一元二次方程_百度百科
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只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程有5种解法，即、、、、图像法。公式法不能解没有实数根的方程（也就是b?-4ac&0的方程），其它所有一元二次方程都能解。，必须要把所有的项移到等号左边，并且等号左边能够分解因式，使等号右边化为0。配方法比较简单：首先将二次项系数a化为1，然后把常数项移到等号的右边，最后在等号两边同时加上一次项系数绝对值一半的平方，左边配成完全平方式，在开方就得解了。外文名quadratic equation of one unknown类&&&&型整式方程求根公式x=[-b±√(b?-4ac)]/2a解&&&&法&公式 因式分解 直接开方法
先化简，后判断。
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①是，即等号两边都是，方程中如果有；且在分母上，那么这个方程就是，不是一元二次方程，这点请注意！
②只含有一个未知数；
③未知数项的最高次数是2。[1]一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如ax2+bx+c=0 (a≠0,a,b,c是)的形式。这种形式叫一元二次方程的一般形式。b和c可取任意，而a必须是不等于0的。要先确定二次项系数，再确定一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式。[2] （a、b是，a≠0）;
（a、c是，a≠0）;
（a是，a≠0）.
注：a≠0这个条件十分重要.形如x2=p或(nx+m)2=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接法解一元二次方程。
如果方程化成 的形式，那么可得 。
如果方程能化成 (p≥0)的形式，那么 ，进而得出方程的根。　　注意：
①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数。　　②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。　　③方法是根据平方根的意义开平方。步骤
将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫。
用法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为一般形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是，即可进一步通过直接开平方法求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解。
配方法的理论依据是a?+b?±2ab=（a±b）?
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
例一：用配方法解方程 3x2－4x-2=0
解：将常数项移到方程右边 3x2-4x=2
方程两边都加上一次项系数一半的平方：
直接开平方得：
∴原方程的解为 , .步骤
用求根公式解一元二次方程的方法叫做求根。
用求根公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式 ，确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出 的值，判断根的情况；
③在 的前提下，把a、b、c的值代入公式 进行计算，求出方程的根。
一元二次方程的求根公式导出过程如下：
（为了配方，两边各加 ）
（化简得）。
一元二次方程的求根公式在方程的系数为、、或是任意中适用。
一元二次方程中的判别式:根号下b?－4ac
应该理解为“如果存在的话，两个自乘后为的数当中任何一个”。在某些中，有些数值没有。
一元二次方程的求根公式导出过程如下：
a的取值范围任意，c取值范围任意，b=(a+1)√c。从a b c 的取值来看可出1亿道方程以上，与因式分解相符合。
运用韦达定律验证：
即利用因式分解求出方程的解的方法。
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原图解法方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解的问题（数学）。
因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；
②将方程的左边分解为两个的乘积；
