在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE=x，△AEF的面积为y．（1）求线段AD的长；（2）若EF⊥AB，当点E在线段AB上移动时，①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）②当x取何值时，y有最大值？并求其最大值；（3）若F在直角边AC上（点F与A、C两点均不重合），点E在斜边AB上移动，试问：是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．-乐乐题库
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在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE=x，△AEF的面积为y．（1）求线段AD的长；（2）若EF⊥AB，当点E在线段AB上移动时，①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）②当x取何值时，y有最大值？并求其最大值；（3）若F在直角边AC上（点F与A、C两点均不重合），点E在斜边AB上移动，试问：是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：2010-扬州
分析与解答
习题“在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE=x，△AEF的面积为y．（1）求线段AD的长；（2）若EF⊥AB，当点E...”的分析与解答如下所示：
（1）先根据勾股定理求出AB的长，再根据Rt△ADC∽Rt△ACB，利用其相似比即可求出AD的长；（2）①分别根据x的取值范围及三角形的面积公式分类可得x、y的函数关系式；②根据①中所求的函数关系式求出其最值即可．（3）先求得△ABC的面积的12，进而得到△AEF得到面积的函数关系式，让它等于3列式即可求解．
解：（1）∵△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=√32+42=5，∵CD⊥AB，∴∠CDA=∠ACB，又∠CAD=∠CAD，∴Rt△ADC∽Rt△ACB，∴ADAC=ACAB，即AD3=35，AD=95．（2）①由于E的位置不能确定，故应分两种情况讨论：如图A：当0＜x≤AD，即0＜x≤95时，∵EF⊥AB，∴Rt△AEF∽Rt△ACB，即AEAC=EFBC，∵AC=3，BC=4，AE=x，∴x3=EF4，EF=43x，S△AEF=y=12AEoEF=12xo43x=23x2．如图B：当AD＜x≤AB，即95＜x≤5时，∵EF⊥AB，∴Rt△BEF∽Rt△BCA，∴EBBC=EFAC，∵AE=x，△AEF的面积为y，5-x4=EF3，∴EF=15-3x4，y=12×AE×EF=12xo15-3x4=15x8-3x28．②当如图A：当0＜x≤AD，即0＜x≤95时，S△AEF=y=12AEoEF=12xo43x=23x2，当x=AD，即x=95时，y最大=23×（95）2=5425．如图B：当AD＜x≤BD，即95＜x≤5时，y=12x×34（5-x）=15x8-3x28，y最大=7532，此时x=2.5＜5，故成立．故y最大=7532．（3）存在．假设存在，当0＜x≤5时，AF=6-x，∴0＜6-x＜3，∴3＜x＜6，∴3＜x≤5，作FG⊥AB于点G，由△AFG∽△ACD，∴AFAC=FGCD，∴6-x3=FG125，即FG=45（6-x），∴S△AEF=12xo45（6-x）=-25x2+125x，∴3=-25x2+125x，解得：x1=6+√62，x2=6-√62，∵3＜x≤5，∴x1=6+√62（符合题意），x2=6-√62（不合题意，应舍去），故存在x，直线EF将△ABC的周长和面积同时平分，此时x=6+√62．
此题比较复杂，是典型的动点问题，涉及面较广，涉及到勾股定理、二次函数的最值及相似三角形的有关知识，综合性较强．
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在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE=x，△AEF的面积为y．（1）求线段AD的长；（2）若EF⊥A...
