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关于古代纪时法的问题
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TA的每日心情难过 17:50签到天数: 35 天[LV.5]常住居民I
读古书，最头疼的就是天文和历法方面的问题，现想就古代纪时问题求教于方家。
《资治通鉴》开篇即“周纪一　起著雍摄提格，尽玄(黑弋）困敦，凡三十五年”查了资料，知道这叫岁阳纪年法，即取阏逢、旃蒙等十个名称，叫岁阳，与十二个太岁年名相配，组合成六十个年名。组合方式与干支类似，可对照。如杲可与干支完全对照替代，为何又要别出心裁地另搞一套呢？司马光又为何要选用这种不是很常用的纪年法呢，使得后世注家还得拼命在一旁甲子、乙丑地加注。
　　另外，干支纪时是一种循环往复的纪时方法，那么就应该有个基点，即首先应确定哪一年作为干支循环的开始，这个基点是如何确定的呢？特别是干支纪日，我们又是如何来确知“四月辛卯”之类的记录是指哪一天呢？
　　本人这些问题是否问得很业余？请方家解释时尽可能通俗易懂些。
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TA的每日心情难过 17:50签到天数: 35 天[LV.5]常住居民I
没人知道么!着急中,顶起!
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百度上的解答～不全，待补
六十干支表
　　甲子0 乙丑1 丙寅2 丁卯3 戊辰4 己巳5 庚午6 辛未7 壬申8 癸酉9
　　甲戌10 乙亥11 丙子12 丁丑13 戊寅14 己卯15 庚辰16 辛巳17 壬午18 癸未19
　　甲申20 乙酉21 丙戌22 丁亥23 戊子24 己丑25 庚寅26 辛卯27 壬辰28 癸巳29
　　甲午30 乙未31 丙申32 丁酉33 戊戌34 己亥35 庚子36 辛丑37 壬寅38 癸卯39
　　甲辰40 乙巳41 丙午42 丁未43 戊申44 己酉45 庚戌46 辛亥47 壬子48 癸丑49
　　甲寅50 乙卯51 丙辰52 丁巳53 戊午54 己未55 庚申56 辛酉57 壬戌58 癸亥59
　　该表于公元前后的推算均适用，具体的方法如下：
　　1，求公元后某年（设为Y）的干支。方法是：先以Y除以60得出余数，然后再减去4，最后根据所得结果查表一中相应序数所对应的干支即为该年的干支。
　　例如求公元1911年的干支：1911÷60余数为51，减4后得47，查表一47对应的干支是辛亥，即1911年为辛亥年。由于干支纪年60年一循环，当Y÷60的余数小于4时，需借干支纪年的一个周期60之数，例如1981年除以60余数为1，直接减4不够减，加上60之后再减4等于57，查表一便知1981年为辛酉年。余可类推。
　　2，求公元前某年（设为X）的干支。方法是：先以X除以60求其余数，再用57减去所得余数，根据所得结果再查表一中对应的干支，即为该年的干支。
　　例如求公元前221年的干支：221÷60，余数是41，以57－41＝16，查表一16对应的是庚辰，即公元前221年对应的干支应为庚辰。同样由于干支纪年的循环周期为60年，当余数大于57时，也需再借60。例如求公元前479年（孔子卒年）的干支：479除以60余59，用57减59不够减，加上60之后再减59等于58，查表一知该年对应的干支为壬戌。其余可以类推。
[ 本帖最后由 汗八里城主 于
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国学数典中有一本《丁緜孙著：中国古代天文历法基础知识》，裡面有樓主需要的相關知識
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　　古人把黄道附近一周天分为十二等分，由西向东命名为星纪，玄枵，诹訾（娵觜），降娄，大梁，实沈 ，鹑首 ，鹑火 ，鹑尾 ，寿星 ，大火 ，析木十二次。（枵音xiāo，娵音jū，诹音zōu，沈音chén）古人认为岁星（木星）由西向东十二年绕天一周，每年行经一次星次，并用木星所在星次来纪年。故木星被称为岁星。假如某年岁运行到星纪范围，这一年就记为“岁在星纪”，第二年岁运星运行到玄枵范围，就记为“岁在玄枵”。由此类推，十二年周而复始。这种纪年法被称为岁星纪年法。《国语·周语》说：“武王伐纣，岁在鹑火。”；《国语·晋语》：“岁在大梁，将集天行”。就是用岁星纪年的例子。事实上岁星并不是12年绕天一周，而是11.8622年，每年移动的范围比一个星次稍微多一点，渐积至86年，便会多走一个星次，这种情况叫“超辰”或“超次”。
　　古人有所谓十二辰的概念，就是把黄道附近一周天的十二等分由东向西配以子丑寅卯等十二辰，其安排的方向正好和十二次相反。二者对照如下表：
星纪（丑）；玄枵（ 子）；诹訾（ 亥）；降娄（ 戌）；大梁（ 酉）；实沈 （申）
鹑首（未）；鹑火 （午）；鹑尾 （巳）；寿星 （辰）；大火 （卯）；析木 （寅）
　　岁星由西向东的运行，和人们所熟悉的十二辰的方向正好相反。为了避免岁星纪年法“名不符实”的问题，古人虚拟了一个相对岁星做反向运动的“太岁”，让它和真岁星背道而驰，这样就和十二辰的方向顺序相一致，并用它来纪年，是为太岁纪年法。太岁是《汉书·天文志》的叫法，《史记·天官书》叫岁阴，《淮南子·天文训》叫太阴。根据《汉书·天文志》记载的战国时天象记录，某年岁星在星纪，太岁便运行到析木（寅），这一年就是“太岁在寅”；第二年岁星运行到玄枵，太岁便运行到大火（卯），这一年就是“太岁在卯”。
　　为了回避地支之名，又对太岁所在的寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥、子、丑、12个年，给以相应的岁阴专名。
　　《尔雅》记载十个岁阴和十二地支对应：摄提格、单阏（dān è ）、执徐、大荒落、敦牂、协洽、涒滩（yūn tān ）、作噩、阉茂、大渊献、困敦、赤奋若。
《史记·历书》记载十二个岁阴和十二地支对应：摄提格、单阏（dān è ）、执徐、大芒落（大荒骆）、敦牂、叶洽（汁洽）、涒滩（yūn tān ）、作鄂、淹茂、大渊献、困敦、赤奋若。
太岁年名　　太岁位置　　岁星位置
摄提格　　　寅（析木）& &　星纪（丑）
单阏　　　　卯（大火）　　玄枵（子）
执徐　　　　辰（寿星）　　诹訾（亥）
大荒落　　　巳（鹑尾）　　降娄（戌）
敦牂　　　　午（鹑火）　　大梁（酉）
协洽　　　　未（鹑首）　　实沈（申）
涒滩　　　　申（实沈）　　鹑首（未）
作噩　　　　酉（大梁）　　鹑火（午）
阉茂　　　　戌（降娄）　　鹑尾（巳）
大渊献　　　亥（诹訾）　　寿星（辰）
困敦　　　　子（玄枵）　　大火（卯）
赤奋若　　　丑（星纪）　　析木（寅）
　　《吕氏春秋·序意篇》：“维秦八年，岁在涒滩”。涒滩即申年。屈原《离骚》中有“摄提贞于孟陬兮，唯庚寅吾以降”。摄提是太岁年名里的摄提格，孟陬指夏历正月建寅之月；庚寅是生日的干支。所以屈原正好生于“寅年寅月寅日”。但这里的寅年不是干支纪年里的“寅”年，而是指太岁在寅（析木）之年。
　　大约在西汉年间，历法家又取了阏逢、旃蒙等十外名称，叫做岁阳，依次和上述十二个太岁年名相配，方法同六十甲子相同，组成六十个年名，以阏逢摄提格为第一年，旃蒙单阏为第二年。六十年周而复始。这种纪年法自西汉太初元年就开始使用了。
　　《尔雅》记载十个岁阳和十干对应：
　　阏逢（甲）；旃蒙（乙）；柔兆（丙）；强圉（丁）；著雍（戊）
　　屠维（己）；上章（庚）；重光（ 辛）；玄黓 壬）；昭阳（癸）
　　《史记·历书》记载十个岁阳和十干对应：
　　焉逢（甲）；端蒙（乙）；游兆（丙）；强梧（丁）；徒维（戊）
　　祝犁（己）；商横（庚）；昭阳（辛）；壬（横艾）；癸（尚章）
　　昭阳以《尔雅》为准。即癸为昭阳。
　　阏逢困敦为甲子年，旃蒙大渊献为乙亥年。东汉改用《四分历》时，采用干支纪年，废止了岁星纪年法。但后人还有用这些古年名的，是根据当年的干支来对照的，已经失去了这些年名的本来意义了。如司马光《资治通鉴》176卷《陈纪》十下注：“起阏蒙执徐，尽著雍涒滩，凡五年”，这是说从甲辰到戊申共五年。
十二次与国州对应关系：
星纪：吴越（扬州）；于辰在丑
玄枵：齐（青州）；于辰在子
诹訾：卫（并州）；于辰在亥
降娄：鲁（徐州）；于辰在戌
大梁：赵（冀州）；于辰在酉
实沈：魏（益州）；于辰在申
鹑首：秦（雍州）；于辰在未
鹑火：周（三河）；于辰在午
鹑尾：楚（荆州）；于辰在已
寿星：郑（兖州）；于辰在辰
大火：宋（豫州）；于辰在卯
析木：燕（幽州）；于辰在寅
十二次与二十八星宿对应关系：
星纪：斗牛女& && && && &玄枵：女虚危& && && && && &&&诹訾：危室壁奎
降娄：奎娄胃& && && && &大梁：胃昴毕& && && && && & 实沈 ：觜参井
鹑首：井鬼柳& && && && &鹑火 ：柳星张& && && && && &鹑尾 ：张冀轸
寿星：轸角亢氐& && &&&大火 ：氐房心尾& && && &&&析木：尾箕斗
[ 本帖最后由 贺雨 于
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十二次与二十八星宿对应关系：
星纪：斗牛女& && && && &玄枵：女虚危& && && && && &&&诹訾：危室壁奎
降娄：奎娄胃& && && && &大梁：胃昴毕& && && && && & 实沈 ：觜参井
鹑首：井鬼柳& && && && &鹑火 ：柳星张& && && && && &鹑尾 ：张冀轸
寿星：轸角亢氐& && &&&大火 ：氐房心尾& && && &&&析木：尾箕斗
这里面的觜参井是什么意思
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原帖由 司马不如 于
00:36 发表
读古书，最头疼的就是天文和历法方面的问题，现想就古代纪时问题求教于方家。
《资治通鉴》开篇即“周纪一　起著雍摄提格，尽玄(黑弋）困敦，凡三十五年”查了资料，知道这叫岁阳纪年法，即取阏逢、旃蒙等十个名称，叫岁阳，与十二个太岁年名相配，组合成六十个年名。组合方式与干支类似，可对照。如杲可与干支完全对照替代，为何又要别出心裁地另搞一套呢？司马光又为何要选用这种不是很常用的纪年法呢，使得后世注家还得拼命在一旁甲子、乙丑地加注。
　　另外，干支纪时是一种循环往复的纪时方法，那么就应该有个基点，即首先应确定哪一年作为干支循环的开始，这个基点是如何确定的呢？特别是干支纪日，我们又是如何来确知“四月辛卯”之类的记录是指哪一天呢？
　　本人这些问题是否问得很业余？请方家解释时尽可能通俗易懂些。
对于第一个问题，即“司马光又为何要选用这种不是很常用的纪年法”
原因是干支最初用作记日 从甲骨文上看 早在殷代就使用了 春秋时期又发明了用干支记月 战国初期 为了避免和干支记月、记日相混淆 遂把干支记年改成十岁阳和十二岁阴的别名 其实不管是别名也好 还是直接用干支名称也好 在东汉以后就不怎么用了 因为帝王年号更方便记忆 可是司马光的《资治通鉴》不是一朝断代史 而是贯穿一千多年的通史 用年号不统一 因为有的一年里出现多个年号 还是干支记年更好 别名更不易混淆日期
第二个问题，即“应确定哪一年作为干支循环的开始，如何来确知“四月辛卯”之类的记录是指哪一天呢”
到底哪一年开始用干支记日、记年，现在搞不清楚 先秦的记载不完整、各诸侯国历法也不统一 所以无法确定先秦时代的历法，即陈垣在《二十史朔闰表》例言中说：
“秦以前历法无考。汪曰桢为《历代长术辑要》，起周共和，然鲁隐以后与《春秋》不合，非史实也。顾栋高仿杜氏《长历》为《春秋朔闰表》，与《春秋》合矣，然与推算不符，亦不足征信。惟《通鉴目录》载宋刘羲叟《长历》，断自汉高元年，今从之。”
所以 今天我们考证历史的日期，主要是根据刘羲叟的《长历》，陈垣的《二十史朔闰表》根据《长历》，给出从汉高祖元年开始每一个月的初一的干支，有了这个信息，你就可以推算出该月其他日期的日数，比如某年四月初一是戊子，那四月辛卯就是初四。从汉平帝元始元年开始，表还给出了每月初一对应的公元日期。
至于刘羲叟的《长历》，保存在《资治通鉴目录》中，它和《资治通鉴考证》同为《资治通鉴》的一部分，但是今天市面发行的《资治通鉴》只有正文和后人的注解，没有《目录》《考证》两部分 我以前也不知道这个 后来从孔网买了一本民国1936年印制的平装缩印本（上下两栏）的《四部丛刊-资治通鉴目录》，编号044，影印涵芬楼收藏的宋代刊本，一共十册，我只买到了第一册，该书为表格形式，第一行就是长历，它给出了一年中若干月份的初一干支，给出的月份都是大月（30天），可以自己推知前一个月必定是小月（29天），若后一个月没有给出初一的干支，则默认其为大月，自行推算其初一干支就可以了
古人就是这么查日期的 今天我们买一本《二十史朔闰表》就行了 或者从网上下载个历法程序，一查就行
[ 本帖最后由 aappaapp 于
22:56 编辑 ]
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TA的每日心情难过 17:50签到天数: 35 天[LV.5]常住居民I
非常感谢诸位大哥的指教,尤其是aappaapp 兄的答复,解开了困惑我多时的问题,尤为感激!还有一点相再问问,为什么古人不用数字来纪日呢?那样岂不更方便直观,也不用再查工具书了.
