教育专区。复习 1.什么是归纳推理? 部分个别 2.归纳推理的一般步骤: 整体一般 (1)通过观察个别情况发现某些相同性质; ...1/7 2.1.1 合情推理——类比推理 教学重点:了解合情推理的含义,能利用类比进行简单的推理. 教学难点:用类比进行推理,做出猜想. 教具准备:与教材内容相关的...2.1.1 合情推理-类比推理_高一数学_数学_高中教育_教育专区。2.1合情推理与演绎推理 2.1.1合情推理 1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发 明了锯 2...高二数学类比推理综合测试题（有答案）
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高二数学类比推理综合测试题（有答案）
作者：佚名 资料来源：网络 点击数： &&&
高二数学类比推理综合测试题（有答案）
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文章来源莲山 课件 w ww.5 YK J.COM 选修2-2& 2.1.1 第2课时 类比推理
一、1．下列说法正确的是(　　)A．由合情推理得出的结论一定是正确的B．合情推理必须有前提有结论C．合情推理不能猜想D．合情推理得出的结论无法判定正误[答案]　B[解析]　由合情推理得出的结论不一定正确，A不正确；B正确；合情推理的结论本身就是一个猜想，C不正确；合情推理结论可以通过证明来判定正误，D也不正确，故应选B.2．下面几种推理是合情推理的是(　　)①由圆的性质类比出球的有关性质②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°③教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸多边形的内角和是(n－2)&#°A．①②　　　　　　　　B．①③④C．①②④& D．②④[答案]　C[解析]　①是类比推理；②④都是归纳推理，都是合情推理．3．三角形的面积为S＝12(a＋b＋c)&#8226;r，a、b、c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理，可以得到四面体的体积为(　　)A．V＝13abcB．V＝13ShC．V＝13(S1＋S2＋S3＋S4)r，(S1、S2、S3、S4分别为四面体四个面的面积，r为四面体内切球的半径)D．V＝13(ab＋bc＋ac)h(h为四面体的高)[答案]　C[解析]　边长对应表面积，内切圆半径应对应内切球半径．故应选C.4．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是(　　)①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等A．①& B．①②C．①②③& D．③[答案]　C[解析]　正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．5．类比三角形中的性质：(1)两边之和大于第三边(2)中位线长等于底边的一半(3)三内角平分线交于一点可得四面体的对应性质：(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积(2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于第四个面面积的14(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点其中类比推理方法正确的有(　　)A．(1)& B．(1)(2)C．(1)(2)(3)& D．都不对[答案]　C[解析]　以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确．6．由代数式的法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“a&#8226;b＝b&#8226;a”；②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)&#8226;c＝a&#8226;c＋b&#8226;c”；③“(m&#8226;n)t＝m(n&#8226;t)”类比得到“(a&#8226;b)&#8226;c＝a&#8226;(b&#8226;c)”；④“t≠0，mt＝xt&#8658;m＝x”类比得到“p≠0，a&#8226;p＝x&#8226;p&#8658;a＝x”；⑤“|m&#8226;n|＝|m|&#8226;|n|”类比得到“|a&#8226;b|＝|a|&#8226;|b|”；⑥“acbc＝ab”类比得到“a&#8226;cb&#8226;c＝ab”．以上式子中，类比得到的结论正确的个数是(　　)A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4[答案]　B[解析]　由向量的有关运算法则知①②正确，③④⑤⑥都不正确，故应选B.&7．(;浙江温州)如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当FB→⊥AB→时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于(　　)A.5＋12& B.5－12C.5－1& D.5＋1[答案]　A[解析]　如图所示，设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a&0，b&0)，则F(－c,0)，B(0，b)，A(a,0)∴FB→＝(c，b)，AB→＝(－a，b)又∵FB→⊥AB→，∴FB→&#8226;AB→＝b2－ac＝0∴c2－a2－ac＝0∴e2－e－1＝0∴e＝1＋52或e＝1－52(舍去)，故应选A.8．