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线性代数技巧行列式的计算方法
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官方公共微信最近很火的一篇关于学习方法的文章：十天内掌握线性代数：惊人的超速学习实验
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转载自译言：译者：原文来自：注：排版比较乱，不清楚的可以看上面原文。。某系外链需科学上网。 最近，我的朋友成就了一个惊人的壮举：他在一年之内，完成了传说中的的全部33门课，从线性代数到计算理论。最重要的是，他是自学的，观看在线教程讲座，并用实际的考试作自我评估。（到斯考特的，看看他如何完成这个挑战）按照他的进度，读完一门课程大概只需要1.5个星期。我坚信，能快速掌握复杂信息，对成就卓越事业至关重要。因此，我很自然地问起斯考特，让他给我们分享他的学习奥秘。所幸他答应了。接下来是一份斯考特的详细解说稿，深入剖析他的学习技巧（包括具体例子），展示他如何拿下这MIT挑战。以下时间交给斯考特……看我怎么驾驭MIT计算机科学的课程我老想着学快一点，再快一点，并为此兴奋不已。掌握那些重要的学问吧，专业知识与娴熟技艺将是你的职业资本，帮你赚取金钱与享受生活。如果过得好是你的目标，学问能引你到向往之地。尽管学得更快有很多好处，但大多数人并不愿意学习“如何学习”。大概是因为我们不肯相信有这种好事，在我们看来，学习的速度只取决于好基因与天赋。确实总有些人身怀天赋本钱，但研究表明你的学习方法也很重要。更深层次的知识加工，与时而反复的温故知新，在某些情况下会。是的，“刻意练习”方面的表明，没有正确的方法，学习将永远停滞。今天，我想分享一下学习策略，看看我如何在完成4年MIT计算机科学的课程。这套策略历经33门课的锤炼，试图弄清楚学得更快的窍门，哪些方法有用，哪些没用。为什么临时抱佛脚没用？很多学生可能嘲笑我，妄想只花1年的时间学会4年的课程。毕竟，我总可以临时抱佛脚，什么都不懂还能顺利通过考试，不是吗？ 很可惜，这个策略在MIT行不通。首先，MIT的考试苛求解决问题的技巧，还经常出些没见过的题型。其次，MIT的课程讲究循序渐进，就算你能死记硬背侥幸通过一次考试，同系列课程的第七课可能就跟不上了。除了死记硬背，我不得不另辟蹊径，加速理解过程。你能加速理解吗？“啊哈！”当我们终于想通了，都曾经这样恍然大悟地欢呼过。问题是，大多数人都没有系统地思考。经典的学生求学之路，就是听讲座，读书；如果还不懂，只好枯燥地做大量习题（题海）或重看笔记。没有系统的方法，想更快地理解似乎是天方夜谭。毕竟，顿悟的心理机制，还全然不知。更糟的是，理解本身，很难称得上是一种开关。它像洋葱的层层表皮，从最肤浅的领会到深层次的理解，逐层巩固对科学革命的认知。给这样的洋葱剥皮，则是常人知之甚少、易被忽略的理解过程。加速学习的第一步，就是揭秘这个过程。如何洞悉问题，加深你的理解，取决于两个因素：建立知识联系；自我调试排错。知识联系很重要，因为它们是了解一个想法的接入点。我曾纠结于傅里叶变换，直至我意识到它将压强转化为音高、或将辐射转化为颜色。这些见解，常在你懂的和你不懂的之间建立联系。调试排错也同样重要，因为你常常犯错，这些错误究根到底，还是知识残缺，胸无成竹。贫瘠的理解，恰似一个错漏百出的软件程序。如果你能高效地自我调试，必将大大提速学习进程。建立准确的知识联系与调试排错，就足够形成了深刻的问题见解。而机械化技能与死记硬背，通常也只在你对问题的本质有了肯定的直觉以后，才有所裨益。钻研（The Drilldown Method）：你学得更快经年累月，我完善了一个方法，可以加速逐层增进理解的过程。这个方法至今已被我用于各科目的课题，包括数学、生物学、物理学、经济学与工程学。只需些许修改，它对掌握实用技能也效果很好，比如编程、设计或语言。