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数字记日固然看起来方便 但却不准确 每一个月 每一年的数字周期不整齐 中国的农历有一个特点 就是它的日期必须跟天象物候吻合 比如每月初一必须是朔 也就是天上看不到月亮（完全无光） 每月十五日 必须是望 也就是满月 由于这个原因 必须不断调整每个月的天数 大月30天 小月29天 每隔若干年 一年天数跟公历年天数（也就是地球绕太阳一圈所用天数）的误差达到一个月 这样就要结合节气在某个月后面增加一个闰月 也就是有的农历年 是十三个月 每19年中 有闰月的年份达七个
如果你用干支记日 完全可以抛开年、月、物候 天象的束缚 一天接一天的纪录时间 误差不存在 在史书中 这就如同一条绵延不断的线把历史串起来
比如我问1月5日和3月2日相隔多少天？
如果是公历 那只要考虑这一年是否是闰年 也就是二月是28天还是29天 至于1月 那固定是31天 很好算 即公历会有两个答案
农历那说不好 这几个月间有无闰月（哪一个月后头都可能有闰月 置闰并不选择固定月份 要根据节气来定） 那结果就不一样 有可能是一月、闰一月、二月、三月 也有可能是一月、二月、闰二月、三月 也有可能没有闰月出现在这个时间段里 这里有三种情况
闰月可能是29天，也可能是30天，这里是两种情况
这几个月哪个是大月 哪个是小月&&结果会影响间隔天数的确定 （公历每月天数除二月外都是固定的 农历都不固定 每年的大小月要重新推算 以便跟天象物候一致）中学学过排列组合 那就排一下：
一月大（30天）二月小（29天）三月
一月小（29天）二月大（30天）三月
一月大（30天）二月大（30天）三月
一月小（29天）二月小（29天）三月
四种情况四种结果 究竟是哪种情况 要由它是哪一年来决定 这里是四种情况
综上 农历这个问题有3x2x4=24种情况 即24个答案
但是如果用干支 这些都不要你考虑 把它一天一天排出来就行 干支每60个组合一循环 下面给出两组
甲子 乙丑 丙寅 丁卯 戊辰 己巳 庚午 辛未 壬申 癸酉&&
甲戌 乙亥 丙子 丁丑 戊寅 己卯 庚辰 辛己 壬午 癸未&&
甲申 乙酉 丙戌 丁亥 戊子 己丑 庚寅 辛卯 壬辰 癸巳&&
甲午 乙未 丙申 丁酉 戊戌 己亥 庚子 辛丑 壬寅 癸丑&&
甲辰 乙巳 丙午 丁未 戊申 己酉 庚戌 辛亥 壬子 癸丑&&
甲寅 乙卯 丙辰 丁巳 戊午 己未 庚申 辛酉 壬戌 癸亥&&
甲子 乙丑 丙寅 丁卯 戊辰 己巳 庚午 辛未 壬申 癸酉&&
甲戌 乙亥 丙子 丁丑 戊寅 己卯 庚辰 辛己 壬午 癸未&&
甲申 乙酉 丙戌 丁亥 戊子 己丑 庚寅 辛卯 壬辰 癸巳&&
甲午 乙未 丙申 丁酉 戊戌 己亥 庚子 辛丑 壬寅 癸丑&&
甲辰 乙巳 丙午 丁未 戊申 己酉 庚戌 辛亥 壬子 癸丑&&
甲寅 乙卯 丙辰 丁巳 戊午 己未 庚申 辛酉 壬戌 癸亥&&
比如我说1月戊午到3月乙未是多少天 我们推算就知道 假如戊午是1的话 那乙未就是38&&如果你问到三月丁丑是多少天 我一算 发现三月不可能有丁丑 因为乙未到后面的丁丑间隔达42天 即便三月乙未是三月初一的话 那丁丑也得在四月里 反过来说 假如三月的初一就是丁丑 也就是丁丑在乙未前面 那戊午必然跑到二月里 不可能在一月 因为丁丑距离前面的戊午有19天 或者说 假如一月戊午是一月三十日 那丁丑是二月十九日 不可能在三月
即干支记日只有唯一的答案
因此干支记日附加了一个特殊功能 就是充当了验证码（这是计算机里的一个技术）数字日期写历史的人可能写错而你发现不了 但干支写错 有可能用这种方法发现出来
[ 本帖最后由 aappaapp 于
00:39 编辑 ]
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TA的每日心情难过 17:50签到天数: 35 天[LV.5]常住居民I
解得透彻，钦佩之至。希望今后能经常得到aappaapp兄的指点
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TA的每日心情难过 17:50签到天数: 35 天[LV.5]常住居民I
网上查了查，找不到＜资治通鉴目录＞或＜长历＞的下载，不知有没有书友能提供，先谢了．
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干支纪日不是这样吧？如此，则上丁，仲丁之类如何计算。
古人的干支纪日是在一个月的范围内，是封闭的，不跨月的。
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天文历法和易学有很深的关系，古今中外易学大家基本都仰观星空寻找人类的变迁，时空的变换，天文历法在古今都代表一种高度。
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陈垣的《二十史朔闰表》可以用来对照，初读者应该够了，至于干支纪年，是基础知识，到了年上起月、日上起时就是术数了，这也是楼上所说的和易学的关系，大抵和卦气、纳甲等都有关。
年上起月干支，若遇甲年、己年则正月起丙寅，乙年、庚年则正月起戊寅，丙年、辛年则正月起庚寅，丁年、壬年则正月起壬寅，戊年癸年则正月起甲寅。
例如遇甲年或己年五月，则正月起于丙寅，顺推至五，则五月为庚午。
日上起时干支，若遇甲日、己日则子时起甲子，乙日、庚日则子时起丙子，丙日、辛日则子时起戊子，丁日、壬日则子时起庚子，戊日、癸日则子时起壬子。
例如在甲日或己日卯时，则子时起甲子，顺推至卯，则卯时为丁卯。
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原帖由 moumie 于
11:25 发表
干支纪日不是这样吧？如此，则上丁，仲丁之类如何计算。
古人的干支纪日是在一个月的范围内，是封闭的，不跨月的。
谁跟你说不跨月？？上丁，仲丁这是干支吗？天干中有“上”“仲”？地支中有“丁”？？
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TA的每日心情奋斗 09:53签到天数: 6 天[LV.2]偶尔看看I
回复 1楼 司马不如 的帖子
不过既然谈到纪年，有几种特殊的纪年应该记住：
1，纪年的干支年号中，有避讳的；
2，在少数民族中，有属相纪年的习惯。
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一　　古代历法名词概念简释
1、“岁”与“年”的区别：《周礼·春官·大史》“正岁年以序事。”郑玄注：“中数曰岁，朔数曰年。中、朔大小不齐，正之以闰，若今时作历日矣。”从历法角度说，“岁”是就节令中的中气十二个“月”的长度说的，指两次“日南至”的时间长度，相当于现在的地球绕日运行的公转周期；而“年”则指的是以朔望月计算的十二个月或十三个月用于“授时”的时间长度。从天数说，一年有354、355、384、383天四种年型的区分；而历法“岁”，则是指十二个“中气月”的时间长度，是一个相对的固定值。司马迁《史 记·太史公自序》：“律居阴而治阳，历居阳而治阴，律历更相治，间不容飘忽。”语意为：历算首先是以月相的变化为准命名为年而约制“岁”的，在长于年的时间单元上，则又是以日光昼夜长短的变化一周成岁而约制“年”的。中华历法的特点以阴历的“年”与阳历的“岁”紧密联系又相互约制，容不得任何轻忽。这就是上面说的“中、朔大小不齐，正之以闰，若今时作历日矣”的意思。 2、朔望月和历月：古人观察到的朔望月的长度，以古四分历理而论，为29. 499/940 = 29.5308510(天)；以《太初历》用八十一分历理而论，为29. 43/81=29. 5308642 (天)。以上两“策”与朔望月的实测值29.530589平太阳日相比较，八十一分历浮差量略大于古四分历，但其达到期的精度都是很高的。以四分历而论，平均年浮仅0.0032537天。即年平均达1天误差的年数为：1÷0.4（年）。祖冲之 (429～500) 曰：“古之六历，并同四分。四分之法，久则后天。以(日)食验之，经三百年，辄差一日。”古四分法的误差，早在距今1500年前，我们的老祖宗就认识到了。 古历法取一个朔望月的长度为算历的基本参数时，称之为“月策”。月策没有整数，但用为授时的历月却不能容留畸零数而只能有整“天”，因此历月分为月大和月小，月大30天，月小29天。请注意：一个月大和月小相间，两个月共只能安排30 + 29 = 59天，与古四分历相比，每一个月余的时间为940分之29日分；与八十一分历相比，则一个月余的时间为81分之2.5日分。所以每过十五个月左右，必有两个月连着月大30天，以安排积足半天以上的余分日才行。故此中华古历除了月大和月小相间了外，还会有“连大月”的安排。
3、日分：古历日以下的时间单位。据《史 记·历书》载，有按太阳位置变化再略分为正北、正西、正南、正东的区分，合时辰制的子、酉、午、卯四个时辰。在历算朔望时，仅这样大略分法显然不够，如是又有下述的两种细分法：古四分历以天940分计时，它的根据是76年含940个朔望月，一个朔望月的“月策”为29天另940分之499天，以日分940分方便于算历。同样的原因，《太初历》八十一分历法，则将一天再细分为81日分。它的根据则是一统岁1539年可以分为81个19年（1359 = 19章岁×81），又“月策”为29天另81分之43天，以日分也方便于八十一分历推历。古代历法用于二十四个节气推算时，是只将一天再细分为32日分。分法的根据则是一岁365．1/4＝365．8／32(天)＝360．168／32 (天)。将小数32分制的360．168天，十二分之，一份为30．14天，二十四分之一份为15．7天，也方便于计算。