③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解。[1]一元二次方程 的根的意义是 的图像（为一条）与x轴交点的X坐标。当 时，则该函数与x轴图解法相交（有两个交点）；当 时，则该函数与x轴相切（有且仅有一个交点）；当 时则该函数与x轴相离（没有交点）。
另外一种解法是把一元二次方程 化为：
则方程的根，就是函数 和 交点的X坐标。
通过作图，可以得到一元二次方程根的近似值。在使用计算机解一元二次方程时，和人手工计算类似，大部分情况下也是根据下面的公式去解
可以进行符号运算的，比如软件，可以给出根的解析表达式，而大部分程序则只会给出数值解（但亦有部分显示平方根及）。（1）一元二次方程的（）的意义：　　能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解。一元二次方程的解也称为一元二次方程的根（只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根）。
（2）一元二次方程一定且最多有两个解，也有可能没有解，那就要看判别式（）利用一元二次方程根的（ ）可以判断方程的根的情况。
一元二次方程 的根与根的 有如下关系：
①当 时，方程有两个不相等的实数根；
②当 时，方程有两个相等的根；
③当 时，方程无实数根，有2个不相等的虚数根。
上述结论反过来也成立。公元前2000年左右，的数学家就能解了。他们是这样描述的：已知一个数与它的之和等于一个已给数，求出这个数。他们使x1+x2=b，x1x2=1，x2-bx+1=0，再做出解答。可见，古巴比伦人已知道一元二次方程的解法，但他们当时并不接受，所以负根是略而不提的。
的中也涉及到最简单的二次方程，例如：ax2=b。
大约480年，已经使用配方法求得了二次方程的正根，但是并没有提出通用的求解方法。《》勾股章中的第二十题，是通过求相当于x2+34x-71000=0的正根而解决的。中国数学家还在方程的研究中应用了。
公元前300年左右，的（Euclid）（约前330年～前275年）提出了用一种更抽象的几何方法求解二次方程。
的（Diophantus）（246～330）在解一元二次方程的过程中，却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一。
公元628年，的（Brahmagupta）（约598～约660）出版了《》，得到了一元二次方程x2+px+q=0的一个求根公式。
公元820年，的（al-Khwārizmi） （780～810）出版了《》。书中讨论到方程的解法，除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出了一元二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有的认识。他把方程的未知数叫做“根”，后被译成radix。其中涉及到六种不同的形式，令a、b、c为，如ax2=bx、ax2=cx、ax2+c=bx、ax2+bx=c、ax2=bx+c等。把二次方程分成不同形式作讨论，是依照的做法。
法国的韦达（）除推出一元方程在范围内恒有解外，还给出了。
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一、内容和内容解析
用因式分解法解一元二次方程．
2．内容解析
教材通过实际问题得到方程，让学生思考解决方程的方法除了之前所学习过的配方法和公式法以外，是否还有更简单的方法解方程，接着思考为什么用这种方法可以求出方程的解，从而引出本节课的教学内容．
解一元二次方程的基本策略是降次，因式分解法将一个一元二次方程转化为两个一次式的乘积为零，是解某些一元二次方程较为简便灵活的一种特殊方法．体现了降次的思想，这种思想在以后处理高次方程时也很重要．
基于以上分析，确定出本节课的教学重点：会用因式分解法解特殊的一元二次方程．二、目标和目标解析
1．教学目标
（1）了解用因式分解法解一元二次方程的概念；会用因式分解法解一元二次方程；
（2）学会观察方程特征，选用适当方法解决一元二次方程．
2．目标解析
（1）学生能理解因式分解法的概念，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤，会利用因式分解求解特殊的一元二次方程；
（2）学生通过对比一元二次方程的结构类型，选用适当的方法合理的解方程，增强解决问题的灵活性．
三、教学问题诊断分析
学生在此之前已经学过了用配方法和公式法求一元二次方程的解，然后通过实际问题，获得一个显然可以用“提取公因式法”而达到“降次”目的的方程，从而引出因式分解法解一元二次方程，体现了从简单的、特殊的问题出发，通过逐步推广而获得复杂的、一般的问题，符合学生的认知规律．
