本题难度：0.45&&题型：综合题
（2016o崇明县一模）如图，已知矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E是BC边上一点（不与B、C重合），过点E作EF⊥AE交AC、CD于点M、F，过点B作BG⊥AC，垂足为G，BG交AE于点H；（1）求证：△ABH∽△ECM；（2）设BE=x，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）当△BHE为等腰三角形时，求BE的长．
来源：2016o崇明县一模 | 【考点】相似形综合题．
（2016o青岛一模）设ω是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与ω的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为ω的“化方”．（1）阅读填空如图①，已知矩形ABCD，延长AD到E，使DE=DC，以AE为直径作半圆，延长CD交半圆于点H，以DH为边作正方形DFGH，则正方形DFFH与ABCD等积．理由：连接AH，EH．∵AE为直径∴∠AHE=90°∴∠HAE+∠HEA=90°．∵DH⊥AE∴∠ADH=∠EDH=90°∴∠HAD+∠AHD=90°∴∠AHD=∠HED∴△ADH∽&&&&．∴，即DH2=AD×DE．又∵DE=DC∴DH2=&&&&．即正方形DFGH与矩形ABCD等积．（2）类比思考平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形．（3）解决问题三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的&&&&（填写图形各称），再转化为等积的正方形．如图②，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，请用尺规或借助作出与△ABC等积的正方形的一条边．（不要求写具体作法，但要保留作图痕迹）（4）拓展探究n边形（n＞3）的“化方”思路之一是：把n边形转化为n-1边形，…，直至转化为等积三角形，从而可以化方．如图③，四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上，请用尺规或借助网格作出与四边形ABCD等积的三角形（不要求写具体作法，但要保留作图痕迹）．
如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不一定正确的是（　　）
A、当AB=AD时，它是菱形B、当AC=BD时，它是矩形C、当AC⊥BD时，它是菱形D、当∠ABC=90°时，它是正方形
如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）
A、当∠ABC=90°时，它是矩形B、当AO=CO，BO=DO时，它是菱形C、当AC⊥BD时，它是菱形D、当AC=BD且AC⊥BD时，它是正方形
如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的（　　）
A、当AB=BC时，它是菱形B、当∠ABC=90°时，它是矩形C、当AC⊥BD时，它是正方形D、当AC=BD时，它是矩形
如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）
A、当AC=BD时，它是矩形B、当AC⊥BD时，它是菱形C、当AD=DC时，它是菱形D、当∠ABC=90°时，它是正方形
解析与答案
（揭秘难题真相，上）
习题“（2016o崇明县一模）如图，已知矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E是BC边上一点（不与B、C重合），过点E作EF⊥AE交AC、CD于点M、F，过点B作BG⊥AC，垂足为G，BG交AE于点H；（1）求证：△ABH∽△ECM；（2）设BE=x，EHEM=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）当△BHE为等腰三角形时，求BE的长．”的学库宝（/）教师分析与解答如下所示：
【分析】（1）由矩形的四个角为直角得到∠ABC为直角再由BG垂直于ACAE垂直于EF得到一对直角相等利用同角的余角相等得到一对角相等再利用外角性质得到另一对角相等利用两角相等的三角形相似即可得证（2）延长BG交AD于点K利用两角相等的三角形相似得到三角形ABK与三角形ABC相似由相似得比例求出AK的长由AK与BE平行得到三角形AHK与三角形BHE相似表示出EH由第一问的结论利用相似三角形对应边成比例表示出AHEM即可确定出y与x的函数解析式并求出定义域即可（3）当△BHE为等腰三角形时分三种情况考虑：①当BH=BE时利用等腰三角形的性质角平分线定义及锐角三角函数定义求出BE的长②当HB=HE时利用等腰三角形的性质及锐角三角函数定义求出BE的长③当EB=EH时利用等腰三角形的性质及勾股定理求出BE的长即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形∴∠ABC=90°即∠ABG+∠CBG=90°∵EF⊥AEBG⊥AC∴∠AEF=∠BGA=90°∴∠AEF=∠ABC∠ACB+∠CBG=90°∴∠ABG=∠ACB∵∠AEC=∠ABC+∠BAE即∠AEF+∠CEF=∠ABC+∠BAE∴∠BAE=∠CEF又∵∠ABG=∠ACB∴△ABH∽△ECM（2）解：延长BG交AD于点K∵∠ABG=∠ACB又∵在矩形ABCD中∠BAK=∠ABC=90°∴△ABK∽△BCA∴AKAB=ABBC即AK6=68∴AK=92∵在矩形ABCD中AD∥BC且BE=x∴BEAK=EHAH=2x9∴EH=2x9oAH∵△ABH∽△ECM∴AHEM=ABEC=68-x∵EHEM=y∴y=2x9oAHEM=2x9oAHEM=2x9o68-x=4x24-3x（0＜x＜8）（3）解：当△BHE为等腰三角形时存在以下三种情况：①当BH=BE时则有∠BHE=∠BEH∵∠BHE=∠AHG∴∠BEH=∠AHG∵∠ABC=∠BGA=90°∴∠BEH+∠BAE=∠AHG+∠EAM=90°∴∠BAE=∠EAM即AE为∠BAC的平分线过点E作EQ⊥AC垂足为Q如图2所示则EQ=EB=xCE=8-x∵sin∠ACB=EQEC=x8-x=35∴x=3即BE=3&nbsp&nbsp&nbsp②当HB=HE时则有∠HBE=∠HEB∵∠ABC=∠BGC=90°∴∠BAE+∠HEB=∠BCG+∠HBE=90°∴∠BAE=∠BCG∴tan∠BAE=tan∠BCA=x6=34∴x=92即BE=92③当EB=EH时则有∠EHB=∠EBH又∵∠EHB=∠AHG∴∠AHG=∠EBH∵∠BGA=∠BGC=90°∴∠CAE+∠AHG=∠BCG+∠EBH=90°∴∠CAE=∠BCG∴EA=EC=8-x∵在Rt△ABE中AB2+BE2=AE2即62+x2=（8-x）2解得：x=74即BE=74综上所述当△BHE是等腰三角形时BE的长为3或92或74．
【考点】相似形综合题．
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知识点讲解
经过分析，习题“（2016o崇明县一模）如图，已知矩形ABCD中，AB=6，”主要考察你对
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
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如图，在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且DE平行AB,过点E作EF垂直DE,交BC的延长线于点F.1求角F的度数2若CD=2,求DF的长.
shitouwa1748
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①∵△ABC是等边三角形∴∠B=∠ACB=60°∵DE//AB∴∠EDF=∠B=60°∵EF⊥DE∴∠DEF=90°∴∠F=90°-∠EDF=30°②∵∠EDC=∠ECD=60°∴△CDE是等边三角形（有两个角是60°的三角形是等边三角形）∴DE=CD=2∵∠DEF=90°，∠F=30°∴DF=2DE=4（30°角所对的直角边等于斜边的一半）
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