4、干支记日：用十天干甲、乙、丙、…壬、癸与十二地支子、丑、寅、…戌、亥顺序搭配组成“六十甲子”，用以记日至迟起于商代，可以用甲骨文的大量记载作证。至于从哪天起，就无脱无误延续不断，我初浅的认识是从发现有效的实物记载的日期以降，就可以之假定用干支记日是连续不断的了。因为我国古代历官素以守职称著。但也不排除例外。如有一位日本学者成家彻郎提出，周武王“甲子”伐纣克商，在殷实为乙巳日，“甲子”者，人定以为的“吉日”，云云。此说意在说明，干支记由乙巳而跳为甲子，有19日的中断？因此，在既大胆假定之后，不妨来个小心存疑，有错即纠。现在可以肯定的是，用干支连续不断的记日，有“纸”上为证的时间始于鲁隐公三年鲁历“二月已巳日”，相当于儒略历元前722年3月5日或夏正正月二十二日，已达2700多年了。中国用干支记日，自成一独立的记日系统，不因政局或战乱而间断，因而保持了举世无双的，准确连续的史料记载。
5、干支记月：以十二地支与除闰月以外的十二个月相联结，称为干支记月。夏正岁前十一月为始，月序与地支的对应关系为：十一月称“子”月，十二月丑月，正月寅月，二月卯月，……九月戌月，十月亥月。因为北斗的斗柄旋转所指十二辰也用的是地支为名，北斗斗柄所指曰“建”，称为“月建”，故夏正的正月又称为“建寅”，二月为“建卯”，…。
6、干支记年：用干支记年一般认为从汉章帝元和二年（85年）用于正史为始。但在此以前，在民间，尤其是在家业世传的历算行业内部，用“岁星纪年”已逐渐过时，由观象授时进步到计算推历也迫切需要一种预示年名的方法，用干支记年的方法，早在前427年古四分《历历术甲子篇》和《殷历》成文实施前，至少在“畴人”间开始变相流行开了。不过，其时，或因为行业利益，或因为避免是非，用的是一组等同于六十甲子的密语或行话。例如用“焉逢摄提格”替代“甲寅”等是。
7、历元和上元积年：古代历法中习惯上的一个理想时刻。通常是取甲子日夜半，是朔日又是冬至交节日那一天作为历法推算的起点日，此日称为“历元”日。由“历元”再往上推算，求出一个日、月经纬度相同，五大行星又相聚于同一方位的时刻，即“日月合璧，五星连珠”的时刻，称为“上元”。由上元到编制历法年份所积的年数，称为“积年”或“上元积年”。西汉《三统历》最早引用此概念，至南宋《统天历》则已废除。此法正式废除于元至元十八年（1281年）郭守敬《授时历》颁行时。
8、大余和小余：历法由“历元”甲子日夜半子时起始，用日干支甲子编号为0日，夜半子时为0分，用“积日法”往下推，至某月朔日或节令的日干支出现的余数，就是该日的日干支，历算家称此为“大余”；其小数中出现的余分，表示的是该日交朔或交节的具体时间，历家则称为“小余”。此法与习惯上怎么界定“昨天”与“今天”有联系，但也不能混为一谈。比如说，司马迁和刘歆历法用语中常常提到“夜半朔旦”，就是一个含混不清的概念；但不应妨碍由历术计算由“小余”得出的具体时间。不过，还得存疑一个问题：小余0分的起点，用现在的话说，当是午夜11时，还是午夜12时？若从习惯“子时”的起点算，以11时为宜；但古之人对这个时间，也只能是模糊概念，是从以见曙光为一日之始慢慢往前挪移成历法意义上的以夜半子时为起点的。故我认为在这个问题上，不能以现代观点强求古人，也就是宜于不过于较真，而应留一定的松动余地。
9、二十四节气：将太阳在黄道上的位置分为二十四个段落。因为周天一转按角度计算，可分为360度，从0度起，每隔15度，成为一个节气的段落，因即以节气开始的第一天，为其节气的名称。其中节气名称落在整十位度上的有十二个，为：雨水（黄经330度）、春分（黄经0度）、谷雨（30度，）、小满（60度，等）、夏至、大暑、处暑、秋分、霜降、小雪、冬至（黄经270度）、大寒（300度），这十二个节气，特别地之称为“中气”，以与十二个月相对应。历法规定，以这十二个中气依次与夏正的正月、二月、…十二月相联系，也就是“中气”必在其当令的月份出现；如这个月没有当令的中气，则安排为闰月。闰月以其前月的月名加一“闰”或“后”字表示。二十四个节气完整确立于秦汉之际，因之以没有中气的月份安置闰月，公认为自《殷历》颁行已见其端倪。二十四节气中“冬至、春分、夏至、秋分”指明是冬、春、夏、秋四季名目的。从历史文献记载来看，从冬至开始的三个月，也即是从建子之月开始的三个月，古书划为“春季”。而从春分开始的三个月，即称之为夏季了。以下类推。这一点，与我们今时大致以寒暑分四季的概念不大一致。似乎古人是从历法意义上的阳历，又从冬至开始往下，将一岁平分成为春夏秋冬四个季节的。
10、气距和节距：地球绕日公转轨道为一椭圆，太阳在其一焦点上。二十四节气既以太阳为中心平面的360度平分，则每一节气15度在运动轨道上的轨迹，就会有长有短，因此地球在每节气间的运行天数也会有多有少。古人认识尚不及此，只以平均计算：以12等分“年策”为“气距”，而以24等分之则为“节距”。要表明太阳的真实位置的方法称为“定气”，从清代《时宪历》才正式采用。
11、朔日、望日、晦日、胐：日月同时出没，新月即将出现之日为“朔日”。“逆”字首义为“迎”，因此，“朔”字可以理解为“迎月复明”。“望”日则可以理解为满月与落日东西相望之日。望，是月球与太阳黄经相差180度的时刻，时间总在月中十五、十六日，因之常以月之十五日为望日。晦日则是指月末的那一天。又按《尚书·召诰》：“三月，唯丙午胐。”孔传：“明也，三日明生之名”。指新月开始生明(之日)。胐(ｆěｉ匪)，中古音读若“配”。古人从生活体验出以“胐日”为一个月的开始，到有历法意义定时概念的朔日，应当是经过了漫长的进化过程。先应有胐日的模糊认识，才可能进化到以朔日为月之始的定日定时概念，是可以“想当然”的。二个字并非同时出现于钟鼎，即是明证。所以以“月初三日为胐”，也当是后入之见，于理解上宜于就事论是。
12、章岁：古历法以冬至与月朔同日为章首第一岁，十九年（岁）为一章岁。这是一个很有文采的长于“年”的重要时间单位之一。说它很具“文采”，因为1章岁的时间长度为十进制6939.75天，取此时间长度数除以十进制的“年策”365 . 25天，得数刚好是19（年／岁）；若取此时间长度除以“月 策 ”29. 499／940天，则又刚好是2 3 5月。也就是说，古人非常精明地求到了19年235个朔望月，得以寻觅到“日月同步走，阴阳相谐和”的第一节奏。再进一步，从纯算术上说，以得数235而言，依现代算术，列成的算式为：6939.75÷[（29×940＋499）÷940] = 235，在距今2500多年以前，在使用筹算工具的条件下，能得此精确的结果，足以能用此“章岁”名词的文采，展示我国古人的数学计算技术的已到达的水平。可惜，中文大辞海连“章岁”的条目都有没有。
13、蔀?岁：古六历依古四分历理计算的，以四章岁为一蔀岁。《汉书·律历志》记为 “府岁”， 意同。一蔀岁为76年（岁）计940朔望月，计27759个整天。蔀岁是古四分历长于年（岁）的第二个重要的时间单位。蔀岁的时间长度与76回归年相较，积差为十进制0.593天 , 浮差大于半日，但与940个朔望月相较，则其积差只浮0.248日，其精确度就较高了。据《三统历》的说法，《太初历》取消了蔀岁“单位”，但仍以四章合为一“篇”。
14、纪岁和元岁：古四分历蔀岁以上的时间单位还有“纪岁”和“元岁”。一纪岁为二十蔀岁，计7 6×2 0 = 152 0年（岁）；一元岁为三纪岁，计1 5 2 0×3 = 4 5 6 0年（岁），或1 4 1 0 0朔望月，或 2 1 2 1 5 4 0日。以上三个得数用六十甲子除之，一元岁年干支历7 6轮，月干支历2 3 5轮，日干支历3 5 3 5 9轮，若从甲子年甲子月甲子日的（甲）子时作为“历元”入历，则经过了一元岁之后，又将再逢四甲子同时，所以古语有“一元复始”的成语。 刘歆《三统历》未用“纪岁”单位，而以81章岁为一统岁；一统岁为1 9×8 1 = 153 9年（岁）。一“统岁”比一“纪岁”多1 9岁。然后以三统岁为一元岁；一元岁为15 3 9×3 = 4 6 17岁。因此，《三统历》的“元岁”也比古四分历的“元岁”多57岁。
　 二 汉籍关于武帝太初制订《太初历》经过的记述
1 、《史 记·历 书 第 四》：秦始皇时“亦因秦灭六国，兵戎极烦，又升至尊日浅，未暇遑也。而亦颇推五胜，而自以为获水德之瑞，更名河曰“德水”，而正以十月，色上黑。然历度闰余，未能睹其真也。” . ○五胜：指金、木、水、火、土五行相生相克。河：黄河。上：尚。正以十月：以夏正十月为岁首。历度闰余，未睹其真：日月五星行度和闰余准确与否未作仔细考虑。
“汉兴，高祖曰：北畤待我而起。亦以为自获水德之瑞。虽明习历及张苍等，咸以为然。是时天下初定，方纲纪大基，高后女主，皆未遑，故袭秦正朔服色。” ○ 北畤：汉祀天神五帝中的黑帝的固定处所。 张苍：今河南原阳人。历算名家。秦时为御史，汉封北平侯，曾任丞相。有音律历法著作十六篇，后佚。年百余岁，卒于公元前152 年。 袭秦正朔 ：止于太初颁历，仍袭秦制以十月为岁首，闰置于九月之后，称“后九月”。可能的解释是，秦楚与汉，都认定自已是上古帝王颛顼的后嗣，共祖一脉，故灭秦而能“仍袭秦制”。
“至孝文时，鲁人公孙臣以终始五德上书，言：“汉得土德，宜更元，改正朔 ，易服色。当有瑞，瑞黄龙现。事下臣相张苍，张苍亦学律历，以为非是，罢之。其后黄龙现成纪，张苍自黜，所欲论著不成。而新垣平以望气见，颇言正朔服色事，贵幸，后作乱，故孝文帝废不复问。” ○ 汉文帝：高祖的儿子，薄后所生。前180—前157年在位。事下：此事交…处理。 新垣平：赵地人，以诈骗作假被处死三族。 所欲论著不成：时张苍正在制订乐律历法，因自黜而中止论著。 “至今上即位，招致方士唐都，分其天部；而巴落下闳运算转历，然后日辰之度与夏正同。乃改元，更官号，封泰山。因诏御史曰：乃者，有司言星度之未定也，广延宣问，未能詹也。盖闻昔者，黄帝合而不死，明察度验，定清浊，起五部，建气物分数。然盖尚矣。书缺乐驰，朕甚闵焉。朕唯不能循明也。紬绩日分，率应水德之胜。今日顺夏至，黄钟为宫，林钟为徵，太簇为商，南宫为羽，姑洗为角。自是以后，气复正，羽声复清，名复正变。以至子日当冬至，则阴阳离合之道行焉。十一月甲子冬至已詹 ，其更以七年为太初元年。年名焉逢摄提格，月名毕聚，日得甲子，夜半朔旦冬至。” ○今上：指汉武帝刘彻，前140年至前87年在位，为景帝子而为文帝之孙。自16岁践帝位，时已在帝位36年。詹：第一用指瞻望，弄清楚；第二用指相逢。紬：(ｃｈōｕ抽)，抽理丝缕，寻绎义理。更以七年：太初改历前为元封七年，此指改元封七年为太初元年。以上第四段。“因诏御史曰”以下为录汉武帝诏诰。