在实际的教学中，学生在利用因式分解法解方程式往往会在因式分解上存在着一定的困难，从而不能将方程化成两个一次式乘积的形式．另外在面对一元二次方程时，缺乏对方程结构的观察，从而在方法的选择上欠佳，缺乏解决问题的灵活性，增加了计算的难度，降低了计算的准确性．为了突破这一难点，应带领学生认真观察方程的结构，对比方法的难易简便，从而选择合理的方法解决一元二次方程．
本节课的难点：学会观察方程特征，选用适当方法解决一元二次方程．
四、教学过程设计
1．创设情景，引出问题
问题一& 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过 s离地面的高度（单位：m）为．根据上述规律，物体经过多少秒落回地面（结果保留小数点后两位）？
师生活动：学生积极思考并尝试列方程，可有学生解释如何理解“落回地面”．
【设计意图】学生首先要理解实际问题背景下代数式的意义，理解落回地面的意义就是高度为零，就是表示高度的代数式的值为零，从而列出方程．在阅读并尝试回答的过程中让他们感受在生活、生产中需要用到方程，从而激发学生的求知欲．
2．观察感知，理解方法
问题二　如何求出方程的解呢？
师生活动：学生从已有的知识出发，考虑用配方法和公式法解决问题，教师再一步引导学生观察方程的结构，学生进行深入的思考，努力发现因式分解法方法解方程．
【设计意图】通过配方法和公式法的选择，更好地让学生对比感受因式分解法的简便，为本节课的教学内容做好知识上的铺垫和准备．
问题三　如果，则有什么结论？对于你解方程有什么启发吗？
师生活动：学生很容易回答有或的结论．由此进一步思考如何将一元二次方程化为两个一次式的乘积．
【设计意图】通过观察，引导学生进一步思考，发现用因式分解中提取公因式法解方程更加简便，从而学生会对方法的选择有一定的理解．
问题四　上述方法是是如何将一元二次方程降为一次的？
师生活动：学生通过对解决问题过程的反思，体会到通过提取公因式将一元二次方程化为了两个一次式的乘积的形式，得到两个一元一次方程，教师注重引导学生观察方程在因式分解过程中的变化，在学生总结发言的过程中适当引导．
【设计意图】让学生对比不同解法，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种节一元二次方程的方法叫做因式分解法．在反思小结的过程中，理解因式分解法的意义，从而引出本节课的教学内容．
3．例题示范，灵活运用
例　解下列方程
（1）；&&&&& （2）．
师生活动：提问：（1）如何求出方程（1）的解呢？说说你的方法．
（2）对比解法，说说各种解法的特点．
学生积极思考，积极回答问题，对比解法的不同．
【设计意图】问题（1）的提出是开放式的，学生可能会回答将括号打开，然后利用配方法或公式法，也有些学生会观察到如果将当作一个整体，利用提取公因式的方法直接就化为两个一次式乘积为零的形式．通过问题（2）的思考讨论，让学生体会解法的利弊，注重观察方程自身的结构．
师生活动：提问：（1）方程（2）与方程（1）对比，在结构上有什么不同？
（2）谈谈方程（2）的解法．
学生观察方程（2）与方程（1）的区别，用类比划归的思想解决问题．
【设计意图】问题（2）的方程需要先进行移项，将方程化为右侧等于零的结构，然后得到一个平方差的结构，利用平方差公式将一元二次方程化为两个一次式的乘积为零的结构．
4．巩固练习，学以致用
完成教材P14练习1，2．
【设计意图】巩固性练习，同时检验一元二次方程解法掌握情况．
5．小结提升，深化理解
问题五　（1）因式分解法的一般步骤是什么？
（2）请大家总结三种解法的联系与区别．
师生活动：学生积极思考，归纳因式分解法的一般步骤．总结各种解题方法的特点，体会各种方法的利弊，在交流的过程中加深对解一元二次方程方法的理解，教师对学生的发言给予鼓励和肯定，对于小结交流中的出现的问题及时进行引导纠正，帮助学生深入理解问题．
【设计意图】学生通过小结反思，深化对问题的理解，体会到配方法需要将方程进行配方降次，公式法需要将方程化为一般形式后利用求根公式求解；而因式分解法需要将一元二次方程化为两个一次项乘积为零的形式；另在还让学生体会到配方法和公式法适用于所有方程，但有时计算量比较大，因式分解法适用于一部分一元二次方程，但是三种方法都体现了降次的基本思想．
五、目标检测设计
解下列方程
【设计意图】利用提取公因式法解方程．
【设计意图】利用平方差公式解方程．
【设计意图】利用因式分解法不适合的方程可选择用公式法或配方法解决．
【设计意图】选用适当的方法解方程．
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因式分解与分解因式的区别?
因式分解与分解因式的区别?
