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一次函数例题
八​年​级​一​次​函​数​的​基​本​常​见​例​题
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& 山东省济南一中2012届高三5月冲刺仿真文科综合试题
山东省济南一中2012届高三5月冲刺仿真文科综合试题
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资料概述与简介
一次函数及应用
（第4课时） 问题：
要把储水量为2000立方米的水池中的水抽干，现用每小时抽水50立方米的抽水机抽水，写出水池中剩余水量y与抽水时间t(时)之间的函数关系式，并求自变量t的取值范围． 分析：t小时抽水50t立方米，从储水量中减去50t，得剩余水量． 解：y＝2000－50t．
从实际问题的意义知，y≥0，即2000－50t≥0，
解得t≤40；又t≥0，
综上，得自变量t的取值范围是0≤t≤40．
1、一次函数
如果y＝kx＋b(k、b)是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数．
特别地，当b＝0时，得y＝kx(k是常数，k≠0)，y叫做x的正比例函数．
练习：列出下列函数关系式，判别其中哪些为一次函数、正比例函数． (1)正方形周长p和一边的长a． (2)圆的面积S与半径R． (3)长S一定时矩形面积y与宽x． (4)买15斤梨售价20元．售价y与斤数x． (5)定期存100元本金，月利率1.8％，本息y与所存月数x． (6)水库原存水Q立方米，现以每小时a立方米的流量开闸放水，同时上游以每小时b立方米的流量向水库注水，求这时水库的蓄水量M与时间t的函数关系． (1)p=4a．则p为a的一次函数，也是正比例函数． (2)S=πR2，自变量R的次数是二次，所以不是一次函数，也不是正比例函数．
(3)y=ax，自变量x为一次且系数a为长度(不为零)．则y是x的一次函数，也是x的正比例函数． (4)是一次函数，也是正比例函数． (5)y=100+100×1.8%x，自变量x的次数为一次，又含有常数项．则y是x的一次函数但不是正比例函数．
(6)M=Q+(b-a)t，因为自变量t的次数为一次，
当a≠b时，M是t的一次函数．
若Q=0时，M是t的正比例函数；
若a=b时，M是常量函数，不是t的一次函数．
注意： (1)叙述函数定义时，括号内的部分不能遗漏，它是定义的重要组成部分，要明确常数k、b的取值范围． (2)要熟悉x的一次函数的定义，能由解析式和文字语言结合转换成文字语言的叙述，即函数的解析式是x的一次二项式，其中x的系数k取非零实数，另一项是常数项b，b取任意实数． 另外，应明白正比例函数是一次函数的特例，即所有的正比例函数一定是一次函数，而一次函数y＝kx+b中，b≠0时这个一次函数不一定是正比例函数． 例题：
已知y+p与x-q成正比例(其中p、q是常数) (1)求证y是x的一次函数． (2)如果x=-1时，y=-15；x=7时，y=1，求这个一次函数的解析式
证明： (1)∵y+p与x-q成正比例，
则y+p=k(x-q)(k为非零常数)
整理，得y=kx-(kq+p)
因为k、p、q均为常数，
所以-(kq+P)也是常数，且k≠0
因此y是x的一次函数． (2)∵y是x的一次函数，设y=kx+b(k≠0)．
将x=-1，y=-15；x=7，y=1代入，得
一次函数的解析式为y=2x-13．
一次函数的图象 画出正比例函数y=kx(k≠0)的图象的步骤： ⑴先选取两点，通常选点(0,0)与点(1,k)； ⑵在坐标平面内描点(0,0)与点(1,k)； ⑶过点(0,0)与点(1,k)画一条直线。 这条直线就是正比例函数y=kx(k≠0)的图象。 2、正比例函数的性质
观察下列两组图象，指出它们所在的象限，以及x与y值的变化情况：
一般地，正比例函数y=kx(k≠0)有下列性质：
⑴当k＞0时，y随x的增大而增大