以上是《史记·历书》中关于汉初以来至武帝太初元年制订历法大致经过的叙述。此记述后紧接着转“笔”附了一篇历理文字为《历术甲子篇》。全《篇》重心为历算数据。但也有涉及到三项值得注意的内容： 历数前的文字：《历术甲子篇》 太初元年，岁名“焉逢摄提格”，月名“毕聚”，日得甲子，夜半朔旦冬至。 历数中，每岁均附有太初以下五位帝王共计76年的年号：武帝太初4，天汉4，太始4，征和4，后元2；昭帝始元6，元凤6，元平1；宣帝本始4，地节4，元康4，神爵4，五凤4，甘露4，黄龙1；元帝初元5，永光5，建昭5，竟宁1；成帝建始4。历数后结尾另似注释文字57字：“右历书：大余者，日也。小余者，月也。端蒙者，年名也。支：丑名赤奋若，寅名摄提格。干：丙名游。正北，冬至加子时；正西，加酉时；正南，加午时；正东，加卯时。”
以上基本将太史公《书历》中，与太初制订历法中有关过程的文字都录下了。过细揣摩，太史公寄希望于后之“圣人君子”的，是不是希望和要求后人能从他蓄心安排的字里行间的矛盾，演绎出他深慝于心的真意！确实，司马迁在这篇短短的文字中，留给后人深入思索的问题太多了。拙作《遗世宝典〈历术甲子篇〉解读》一文中，曾论述过这份文献是由司马迁悉心原貌保存传世的一份古四分历历算典籍，并且运用了上面文段中的一些资料，证明《历术甲子篇》是太初制历前早已师承相传师门秘籍。此处则再从司马迁关于太初制订历法记载的“细微”深入，作一些发掘：
①、汉武帝《诏书》：“盖闻昔者，黄帝合而不死”。按孟康诠释：“黄帝作历，历终而复始，无穷已也，故曰不死。”一般均据此今译文为“曾经听说黄帝作历，由于符合天象运行，故尔能够持续地用为授时使用。”但据《汉书·律历志》应邵注：“言黄帝造历得仙”。臣瓒注：“黄帝圣德，与神灵合契，升龙登仙，故曰合而不死。”两种理解，见仁见智。司马迁引用此句，当然也可作两解。而体味太史公真意，在于揭示汉武改历用心，专一务于求道成仙。
②、武帝《诏书》接着说：“然盖尚矣。书缺乐驰，朕甚闵焉，朕唯未能循明也。”说的是——黄帝登仙的传说已很古老了。如今历数缺失，礼乐废驰，我很难过；这是我的过失啊。——武帝引咎自责，似乎无可指责了。实际这是句光冕堂皇的话。司马昭之心，路人皆知，他是在自咎存心不诚，不能像抛弃破旧的鞋子一样顺当地抛弃人间妻子享受，上登仙境。此句请结合下面引文《史 纪·孝武本纪第十二》看。
③、《诏书》接着说：“紬绩日分，率应水德之胜。…十一月甲子冬至已詹 ，其更以七年为太初元年。”汉武帝喜不自禁的是：十一月甲子日朔旦冬至，契合于天纪的大好日子终于盼望降临了。底语是：朝思暮想成仙的大好机缘终于来临啦！上三段文字参看下面《孝武帝本纪》，才可以有完整的答案。请详参引文。
④、《诏书》接着说：“十一月甲子冬至已詹 ，其更以七年为太初元年。年名焉逢摄提格，月名毕聚，日得甲子，夜半朔旦冬至。”请注意，这是司马迁引的汉武帝的《诏书》的文字。接着这句之后紧连着的是太史公引用的另一份典籍《历术甲子篇》。《历术甲子篇》开头就是：“太初元年，岁名焉逢摄提格，月名毕聚，日得甲子，夜半朔旦冬至。”除了前用“年名”，后作“岁名”有一字不同外，两者联接密合无缝。《诏书》中年名、月名、日得三个词连起来说，为历元首年首月首日甲子半夜冬至的意思。其中“焉逢摄提格”一词不可按一般的当成“甲寅”来解释，只能作历元第一年来诠注，因为当太初之时，以六十甲子名年的方法并未公开。诏书中有一个小小的疏忽：既已用“年名焉逢摄提格”，不该再用“月名毕聚”。用词的人未注意到太初元年已将年首由岁前的十月移到夏正的正月来了。此时“毕聚”两字无论当岁的首月或正月讲，都不恰当。
⑤、《历术甲子篇》：“太初元年，岁名焉逢摄提格，月名毕聚，日得甲子，夜半朔旦冬至。”是很值得玩味的一段文字：“历术”不是“历谱”，首指此文为推历通行数据，可以用为太初制历，也可通行于推前继后。“太初”也并不专指武帝年号“太初”，为专业术语，指的是作用为推历历元之岁，《汉书·律历志》用字为“泰初”。以下几句也是用行业语言表达的，则必须理解为：历元为甲寅岁历首月（正月）朔日夜半交朔冬至。从这几个字一句话，暴露出一个至关重要的消息，《历术甲子篇》既已断定不是为太初制订历法的专门文件，那也不是秦始皇统一中国之后编订的，因为秦正十月。以冬至月为历算首月且正好名之为“正月”的至少要再往前推才行。实际上此文是以前1567年为上元识年而以公无前427年天象为参照作为历元，进而研制出来的一份历算数据手册。前1567年和前427年的岁用干支正好两年都是“甲寅”年，其时以周历为正宗，又正好是以冬至月（十一月）为岁首月。认准了这一点，《历术甲子篇》的一切问题都可迎刃而解。
⑥、司马迁既有《史记·历书》一篇，且止于太初制订历法，却没有留下《太初历》本文，已是令人莫解了？更奇怪的是，参加太初制历的两位主角之一的大中大夫公孙卿，和汉武帝从十八份草案中选中的《邓平历》作者邓平，其中《邓平历》用为《太初历》后好平其人还升官“太史丞”了，可是在司马迁笔下，两人的名姓提都不提。还有，由刘歆大书特书用为《太初历》的历法“八十一分历”术，更是讳莫如深；……。下面将引用的《孝武皇帝本纪》文字，暴露出的内情是：以方士公孙卿为首，原来利用了太初制订历法的国家要政活动，却干了一场“喊着万岁哄万岁”的政治游戏。
⑦、司马迁在《史纪·历书》中关于太初制历的过程只有下面几句话：“至今上即位，招致方士唐都，分其天部；而巴落下闳运算转历，然后日辰之度与夏正同。乃改元，更官号，封泰山。”唐都是司迁父亲司马谈的天文老师，是司马迁的前辈。负责“运算转历”的是来自民间的历算“畴人”落下闳。本来，就太初制订历法的根本目的而言，主要是修正老历执行过久因精度而产生的积差，按天象实际给予以修订，制订历法的主要任务也就完成了。落下闳很可能献出了用于《殷历》的师门秘籍《历术甲子篇》，据以移动一章，去日分705分，也就密近天象了。这就是上文中“然后日辰之度与夏正同”的要义。他老先生对公孙卿的活动，既不屑一顾，更不悄置评，似乎用的是视而不见的笔法。
⑧、《太初历》本法不存，用《历术甲子篇》以首岁移动到改历后的太初元年，用其数据于太初以下年份也基本合适。经与用刘歆总结太初历得出的《三统历》对照，太初以下七十六年间，日干支除一年之外，基本是一致的。这一有不同的年份为：《历术甲子篇》第六十位数据，附年号为汉元帝初元四年，历朔数为48 . 931，即应为汉元帝初元三年十一月朔为辛亥931分交朔。而查历书，其年十一月初一日干支为壬子。因为这年十一月二十九日庚辰，是罗马凯撒《儒略历》首年的元旦日，是中西历对照的起点日，又与用《三统历》推步(见表四与表五)为49 . 00,为壬子日，也相符合，不会有记载和计算上的误会或舛错。
⑨、司马迁没有忘记为后人留下破解千古之谜的钥匙。他在《史纪·历书》末尾，写下了几句费解的话，这几句话或为后人添上，或为失落致残，都不影响本文的结论，但不妨认为是太史公蓄心留下的几句残而不残，缺而不缺，则更耐人寻味：“右历书：大余者，日也。小余者，月也。端蒙者，年名也。支：丑名赤奋若，寅名摄提格。干：丙名游。正北，冬至加子时；正西，加酉时；正南，加午时；正东，加卯时。”其中：“支：丑名赤奋若，寅名摄提格”，十二地支只注释了两个，“丑名赤奋若”，太初元年正好是“丁丑”年；“寅名摄提格”，《历术甲子篇》的历元泰初元年又恰好是“甲寅”年。
⑩、司马迁虽然没有在《史记·历书》直捣公孙卿“正经歪念”的用心，也不涉及汉武帝老爷子沉迷于“仙登”的过失，但在言及汉文帝也曾筹措制订汉历的文段中，却点到了两个人。其一是正在拟订律乐历法的丞相张苍，被方士公孙臣弄出的一条“龙瑞”逼得自请罢黜的“故事”；第二位是弄了一件假“文瑞”被文帝识破被诛了三族的骗子新垣平。体现了司马迁以文帝谏武帝的良苦用心。
⑾、《历术甲子篇》于第年历数后附上了帝王年号，给后世以错觉，以为必是《太初历》无疑。这也是很容易澄清的。历谱固然预后，唯帝王年号无人可以预卜，所以不是“历谱”已显然。至于如落下闳，既由他“运算转历”，在老历谱上加上注记是可能的。另外，有一位“后进好事者”褚先生，曾由他“复修”了不少太史公“尽于孝武”以后的史事，还有刘向、刘歆父子两人，都是有条件阅读动笔文本的人。也许，动笔加年名的人，根本就是奉太史公收录的《历术甲子篇》为《太初历》的圭臬，也可能。
2、《汉书·律历志·第一上》： “汉兴，方纲纪大基，庶事草创，袭秦正朔 。以北平侯张苍言：用颛顼历，比于六历，疏阔中最为微近。然正朔服色，未睹其真。而朔晦月见，弦望满亏，多非是。至武帝元封七年，汉兴百二岁矣。大中大夫公孙卿、壶遂、太史令司马迁等言：历纪坏废，宜改正朔。是时御史大夫倪宽明经术，上乃诏宽曰：与博士共议，今宜何以为正朔，服色何尚？宽与博士赐等共议，皆曰：帝王必改正朔，易服色，所以明受命于天也。创业变改，制不相复。推传序文，则今夏时也。臣等闻学褊陋，不能明。…遂诏 卿、遂、迁与侍郎 尊、大典星 射姓 (○射姓，人名。师古曰：姓射，名姓也。) 等议造汉历。……姓 ( ○师古曰：姓即射姓也 )等奏：不能为算，愿募治历者，更造密度，各自增减，以造汉太初历。乃选治历邓平及长乐司马可、酒泉侯 宜君、侍郎 尊及与民间治历者，凡二十余人，方士 唐都、巴郡 落下闳与焉。都分天部，而闳运算转历。其法以律起历，曰：律容一龠，积八十一寸，则一日之分也。与长相终。律长九寸，百七十一分而终复。三复而得甲子。夫律阴阳九六，爻象所终出也。故黄钟纪元气之谓律。律，法也，莫不取法焉。与邓平所治历同。于是皆观新星度、日月行，更以推算，如闳、平法。法：一月之日 二十九日八十一分日之四十三。先藉半日，名曰阳历；不藉，名曰阴历。所谓阳历者，先朔月生；阴历者，朔而后月乃生。平曰：阳历朔皆先旦月生，以朝诸侯王群臣便。乃诏迁用邓平所造八十一分律历，罢废尤疏远者十七家。复使校律历昏明。宦才淳于陵渠复覆《太初历》晦、朔、弦、望，皆最密，日月如合璧，五星如连珠。陵渠奏状，遂用邓平《历》，以平为太史丞。
“后二十七年，元凤三年，太史令张寿王上书言：历者天地之大纪，上帝所为。传黄帝《调律历》，汉元年以来用之。今阴阳不调，宜更历之过也。诏下主历者鲜于妄人诘问，寿王不服。妄人请与治历大司农中丞麻光等二十余人杂侯日、月、弦、望，八节二十四气，钧校诸历用状。奏可。诏与丞相、御史、大将军、右将军各一人杂侯上林清台，课诸葛亮历疏密，凡十一家。以元凤三年十一月朔旦冬至，尽（元凤）五年十二月，各有第。寿王课疏远。案汉元年不用黄帝《调历》，寿王非汉历，逆天道，非所宜言，大不敬。有诏勿劾。复侯 ，尽六年。《太初历》第一。即墨徐万且（○且：ｊū，人名），长安徐禹治《太初历》，亦第一。丞相属……治《终始》言：…寿王历乃太史官《殷历》也。寿王猬（○猥：师古曰 ，曲也。）曰安得五家历。又妄言《太初历》亏四分日之三，去小余七百五分，以故阴阳不调，谓之乱世。……寿王侯课，比三年下，终不服。（○比三年下：师古曰，比，频也，下，下狱也。）再劾死，更赦勿劾，遂不更言，诽谤益甚，竟以下吏。故历本之验在于天，自汉历初起，尽元凤六年，三十六岁，（○太初至元凤六年，为三十岁，不是三十六岁。）而是非坚定。
