解一元三次方程_百度百科
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人类很早就掌握了的解法，但是对一元三次方程的研究，则是进展缓慢。、希腊和等地的数学家，都曾努力研究过一元三次方程，但是他们所发明的几种解法，都仅仅能够解决特殊形式的三次方程，对一般形式的三次方程就不适用了。 在十六世纪的欧洲，随着的发展，一元三次方程也有了固定的求解方法。在很多文献上，把三次方程的求根公式称为“卡尔丹公式”。历史事实并不是这样，数学史上最早发现一元三次方程通式解的人，是十六世纪意大利的另一位数学家尼柯洛·冯塔纳（Niccolo Fontana）。外文名Avoids solving the cubic equation别&&&&称卡尔丹公式表达式X^3+pX+q=0 (p、q∈R)提出时间十六世纪应用学科数学适用领域范围动力工程、数学教学及其他领域等
冯塔纳出身贫寒，少年丧父，家中也没有条件供他念书，但是他通过艰苦的努力，终于自学成才，成为十六世纪意大利最有成就的学者之一。由于冯塔纳患有“口吃”症，所以当时的人们昵称他为“”（Tartaglia）， 也就是语中“结巴”的意思。后来的很多书中，都直接用“塔尔塔里亚”来称呼冯塔纳。经过多年的探索和研究，冯塔纳利用十分巧妙的方法，找到了一般形式的求根方法。这个成就，使他在几次公开的较量中大获全胜，从此名扬。但是冯塔纳不愿意将他的这个重要发现公之于世，因为那个年代意大利盛行打，冯塔纳把他解三次方程的作为，是他获得比赛的胜利的宝剑。
当时的另一位意大利数学家兼医生卡尔丹（有的资料也称为，卡尔达诺），对冯塔纳的发现非常感兴趣。他几次诚恳地登门请教，希望获得冯塔纳的求根。可是冯塔纳始终守口如瓶，滴水不漏。虽然卡尔丹诺屡次受挫，但他极为执着，软磨硬泡地向冯塔纳“挖秘诀”。后来，冯塔纳终于用一种隐晦得如同咒语般的语言，把三次方程的解法“透露”给了卡尔丹。冯塔纳认为卡尔丹诺很难破解他的“咒语”，可是卡尔丹的悟性太棒了，他通过解三次方程的对比实践，很快就彻底破译了冯塔纳的秘密。卡尔丹把冯塔纳的三次方程求根，写进了自己的学术著作《大法》中，但并未提到冯塔纳的名字。随着《大法》在欧洲的出版发行，人们才了解到三次方程的一般求解方法。由于第一个发表三次方程求根公式的人确实是卡尔丹，因此后人就把这种求解方法称为“”，有的资料也称为“”。卡尔丹他人的，并且据为已有，这一行为在人类数学史上留下了不甚光彩的一页。这个结果，对于付出艰辛劳动的冯塔纳当然是不公平的。但是，冯塔纳坚持不公开他的研究成果，也不能算是正确的做法，起码对于人类科学发展而言，是一种不负责任的态度。
卡尔丹是第一个把写在二次内的数学家，并由此引进了的概念，后来经过许多数学家的努力，发展成了的理论。从这个意义上，卡尔丹对的发展作出了巨大贡献，史称卡尔丹公式是伟大的公式。
解一元三次方程问题是世界数学史上较著名且较为复杂而又有趣味的问题，虚数概念的引进、复数理论的建立，就是于解三次方程问题。一元三次方程应用广泛，如电力工程、水利工程、建筑工程、机械工程、动力工程、数学教学及其他领域等。用根号解一元三次方程，虽然有著名的，并有相应的判别法，但是使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏性。上世纪80年代，中国的一名中学教师对解一元三次方程问题进行了深入的研究和探索，发明了比卡尔丹更实用的新求根公式——，并建立了简明的、直观的、实用的新判别法——盛金判别法，同时提出了盛金定理，盛金定理清晰地回答了解三次方程的疑惑问题，且很有趣味。盛金公式的特点是由最简重根判别式A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd和总判别式Δ=B^2－4AC来构成，体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美，简明易记、解题直观、准确高效，特别是当Δ=B^2－4AC=0时，盛金公式3：X⑴=－b/a+K；X⑵=X⑶=－K/2，其中K=B/A，(A≠0)，其表达式非常漂亮，不存在开方（此时的卡尔丹公式仍存在），手算解题效率高。盛金公式3被称为超级简便的公式。与判别法及形成了一套完整的、简明的、实用的、具有的解三次方程的理论，范盛金创造出的这套万能的系统方法，对研究解问题及提高解三次方程的效率作出了贡献。
数学家至晚在1247年就已经发现一元三次方程的求根公式（秦九韶一元三次方程求根公式），欧洲人在400多年后才发现，但在中国的课本上这个公式仍是以那个的来命名的。（《数学九章》等）卡尔丹公式法
特殊型一元三次方程X^3+pX+q=0 (p、q∈R)。
Δ=(q/2)^2+(p/3)^3。
X1=(Y1)^(1/3)+(Y2)^(1/3)；
X2= (Y1)^(1/3)ω+(Y2)^(1/3)ω^2；
X3=(Y1)^(1/3)ω^2+(Y2)^(1/3)ω，
其中ω=(－1+i3^(1/2))/2；
Y(1,2)=－(q/2)±((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)。