因式分解,也叫分解因式,因式分解,是主谓短语,分解因式,是动宾短语,就是把多项式,变成一个个式子相乘的形式；如果需要示意图,就看看汉字 “目”、“月” 和 “朋”、“用”,“月” 和 “目” 就是长为 3,宽分别是 a、b 的两个长方形,写成 3a + 3b 像 “朋” 就是一个两项式,如果 “月” 和 “目” 拼成一个 “用”,就是 3(a + b) 的一个长方形,把 3a + 3b 两项相加的式子变成 3(a+b) 乘积的式子,就是因式分解.分解因式,也正如分解质因数,分解质因数,是要把整数变成一个个质数的乘积,在因数中去掉合数；分解因式,就是把整式变成一个个因式的乘积,尽量降低各个因式的次数,具体方法,【第一步,提取公因式】这也是最简单的方法,公因式不仅有：系数、字母、单项式（这些我们都熟悉了）,而且,公因式还可能是一个式子,例如 (a + b)(3m + 2n) + (2m + 3n)(a + b),公因式是 (a+b)原式 = ( a + b )( 3m + 2n + 2m + 3n ) = ( a + b )( 5m + 5n ) ——这样再提取系数 5= 5( a + b )( m + n )【第二步,公式法】就是把整式乘法的公式倒过来用,a" - b" = (a - b)(a + b) ——平方差,a" + 2ab + b" = (a + b)" ——完全平方和,a" - 2ab + b" = ( a - b )" ——完全平方差,a"' + b"' = (a + b)(a" - ab + b") ——立方和,a"' - b"' = ( a - b )(a" + ab + b") ——立方差,熟悉公式,熟悉平方数、立方数是关键,【平方差】还有两个完全平方相减的式子,例如 9( x + y )" - 4( x + y - 1 )"= [ 3(x + y) - 2(x + y - 1) ][ 3(x + y) + 2(x + y - 1) ]= ( 3x + 3y - 2x - 2y + 2 )( 3x + 3y + 2x + 2y - 2 )= ( x + y + 2 )( 5x + 5y - 2 )【完全平方式】应该注意( a - b )"= [ - ( b - a ) ]" = ( b - a )"= a" - 2ab + b" = b" - 2ab + a"而且( a - b )" = [ a + ( - b ) ]"= a" - 2ab + b" = a" + 2a(-b) + (-b)"公式或许就只有一个( a + b )" = a" + 2ab + b"【立方和、立方差】原来两个三次项,分解因式变成五个项,两个是一次项、三个是二次项,a"' + b"' = ( a + b )( a" - ab + b" )a"' - b"' = ( a - b )( a" + ab + b" )我们看看特征,两个一次项 a 和 b,正负与原来的三次项 a"' 和 b"' 一样；三个二次项,a" + b" 还是平方和,中间项 ab 就要与一次项相反.或者,看分解因式的五个项,立方和,只有二次项 ab 为负,其余全都是正；立方差,除了一次项 b 为负,其余全都是正.想一想,二次项 ab,如果立方和换成 +ab,立方差换成 -ab,再变成 2 不就成了完全立方吗?怎么是立方和、立方差呢?( a + b )( a" + 2ab + b" ) =( a + b )( a + b )" =( a + b )"'( a - b )( a" - 2ab + b" ) = ( a - b )( a - b )" = ( a - b )"'这样看来,立方和是 -ab,立方差是 +ab,就是要加大与完全立方的差别啊!为了熟悉公式,我们也应该取简单的数字算一算,2"' - 1"' = 8 - 1= 7 = 1 X 7= ( 2 - 1 )( 4 + 2 + 1 )= ( 2 - 1 )( 2" + 2 + 1 )相信我们都知道,分解因式是这五个项,相对困难就是正负符号,不知怎样确定,这样只要算一算,就能够帮助自己确定符号了.