“至孝成世，刘向总六历，列是非，作《五纪论》。向子歆究其微妙，作《三统历》及《谱》以说《春秋》，推法密要，故述焉。”
以上录《汉书》关于太初制订历法的经过，比《史记》所记详尽。《太初历》本法不存，《汉书》成书时间最近，所说当与事实也当最为微近，故应以其说法为最可信。将其叙述条理一下，归纳如次：
①、汉代秦统，未遑顾及改历，仍袭用秦制以十月为岁首。“以北平侯张苍言：用颛顼历，比于六历，疏阔中最为微近。然正朔服色，未睹其真”句，前人多有考证，清代学者姚文田《邃雅堂学古录》（清道光江阴学署刊本）：“古史称颛顼为历宗，考其纪算，从甲寅始。”另著《史记历书考》，则指出：“其所载历法与太初不同”。他所引数据，实出自《殷历》和《历术甲子篇》。邹汉勋《学艺斋遗书》（清光绪刊本）：他认为“古历并为四分。”又说：“元起甲寅，日起甲子者，为颛顼之别一术，即《殷历》。”关于秦用之历，他说：“秦用颛顼历，盖年起乙卯（前366年）而日起于丁卯，杂作他法成之，非纯用颛顼历也”。（○按：岁前十一月朔日为乙卯，非“丁卯”。）以上两氏所说，即秦至汉武帝太初以前，均以《殷历》授时，只以十月名为岁首，称之为《颛顼历》。从1993年荆州周家台30号秦墓出土竹简历谱文字核之，连月名“正月”都置于建寅之月未作更动。
②、“遂诏卿、遂、迁与侍郎尊、大典星射姓等议造汉历。”说的是，大中大夫公孙卿、壶遂、司马迁三人为首，是太初议造汉历“领导小组”的主要成员。具体工作有由民间应募而来的约二十多人，共提出草案多达十八份，选取的是邓平所拟“八十一分律历”。其主要历术数据为“月策”：29. 43 / 81天。
③、“都分天部，而闳运算转历。……与邓平所治历同。”其文段中所述“法”，为邓平法，而非巴郡人落下闳之法。落下闳“法”于司马迁《史记·历书》中已述，为古四分历理的师门大法《历术甲子篇》；邓平之法才是“八十一分律历”。但两者精度同在一个水平上，可同推步出只有小异的“历谱”。
④、以八十一分律历为准编订的邓平《历》，经与天象实际核正，由肉眼观察来看，比其它方案最密近天象，故武帝下诏，取邓平《历》为《太初历》，以邓平为太史丞。
⑤、以上《太初历》为八十一分历、太初制历的主脚为公孙卿和邓平、八十一分律 历的 历 术内容 , 司马迁在《历书》中只字未提，留给后人一个难以释怀的大疑团。
⑥、太初制历二十七年后，汉昭帝元凤三年（前78年），太史令张寿王发难太初历，揭出《太初历》为由《殷历》“亏四分日之三，去小余七百五分”移就。令人深思其合情合理的解释：落下闳“运算转历”，是师继承相传的“历术”数据向后移动一章，去小余705日分，以销去由于老历执行久远而产生的积差，以达到密近天象的目的。但是公孙卿与邓平，则将其稍加改造，调换以新的说法，以迎合汉武帝刘彻“造历得仙”追求，而窃取了落下闳的知识成果。
⑦、“至孝成世，刘向总六历，列是非，作《五纪论》。向子歆究其微妙，作《三统历》及《谱》以说《春秋》，推法密要……。”关于刘歆的活动始末，《律历志》开头即作了如下交待：“汉兴，北平侯张苍首律历事，孝武帝时乐官考正。（○考正：师古曰，质正其事。）至元始（公元1—5年）中，王莽秉政，欲邀名誉，征天下通知钟律者百余人，使羲和刘歆等典领条奏，言之最详。刘歆当然不能不知太初内情，为什么也箴口不言？需知刘歆其人对“怪力乱神”所向无忌的，在他以历法带春秋的《世经》中，办的是一份历史“小报”，什么男人变女人，家畜生人身，异类作性交，同性相爱恋，…百态奇闻，“照登”不误，把一切人间祸福灾异，都要跟天象历牒挂钩。他可以说是至如今老百姓“们”仍然看日子定宜忌行止的太上老祖。可是他也是“社会人”，为王者讳，为贤者讳还是通俗。这叫作“非礼勿言”，至今如此。
至于司马迁老先生，对于公孙卿，却没有忘记在适当的文献材料中，将其“口喊万岁哄万岁”的技俩大白于后世。为此，有必要将公孙卿的一系列活动，回放一下。下录《汉孝武帝本纪》有关公孙卿活动的记载。
3、《史 纪·孝武本纪第十二》
前文链接：乐成侯有一个同时就学于一个师傅的仆人，名叫栾大，先为胶东王主管方药。乐成侯的姐姐为了讨好武帝，派栾大以乐成侯的关系求见皇上谈论方术。武帝让其小试手段，果然不错，加上人才一表，相见大悦。不到几个月，栾大就受赐黄金一万斤，还有第宅、僮仆，连佩“将军”六颗大印，还以公主下嫁，使其平地升天，成了汉武帝的附马。栾大的际遇，自然使人羡慕不已。于是齐燕方士，纷纷说自已有秘方，可以招来神仙。汉武帝元鼎四年（前112年）齐人公孙卿，闻皇上新得宝鼎，亦乘时干进，求见于内官所忠，对所忠说：“今年得宝鼎，与黄帝等时。卿有札书曰：黄帝得宝鼎宛朐，问于鬼臾区。区对曰：帝得宝鼎神策，是岁已酉朔旦冬至，得天之纪，终而复始。于是黄帝迎日推策，后率二十岁得朔旦冬至，凡二十推，三百八十年，黄帝仙登于天。卿因所忠欲奏之。所忠视其书不经，疑其（为）妄书，谢曰：宝鼎事民决矣，尚何以为！(拒不上传。于是公孙)卿因(另求一)嬖人，奏之。上大悦，召问卿。对曰：受此书申功，申功已死。上曰：申功何人也？卿曰：申功，齐人也。与安期生通，受黄帝言，无书，独有此鼎书。曰：汉兴复当黄帝之时。汉之圣者当在高祖之孙且曾孙也。宝鼎出而与神通，封禅。封禅七十二王，唯黄帝得上泰山封。申功曰：汉主亦当上封，上封则能仙登天矣。……如是天子曰：嗟呼！吾诚得如黄帝，吾视去妻子如脱屣耳。乃拜卿为郎，东使侯神于太室。（○所忠冷眼旁观，能视其书“不经”，能疑其书为“妄书”，公孙卿则一意营谋，另托“嬖人”，得近武帝，是小人也是人中之精。武帝热衷求仙，朝思暮想，闻声即喜；听得一声，刘邦的孙儿的曾孙是我刘彻，原来就在“瑶池会上”早就有名，如何不喜。难怪刘彻马上给骗子公孙卿封官，言听计从，甚至于能视妻子如再不上脚的破旧鞋袜。“黄帝合而不死”，语源于此！）
“十一月辛巳朔旦冬至，昧爽，天子始郊拜泰一。朝朝日，夕夕月，则揖；而见泰一如雍礼。其赞飨曰：天始以宝鼎神策授皇帝，朔而又朔，终而复始，皇帝敬拜见焉。（○武帝元鼎五年，前113年，以《殷历》，十一月朔辛巳184分交朔，冬至辛巳683分。公孙卿所报天象倒是很准呢！骗子也是高师级水平，无怪乎能玩帝王于掌上。“皇帝敬拜见焉”，如闻其声，如见其人。汉武心思急切可知。这年秋，已拜“五利将军”的附马级骗子奕大，因其“妄言”被揭穿受诛。公孙卿魔高一丈，骗运亨通，是个中强手。）
“其冬，公孙卿侯神河南，见仙人迹缑氏城上，有物若雉，往来城上。天子亲幸缑氏城视迹。问卿：得毋效文成五利乎？卿曰：仙者非有求人主，人主求之。其道非少宽假，神不来。言神事，事如迂诞，积以岁，乃可致。于是郡国各除道，缮治宫观名山神祠所，以望幸矣。（○文成五利：五利即刚被诛的奕大，文成则是先于奕大被揭穿作假受诛的另一大骗子。城上出现似野鸡足迹，能哄得皇帝亲幸缑城，小技而已；而致各郡国都大兴土木，修缮景观以待天子“视察”临幸，则是劳民伤财。）
“齐人以上疏言神怪奇方者以万计，然无验者。（皇帝）乃益发船，令言海中神山者数千人求蓬莱神人。公孙卿持节常先行候名山。至东莱，言夜见一人，长数丈，见其迹甚至大，类禽兽云。群臣有言见一老父牵狗，言：吾欲见巨公。已忽不见。上既见大迹，未信；及群臣有言老父，则大以为仙人也。宿留海上，与方士传车及间使求仙人以千计。（○海上荒岛突然数千使者来往不绝，好热闹！）
“公孙卿曰：仙人可见，而上往常遽，以故不见。今陛下可为观，如缑氏城，置脯枣，神人宜可致。且仙人好楼居，于是上令长安则作蜚廉桂观，甘泉则作益延寿观，使（公孙）卿持节设具而侯神人。乃作通天台，置祠具其下，将招徕神仙之属。于是甘泉更置前殿，始广诸宫室。（○元封二年即前109年事，时公孙卿已升中大夫矣！公孙卿说：你皇帝来的次数太多了，神仙可能生厌，会不愿见你！）
“其明年，伐朝鲜。夏，旱。公孙卿曰：黄帝时封则天旱，干封三年。上乃下诏曰：天旱，意干封乎？其令天下祠灵星焉。（○天干不为灾，强词得夺理 ! 因己入其术中的汉武皇帝已不觉其无理，反而肯定：是! 是！是！）
“其明年冬，上巡南郡，至江陵而东。登礼潜之天柱山，号曰南岳。浮江，自浔阳至枞阳，过彭蠡，祀其名山川。北至琅邪并海上。四月中，至奉高修封焉。（○汉武不辞辛劳，朝山、浮江、泛湖、下海，无远不至，盼能成仙，心诚可鉴。）
“其后二岁，十一月甲子朔旦冬至，推历者以本统。天子亲至泰山，以十一月甲子朔 旦冬至日祀上帝明堂，每修封禅。其赞飨曰：天增授皇帝泰元神策，周而复始。皇帝敬拜泰一。冬至海上考入海及方士求神者，莫验，然益遣，冀遇之。（○元封七年，前104年岁前十一月朔日密近天象的交朔时刻为癸亥657分，冬至癸亥627分。按《殷历》则为甲子705分。汉历授时月大，为《殷历》可知。因《殷历》受精度限制，又执行过久，积差失准甚大，推历修正为甲子，具有积极意义。然云“天增授皇帝泰元神策”，把天象系于人谋，则是公孙卿者流的有意逢迎定调了。
“十一月乙酉，柏梁灾。十二月甲午朔，上亲禅高里，祠后土。临渤海，将以望祠蓬莱之属，冀至殊庭焉。（○甲子至甲午距30天，十一月则月大无误。武帝则以为天增泰元，是难得的与神灵契合的“际遇机缘”，故侯望仙庭迎迓于他。）
“上还，以柏梁灾故，朝受计甘泉。公孙卿曰：黄帝就青灵台，十二日烧，黄帝乃治明庭。明庭者，甘泉也。……于是作建章宫，……。○朝受计甘泉：在甘泉“现场”办公，接受统计表册。先是天干旱，公孙卿说是黄帝上天前，天也不下雨，好让黄帝有干路走。现在柏梁遭遇火灾，公孙卿又有词，“原来”（黄帝上天成仙前的十二天，其青灵宫也曾先有火灾。真是把死人也说得活了。）
“……今上封禅，其后十二岁而返，遍于五岳四渎矣。而方士之候祠神人，终无有验。而公孙卿之候神者，犹以大人迹为解，无其效。天子益怠厌方士之迂怪语矣，然终羁縻弗绝，冀遇其真。自此之后，方士言祠神者弥众，然其效可睹矣。（○自太初后，武帝寻仙五岳四渎，历十二年，对公孙卿之流也厌倦了，还是不忘笼络，来往不绝，想有真仙出现。效果如何？有目共睹。）