标准型一元三次方程aX ^3+bX ^2+cX+d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。
令X=Y—b/(3a)代入上式。
可化为适合卡尔丹公式直接求解的特殊型一元三次方程Y^3+pY+q=0。
卡尔丹判别法
当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3&0时，方程有一个实根和一对；
当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；
当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3&0时，方程有三个不相等的。除了上文中的解法，还有其它解法，列举如下：法不是对所有的三次方程都适用，只对一些简单的三次方程适用．对于大多数的三次方程，只有先求出它的根，才能作因式分解。当然，对一些简单的三次方程能用因式分解求解的，当然用因式分解法求解很方便，直接把三次方程。
例如：x^3-x=0
对左边作因式分解，得x(x+1)(x-1)=0，得方程的三个根：x1=0；x2=1；x3=-1。对于一般形式的三次方程，先将方程化为x^3+px+q=0的特殊型。
令x=z-p/3z，代入并，得：z^3-p/27z+q=0。再令z=w，代入，得：w^2+p/27w+q=0．这实际上是关于w的。解出w，再顺次解出z，x。利用，求的函数的极大极小值，单调递增及递减区间，画出函数图像，有利于方程的大致解答，并且能快速得到方程解的个数，此法十分适用于高中数学题的解答。
如f(x）=x^3+x+1,得x^3+x=-1,设y1=x^3+x,y2=-1,
y1的导数y1'=3x^2+1,得y1'恒大于0，y1在R上单调递增，所以方程仅一个解，且当y1=-1时x在-1与-2之间，可根据f(x1)f(x2)&0的公式，无限逼近，求得较精确的解。应用广泛。用根号解，虽然有著名的，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式——，并建立了新判别法——盛金判别法。
盛金判别法当b=0，c=0时，盛金公式1无意义；当A=0时，盛金公式3无意义；当A≤0时，盛金公式4无意义；当T&－1或T&1时，盛金公式4无意义。
当b=0，c=0时，盛金公式1是否成立？盛金公式3与盛金公式4是否存在A≤0的值？盛金公式4是否存在T&－1或T&1的值？盛金定理给出如下回答：
盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一个三重实根0，盛金公式1仍成立）。
盛金定理2：当A=B=0时，若b≠0，则必定有c≠0（此时，适用盛金公式1解题）。
盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时，适用盛金公式1解题）。
盛金定理4：当A=0时，若B≠0，则必定有Δ&0（此时，适用盛金公式2解题）。
盛金定理5：当A&0时，则必定有Δ&0（此时，适用盛金公式2解题）。
盛金定理6：当Δ=0时，若A=0，则必定有B=0（此时，适用盛金公式1解题）。
盛金定理7：当Δ=0时，若B≠0，盛金公式3一定不存在A≤0的值（此时，适用盛金公式3解题）。
盛金定理8：当Δ&0时，盛金公式4一定不存在A≤0的值。（此时，适用盛金公式4解题）。
盛金定理9：当Δ&0时，盛金公式4一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T出现的值必定是-1&T&1。
显然，当A≤0时，都有相应的盛金公式解题。
注意：盛金定理逆之不一定成立。如：当Δ&0时，不一定有A&0。
盛金定理表明：盛金公式始终保持有意义。任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观求解。
当Δ=0时，3不存在开方；当Δ=0(d≠0)时，仍存在开立方。与卡尔丹公式相比较，的表达形式较简明，使用盛金公式解题较直观、效率较高；盛金判别法判别较直观。重根判别式A=b^2-3ac；B=bc-9ad；C=c^2-3bd是最简明的式子，由A、B、C构成的总判别式Δ=B^2－4AC也是最简明的式子（是非常美妙的式子），其形状与一元二次方程的根的判别式相同；盛金公式2中的式子(-B±(B^2-4AC)^(1/2))/2具有一元二次方程求根公式的形式，这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。
以上解法的结论，发表在《海南师范学院（自然科学版）》（第2卷，第2期；1989年12月，中国海南。国内统一：CN46-1014），第91—98页。，一元三次方程的新求根与新判别法。虽然判别式正确，然而此公式不正确！
例1、X^3+4X^2+24X-404=0
a=1 b=4 c=24 d=-404
A=-56 B=3732 C=5424 △=
因为△&0，所以用②
ans^3+4ans^2+24ans-404≠0
例2、X^3-18X^2+107x-210=0
a=1 b=-18 c=107 d=-210
A=306 B=-36 C=109 △=-132120
∵△&0 ，∴用④
arccos-1.=?
