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已知函数f(x)=x2+1x+c的图象关于原点对称．（1）求f（x）的表达式；（2）n≥2，n∈N时，求证：[f（1）-1]|[f（22）-22]+…+[f（n2）-n2]＜2；（3）对n≥2，n∈N，x＞0，求证[f（x）]n-f（xn）≥2n-2．
题型：解答题难度：中档来源：不详
∵f（x）图象关于原点对称∴f（x）是奇函数，代入特值，f（1）=-f（-1），求得c=0∴f(x)=x2+1x（2）∵n≥2，n∈N∴f(n2)-n2=1n2＜1(n-1)n=1n-1-1n(n≥2)∴[f(1)-1]+…+[f(n2)-n2]＜1+(1-12)+(12-13)+…+(1n-1-1n)＜2（3）[f(x)]n-f(xn)=(x+1x)n-(xn+1xn)=C1nxn-11x+C2nxn-2(1x)2+…+Cn-1nx(1x)n-1=12[(C1nxn-11x+Cn-1nx(1x)n-1)+(C2nxn-2(1x)2+Cn-2nx2(1x)n-1)+…+(Cn-1nx(1x)n-1+C1nxn-1(1x))]≥12[Cn12xn-11xx(1x)n-1&&+Cn2o2xn-21x&2x2(1x)&n-2+…+Cnn-1o2(1x)&n-1x&n-1]=2n-2∴[f（x）]n-f（xn）≥2n-2．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f(x)=x2+1x+c的图象关于原点对称．（1）求f（x）的表达式；（2..”主要考查你对&&函数的奇偶性、周期性，一元高次（二次以上）不等式，反证法与放缩法&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
函数的奇偶性、周期性一元高次（二次以上）不等式反证法与放缩法
函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。&&函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。 奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性& & 令a&,&b&均不为零，若：& （1）函数y&=&f(x)&存在&f(x)=f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|a|& （2）函数y&=&f(x)&存在f(a&+&x)&=&f(b&+&x)&==&&函数最小正周期&T=|b-a|&（3）函数y&=&f(x)&存在&f(x)&=&-f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|2a|&（4）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&==&&函数最小正周期&T=|2a|& （5）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&&==&&函数最小正周期&T=|4a|元高次不等式的概念：
含有一个未知数且未知数的最高次数不小于3的不等式叫做一元高次不等式一元高次不等式的解法：
①解一元高次不等式时，通常需进行因式分解，化为的形式，然后应用区间法化为不等式组或用数轴标根法求解集．②用数轴标根法求解一元高次不等式的步骤如下：a．化简：将原不等式化为和它同解的基本型不等式．其中的n个根，它们两两不等，通常情况下，常以的形式出现， 为相同因式的幂指数，它们均为自然数，可以相等；b．标根：将标在数轴上，将数轴分成(n+1)个区间；c．求解：若 ，则从最右边区间的右上方开始画一条连续的曲线，依次穿过每一个零点（的根对应的数轴上的点），穿过最左边的零点后，曲线不再改变方向，向左下或左上的方向无限伸展．这样，不等式的解集就直观、清楚地表示在图上，这种方法叫穿针引线法（或数轴标根法）；当 不全为l，即f（x）分解因式出现多重因式（即方程f(x）=0出现重根）时，对于奇次重因式对应的根，仍穿轴而过；对于偶次重因式对应的根，则应使曲线与轴相切．简言之，函数f(x)中有重因式时，曲线与轴的关系是"奇穿偶切"．反证法的定义：
有些不等式无法利用题设的已知条件直接证明，我们可以用间接的方法——反证法去证明，即通过否定原结论——导出矛盾——从而达到肯定原结论的目的。
放缩法的定义：
把原不等式放大或缩小成一个恰好可以化简的形式，比较常用的方法是把分母或分子适当放大或缩小（减去或加上一个正数）使不等式简化易证。 反证法证题的步骤：
若A成立，求证B成立。共分三步：（1）提出与结论相反的假设；如负数的反面是非负数，正数的反面是非正数即0和负数；（2）从假设出发，经过推理，得出矛盾；（必须由假设出发进行推理否则不是反证法或证错）；（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.矛盾：与定义、公理、定理、公式、性质等一切已有的结论矛盾甚至自相矛盾。反证法是一种间接证明命题的基本方法。在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明。
放缩法的意义：
放缩法理论依据是不等式的传递性：若,a&b,b&c，则a&c.
