您的位置： &
& &&&自考《线性代数（经管类）》真题练习：正定矩阵的性质（11.27）
自考《线性代数（经管类）》真题练习：正定矩阵的性质（11.27）
09:00&&自考365 【
　　单选题
　　1.下列结论错误的是（　）
　　A.单位矩阵一定是正定矩阵
　　B.设n阶矩阵A=（aij）是正定矩阵，则A中所有对角元aii&0，i=1，2&n
　　C.设A与B是两个合同的实对称矩阵，则A为正定矩阵当且仅当B为正定矩阵
　　D.n阶对称矩阵A=（aij）是正定矩阵A的n个特征值全大于零的充分不必要条件
　　正确答案：D
　　答案解析：本题考查正定矩阵的性质。应该是充要条件。
本文转载链接：
欢迎访问：
自考真题库手机应用
& & & & & &
热门搜索：　　　　扫扫二维码，随身浏览文档
手机或平板扫扫即可继续访问
线性代数--矩阵的特征值与特征向量
举报该文档含有违规或不良信息。
反馈该文档无法正常浏览。
举报该文档为重复文档。
推荐理由：
将文档分享至：
分享完整地址
文档地址：
粘贴到BBS或博客
flash地址：
支持嵌入FLASH地址的网站使用
html代码：
&embed src='/DocinViewer-4.swf' width='100%' height='600' type=application/x-shockwave-flash ALLOWFULLSCREEN='true' ALLOWSCRIPTACCESS='always'&&/embed&
450px*300px480px*400px650px*490px
支持嵌入HTML代码的网站使用
您的内容已经提交成功
您所提交的内容需要审核后才能发布，请您等待！
3秒自动关闭窗口特征值_百度百科
收藏 查看&特征值本词条缺少名片图，补充相关内容使词条更完整，还能快速升级，赶紧来吧！
特征值是中的一个重要概念在数学物理学化学计算机等领域有着广泛的应用外文名eigen value别&&&&称本征值表达式Ax=λx提出时间1904应用学科数学，物理学，化学，计算机适用领域范围量子力学等
又称英文名eigen value特征一词译自的eigen由在1904年首先在这个意义下使用在更早的时候也在类似意义下使用过这一概念eigen一词可翻译为自身的特定于...的有特征的或者个体的这强调了特征值对于定义特定的变换上是很重要的[1]设A为n阶矩阵若存在λ及n维x使得Ax=λx则称λ是矩阵A的特征值x是A属于特征值λ的[2]如将特征值的取值扩展到领域则一个广义特征值有如下形式Aν=λBν
其中A和B为矩阵其广义特征值第二种意义λ 可以通过求解方程(A-λB)ν=0得到det(A-λB)=0其中det即行列式构成形如A-λB的矩阵的集合其中特征值中存在的复数项称为一个丛(pencil)
若B可逆则原关系式可以写作Aν=λν 也即标准的特征值问题当B为非可逆矩阵无法进行逆变换时广义特征值问题应该以其原始表述来求解
如果A和B是则特征值为这在上面的第二种等价关系式表述中并不明显因为A矩阵未必是对称的[1]
求n阶矩阵A的特征值的基本方法
根据定义可改写为关系式(λE-A)x=0E为其形式为主对角线元素为λ-其余元素乘以-1即(λE-A)x=0有非零解的值λ则可求出n个满足|λE-A|=0的λ即为A的特征值
具体操作以右图为例　　
设A为n阶根据关系式Ax=λx可写出(λE-A)x=0继而写出|λE-A|=0可求出矩阵A有n个特征值包括重特征值将求出的特征值λi代入原特征多项式求解方程(λiE-A)x=0所求x就是对应的特征值λi的特征向量设有n阶矩阵A和B若A和BA∽B则有
1A的特征值与B的特征值相同λ(A)=λ(B)特别地λ(A)=λ(Λ)Λ为A的
2A的特征多项式与B的特征多项式相同|λE-A|=|λE-B|
3A的等于B的迹trA=trB/其中i=1,2,…n即上元素的和
4A的值等于B的行列式值|A|=|B|
5A的等于B的秩r(A)=r(B)[2]
因而A与B的特征值是否相同是判断A与B是否相似的根本依据矩阵可有两个充要条件1矩阵有n个不同的2特征向量重根的重数等于的个数对于第二个充要条件则需要出现二重以上的重特征值可验证一重相当于没有重根[2]
若矩阵A可对角化则其Λ的主对角线元素全部为A的特征值其余元素全部为0一个矩阵的对角阵不唯一其特征值可以换序但都存在由对应特征向量顺序组成的P使=Λ量子力学
设A是的一个如果空间中某一通过A变换后所得到的向量和X仅差一个常数因子即AX=kX 则称k为A的特征值X称为A的属于特征值k的或(eigenvector)如在求解薛定谔波动方程时在满足有限连续性和条件下势场中运动粒子的总(正)所必须取的特定值这些值就是正的
设M是n阶 I是 如果存在一个数λ使得 M-λI 是即不 亦即为零 那么λ称为M的特征值
在A变换的作用下ξ仅仅在尺度上变为原来的λ倍称ξ是A 的一个特征向量λ是对应的特征值本征值,是实验中能测得出来的量与之对应在量子力学理论中很多量并不能得以测量当然其他理论领域也有这一现象