例3、 X^3-29X^2+264X-720=0
A=49 B=-1176 C=7056 △=0
∵△=0 ，∴用③
K=144 X1=173 X2=X3=-72
而原方程之三根为5、12、12
5≠173 12≠-72上述三个例子是没有正确运用盛金公式解题，因而得出错误的结果，但并不表示公式不正确。
正确地运用解答上述三个例子如下：
例1、解方程X^3+4X^2+24X—404=0
a=1，b=4，c=24，d=—404。
A=—56；B=3732；C=5424，△=。
∵△&0，∴应用用盛金公式2求解。
X2，X3=—4.±7.i。
X1+X2+X3=—3.；
X1(X2+X3)+X2X3=24；
X1X2X3=404.0000001。
—b/a=—4；
—d/a=404。
经用韦达定理检验，结果正确。
例2、X^3—18X^2+107X—210=0
a=1，b=—18，c=107，d=—210。
A=3；B=—36；C=109，△=—12。
∵△&0 ，∴应用盛金公式4求解。
把有关值代入盛金公式4，得：
X1=5；X2=7；X3=6。
用韦达定理检验：
X1+X2+X3=18；
X1(X2+X3)+X2X3=107；
X1X2X3=210。
—b/a=18；
—d/a=210。
经用韦达定理检验，结果正确。
例3、X^3—29X^2+264X—720=0解：
a=1，b=—29，c=264，d=—720。
A=49；B=—1176；C=7056，△=0。
∵△=0 ，∴应用盛金公式3求解。
把有关值代入盛金公式3，得：
X1=5；X2=X3=12。
用韦达定理检验：
X1+X2+X3=29；
X1(X2+X3)+X2X3=264；
X1X2X3=720。
—b/a=29；
—d/a=720。
经用韦达定理检验，结果正确。
在所得的结果是的情况下，如果把近似值代入原方程，那么原方程的左边不为零，此时用检验不能判断结果是否正确，要用韦达定理检验才能判断结果是否正确。
是的三次方程求根公式，只要运算过程操作不失误，在允许输入足够的位数的情况下，就可达到所需要的足够的。
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含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是1次的整式方程是一元一次方程。外文名linear equation with one unknown类&&&&型整式方程求解公式x=-b/a发名者
一元一次方程的标准形式（即所有一元一次方程经整理都能得到的形式）是（ ， 为， 为，且 ）。其中 是未知数的， 是常数， 是未知数。未知数一般设为 , , 。（1）该方程为。
（2）该方程有且只含有一个未知数。
（3）该方程中未知数的最高是1。
满足以上三点的方程，就是一元一次方程。要判断一个方程是否为一一次方程，先看它是否为整式方程。若是，再对它进行整理。如果能整理为 的形式，则这个方程就为一元一次方程。里面要有等号，且分母里不含未知数。
（，为，为未知数，且）一元一次方程的标准形式：ax+b=0 (a≠0)
其求公式为：x=-b/a
一元一次方程只有一个根去分母→去括号→移项→合并同类项→x系数化为1（即化为x=a的形式）（1）总量等于各分量之和。将未知数放在等号左边，常数放在右边。如：。
（2）等式两边都含未知数。如：，。3b=-1
都是一元一次方程。“方程”一词来源于中国古算术书《》。在这本著作中，已经列出了一元一次方程。法国数学家把未知数和常数通过所组成的方程称为。在19世纪以前，方程一直是的核心内容。一元一次方程通常可用于做应用题，如工程问题、行程问题、分配问题、盈亏问题、球赛积分表问题、电话（水表、电表）计费问题、数字问题等。[1]（1）依据：
（2）把所含字母相同且相同字母的指数也相同的项合并成一项；计算后合并成一项
（3）合并时次数不变，只是相加减。（1）依据：等式的性质1
（2）含有未知数的项变号后都移到方程左边，把常数项移到右边。
（3）把方程一边某项移到另一边时，一定要变号（如：时将+改为-，×改为÷）。的性质一：等式两边同时加一个数或减去同一个数或同一个，等式仍然成立。
等式的性质二：等式两边同时乘或除以一个不为零的代数式，等式仍然成立。
等式的性质三：等式两边同时（或），等式仍然成立。
都是依据等式的这三个。