以上摘引《史记·孝武本纪》关于武帝“求仙记”中，与公孙卿有关系的部份。太史公后记中说，他随从巡祭，得究观方士侍候汉武帝祠神的言行，也论次自古以来用事于鬼神的里表内外。于是记了下来，俟“后有君子，得以览焉”。
三　刘歆《三统历》历术追踪
参加和主持《太初历》的邓平和落下闳两人，充其量只是精于历算的“畴人”而已，他们一待修正老历积差密近天象的历书“任务”完成以后，两人的历史责任也就大功告成了。至于历书本身准确度有问题，那是限于肉眼观测条件造成的时代通病，包括参加制订历法的人，无不心中有数，又无可奈何。举一个稍远的例子：明崇祯二年（1629年）五月日食失验，皇帝准备治当职台官的罪。徐光启（）知道后，启奏皇帝，说了一段很有名的话。他说：“台官测侯，本的是郭守敬之法，郭守敬就自知其法在精度上仍然有问题。何况时间长了，必有误差，只宜及时修正。”（语意译。）因为这段话是《崇祯历书》修历的缘起，而徐光启又是修订《崇祯历书》的总监，他的话有代表性也具有权威性，所以据此判定说历人之于历法的精度，大致都心中有数，应无大错误。
刘歆是西汉古文经学派的鼻祖，刘歆是著名的经学家，已为人识之久矣，而他是超时代水平的数学家，则“仍在深闺”，未为人识。刘歆以数理阐《易》象，未必成功，但其思想影响巨大深远；尤其是阐述中用了大量数学运算，其数字运算过程和结数无一错误，则知其造诣颇深，非一般持兔园册的塾师，也不是只知之乎也者的腐儒了；更不应使其瘗没无闻于后世的，是刘歆对古四分历置闰方法的数学归纳。关于古文经学是非曲直，这儿不说。但是自初太改历至王莽秉政，期间相距足一百年，刘歆既是个中高手，他有一个总的概括的想法，他想把天、地、人、五行阴阳，总之是把自然界乃至人的社会行为、相互间的关系，都简单扼要地抽象为数象关系。本来，自然界乃至社会也确实存在着大量的无微不至的数量关系，而且非常微妙；这是诸多定理定律关系公式得以产生的条件。很多人为此探索不止，卓有成效。但也导至一些科学巨子，由于独身纵深，无奈于不可穷止而走火入魔，终归功于神的有意志的第一推动，如牛顿《自然科学的哲学原理》的结论所述。在刘歆所处的时代，他比牛顿可能走得还远，不愧要算得是走火入玄的时代精英。他借数象阐发历理，使历算这门实际应用科学，变成了向世人谈玄论道的无穷止的话题。
《汉书·历律志》说：自伏牺氏研究八卦，万物的数的研究得以兴起。汉王莽执政，为钦名誉，征集天下通知钟律的人一百多位，以刘歆领头，言之最详。刘歆以《易》数起律，因律得历，于是就将历法的诸多参数，一 一归入其数象研究的范畴。
1、日法：八十一分。《律历志》：“日法八十一。元始黄钟初九自乘，一龠之数，得日法。”先说“黄钟”。司马迁《史记·律书第三》：“黄钟长八寸十分一”，指明为八十一分。再研究“龠”。它是汉尺方九分，见方9乘9分，深一寸的古代量器。合今2.097×2.097×2.33 =10.246立方厘米体积。十龠为一合，百龠为一升，形象地说，龠是容量可以盛下约1200颗小米的量器。刘歆引“龠”为喻，只是取其形象作为让人易记的教具。首先交待的“黄钟初九自乘，亦即取“初九”之数为尺度，得9×9 = 81为历法中一日的分数，才是历数。9×9 = 81，来自人人会背记的“乘法表”，过去叫“九九归”或“小九归”，其口诀至迟于春秋齐桓公时代已为国人熟知，并视为“九九归真”，是一个很完满的数象。《西游记》第九十九回的回目“九九数完魔难尽，三三行满道归根”，说的是唐僧需经九九八十一难，才能功行完满。 日分八十一分，刘歆在日分为八十一分为题上，用了量器“龠”的形象，说的却是九九归一的数象。这一条，从年策取365.25日而言，两者也有一定的关联。例如：每过八十一岁，（中间相距实际80回归年。）为29220日，除以六十甲子数60，得甲子循环487周，使节气，如冬至，为干支同名之日。以今公历计，相距80年，中间如无世纪缺闰年情况，则也是日期相同，干支同名。例如：2001年元旦日干支甲子，则前后相距80年的1921年和2081年元旦日干支也都同是甲子日。 日分为八十一分，可能分法过于粗疏，在历法上后来没能坚持下来；但在时令节气上，却留下了不少讲究。例子如冬至进九，从一九到九九出九，八十一天；同样夏至后也有九九的说法，也有八十一天；还有“九九艳阳天”、“重九登高”，“数九寒天”等，大抵都是其说法的孓遗。
2、月法：“月法二千三百九十二。推大衍法，得月法。”说的是以日81分计，一朔望月的长度为2392分。由古四分历，本可很容易转换的：因古四分朔望月长：29 . 499/940日 ,稍作转换,即为八十一分制2391 . 998931分 , 取其整数 , 即为2392分。但刘歆不这么承认，而是另辟“推大衍法，得月法”的奚径。所谓大衍法其说于下：
“是故元始百象一也，春秋二也，三统三也，四时四也，合而为十。（1 +2 +3 +4 =10）成五体；以五乘十，大衍之数也。（10×5 = 50；50是《易经》的大衍数）而道据其一，其余四十九，所当用也，故蓍以为数。（蓍：ｓｈī。50 － 1 = 49。49是用蓍草进行占卜的主要数象。）以象两两之，又以象三三之，又以象四四之，又归奇象闰十九，及所据一加之，因以再仂两之，是为月法之实。（49×2×3×4 +19 +1= ×2 =2392。）”
将上面的说法归纳为综合算式于下： {[(1 +2 +3 +4) ×5－1] ×2×3×4 +19 +1}×2 =2392。 “如日法得一,则一月之日数也”。这句是说，以81分为一日，除月分2392，得一个月的天数为：2392÷81 = 29……43，即《太初历》月策为29. 43 / 81天。此结果用十进制表示为：29 . 530864。与古四分历月策29.530851比较，再进而跟月朔实测值29.530588比较，精确程度都很高。但以两历相较，则古四分历“月策”更微近实际天象。因此刘歆的“新”说法，反而不如古四分历精确。
刘歆关于《三统历》月策来源于《易经》“大衍法”的推导，若从其时代已有的数学知识而言，无疑已置身于超时代的水平。在数学上，刘歆众所周知的是他的圆周率成就，世称“刘歆率”。在这儿，刘歆用叙述的方法，能将“月法”整理得如此条理，比之如用现代解括号的一长串算式还直观，实在令后之学者叹为观止。可是，刘歆用“大衍数”来推演历法，却又无疑是他画虎类犬，属于一大败笔。因为以一岁之长为十进制365.25天，只有近似的准确性。至今，在每400年范围内，公历仍然是以年365.25日授时的；这样才有上面说的，相距80年日期相同，干支同名的可能。但即或从如今已实测真知的，岁长365.2422天而言,也只是对地球绕日公转周期的一个时期的准确描述，而不能算是绝对真理。宋宁宗五年，杨忠辅创制《统天历》，就首次表了现了回归年古大今小的变化的观测见解。今已知，地球绕日公转周期，若以万年计，距今六千万年前，为370天顷；由此知其变快的速度，约为每一千万年加快一日。刘歆则将此相对真理作绝对化定格，并由此，从太初元年上推的“太极上元”，是距其时7879680年之年。我想，如果其时有人类文明，也正好赶上“岁长366天”的记述整数了。关于真理的相对性原理，老子有名句，说是“道可道，非常道；名可名，非常名”，说得非常的好。刘歆认识不及此，才握着一把相对准确的尺子，却认为是绝对准确的圭臬，到处乱比划，如裁定出“前1122年武王伐纣克商”的绝对年份，就误导舆论长达整两千年之久。
3、周天：“周天五十六万二千一百二十。以章月乘月法，得周天。”这是说以章岁19年的月数235月，乘以月法2392日分，得一章岁即19年的分数为562120分。以此数除以19，得一章岁为 = 6939. 61 / 81天。（相当于历115甲子大余39天，小余61分。）周天数562120若当为天数，其长度则是一统岁，即是1539年的天数。由此得岁法：
4、岁法：《三统历》作积日法推历，故未在历法中明确提出“岁法”。此岁法用39 = 365. 385 / 1539天。
5、统法：《三统历》以81章岁为一统岁。由上已知一统岁为562120天，以六十甲子数60除之，知历9368循环后，大余40天，无小余。
6、元法：“元法四千六百一十七。三统法，得元法。”以三统岁为一元岁，一元岁为4617年岁。
7、闰法：闰法十九，因为章岁。合天地终数，得闰法。什么是“天地终数”？很简单，指的就是最大的个位数“天九地十”。刘歆说：“并终数十九，《易》：穷则变。故为闰法。”因为一章岁为19岁，含235朔望月，除去正常的12×19 = 228月外，有7个闰月。刘歆关于闰月安排已形成为系统学说，下述于次：
①、刘歆安排闰年的方法，说的很不直观，不如孟康的疏注：“岁有闰分七分，分满十九分，则为闰也”。现在对其说法，较详细地解释于下。设一个朔望月的天数为S天，则一章岁19年当设立闰月的天数，也就是称之为“闰余”的总天数共为为“7S”天。以19除以7S，就为每年分配的闰余的天数，为7S÷19天。当累积余日积足一个朔望月的天数时，即积够S日时，当为置闰之年。设n为从章岁第一岁算起的积年，可得式：（7Sn÷19）÷S = ［7 n÷19］。用ｎ = 1、2、3、……代入，能被19整除而且引起得数变化的数Δ，其得数Ω，设为当闰的年份，则为其在章岁中的闰次为Δ ＝ [ 7n÷19 ] 。式中的方括号表示整除。 当n =Ω = 3、6、9、11、14、17、19代入上式中时，相应的Δ = 1、2、3、4、5、6、7。由以上闰年安排推出的数学模式，发掘出的由章岁首岁计序的第Ω = 3、6、9、11、14、17、19…年，是一个数学数列，表示为该年在章岁中的位置，而得数Δ，是一自然数列，表示的是在章岁中闰年的秩序。因为这样安排闰年的方法，首说于刘歆，因之拙以之名为“刘歆第一数列（Ω）”。再归纳述于次： 设n为由小变大的自然数，凡符合式Δ＝ [7n÷19] 且引起得数改变的最小自然数Ω，成一数列，为“刘歆第一数列Ω”。
