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1.解向量的概念
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矢量分析复习题解答(6页)
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官方公共微信（17）本小题主要考查空间两条直线的位置关系，二面角、直线与平面所成的角，直线与平面垂直等基础知识. 考查用空间向量解决立体几何问题的方法. 考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力. 满分13分.
（方法一）
依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图），可得，，，.由为棱的中点，得.
（Ⅰ）证明：向量，，故. 所以，.
（Ⅱ）解：向量，.
设为平面的法向量，则即
不妨令，可得为平面的一个法向量.于是有
所以，直线与平面所成角的正弦值为.
（Ⅲ）解：向量，，，.
由点在棱上，设，.
因此，，解得.即.
设为平面的法向量，则即
不妨令，可得为平面的一个法向量.
取平面的法向量，则
易知，二面角是锐角，所以其余弦值为.
（方法二）
（Ⅰ）证明：如图，取中点，连接，.
由于分别为的中点， 故，且，又由已知，可得且，故四边形为平行四边形，所以.
因为底面，故，而，从而平面，因为平面，于是，又，所以.
（Ⅱ）解：连接，由（Ⅰ）有平面，得，而，故.
又因为，为的中点，故，可得，所以平面，故平面平面.
所以直线在平面内的射影为直线，而，可得为锐角，故为直线与平面所成的角.
依题意，有，而为中点，可得，进而.
故在直角三角形中，，因此.
&&& 所以，直线与平面所成角的正弦值为.
（Ⅲ）解：如图，在中，过点作交于点.
因为底面，故底面，从而.又，得平面，因此.
在底面内，可得，从而.在平面内，作交于点，于是.
由于，故，所以四点共面.
由，，得平面，故.
所以为二面角的平面角.
在中，，，，
由余弦定理可得，.
所以，二面角的斜率值为.
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