解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解，也可以说是满足方程的一个数值一、去分母
做法：在方程两边各项都乘以各分母的；
依据：等式的性质2
二、去括号
一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号，可根据（记住如括号外有减号或除号的话一定要变号）
依据：乘法分配律
做法：把方程中含有未知数的项都移到方程的一边（一般是含有未知数的项移到方程左边，而把常数项移到右边）
依据：等式的性质1
四、合并同类项
做法：把方程化成ax=b（a≠0）的形式；
依据：乘法分配律（逆用乘法分配律）
五、系数化为1
做法：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=b/a。
依据：等式的性质2.去分母，去括号，移项时，要变号，，合并好，再把系数来除掉。如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做。（1）方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是同解方程。
（2）方程的两边同乘或同除同一个不为0的数所得的方程与原方程是同解方程。由于一元一次方程是，故教科书上的解法只有上述的方法。
但对于标准形式下的一元一次方程：ax+b=0 (a≠0)。
可得出求根公式 。由于一元一次函数都可以转化为ax+b=0（a，b为常量，a≠0）的形式，所以解一元一次方程就可以转化为：
当某一个函数值为0时，求相应的自变量的值。从图像上看，这就相当于求直线y=kx+b（k，b为常量，k≠0）与x轴交点的横坐标的值。题目：已知ax=b是关于x的方程（a、b为常数），求x的值。
分析：要牢牢抓住一元一次方程的定义，进行分类讨论。
解：当a≠0时， 。
当a=0，b=0时，方程有无数个解（注意：这种情况不属于一元一次方程，而属于恒等方程）
当a=0，b≠0时，方程无解（注意：此种情况也不属于一元一次方程）题目：解方程
分析：按照一元一次方程的解法顺序一步步进行，计算要细心。
解：去，得
检验：把 代入原方程
∴ 是原方程的解若a=b，则a+c=b+c，a-c=b-c（等式的性质1）。
若a=b，则ac=bc，a÷c=b÷c (c≠0)　（等式的性质2）[2]做一元一次方程的重要方法：
（1）认真（审题）
（2）分析已知和
（3）找一个合适的
（4）设一个恰当的未知数
（5）列出合理的方程 （列式）
（6）解出方程（解题）
（8）写出答案（作答）在小学会学习较浅的一元一次方程，到了初中开始深入的了解一元一次方程的解法和利用一元一次方程解较难的应用题。一元一次方程牵涉到许多的实际问题，例如工程问题、植树问题、比赛比分问题、行程问题、行船问题、相向问题分段收费问题、盈亏、利润问题。
列方程时，要先设字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，写出含有未知数的等式，即（equation）。
（1）4x=24
（3）0.52x-(1-0.52)x=80
分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用解决实际问题的一种方法。（1）使学生初步掌握一元一次方程解简单应用题的方法和步骤，并会列出一元一次方程解简单的应用题；
（2）培养学生观察能力，提高他们分析问题和解决问题的能力；
（3）使学生初步养成正确思考问题的良好习惯。一元一次方程解简单的应用题的方法和步骤。（1）从学生原有的认知结构提出问题：在小学中，我们学习了用算术方法解决实际问题的有关知识，那么，一个实际问题能否应用一元一次方程来解决呢？若能解决，怎样解？用一元一次方程解应用题与用算术方法解应用题相比较，它有什么优越性呢？
为了回答上述这几个问题，我们来看下面这个例题。
例1：某数的3倍减2等于某数与4的和，求某数。
（首先，用算术方法解，由学生回答，教师板书）
解法1：（4+2）÷（3-1)=3。
答：某数为3。
（其次，用代数方法来解，教师引导，学生口述完成）
解法2：设某数为x，则有3x-2=x+4。
解之，得x=3。
答：某数为3。