这个方法的基本结构是：知识面、练习、自省。我将解释每个阶段，让你了解如何尽可能有效率地执行它们，同时给出详细的例子，展示我是怎么应用在实际课程的。第一阶段：知识面覆盖你不可能组织一场进攻，如果你连一张地形图都没有。因此，深入研习的第一步，就是对你需要学习的内容有个大致印象。若在课堂上，这意味着你要看讲义或读课本；若是自学，你可能要多读几本同主题的书，相互考证。学生们常犯的一个错误，就是认为这个阶段是最重要的。从很多方面来讲，这个阶段却是效率最低的，因为你每单位时间的投入只换来了最少量的知识回报。我常常加速完成这个阶段，很有好处，这样，我就可以投入更多时间到后面两个阶段。如果你在看课程讲座的视频，最好是调到1.5x或2x倍速快进。这很容易做到，只要你下载好视频，然后使用播放器（如）的“调速”功能。我用这法子两天内看完了一学期的课程视频。如果你在读一本书，我建议你不要花时间去高亮文本。这样只会让你的知识理解停留在低层次，而从长远来看，也使学习效率低下。更好的方法是，阅读时只偶尔做做笔记，或在读过每个主要章节后写一段落的总结。有个例子，是我上机器视觉这门课时的笔记。第二阶段：练习做练习题，能极大地促进你的知识理解。但是，如果你不小心，可能会落入两个效率陷阱：没有获得即时的反馈：研究表明，如果你想更好地学习，你需要即时的反馈。因此，做题时最好是答案在手，天下我有，每做完一题就对答案，自我审查。没有反馈或反馈迟来的练习，只会严重牵制学习效率；题海战术：正如有人以为学习是始于教室终于教室，一些学生也认为大多数的知识理解产自练习题。是的，你总能通过题海战术最终搭起知识框架，但过程缓慢、效率低下。练习题，应该能凸显你需要建立更好直觉的知识领域。一些技巧，比如我将会谈到的费曼技巧（the Feynman technique），对此则相当有效。对于非技术类学科，它更多的是要求你掌握概念而不是解决问题，所以，你常常只需要完成最少量的习题。对这些科目，你最好花更多的时间在第三阶段，形成学科的洞察力。第三阶段：自省知识面覆盖，与做练习题，是为了让你知道你还有什么不懂。这并不像听上去那么容易，毕竟知之为知之，不知为不知，难矣。你以为你都懂了，其实不是，所以老犯错；或者，你对某综合性学科心里没底，但又看不确切还有哪里不懂。接下来的技巧，我称之为“费曼技巧”，将帮助你查漏补缺，在求知路上走得更远。当你能准确识别出你不懂的知识点时，这个技巧助你填补知识的缺口，尤其是那些最难以填补的巨大缺口。这个技巧还能两用。即使你真的理解了某个想法，它也能让你关联更多的想法，于是，你可以继续钻研，深化理解。费曼技巧（The Feynman Technique）这个技巧的灵感，源于诺贝尔物理奖获得者，理查德·费曼（Richard Feynman）。在他的里，他提到曾纠结于某篇艰深的研究论文。他的办法是，仔细审阅这篇论文的辅助材料（supporting material），直到他掌握了相关的知识基础、足以理解其中的艰深想法为止。费曼技巧，亦同此理。对付一个知识枝节繁杂如发丝、富有内涵的想法，应该分而化之，切成小知识块，再逐个对付，你最终能填补所有的知识缺口，否则，这些缺口将阻挠你理解这个想法。对此，请看这个简短的。费曼技巧很简单：拿张白纸；在白纸顶部写上你想理解的某想法或某过程；用你自己的话解释它，就像你在教给别人这个想法。最要紧的是，对一个想法分而化之，虽然可能重复解释某些已经弄懂的知识点。但你最终会到达一个临界点，无法再解释清楚。那里正是你需要填补的知识缺口。为了填补这个缺口，你可以查课本、问老师、或到互联网搜寻答案。通常来说，一旦你精准地定义了你的不解或误解，找到确切的答案则相对而言更轻松。我已经使用过这个费曼技巧有数百次，确信它能应付各种各样的学习情境。然而，由于学习情境各有特点，它需要灵活变通，似乎显得难以入门，所以，我将尝试举些不同的例子。对付你完全摸不着头脑的概念对此，我仍坚持使用费曼技巧，但翻开课本，找到解释这个概念的章节。