求不定积分（第一换元法）_百度知道
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出门在外也不愁求不定积分，用换元法
求不定积分，用换元法
1）∫1/(1+根号(1+t))dt2)∫根号(x^2+a^2)/xdx3)∫根号(x^2+2x)/x^2dx4)∫1/根号(e^u+1)du5)∫1/x*根号(a^2-b^2*x^2)dx6)∫根号(1+lnx)/x*lnxdx请写出过程谢谢
令√(1+t)=u，得t=u?-1，dt=2udu∫1/[1+√(1+t)]dt=∫2u/(1+u)du=2∫[(1+u)-1]/(1+u)du=2∫du-2∫1/(1+u)d(1+u)=2u-2ln(1+u)+C=2√(1+t)-2ln[1+√(1+t)]+C令√(x?+a?)=t，得x?=t?-a?，dx?=2tdt∫√(x?+a?)/xdx=∫x√(x?+a?)/x?dx=[∫√(x?+a?)/x?dx?]/2=[∫2tot/(t?-a?)dt]/2=∫[(t?-a?)+a?]/(t?-a?)dt=∫dt+a?∫1/(t?-a?)dt=t+aln[(t-a)/(t+a)]/2+C=√(x?+a?)+aln{[√(x?+a?)-a]/[√(x?+a?)+a]}/2+C令√(1+2/x)=u，得x=2/(u?-1)，dx=-4u/(u?-1)?∫√(x?+2x)/x?dx=∫√[4/(u?-1)?+4/(u?-1)]/[4/(u?-1)?]o[-4u/(u?-1)?]du=-∫u√[4+4(u?-1)/(u?-1)?]du=-2∫u?/(u?-1)du=-2∫[(u?-1)+1]/(u?-1)du=-2∫du-2∫1/(u?-1)du=ln[(1+u)/(1-u)]-2u+C=ln[(1+√(1+2/x))/(1-√(1+2/x))]-2√(1+2/x)+C此处√(1+2/x)=u经过两次代换首先令x=1/t，得dx=-1/t?dt，得到∫√(1+2t)/tdt，再令√(1+2t)=u，即√(1+2/x)=u令√(e^u+1)=t，得u=ln(t?-1)，du=2t/(t?-1)dt∫1/√(e^u+1)du=∫1/to2t/(t?-1)dt=∫1/(t?-1)dt=ln[(t-1)/(t+1)]+C=ln[(√(e^u+1)-1)/(√(e^u+1)+1)]+C令x=1/t，得dx=-1/t?dt∫1/x√(a?-b?x?)dx=-∫t/√(a?-b?/t?)o1/t?dt=-∫t?/√(a?t?-b?)o1/t?dt=-∫1/a√[t?-(b/a)?]dt=-ln[t+√(t?-b?/a?)]/a+C=-ln[1/x+√(1/x?-b?/a?)]/a+C=ln{ax/[a+√(a?-b?x?)]}/a+C令√(1+lnx)=t，得x=e^(t?-1)，dx=2te^(t?-1)∫√(1+lnx)/xlnxdx=∫t/(t?-1)e^(t?-1)o2te^(t?-1)dt=2∫t?/(t?-1)dt=2∫[(t?-1)+1]/(t?-1)dt=2∫dt+2∫1/(t?-1)dt=2t+ln[(t-1)/(t+1)]+C=2√(1+lnx)+ln[(√(1+lnx)-1)/(√(1+lnx)+1)]+C
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如果不换元，可以分子分母同除x平方，然后凑(x-x^-1)的微分换元的话，可以令x=tant
那如果要换元，怎么办？
课本后面的参考答案。要怎么算到它？
参考答案估计是这样的。先对 x^4+1 分解因式。x^4+1=(x^4+2x^2+1)-2x^2=(x^2+1)^2-(√2 x)^2=(x^2 +√2 x
+1)(x^2 -√2 x +1).而 x^2 ±√2 x
+1 是实数范围内的“不可约多项式”。……一般来说, Ax^4+B, (A,B&0) 都可以这么分解。
6L 的最后一步直接用公式：（换元积分法例题。）可以对结果求导，检验一下。
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