一道大题。此题如何解？_高中数学吧_百度贴吧
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一道大题。此题如何解？收藏
设函数F（x）=lnx-1/(e^x)+2/(ex),试问函数F（x）是否存在零点？若存在，求出零点个数
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求导画图应该能搞出来
由lnx&1/(e^x)-2/(ex)可得
lnx-[1/(e^x)-2/ex)]&0
令H(x)=lnx-[1/(e^x)-2/(ex)]
求导得 H'(x)=(1/x)+1/e^x+2/(ex^2)
所以H'(x)&0
即H(x)是增函数
因此，只需证明当x趋于0时，lnx&1/(e^x)-2/(ex)即可
在不等式两端同时乘以x，因为x&0，所以不影响不等号方向，得：
xlnx-x/e^x+2/e&0
令T(x)=xlnx-x/e^x+2/e,
lim(x-&0)T(x)
=2/e&0 (这步你会吧？)
所以，综上所述，对于一切x∈(0,+∞),都有
lnx&1/(e^x)-2/(ex)
即没有零点
乃太狠毒了，连题目都不给齐……很明显前面应该有第一问的，上来就是这个函数，怎么求零点什么的，不科学……我是猜出答案的……咳咳，抱怨完毕解决此题首先想办法把lnx往1/ex或者往1/e^x方向靠吧……首先试着考虑lnx和1/ex的关系，令k（x）=xlnx，则k'（x）=1+lnx当x∈(0，1/e)时，k'（x）＜0，k（x）在(0，1/e)上是减函数，当x∈(1/e，+∞)时，k'（x）＞0，k（x）在(1/e，+∞)是增函数，于是k（x）在x=1/e时取最小值（因为是唯一极小，所以是最小）k（1/e）=-1/e得到xlnx≥-1/e，即lnx≥-1/ex（这个函数我们比较熟悉了……）于是F（x）=lnx-1/e^x+2/ex≥1/ex-1/e^x=1/x（1/ex-x/e^x）令g（x）=1/ex-x/e^x，则g'（x）=e^-x（x-1）则x∈（0，1）时，g（x）是减函数，x∈（1，+∞）时，g（x）是增函数，∴g（x）≥g（1）=0……①故F（x）≥0……②，但①式当且仅当x=1时取等号，②式当且仅当x=1/e时取等号，故F（x）&0恒成立，F（x）木有零点
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