（2014o广东）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥AB于点D，BC=10cm，AD=8cm．点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；
（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；
（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．
（1）如答图1所示，利用菱形的定义证明；
（2）如答图2所示，首先求出△PEF的面积的表达式，然后利用二次函数的性质求解；
（3）如答图3所示，分三种情形，需要分类讨论，分别求解．
（1）证明：当t=2时，DH=AH=2，则H为AD的中点，如答图1所示．
又∵EF⊥AD，
∴EF为AD的垂直平分线，
∴AE=DE，AF=DF．
∵AB=AC，AD⊥BC于点D，
∴AD⊥BC，∠B=∠C．
∴EF∥BC，
∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF=DE=DF，即四边形AEDF为菱形．
（2）解：如答图2所示，由（1）知EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴，即，解得：EF=10-t．
S△PEF=EFoDH=（10-t）o2t=-t2+10t=-（t-2）2+10
∴当t=2秒时，S△PEF存在最大值，最大值为10，此时BP=3t=6．
（3）解：存在．理由如下：
①若点E为直角顶点，如答图3①所示，
此时PE∥AD，PE=DH=2t，BP=3t．
∵PE∥AD，∴，即，此比例式不成立，故此种情形不存在；
②若点F为直角顶点，如答图3②所示，
此时PE∥AD，PF=DH=2t，BP=3t，CP=10-3t．
∵PF∥AD，∴，即，解得t=；
③若点P为直角顶点，如答图3③所示．
过点E作EM⊥BC于点M，过点F作FN⊥BC于点N，则EM=FN=DH=2t，EM∥FN∥AD．
∵EM∥AD，∴，即，解得BM=t，
∴PM=BP-BM=3t-t=t．
在Rt△EMP中，由勾股定理得：PE2=EM2+PM2=（2t）2+（t）2=t2．
∵FN∥AD，∴，即，解得CN=t，
∴PN=BC-BP-CN=10-3t-t=10-t．
在Rt△FNP中，由勾股定理得：PF2=FN2+PN2=（2t）2+（10-t）2=t2-85t+100．
在Rt△PEF中，由勾股定理得：EF2=PE2+PF2，
即：（10-t）2=（t2）+（t2-85t+100）
化简得：t2-35t=0，
解得：t=或t=0（舍去）
综上所述，当t=秒或t=秒时，△PEF为直角三角形．&&评论 & 纠错 &&
同类试题1：如图，BC是圆O的直径，AD垂直BC于D，弧BA等于弧AF，BF与AD交于E，求证：（1）∠BAD=∠ACB；（2）AE=BE．证明：（1）∵BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAD=90°，又AD⊥BC，∴∠ACB+∠CAD=90°，∴∠BAD=∠ACB；（2）∵弧BA等于弧AF，∴∠ACB=∠ABF，∵∠BAD=∠ACB，∴∠ABF=∠BAD，∴AE=BE．
同类试题2：如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A和点B，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（，0），解答下列各题：（1）求线段AB的长；（2）求⊙C的半径及圆心C的坐标；（3）在⊙C上是否存在一点P，使得△POB是等腰三角形？若存在，请求出∠BOP的度数；若不存在，请说明理由．解：（1）∵A（0，2），B（23，0）∴OA=2，OB=23；Rt△OAB中，由勾股定理，得：AB=OA2+OB2=4；（2）∵∠AOB=90°，∴AB是⊙C的直径；∴⊙C的半径r=2；过C作CE⊥y轴于E，则CE∥OB；∵C是AB的中点，∴CE是△AOB的中位线，则OE=12OA=1，CE=12OB=3，即C（3，1）；故⊙C的半径为2，C（3，1）；（3）作OB的垂直平分线，交⊙C于M、N，...点D是线段AB延长线上一点，点C是BD的中点，已知AD=10cm，BC=2cm，求AB的长。_百度知道
点D是线段AB延长线上一点，点C是BD的中点，已知AD=10cm，BC=2cm，求AB的长。
提问者采纳
baidu.hiphotos.baidu.hiphotos://f://f://f.jpg" target="_blank" title="点击查看大图" class="ikqb_img_alink"><img class="ikqb_img" src="http.hiphotos.jpg" esrc="/zhidao/wh%3D600%2C800/sign=6dcd7e64baaeb9174810c//zhidao/pic/item/63d9f2d10cf603c2f9<a href="/zhidao/wh%3D450%2C600/sign=4a21e904aedfedb/63d9f2d10cf603c2f9
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太给力了，你的回答完美地解决了我的问题，非常感谢！
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