⑵当k＜0时，y随x的增大而减小 -1 2 ? -1 -2 1 1 ? y=2x+1 x y ? y=-2x+1 一次函数y=kx+b有下列性质 ⑴当k＞0时，y随x的增大而增大 ⑵当k＜0时，y随x的增大而减小 注意：一次函数y=kx+b图象，习惯上也称为直线y=kx+b 一次函数的图象和性质
函数 正比例函数 y=kx 一次函数 y=kx+b 图象 性质
,0)两点的直线
(1,k)两点的直线
k＜0 y随x的增大而增大
y随x的增大而减小
一次函数的图象
所有的一次函数的图象都是一条直线。
图象是一条直线的函数一定是一次函数吗？
不一定．如果这条直线与x轴、y轴都不平行，那么这条直线所对应的函数就一定是一次函数．
如果这条直线平行于x轴或与x轴重合，即无论x取什么实数值时，y的值恒为b(b为常数，)，那么这条直线表示的函数是y＝b，通常叫做常数函数，但不是一次函数．
如果这条直线平行于y轴 或与y轴重合，类似可求这条 直线表示x=a，但它不是函数．
1、一次函数y=-kx+k的图象大致是 [
C 2、正比例函数或一次函数(y=kx+b)的图象如图所示，请确定k、b的情况：
2、解：图(1)中k＞0，b=0；
图(2)中k＜0，b=0；
图(3)中k＜0，b＞0；
图(4)中k＜0，b＜0．
3、已知一次函数y=(a-2)x+1的图象不经过第三象限，化简
解：由题意知a-2＜0即a＜2，因而
=2-a+3-a=5-2a．
4、若一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，则一次函数y＝bx－k的图象不经过第(
(A)一；(B)二；(C)三；(D)四．
x+k的图象大致如图：（
O x y O x y O x y O x y A B C D D (2)一次函数y＝kx+b中k与b的功能是决定直线y＝kx+b中坐标平面内的位置特征，结合图，列表说明如下：
反之，根据已知直线(与两条坐标轴都不平行)在坐标平面内的位置，也能确定k与b的取值范围．
练习： 1、已知一次函数y＝(4m+1)x－(m＋1)． (1)m取什么值时，y随x的增大而减小； (2)m取什么值时，这条直线与y轴的交点在x轴下方； (3)m取什么值时，这条直线不经过第三象限．
(3)条件即这条直线通过第一、二、四象限或第二，四象限和原点，那么由
解得m≤－1．
2、已知y与x成正比例函数，其图象过第二、四象限，且过(2m，
一般地，如果y=kx+b(k,b是常数，k≠0)那么，y叫做x的一次函数.
对这个定义，要注意： ?
(1)x是变量，k，b是常数； ?
(2)k≠0 (当k＝0时，式子变形成y=b的形式。b是x的0次式，y=b叫做常数函数.) ?
由一次函数出发，当常数b＝0时，一次函数kx+b(k≠0)就成为:y=kx(k是常数，k≠0)我们把这样的函数叫正比例函数.。
正比例函数是特殊的一次函数.
我们学过一次函数y＝kx＋b的图象是一条直线，还学过一次函数的性质．
直线是最简单、最常见的几何图形，也是线段、射线的概念的基础，而两点确定一条直线、两点之间线段最短，
于是，与直线或线段有关的最大或最小值问题，最多或最少等问题，必然反映到现实生活、生产实践或商品经济大潮中。
例1、如图，某航空公司托运行李的费用与托运行李重量的关系为线型函数，由图可知行李的重量只要不超过______公斤，就可免费托运．
解：本题只给出了一次函数的图像，若能求得一次函数的解析式，问题即可解决．
根据图像不难发现直线过以下三点：
(30，330)、(40，630)、(50，930)，
任选其中两点可求出
一次函数解析式为
y＝30x－570．
于是，令y＝0得一次
函数与x轴交点为
可知当x≤19时，行李就可免费托运．
例2、 如图所示，两村的坐标位置各为A(－3，3)、B(5，1)．x轴表示一条运河，两村拟在河旁合建一座扬水站C，使C到两村所用的管道最省，试确定点C的位置(坐标单位：千米)．
解：作点B(5，1)关于x的对称点B′(5，－1)． 由两点A、B′之间线段最短，连结AB′交x轴于点C，且CB′＝CB． 设直线AB′为y＝kx＋b，则点A、B′在这条直线上，于是
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