我先浏览一遍作者的解释，然后仔细地摹仿它，并也试着用自己的思维详述和阐明它。如此一来，当你不能用自己的话写下任何解释时，“引导式”费曼技巧很有用处。有个例子，展示我如何理解摄影测量学。对付各种过程你也能通过费曼技巧去了解一个你需要用到的过程。审视所有的步骤，不光解释每一步在干什么，还要清楚它是怎么执行的。我常这样理解数学的证明过程、化学的方程式、与生物学的糖酵解过程。有个例子，展示我如何想到怎么实现网格加速。对付各种公式公式，应该被理解，而不只是死记硬背。因此，当你看到一个公式，却无法理解它的运作机理时，试着用费曼技巧分而化之。有个例子，展示我如何理解傅里叶分析方程。对付需要记忆的内容费曼技巧，也可以帮你自查是否掌握非技术类学科那些博大精深的知识概念。对于某个主题，如果你能顺利应用费曼技巧，而无需参考原始材料（讲义、课本等），就证明你已经理解和记住它。有个例子，展示我如何回忆起经济学中的掠夺性定价概念。形成更深刻的直觉（Deeper Intuition）结合做习题，费曼技巧能帮你剥开知识理解的浅层表皮。但它也能帮你钻研下去，走得更远，不只是浅层的理解，而是形成深刻的知识直觉。直观地理解一个想法，并非易事。它看似有些许神秘，但这不是它的本相。一个想法的多数直觉，可作以下归类：类比、可视化、简化类比：你理解一个想法，是通过确认它与某个更易理解的想法之间的重要相似点；可视化：抽象概念也常成为有用的直觉，只要我们能在脑海为它们构筑画面，即使这个画面只是一个更大更多样化想法的不完全表达；简化：一位著名的科学家曾说过，如果你不能给你的祖母解释一样东西，说明你还没有完全理解它。简化是一门艺术，它加强了基础概念与复杂想法之间的思维联系。你可以用费曼技巧去激发这些直觉。对于某个想法，一旦你有了大致的理解，下一步就是深入分析，看能不能用以上三种直觉来阐释它。期间，就算是借用已有的意象喻义，也是情有可原的。例如，把复数放到二维空间里理解，很难称得上是新颖的，但它能让你很好地可视化这个概念，让概念在脑海中构图成型。DNA复制，被想象成拉开一条单向拉链，这也不是一个完美的类比，但只要你心里清楚其中的异同，它会变得有用。学得更快的策略在这篇文章里，我描述了学习的三个阶段：知识面、练习、与自省。但这可能让你误解，错以为它们总在不同的时期被各自执行，从不重叠或反复。实际上，随着不断地深入理解知识，你可能会周而复始地经历这些阶段。你刚开始读一个章节，只能有个大概的肤浅印象，但做过练习题和建立了直觉以后，你再回过来重新阅读，又会有更深刻的理解，即温故而知新。钻研吧，即便你不是学生这个过程不只是适用于学生，也同样有助于学习复杂技能或积累某话题的专业知识。学习像编程或设计的技能，大多数人遵循前两个阶段。他们阅读一本相关的基础书籍，然后在一个项目里历练。然而，你能运用费曼技巧更进一步，更好地锁定与清晰表述你的深刻见解。积累某话题的专业知识，亦同此理；唯一的差别是，你在建立知识面以前，需要搜集一些学习材料，包括相关的研究文章、书籍等。无论如何，只要你弄清楚了想掌握的知识领域，你就钻研下去，深入学习它。
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哲学控，心理学控，文学爱好者
里面他提到的方法，确实具有高度的适用性。我以其中的“费曼技巧”将它概括如下——一个好的学习方法，具备两种［即时反馈］：
1）理解时的输出反馈。即他所谓的费曼技巧，用你自己的话、思想、观念去重述你当下正在学习的东西，要求是：你的重述与原意有高度的内在一致性。这个过程，是在接收了某些认知之后，自主反馈一个输出，仿佛是在教另一个初学者；构成一个【接收-处理-输出】的完整链条。
2）实践时的成效反馈。此即他所谓的［答案在手，天下我有］，做练习时不可等待老师批改，老师的主要作用是在你遇到不懂问题或桎梏时，给你即时反馈，而不是做延后的终极评价。有这种即时反馈时，你才得到了自主的、不断去修正的可能，而不必等待。不只是在做练习时如此罢了，在其他任何实践中，最好也尽可能争取尽可能快的成效反馈；一来可以防微杜渐，二来也有更充足的处理时间。