新手上路我有疑问投诉建议参考资料 查看本文是Gilbert Strang的线性代数导论课程笔记。课程地址：&&
第二十九课时：相似矩阵和若尔当形
本讲介绍相似矩阵，两个矩阵相似意味着什么。
回顾上讲内容，正定矩阵有xTAx&0，也可直接通过特征值，主元或者行列式来做判断。
假设A是一个正定矩阵，它是一个对称矩阵，那么A的逆矩阵也是对称的，而且，A的逆的特征值等于原矩阵特征值的倒数，如果能判断原矩阵是正定的，那么它的逆也能确定是正定的。
如果A,B都是正定矩阵，那么A+B也是正定的。证明：已知xTAx&0，xTBx&0，那么xT(A+B)x&0。
实际上大量的物理问题需要用长方形矩阵描述。
正定矩阵从何而来？它来自最小二乘法。最小二乘的关键在于矩阵ATA，可证明它是一个正定矩阵。
假设有长方矩阵Am×n，那么ATA是对称矩阵。
= (Ax)T(Ax) = |Ax|2&&=
0，当Ax为零向量时等式等于0，Ax=0，如何保证A的零空间里只有零向量？
当A各列线性无关，rank(A)=n时，零空间只有零向量。此时，ATA是正定的，最小二乘方程将存在最优解。
正定性把以前的内容都串联起来。现在要进入线性代数最核心的内容了。
相似矩阵
A和B是两个n×n方阵，如果存在某个可逆矩阵M，使得：B=M-1AM，那么A和B是相似的。
其中任意两个互为相似的矩阵满足上述等式。
假设A有无关的特征向量，通过特征向量矩阵S，有：S-1AS=Λ，那么A相似于Λ。对角阵是这类矩阵（互为相似矩阵）中最与众不同的。它是这类矩阵里面最简洁的一个。矩阵A的所有相似矩阵里面，Λ是最好的，还有许多其他矩阵与A相似。我们可以用任意的可逆矩阵M代替S,都得到一个新的矩阵，这个新的矩阵与A相似。那么A与其他所有的相似矩阵的共同点是什么？
性质1）相似矩阵具有相同的特征值；（注意特征向量并不相同）
具有相同特征值的一类矩阵，两个矩阵之间由一个可逆M联系起来，这类矩阵里面最特殊的就是对角阵Λ。为什么相似矩阵具有相同的特征值？
有Ax=λx，假设λ是A的特征值，那么AMM-1x=λx，等式两边同时乘以M-1，M-1AMM-1x=λM-1x，同时有B=M-1AM，所以前面的式子化为：BM-1x&=λM-1x，此等式表明λ是B的一个特征值。由此也可得性质2.
性质2）B=M-1AM，&B的特征向量等于M的逆乘以矩阵A的特征向量；
对角阵Λ是A的最简单特殊的相似矩阵，Λ的特征向量为(1 0),(0 1)。
有一种坏情况
当矩阵A有重复的特征值，那么意味着A的特征向量会共线，矩阵可能无法对角化。
假设A的特征值：λ1=λ2=4，A=([4 0],[0 4])，那么M-1AM仍旧为A，这样的对角矩阵是单一的一类矩阵，它的相似矩阵只有自己。
另一种情况，如上，下部分，λ1=λ2=4，这是一个无法对角化的矩阵，它可以找到一类矩阵与它相似，如果把右上角的元素换成10或者其他的数，也是一样的能找到相应的M使之与其相似，但右上角是1的特征值重复的三角矩阵称为若尔当标准型Jordan form。若尔当标准型是最接近对角阵的一个，但又不完全对角化。
对于之前无法对角化的矩阵，都可以通过某种特殊方法，完成近似的“对角化”。如果想要对角化任何矩阵，则必须学习这种方法。
另一类相似矩阵：他们的迹和行列式相等。比如下面的，他们的特征值相等，且所有的特征值都是重复的。
另一类矩阵，若尔当认为它们并不是相似的。
如下第一个矩阵，λ1=λ2=λ3=λ4=0，特征向量为整个零空间，零空间是二维的。如果把第一行的第三个元素改为7，特征值仍然相等，特征向量个数仍然相等，修改过的矩阵和原先的矩阵相似，但因为之前的矩阵很美观，所以选择前者。注意对角线上的1，每增加一个1，特征向量就减少1个。
第二个矩阵,4个特征值仍然全为0，特征向量的个数为2，但若尔当认为第二个矩阵并不相似与第一个矩阵。第一个矩阵由3×3的矩阵和1×1的矩阵若尔当块组成，第二个矩阵由两个2×2的分块组成，这些分块称为若尔当块。因为若尔当块大小不一样，所以若尔当认为两个矩阵并不相似。
若尔当块：Ji表示i阶的若尔当块，它只有一个重复的特征值，对角线上全是λi，下面是0，上面是1，它的对角线上都是同一个数，只有一个特征向量。即，每个若尔当块只有一个特征向量。
若尔当阵J：由若尔当块构成的矩阵，特征值位于对角线上，对角线上方有若干个1，若尔当块的数量等于特征向量的个数，因为每一块对应于一个特征向量。
若尔当定理：每个方阵A都相似于一个若尔当阵J。如果方阵A有n个互不相同的特征值，那么它是一个可对角化的矩阵，对应的若尔当阵就是对角阵Λ，J=Λ，d=n。
若尔当研究了所有情况，包含特征值重复的情况，此时特征向量的个数变少，这就是若尔当的理论。
* 以上用户言论只代表其个人观点，不代表CSDN网站的观点或立场
访问：42230次
排名：千里之外
原创：46篇
评论：13条
(2)(24)(12)(8)}