②、关于当闰的月份：自古以来，大致是安排于当闰年的年末。但刘歆对闰月月份的安排，则有新的见解。他从《易经》“穷则变”引伸出的说法是“闰尽则闰”。以《左传》鲁文公元年（前626年）记“于是闰三月，非礼也”句为例，一般理解为“闰月没有放在岁终”，所以受到“遣责”。而就刘歆的说法，因为前626年，属于太初上一元的第五十四章岁的第十一年，前此本章岁已闰了三闰，去闰分57分，岁初闰余的闰分为7×10－57 = 13分，以尚差6分满19分的月份置为闰月。按年闰分7分，月得7/12分，以6÷7/12 = 6×12÷7 = 10.28 ≈11，所以《三统历·世经》说：“是岁闰余十三，正小雪，闰当在十一月后，（夏正为九月后。）而闰三月，故《传》曰：非礼也。”我们对于刘歆的说法，不妨作如下理解：关于“闰尽则闰”的思想，或闰置于“没有中气月份”的思想，春秋战国时已经形成了一种新的趋势，但不成为主流思想。也可以认为，在历人们师承相传的历术秘典中，也已经列为“成法”，但在人们的观念上，沿没有普及。从《太初历》之后，则已变成了书面成文。 因之，若贯彻刘歆闰月安排的想法，可作如下演绎：在某章岁中，当闰的以章首岁开始计序的年份Ω数确定之后，到Ω终岁的闰日有7Ω天，而己闰销去的天数的闰余数为7ΩMOD19，MOD19表示取7Ω除以19的余数。由于7ΩMOD19不会大于7，所以 (7－7ΩMOD19)就是刘歆说的本年距数19 的差数。这个差数扩大12倍再整除以7，就是当闰所在的月份了。以K表之： K＝［（7－7ΩMOD19）×12÷7］ 当以闰序所在的年份Ω＝3、6、9、11、14、17、19 分别代入上式时，K＇＝ 8．57、5．14、1．71、10．28、6．85、3．42 和0。若取其“整除数”，则K＝8、5、1、10、6、3、0 (月份)，为从冬至与交朔于夜半子时所在月份算起的月份数。换成夏历，则依次为6、3、11、8、4、1、10 七个月 了。但是具体闰月的安排，比上述方法要多些讲究。以后就进步到闰安排入没有中气的月份了。
8、关于闰月与中气：中气月名的对应（月序依夏正）：
十一月/冬至；十二月/大寒；一 月/雨水；二 月/春分；三 月/谷雨；四 月/小满；五 月/夏至；六 月/大暑；七 月/处暑；八 月/秋分；九 月/霜降；十 月/小雪。
《史记·五帝本纪》：“日短，星昂，以正中冬。其民燠，鸟兽鹬毛。”说的是节气在冬至时的天象与物侯：白天最短；傍晚昂星出现于正南；天气已寒冷，需生火取暖；鸟兽羽毛变得又密又厚。我国四季分明的地区，民谚说“冬至至长”。感觉敏锐的人，冬至日一过，能明显察知白天一天比一天长。又凡是鸟兽，比人的感觉更为敏捷，所以猎人和皮毛商，也都有冬至过后猎物毛羽才值钱的经验。凡此等等，都是冬至节令的显著征侯。从历法角度来说，由原始的以初春移到以冬至为岁之首，反映了由物侯移向有比较准确天象起始点一大进步。 二十四节中，有以上十二个代表月份的中气，将一回归年（一岁）等分为十二个时间段，然后又将闰月安排在朔望月不出现中气的月份，实际上则是由闰月安排在岁末改进为安排在“闰尽”的过程中，被人察觉到，如果闰月安排在没有中气的月份，就不会影响到每个中气所对应的月名。这也是由长期实践得出来的经验，而并非有人预知而作出的什么巧妙安排。
下面来证明其确实：古历以平均气距为30. 14/32 = 30.4375天,而朔望月月策为29. 499/940 = 29.530851天.两者相差为30.851 = 0.906649日。从一章岁十九年来看，因为有228个中气时间段，也就是30. = 29.5 = 6939.75 = 365.25×19(天)。由等式代换，30.851 = 0.906649 可以表示为（29.5－29.8）÷228 =29.÷228 = 0.906649天。于是，从每章岁岁首算起的月序为M，按上面的方法 , 同样设式为Δ＝ [0.906649M÷29.530851] ,说的是将30.851 = 0.906649的差数积足到一个朔望月时，将置闰的月份，正好踩在了某两个中气的后线上。将算式Δ中的0.906649用上面的得式代入，得 ： Δ＝[（29.÷228）M÷29.530851] = [7 M÷228] 当： M＝33、66、98、131、163、196、228时，对应的可得到： Δ＝ 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7。如是，我们从寻求闰月安排在没有中气的月份出发，推导出来的算式，殊途同归，得到的结果，与用刘歆第二数列的方法求解的结果一致。可知，刘歆的闰尽则闰，与在平闰条件下，闰月安排在没有中气的月份，其贯彻的历法思想是一致的。
请注意，刘歆说的是“闰尽则闰”，并未想到踩不踩“中气”后线。上面结果有的是在两中气中间，也有的踩着了“中气后线”如果由刘歆的想法，再往前一步，也即是由不管“踩着后线”，到完全不踩“线”如是就正好将闰月安排到“两个中气”的中间，也就是将闰月安排到没有中气的月份上了。下面将刘歆数列结果列表于下：（刘歆闰月和无中气月份是以岁前十一月为始往下算的，故改成“夏正”须再往前移月名两月）列数 M —033—066—098—131—163—196—228 得数 Δ—01— 02— 03— 04— 05—06— 07 闰年章序：03— 06— 09— 11— 14— 17— 19 闰月月序：09— 06— 02— 11— 07— 04— 12 无中气月：08— 05— 02— 10— 07— 03— 12 夏正闰月: 06— 03— 12— 08— 05— 01— 10
再说明一点是，在闰月的具体安排上，上面只是从历理进行的分析，在具体闰月安排上，涉及的变数较多，与推理算出的稍有区别。因此，各中气点、交朔点是不是在实际的天象上，又闰月是不是在真实没有中气的月份上，仅由上述刘歆算式，还不能完全解决问题。但若不强调与中气合步，则用刘歆算式决定置闰，也不会造成历算上的混乱，是可以肯定的。从这一角度看，刘歆“闰尽则闰”的思想，至今都是具有很大实用价值的。
四 用《三统历》历术排太初历谱
1、 据《汉书·律历志第一下》载，刘歆《三统历》以汉武帝太初元年为历元首岁，“距上元十四万三千一百二十七岁。（岁）前十一月甲子朔旦冬至，（太）岁在星纪婺女六度，故《汉志》曰岁名困顿，正月岁星出婺女。”指明了历元起点年的相关星象人事数据。（○所谓历元，就是寻找一个月朔与冬至在同日，且日分(小余)都同在“0”分时的“日子”作为“坐标原点”，便于向下推历。太初元年既已定点为“历元”，也就是岁前十一月交朔甲子0分，冬至也认为是甲子0分。）
另外说明一点是，《三统历》已经废除了古四分历以76年为一蔀岁这们个长于一年的单位，但实际上，为便于推历，仍使用了以四章岁为一“篇”的，调换了不同用字的叫法。往下构造历谱时，说：“各从其统首起，求其后章，当加大余三十九，小余六十一，各尽其八十一章。推篇，大余亦如之，小余加一”。“四章而朔余一，为篇首”。由此，据其篇出的《历谱》各章章首的历数于下：（正文除指明者外，小余以81分制为分母。后附括号中的是密近天象参考历数，以日分940分为分母。）
(1)、甲子00分(01．00)，1章首。汉武帝太初元年，公元前104年。（60.657） (2)、癸卯61分(40.61)，2章首。汉昭帝始元二年，公元前85年。（40.363） (3)、癸未41分(20.41)，3章首。汉宣帝地节四年，公元前66年。（20.070） (4)、癸亥21分(60.21)，4章首。汉元帝初元二年，公元前47年。（59.717）《世经》：“元帝初元二年十一月癸亥朔旦冬至，《殷历》以为甲子，以为纪首。是岁也，十月日食，非合辰之会，不得为纪首。距建武七十六岁。” (5)、癸卯1分（40.01），5章首。汉成帝河平元年，公元前28年。（39.424） (6)、壬午62分（19.62），6章首。汉成帝元延四年，公元前9年。 （19.131） (7)、壬戍42分（59.42），7章首。新王莽始建国三年，公元11年。（58.778） (8)、壬寅22分（39.22），8章首。东汉光武帝建武六年，公元30年。（38.485） (9)、壬午2分（19.02），9章首。东汉光武帝建武廿九年，分元49年。（18.250） (10)、辛酉63分（58.63），10章首。东汉明帝永平十一年，公元68年。（57.897） (11)、辛丑43分（38.43），11章首。东汉章帝章和元年，公元87年。（37．524）下按《后汉历》，移历数为37．705，即庚子705分。
《太初历》使用止于东汉章帝元和二年（公元85年），岁前十一月朔日癸未。时由编 沂、李 梵创制实施的《四分历》，世称《东汉历》或《后汉历》。 该历以汉文帝后元三年（前161年）岁前十一月朔日甲子0分作历元起历。由于前161年《殷历》朔日为乙丑，而密近天象的交朔时间为甲子596分，《东汉历》预去其日分，等于削去了古四分历的积差，相当于将老历的历数提前一日，故自动密近了天象。由《东汉历》算得，汉章帝章和元年（公元87年）为以前161年为历元算起的第蔀岁第二章岁首岁，岁前十一月交朔历数为庚子705/940分。将此数与上表末栏括号中的历数对照,《东汉历》实际起点的历数，与天象已很密近了。
说到这里，顺便提一下一个的趣的问题：新的《四分历》既以前161年为历元，则太初元年为其第三章岁的第一年，也就是说，按东汉新历法，汉武帝太初元年的历元起点，不是甲子“夜半子时0分，而是60.235分，只合于“癸亥卯时”。《续汉书··律历志》说“亏四分日之三”，就是指的1.000与60.235这两个历数之差为0.705说的。此一说法，至少有三点质疑：第一，不合张寿王发难实情。查“亏四分日之三”的说法，原来是在太初历实施二十七年后,由太史丞张寿王发难《太初历》时说的，并引发了三年历法“大战”。按太初元年密近天象的交朔时间确应为60.657，合癸亥657分，冬至时间为60.627(癸亥627分) 。张寿王所坚持的一些说法,己有人当面指出，他手持的是《殷历》，而《孝武帝本纪》又明明记着该年十一月甲子月大，与按《殷历》推出的“甲子705分”毫忽不差，因此张寿王说的是由手持《殷历》所订“甲子705分”去其705分而定为甲子历元0分。第二点，不合历史记载。正如祖冲之早己指出的：“四分之法，久则后天。以食验之，辄差一日。” 这是先秦直至西汉历史记载正确总结。若按《续汉书·律历志》说法，太初未改历之前子月交朔历点为60.235 (癸亥235分)，岂不是历法己先于天象。这不符合由秦至汉历纪滞后于天象的历史记载。第三点，不符合元凤议历结论。元凤议历三年，结论是“课诸历疏密，凡十一家，各有第，寿王课疏远。…复候，尽 ( 元凤 ) 六年，《太初历》第一，即墨徐万且、长安徐禹治《太初历》，亦第一。”张寿王所举的既不是，“凡十一家”历书中也不可能有比《太初历》精度更高的某一历谱。如果真存在有一本如《续汉书·律历志》所说的比《太初历》密合天象程度更高的历谱的话，张寿王不会败的那么狼狈，甚至连太初修订历法为了密近天象，倒成了疏远天象了。新《四分历》“亏四分日之三”所揭示的，正面而议，是为立汉文帝后元三年(前161年)为新的“历元”增加一条不是理由的“理由”；反面议之，或则是再一次借用张寿王的一句“妄言”，直斥《太初历》的制订人用了不可告人的骗术，把本不是天象的“历元之年”，勉强附会说成是合于天纪的历元首岁，以迎合汉武帝的虚荣的险恶居心。