六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体．如图甲，在平行四边形ABD中，有AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)，那么在图乙中所示的平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AC21＋BD21＋CA21＋DB21等于(　　)&A．2(AB2＋AD2＋AA21)& B．3(AB2＋AD2＋AA21)C．4(AB2＋AD2＋AA21)& D．4(AB2＋AD2)[答案]　C[解析]　AC21＋BD21＋CA21＋DB21＝(AC21＋CA21)＋(BD21＋DB21)＝2(AA21＋AC2)＋2(BB21＋BD2)＝4AA21＋2(AC2＋BD2)＝4AA21＋4AB2＋4AD2，故应选C.9．下列说法正确的是(　　)A．类比推理一定是从一般到一般的推理B．类比推理一定是从个别到个别的推理C．类比推理是从个别到个别或一般到一般的推理D．类比推理是从个别到一般的推理[答案]　C[解析]　由类比推理的定义可知：类比推理是从个别到个别或一般到一般的推理，故应选C.10．下面类比推理中恰当的是(　　)A．若“a&#8226;3＝b&#8226;3，则a＝b”类比推出“若a&#8226;0＝b&#8226;0，则a＝b”B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“(a&#8226;b)c＝ac&#8226;bc”C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“a＋bc＝ac＋bc(c≠0)”D．“(ab)n＝anbn”类比推出“(a＋b)n＝an＋bn”[答案]　C[解析]　结合实数的运算知C是正确的．二、题11．设f(x)＝12x＋2，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值为________．[答案]　32[解析]　本题是“方法类比”．因等比数列前n项和公式的推导方法是倒序相加，亦即首尾相加，那么经类比不难想到f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)＝[f(－5)＋f(6)]＋[f(－4)＋f(5)]＋…＋[f(0)＋f(1)]，而当x1＋x2＝1时，有f(x1)＋f(x2)＝& &＝12＝22，故所求答案为6×22＝32.12．(;广州高二检测)若数列{an}是等差数列，对于bn＝1n(a1＋a2＋…＋an)，则数列{bn}也是等差数列．类比上述性质，若数列{cn}是各项都为正数的等比数列，对于dn&0，则dn＝________时，数列{dn}也是等比数列．[答案]　nc1&#26;…&#8226;cn& 13．在以原点为圆心，半径为r的圆上有一点P(x0，y0)，则过此点的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2，而在椭圆x2a2＋y2b2＝1(a&b&0)中，当离心率e趋近于0时，短半轴b就趋近于长半轴a，此时椭圆就趋近于圆．类比圆的面积公式，在椭圆中，S椭＝________.类比过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程，则过椭圆x2a2＋y2b2＝1(a&b&0)上一点P(x1，y1)的椭圆的切线方程为________．[答案]　π&#8226;a&#8226;b；x1a2&#8226;x＋y1b2&#8226;y＝1[解析]　当椭圆的离心率e趋近于0时，椭圆趋近于圆，此时a，b都趋近于圆的半径r，故由圆的面积S＝πr2＝π&#8226;r&#8226;r，猜想椭圆面积S椭＝π&#8226;a&#8226;b，其严格证明可用定积分处理．而由切线方程x0&#8226;x＋y0&#8226;y＝r2变形得x0r2&#8226;x＋y0r2&#8226;y＝1，则过椭圆上一点P(x1，y1)的椭圆的切线方程为x1a2&#8226;x＋y1b2&#8226;y＝1，其严格证明可用导数求切线处理．14．在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n&19，n∈N*)成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{bn}中，若b9＝1，则有等式__________成立．[答案]　b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n＜17，n∈N*)[解析]　解法1：从分析所提供的性质入手：由a10＝0，可得ak＋a20－k＝0，因而当n&19－n时，有a1＋a2＋…＋a19－n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋a19－n，而an＋1＋an＋2＋…＋a19－n＝(19－2n)(an＋1＋a19－n)2＝0，∴等式成立．同理可得n&19－n时的情形．由此可知：等差数列{an}之所以有等式成立的性质，关键在于在等差数列中有性质：an＋1＋a19－n＝2a10＝0，类似地，在等比数列{bn}中，也有性质：bn＋1&#8226;b17－n＝b29＝1，因而得到答案：b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n&17，n∈N*)．