有点启发，不过对于我这个重度拖延症来说这只是我很多idea中的一个。。
进入自省阶段……
重度拖延症+1
的话：有点启发，不过对于我这个重度拖延症来说这只是我很多idea中的一个。。拖延症是不愿忘记过去，而不是面对未来。
各个击破，高中埋头惯用的伎俩。屡试不爽。
很不错啊~mark！
对临时抱佛脚难以割舍~~
哲学控，心理学控，文学爱好者
里面他提到的方法，确实具有高度的适用性。我以其中的“费曼技巧”将它概括如下——一个好的学习方法，具备两种［即时反馈］：
1）理解时的输出反馈。即他所谓的费曼技巧，用你自己的话、思想、观念去重述你当下正在学习的东西，要求是：你的重述与原意有高度的内在一致性。这个过程，是在接收了某些认知之后，自主反馈一个输出，仿佛是在教另一个初学者；构成一个【接收-处理-输出】的完整链条。
2）实践时的成效反馈。此即他所谓的［答案在手，天下我有］，做练习时不可等待老师批改，老师的主要作用是在你遇到不懂问题或桎梏时，给你即时反馈，而不是做延后的终极评价。有这种即时反馈时，你才得到了自主的、不断去修正的可能，而不必等待。不只是在做练习时如此罢了，在其他任何实践中，最好也尽可能争取尽可能快的成效反馈；一来可以防微杜渐，二来也有更充足的处理时间。
在译言看的，我觉得很适合学习理论性强的课程。比如数学类的。
没仔细看，但是mark给妹纸。我已经过了学数学的时段了，表示遗憾，当年的各种考试都败给数学。
预防医学专业
很不错，参考下
大学线性代数考试前我都是看一天书，然后就过了！
的话：里面他提到的方法，确实具有高度的适用性。我以其中的“费曼技巧”将它概括如下——一个好的学习方法，具备两种［即时反馈］：
1）理解时的输出反馈。即他所谓的费曼技巧，用你自己的话、思想、观念去重述你当下正在学习的东西，要求是：你的重述与原意有高度的内在一致性。这个过程，是在接收了某些认知之后，自主反馈一个输出，仿佛是在教另一个初学者；构成一个【接收-处理-输出】的完整链条。
2）实践时的成效反馈。此即他所谓的［答案在手，天下我有］，做练习时不可等待老师批改，老师的主要作用是在你遇到不懂问题或桎梏时，给你即时反馈，而不是做延后的终极评价。有这种即时反馈时，你才得到了自主的、不断去修正的可能，而不必等待。不只是在做练习时如此罢了，在其他任何实践中，最好也尽可能争取尽可能快的成效反馈；一来可以防微杜渐，二来也有更充足的处理时间。看来这些都会成为自学的弊端。。
留名慢慢看。。。对于时间不够用的我希望有用。。。
好文，值得借鉴
重度拖延症+1，mark一下。
好的学习方法有不少，关键是具体落实
这种文章需要经常看看
的话：看来这些都会成为自学的弊端。。理解的输出反馈还好办 实践反馈确实比较麻烦
就是用模块化方法构建知识体系和注意建立直观嘛，看他的标准,“掌握”意味着至少做对50%的考试题，貌似一学期逃课临考前看10天书考50分不是不可想象......
准备尝试下
那个费曼技巧是不是就是用自己的话把学到的东西转录出来？貌似我老娘在我上学的时候经常要我用自己的话解释“这个题目说的是什么。。”
有点启发 mark了
我也打个马克。
mark have a try
管理学专业
有道理，临时抱佛脚，报完就忘很坑爹
某些小细节还是很值得学习的
好文，MARK
做到很难，还是MARK
如果在运用费曼技巧的过程中出现了自己未知的错误怎么办就是有一部分符合自己的逻辑的推理事实上是错误的 但是却得出了与正确推理相同的结论 然后最后在考察的时候考察到了这部分推理。。。那就悲剧了
的话：大学线性代数考试前我都是看一天书，然后就过了！敢不敢再看一天，再来一次考试？
已细读，mark
对啊 潜进去
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