2、 上面已经介绍了用《三统历》编订《太初历》的一些参数，下面再加几条，即可用“积日法”从历元开始，恢复太初历数了： (1)、推积月：历元首岁积月0；以下平年积月12，闰年积月13。 (2)、 推岁初闰余：历元岁首0；以下岁加7。岁初闰余12分及以上，本年当闰；置闰后积分削去19分。 (3)、 推岁初积日：历元岁首0；以下为上上一栏的岁初积日与本年历日之和。 (4)、 推岁初大余：岁初积日除以60的余数。 (5)、推岁初小余：历元岁首为0。以下上栏为平年加30，闰年加73。小余等于或大于81时，削去81。 (6)、 推本年历日日数：本年平年时，小余51分及以下，年354日；小余大于51分，为355日。本年闰年时，小余8分及以上，年384日；小余少于8分时，年383日。 (7)、本年岁初历数（简称“历数）：本岁岁初大余加1和小余以圆点间隔开的“合数”。按：因为古时六十甲子顺序从0开始，今则从以1为甲子，故以算外加以1入“历数”。 (8)*、 推月大与月小：从岁首或任意月份开始，本月小余少于38分，月小，月29日；本月小余38分及以上，月大，月30日。由本月月首“历数”加大余29，加小余43分，得下一月的历数。唯须记住：小余数需按81进位制进位。即小满81分时，去81分，且大余同时加1。例如本月19.46分，求下月“历数”？19.46 + 29.43 = 48.89 = 49.8，为下月“历数”。 (9)*、推二十四节气：由历元岁首开始，以32分为分母，每节节距15.7分; 大余60循环不进位, 小余用32进位制进位，依次下排。 若只排中气或只排节气，则以气距30.14，亦依前法排之。推冬至： 由历元1.00开始, 岁加5.08分,大余60循环, 小余32进位。 (10)**、推闰月月份：用刘歆法。 法：岁初闰余12分及以上时，本岁有闰；以19减去岁初闰余的分数，乘以12 / 7，得商，将商逢为整数，以商逢为整数的数为闰月名，闰下一个月。以岁初闰余为U，若取整除 [(19－U)×12 ÷7] 值为闰月月名，则入闰于无中气的月份了。当整除得商为0时，则当以闰岁末月。又上均以建子之月作岁首月计算的。换成夏正，则应将闰月的月份往上移2月才是。 *历数表每年只出具一个“历数”，故历数表和年历谱不显示数⑧和⑨。 **历数表和年历谱也不显示数⑩。因在具体推历时，此处推出的闰月月份，需结合实际予以应用才行。
3、 以上推历十步，只须更换小余分制，同样适用于推古四分历历数。因古四分历历数已有《史记·历术甲子篇》本法，可直接引用，所以未出具体推法。 《太初历》虽然本法不存，其实《三统历》是在《太初历》实施年间所著，完全可据以恢复《太初历》原貌。兹试用以上十步，推出《太初历》首四章历数于下： ( 表后附注为公前年号。)
附《太初历》复原第一至第四章历表 第一章历数表（表一）
序 积月 闰余 积 日 大余 小余 历日 历数 附注 01 000 00
354 01.00 太初武帝 02 012 07
354 55.30 103 Ⅰ 024 14
384 49.60 102 04 037 02
355 13.52 101 05 049 09
354 08.01 天汉 Ⅱ 061 16
384 02.31 099 07 074 04
354 26.23 098 08 086 11
355 20.53 097 Ⅲ 098 18
384 15.02 太始 10 111 06
355 38.75 095 Ⅳ 123 13
384 33.24 094 12 136 01
354 57.16 093 13 148 08
354 51.46 征和 Ⅴ 160 15
384 45.76 091 15 173 03
355 09.68 090 16 185 10
354 04.17 089 Ⅵ 197 17
384 58.47 后元 18 210 05
354 22.39 087 Ⅶ　222 12
384 46.69 始元昭帝
第二章历数表（表二）
序 积月 闰余 积 日 大余 小余 历日 历数 附注 01 235 00
355 40.61 085 02 247 07
354 35.10 084 Ⅰ 259 14
384 29.40 083 04 272 02
354 53.32 082 05 284 09
355 47.62 081 Ⅱ 296 16
384 42.11 元凤 07 309 04
354 06.03 079 08 321 11
354 60.33 078 Ⅲ 333 18
384 54.63 077 10 346 06
355 18.55 076 Ⅳ 358 13
383 13.04 075 12 371 01
355 36.77 元平 13 383 08
354 31.26 本始宣帝 Ⅴ 395 15
384 25.56 072 15 408 03
354 49.48 071 16 420 10
355 43.78 070 Ⅵ 432 17
384 38.27 地节 18 445 05
354 02.19 068 Ⅶ　457 12
384 56.49 067
第三章历数表（表三）
序 积月 闰余 积 日 大余 小余 历日 历数 附注 01 470 00
354 20.41 066 02 482 07
355 14.71 元康 Ⅰ 494 14
384 09.20 064 04 507 02
354 33.12 063 05 519 09
354 27.42 062 Ⅱ 531 16
384 21.72 神爵 07 544 04
355 45.64 060 08 556 11
354 40.13 059 Ⅲ 568 18
384 34.43 058 10 581 06
354 58.35 五凤 Ⅳ 593 13
384 52.65 056 12 606 01
355 16.57 055 13 618 08
354 11.06 054 Ⅴ 630 15
384 05.36 甘露 15 643 03
354 29.28 052 16 655 10
355 23.58 051 Ⅵ 667 17
383 18.07 050 18 680 05
355 41.80 黄龙 Ⅶ 692 12
384 36.29 初元元帝
第四章历数表（表四）
序 积月 闰余 积 日 大余 小余 历日 历数 附注 01 705 00
354 60.21 047 02 717 07
355 54.51 046 Ⅰ 729 14
383 49.00 045 04 742 02
355 12.73 044 05 754 09
354 07.22 永光 Ⅱ 766 16
384 01.52 042 07 779 04
354 25.44 041 08 791 11
355 19.74 040 Ⅲ 803 18
384 14.23 039 10 816 06
354 38.15 建昭 Ⅳ 828 13
384 32.45 037 12 841 01
354 56.37 036 13 853 08
355 50.67 035 Ⅴ 865 15
384 45.16 034 15 878 03
354 09.08 竟宁 16 890 10
354 03.38 建始成帝 Ⅵ 902 17
384 57.68 031 18 915 05
355 21.60 030 Ⅶ 927 12
384 16.09 029 ◎ 940 00
354 40.01 (028)河平
① 以上是用《三统历》历术推步出的《太初历》历数表。其尾栏带“◎”符的一栏，既是下一章岁岁初历数，也是本表四章岁76年历数的“结数”。按刘歆的交待：“各从其统首起，求其后章，当加大余三十九，小余六十一，各尽其八十一章。”要就如上法一章一章地往下排完81章1539年，可见其历法推步的烦琐工艺。我花工夫推出四章，已不敢保准不出错了，何况当时计算工具和方法比现在落后的多。假若我是当时的一位“宗师”，当然这只是“假若”。我这位“宗师”把推出的数据交给门人弟子。若有一位，其中的一位，发现了表中历数出错了，兴冲冲跑来告诉我，我又不甘心认错，如何办呢？山人自有妙法。我会当众先骂无关弟子们一顿，说：“你们太不成器了！”然后表扬说，只有他，看得出为师预先留下的“错数”，孺子可教！当然，被表扬了的这位门人高兴，门下弟子们也会同声奉其为“上座弟子”了。最后，接班人宗师是不会用他的。因为他没学好“关系学”，不知道为尊者讳。当年黄梅山五祖没有将“衣钵”传给其已奉为上座弟子的神秀，而传给六祖惠能，就可能因为神秀太逞能了，有抡班夺衣钵的徵候。不是么？《法宝坛经》有精彩记述。
② 表上各数76个历数，就是由太初元年始，给出的依次各年的历数。逐一给安上年号，但无碍用作为基本数据使用。刘歆虽取消了古四分历76岁为一蔀岁的名号，但他也留了一手：“四章而朔余一，为篇首”。由上表历元首岁历数1.00,加上39.01,得出为40.01,正好就是上表最末位篇外第77年的历数。由上表各栏历数通加39.01,也就把下一篇76年的历数也排出来了。不但如此，由上四张表出的“历数”，只要加上几个39.01那么，无论是属于哪一“篇”的历数，也能逐一排列出来。所以其实是不用去“各尽其八十一章”的笨办法的。
③ 由表一至四，将其推历结果的历数抽出，集于表五，可得到与司马迁《史纪·历术甲子篇》类似的历数表如下。参见拙文：《遗世历术宝典〈历术甲子篇〉解读》，比较两表数据，可以清楚地看出，两者之间的异同。
表五 《太初历》第一篇历术数表
序 一章岁 二章岁 三章岁 四章岁 01 01.00 40.61 20.41 60.21 02 55.30 35.10 14.71 54.51 }