纵观例1的这两种解法，很明显，算术方法不易思考，而应用设未知数，列出方程并通过解方程求得应用题的解的方法，有一种化难为易之感，这就是我们学习运用一元一次方程解应用题的目的之一。
我们知道方程是一个含有未知数的等式，而等式表示了一个相等关系。因此对于任何一个应用题中提供的条件，应首先从中找出一个相等关系，然后再将这个相等关系表示成方程。
本节课，我们就通过实例来说明怎样寻找一个相等的关系和把这个相等关系转化为方程的方法和步骤。
（2）师生共同分析、研究一元一次方程解简单应用题的方法和步骤
例2.某面粉仓库存放的面粉运出15%后，还剩余42 500千克，这个仓库原来有多少面粉？
师生共同分析：
1．本题中给出的已知量和未知量各是什么？
2．已知量与未知量之间存在着怎样的相等关系？（原来重量-运出重量=剩余重量）
3．若设原来面粉有x千克，则运出面粉可表示为多少千克？利用上述相等关系，如何布列方程？
上述分析过程可列表如下：
解：设原来有x千克面粉，那么运出了15%x千克，由题意，得x-15%x=42500，所以 x=50000。
答：原来有50000千克面粉。
此时，让学生讨论：本题的相等关系除了上述表达形式以外，是否还有其他表达形式？若有，是什么？ 　（还有，原来重量=运出重量+剩余重量；原来重量-剩余重量=运出重量）
教师应指出：
1.这两种相等关系的表达形式与“原来重量-运出重量=剩余重量”，虽形式上不同，但实质是一样的，可以任意选择其中的一个相等关系来列方程
2.例2的解方程过程较为简捷，同学应注意模仿．
依据例2的分析与解答过程，首先请同学们思考列一元一次方程解应用题的方法和步骤；然后，采取提问的方式，进行反馈。
最后，根据学生总结的情况，教师总结如下：
1.仔细审题，透彻理解题意．即弄清已知量、未知量及其相互关系，并用字母（如x）表示题中的一个合理未知数
2.根据题意找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系．（这是关键一步）；
3.根据相等关系，正确列出方程．即所列的方程应满足两边的量要相等；方程两边的代数式的单位要相同；题中条件应充分利用，不能漏也不能将一个条件重复利用等；
4.求出所列方程的解；
5.检验后明确地、完整地写出答案．这里要求的检验应是，检验所求出的解既能使方程成立，又能使应用题有意义。
6.最好能用计算器再进行一次验算。引导——活动——讨论[3]启发式教学。主要概念：
1、：含有未知数的等式叫做方程。 2、一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的指数是1的方程叫做一元一次方程。 3、方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 4、解方程：求方程的解的过程叫做解方程。
等式的性质1：等式两边都加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
解一元一次方程的一般步骤及根据：
1.去分母——等式的性质2
2.去括号——分配律
3.移项——等式的性质1
4.合并——
5.系数化为1——等式的性质2
6.验根——把根分别代入方程的左右边看求得的值是否相等（1）分母是小数时，根据分数的基本性质，把分母转化为整数；
（2）去分母时，方程两边各项都乘各分母的最小公倍数，此时不含分母的项切勿漏乘，分数线相当于括号，去分母后分子各项应加括号；
（3）去括号时，不要漏乘括号内的项，不要弄错符号；
（4）移项时，切记要变号，不要丢项，有时先合并再移项，以免丢项；
（5）系数化为1时，方程两边同乘以系数的倒数或同除以系数，不要弄错符号；
（6）不要生搬硬套解方程的步骤，具体问题具体分析，，找到最佳解法。[4]
（7）分、小数运算时不能嫌麻烦。
（8）不要跳步，一步步仔细算。）
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X/(200/3)+X/(.23X/200+3X/15X+3X=720018X=7200X=400望采纳，有疑问可以再问
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太给力了，你的回答完美地解决了我的问题，非常感谢！
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