【第三步,二次三项式分解】我建议,十字相乘法,结合分组分解法一同使用,正如 x" + (a + b)x + ab = ( x + a )( x + b )把单项式 mx = (a+b)x ,拆开变成 ax + bx ,就能够分组提公因式进行分解.【】关键是看常数项的正负,决定一次项怎样一分为二,常数项不变,只是一次项变成相反数,一次项一分为二的绝对值就不变；一次项不变,只要常数项变成相反数,一次项就要改变一分为二的方式；前面已经说过,完全平方,b" 必然都是 +b",x" + 10x + 25 = ( x + 5 )"x" - 10x + 25 = ( x - 5 )"再看看 x" ± 10x ± 24,分解因式 4 种情况都有,【】如果常数项是正数,一次项就是拆开两个绝对值比原来小的两个项；x" + 10x + 24= x" + 4x + 6x + 24= x( x + 4 ) + 6( x + 4 )= ( x + 4 )( x + 6 )常数项 +24 不变,一次项 ±10x 就都是拆开 4x 与 6x 的和,x" - 10x + 24= x" - 4x - 6x + 24= x( x - 4 ) - 6( x - 4 )= ( x - 4 )( x - 6 )【】如果常数项是负数,一次项系数就是分开两个项的相差数；x" - 10x - 24= x" - 12x + 2x - 24= x( x - 12 ) + 2( x - 12 )= ( x - 12 )( x + 2 )常数项 -24 不变,一次项 ±10x 就都是拆开 12x 与 2x 的相差数,x" + 10x - 24= x" + 12x - 2x - 24= x( x + 12 ) - 2( x + 12 )= ( x + 12 )( x - 2 )像这样的二次三项式,还有x" ± 5x ± 6,x" ± 10x ± 24,x" ± 15x ± 54,x" ± 20x ± 96,x" ± 25x ± 150,……8x" ± 26x ± 15,8x" ± 52x ± 60,8x" ± 78x ± 135,……或者说,这些也就是两组,x" ± 5xy ± 6y" ,8x" ± 26xy ± 15y" ,它们包括了多种具体情况,让我们也都取值做一做,感受一下其中的奥秘吧.【】二次三项式,分解因式,这样也是技巧、窍门,关键就看 c 与 a 的正负,只要熟悉这个方法,x" + bx + c,ax" + bx + c,ax" + bxy + cy",我们都同样做得方便.【复杂的多项式,配方法】如果上面这些方式方法都不熟悉,或者二次三项式看起来复杂,不知所措,还可以使用配方法,我们还是看看 x" - 10x - 24 ,x" - 10x - 24首先配方,把二次项和一次项,变成完全平方,= x" - 10x + 5" - 25 - 24= ( x - 5 )" - 49分解因式,用平方差公式= ( x - 5 )" - 7"= ( x - 5 - 7 )( x - 5 + 7 )= ( x - 12 )( x + 2 )【分解之后,还要检验】确保分解彻底,因式分解变形正确,例如 x^6 - y^6,应该= ( x"' - y'" )( x"' + y"' )= ( x - y )( x + y )( x" - xy + y" )( x" + xy + y" )相当于 64 - 1,= ( 8 - 1 )( 8 + 1 )= ( 2 - 1 )( 4 + 2 + 1 )( 2 + 1 )( 4 - 2 + 1 )= 1 X 7 X 3 X 3如果先用立方差,做成= ( 4 - 1 )( 4" + 4 + 1 )= ( 2 - 1 )( 2 + 1 )( 16 + 4 + 1 )= 1 X 3 X 21就还有 21 不是质因数,分解不彻底,也就不正确了.正如现在的平方差,有两个完全平方式相减,现在要求分解的式子都比较复杂,要想还原就不方便了,各种类型的式子,我们就都要熟悉两三种解答方式,看看不同的方式方法是不是同一个结果,这样才能够相互检验,确保解答正确.
答：其实是一回事！！只是说法不同而已。
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