解法2：因为在等差数列中有“和”的性质a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n＜19，n∈N*)成立，故在等比数列{bn}中，由b9＝1，可知应有“积”的性质b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n＜17，n∈N*)成立. (1)证明如下：当n＜8时，等式(1)为b1b2…bn＝b1b2…bnbn＋1…b17－n即：bn＋1&#8226;bn＋2…b17－n＝1.(2)∵b9＝1，∴bk＋1&#8226;b17－k＝b29＝1.∴bn＋1bn＋2…b17－n＝b17－2n9＝1.∴(2)式成立，即(1)式成立；当n＝8时，(1)式即：b9＝1显然成立；当8＜n＜17时，(1)式即：b1b2…b17－n&#8226;b18－n&#8226;…bn＝b1b2…b17－n即：b18－n&#8226;b19－n…bn＝1(3)∵b9＝1，∴b18－k&#8226;bk＝b29＝1∴b18－nb19－n&#8226;…&#8226;bn＝b2n－179＝1∴(3)式成立，即(1)式成立．综上可知，当等比数列{bn}满足b9＝1时，有：b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n＜17，n∈N*)成立．三、解答题15．已知：等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，有如下的性质：(1)an＝am＋(n－m)&#8226;d.(2)若m＋n＝p＋q，其中，m、n、p、q∈N*，则am＋an＝ap＋aq.(3)若m＋n＝2p，m，n，p∈N*，则am＋an＝2ap.(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等差数列．类比上述性质，在等比数列{bn}中，写出相类似的性质．[解析]　等比数列{bn}中，公比q，前n项和Sn.(1)通项an＝am&#8226;qn－m.(2)若m＋n＝p＋q，其中m，n，p，q∈N*，则am&#8226;an＝ap&#8226;aq.(3)若m＋n＝2p，其中，m，n，p∈N*，则a2p＝am&#8226;an.(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等比数列．16．先解答(1)，再根据结构类比解答(2)．(1)已知a，b为实数，且|a|&1，|b|&1，求证：ab＋1&a＋b.(2)已知a，b，c均为实数，且|a|&1，|b|&1，|c|&1，求证：abc＋2&a＋b＋c.[解析]　(1)ab＋1－(a＋b)＝(a－1)(b－1)&0.(2)∵|a|&1，|b|&1，|c|&1，据(1)得(ab)&#8226;c＋1&ab＋c，∴abc＋2＝[(ab)&#8226;c＋1]＋1&(ab＋c)＋1＝(ab＋1)＋c&a＋b＋c.你能再用归纳推理方法猜想出更一般地结论吗？[点评]　(1)与(2)的条件与结论有着相同的结构，通过分析(1)的推证过程及结论的构成进行类比推广得出：(ab)&#8226;c＋1＞ab＋c是关键．用归纳推理可推出更一般的结论：ai为实数，|ai|＜1，i＝1、2、…、n，则有：a1a2…an＋(n－1)＞a1＋a2＋…＋an.17．点P22，22在圆C：x2＋y2＝1上，经过点P的圆的切线方程为22x＋22y＝1，又点Q(2,1)在圆C外部，容易证明直线2x＋y＝1与圆相交，点R12，12在圆C的内部．直线12x＋12y＝1与圆相离．类比上述结论，你能给出关于一点P(a，b)与圆x2＋y2＝r2的位置关系与相应直线与圆的位置关系的结论吗？[解析]　点P(a，b)在⊙C：x2＋y2＝r2上时，直线ax＋by＝r2与⊙C相切；点P在⊙C内时，直线ax＋by＝r2与⊙C相离；点P在⊙C外部时，直线ax＋by＝r2与⊙C相交．容易证明此结论是正确的．18．我们知道：12＝　　　　　　　　　 1，22＝(1＋1)2＝12＋2×1＋1，32＝(2＋1)2＝22＋2×2＋1，42＝(3＋1)2＝32＋2×3＋1，……n2＝(n－1)2＋2(n－1)＋1，左右两边分别相加，得n2＝2×[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋n∴1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)2.类比上述推理方法写出求12＋22＋32＋…＋n2的表达式的过程．[解析]　我们记S1(n)＝1＋2＋3＋…＋n，S2(n)＝12＋22＋32＋…＋n2，…Sk(n)＝1k＋2k＋3k＋…＋nk (k∈N*)．已知13＝　　　　　　　　　　　　 1，23＝(1＋1)3＝13＋3×12＋3×1＋1，33＝(2＋1)3＝23＋3×22＋3×2＋1，43＝(3＋1)3＝33＋3×32＋3×3＋1，……n3＝(n－1)3＋3(n－1)2＋3(n－1)＋1.将左右两边分别相加，得S3(n)＝[S3(n)－n3]＋3[S2(n)－n2]＋3[S1(n)－n]＋n.由此知S2(n)＝n3＋3n2＋2n－3S1(n)3＝2n3＋3n2＋n6＝n(n＋1)(2n＋1)6. 文章来源莲山 课件 w ww.5 YK J.COM
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