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经过分析，习题“在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE=x，△AEF的面积为y．（1）求线段AD的长；（2）若EF⊥AB，当点E...”主要考察你对“二次函数的最值”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=$-\frac{b}{2a}$时，y=$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$．（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=$-\frac{b}{2a}$时，y=$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$．（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
与“在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE=x，△AEF的面积为y．（1）求线段AD的长；（2）若EF⊥AB，当点E...”相似的题目：
当x取&&&&时，多项式x2+2x+2010取得最小值是&&&&．
对于y=x2-6x+11的图象，下列叙述正确的是（　　）顶点坐标是（-3，2）对称轴为x=-3当x≥3时，y随x的增大而增大函数有最大值
（2013o工业园区二模）如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点．当线段AM最短时，重叠部分的面积是&&&&．
“在△ABC中，∠C=90°，AC=3，B...”的最新评论
该知识点好题
1（2012o湖州）如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（　　）
2二次函数y=x2+2x-5有（　　）
3二次函数y=-2x2+4x-9的图象上的最高点的纵坐标为（　　）
该知识点易错题
1（2012o湖州）如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（　　）
2用60m的篱笆围成一面靠墙且分隔成两个矩形的养鸡场，则养鸡场的最大面积为（　　）
3若正实数a、b满足ab=a+b+3，则a2+b2的最小值为（　　）
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三角形ABC中,点D在BC上,BD：DC=1：2,点E在AB上,AE:EB=3:2,AD,CE相交于F,则AF：FD等于多少告诉下具体步骤,还有该做的辅助线,
告诉下具体步骤,还有该做的辅助线,
连接FB,设△FDB面积是X,△BFE面积是2Y.∵AE：EB=3：2,∴S△AEF：S△BFE=3：2,S△ACE：S△CBE=3：2 ∴S△AEF=3Y.又∵CD:BD=2:1,∴有S△CDF=2X,得S△CEB=3X+2Y,得S△ACE=4.5X+3Y(S△ACE：S△CBE=3：2 ) ∴S△ACF=4.5X （S△ACE-S△AFE)∴AF:AD=4.5:2=9:4 这是最简单的面积做法,你画下图就好了.这道题有三种解法,一个是面积.一个是添加平行线,这是初二的（好像） 如果你奥数好的话,你可用梅涅劳斯定理,把EF看做△ADB截线,很快就解出来了.如果会的话,这才是最简单的.
过E点作BC的平行线交AD于G ∵BD：DC=1：2，AE:EB=3:2 ∴△AEG∽△ABD ∴AG/GD=3/2 ∵EG/BD=AE/AB=3/5
EG=3/5 BD=3/10 DC ∴EG/DC=3/10 ∴△EFG∽△FDC ∴GF/FD=3/10 ∵AG/GD=AF-GF/GF+FD=3/2 (AF-3/10 FD)/(3/10FD+FD)=3/2 AF/FD=9/4如图所示，平面α∥平面β，点A∈α，C∈α，点B∈β，D∈β，点E，F分别在线段AB，CD上，AB，CD所在直线异面，且AE：EB=CF：FD（Ⅰ）求证：EF∥β；&&&&（Ⅱ）若E，F分别是AB，CD的中点，AC=4，BD=6，且AC，BD所成的角为60°，求EF的长．【考点】；．【专题】计算题；证明题．【分析】（Ⅰ）直接连接AD，作EG∥BD交AD于点G，连接FG；结合AE：EB=CF：FD可得EG∥β，FG∥α；进而得到平面EFG∥β即可证得结论；（Ⅱ）结合第一问中的结论和AC，BD所成的角为60°可以得到EG=BD=3，FG=AC=2以及∠EGF=120°或60°；最后利用余弦定理即可求出结论．【解答】（Ⅰ）证明：连接AD，作EG∥BD交AD于点G，连接FG，因为AE：EB=CF：FD∴EG∥BD，FG∥AC，则EG∥β，FG∥α，∵α∥β∴FG∥β；又因为；EG∩FG=G．∴平面EFG∥β而EF?平面EFG；∴EF∥β（Ⅱ）解：∵EG∥BD，FG∥AC且E，F分别是AB，CD的中点，AC=4，BD=6；∴EG=BD=3，FG=AC=2∵AC，BD所成的角为60°，∴∠EGF=120°或60°∴EF=2+FG&2-2EGoFGcos∠EGF=2+32-2×2×3cos∠120°=；或EF=2+32-2×2×3×cos∠60°=即．【点评】本题主要考查空间中线段距离的计算以及线面平行的判定．在求线段长度问题是，一般是放在三角形中，借助于正弦定理或余弦定理求解．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：　难度：0.61真题：2组卷：4
解析质量好中差问题补充&&
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已知AE/EB=AH/HD=2 ,则EH平行于BD且EH/BD=2/3已知F,G分别为BC,CD的中点,则FG平行于BD且FG/BD=1/2故EH平行于FG且EH/FG=4/3所以四边形EFGH是梯形
AE/EB=AH/HD=2
推出 EH//BD F,G分别为BC,CD的中点 推出 FG//BD推出 EH//FG 两边平行既梯形
也可以有AE/EB=AH/HD=2 得之
连结AC向量EG=EH+HG根据中位线，可得向量HG=1/2 AC
向量EF=1/2 AC即向量EF=HG
向量EG=EH+EF}