放缩法的操作：
若求证P&Q，先证P&P1&P2&…&Pn,再证恰有Pn&Q.需注意：（1）只有同方向才可以放缩，反方向不可。（2）不能放（缩）得太大（小），否则不会有最后的Pn&Q.
发现相似题
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（同步课堂）2015高考一博高中数学2.2对函数的进一步认识名师考点精讲北师大版必修1.doc33页
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（同步课堂）学年高中数学 2.2 对函数的进一步认识名师考点精讲 北师大版必修1
[读教材?填要点]
1．函数的概念
给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f x 与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数，记作f：A→B，或y＝f x ，x∈A.此时，x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域，集合 f x |x∈A 叫作函数的值域，习惯上称y是x的函数．
2．区间与无穷的概念
设a，b是两个实数，而且a＜b，规定如下表：
定义 名称 符号 几何表示
闭区间 [a，b]
左闭右开区间 [a，b
左开右闭区间
这里实数a，b都叫作相应区间的端点．
2 无穷大的概念及无穷区间：
－∞，＋∞
[小问题?大思维]
1．函数定义中的集合A，B一定是非空数集吗？
提示：A，B一定是非空数集，否则构不成集合A到B的函数关系．
2．函数定义中对集合A中元素有什么要求？对B中元素有同样要求吗？
提示：对集合A中元素有两个要求，其一，全部参与对应，其二，每个元素在B中对应的元素唯一；而对B中元素没此要求．
3．试分析构成函数有几个要素？
提示：三个要素：对应关系f，定义域A和值域 f x |x∈A ．
[例1]　试判断以下各组函数是否表示同一函数：
1 f x ＝，g x ＝；
2，g x ＝；
3 f x ＝x2－2x－1，g t ＝t2－2t－1.
[自主解答]　 1 由于f x ＝＝|x|，g x ＝＝x，故它们的对应关系不相同，所以它们不表示同一函数．
2 由于函数f x ＝
2的定义域为 x|x≥0 ，而g x ＝的定义域为
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北师大版必修一复习2.2 对函数的进一步认识(共3讲)|北​师​大​版​必​修​一​复​习. ​对​函​数​的​进​一​步​认​识​(​共讲​)
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你可能喜欢已知二次函数f(x)满足：f(1/2-x)=f(1/2+x),其图象与x轴的两个交点距离为3，并且其图像过点（-1,2）. (1)求f(x)的表达式。（2）如果方程f(x)=mx-3在区间（0,2)上有解，求实数m的取值范围。
已知二次函数f(x)满足：f(1/2-x)=f(1/2+x),其图象与x轴的两个交点距离为3，并且其图像过点（-1,2）. (1)求f(x)的表达式。（2）如果方程f(x)=mx-3在区间（0,2)上有解，求实数m的取值范围。
&解：（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），由f（
2+x），知f（x）图象关于x=
2对称，所以-
2，即a=-b，由函数图象过点（1，-2），得a+b+c=-2，即-b+b+c=-2，所以c=-2．则f（x）=ax2-ax-2，设图象与x轴的两交点横坐标为x1，x2，则|x1-x2|=3，(x1-x2)2＝9，即(x1+x2)2-4x1x2=9，所以1-4×（-
a）=9，解得a=1，则b=-1．所以f（x）=x2-x-2．（2）方程f（x）=mx-3，即x2-x-2=mx-3，也即m=x+
x-1，所以方程f（x）=mx-3在区间（0，2）上有解，等价于m=x+
x-1在（0，2）上有解．当x∈（0，2）时，x+
x-1=1，当且仅当x=
x，即x=1时取等号，所以x+
x-1≥1，故m≥1．所以实数m的取值范围为：m≥1．
的感言：真心佩服你，谢谢！
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