浅谈二次函数教学中常见的问题
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93二次函数与相似三角形综合
第10讲：二次函数中因动点产生的相似三角形问题；①求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形；②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾；③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐；?二次函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个；y??x2?x；4（1）求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的；（2）连接OA、AB，如图2，在x轴下方的抛物
第10讲：二次函数中因动点产生的相似三角形问题① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。② 或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角比、对称、旋转等知识来推导边的大小。③ 若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。? 二次函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径： 例题1：已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B。1y??x2?x4（1）求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为）（2）连接OA、AB，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。 解：如图2，由抛物线的对称性可知:AO＝AB,∠AOB＝∠ABO. 若△BOP与△AOB相似,必须有∠POB＝∠BOA＝∠BPO设OP交抛物线的对称轴于A′点,显然A′(2,－1)1y??x2
∴直线OP的解析式为?11x??x2?x24,由得x1?0,x2?6.∴P(6,－3) 过P作PE⊥x轴,在Rt△BEP中,BE＝2,PE＝3, ∴PB＝≠4.∴PB≠OB,∴∠BOP≠∠BPO, ∴△PBO与△BAO不相似,同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点.所以在该抛物线上不存在点P,使得△BOP与△AOB相似.2y?x?1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． 例题2：如图所示，已知抛物线（1）求A、B、C三点的坐标．（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG?x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与?PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由． 解：（1）令y?0，得x?1?0
解得x??12令x?0，得y??1∴ A(?1,0)
C(0,?1)（2）∵OA=OB=OC=1
∴?BAC=?ACO=?BCO=45 ∵AP∥CB，
∴?PAB=45过点P作PE?x轴于E，则?APE为等腰直角三角形 令OE=a，则PE=a?1
∴P(a,a?1)2y?x?1上 ∴a?1?a2?1
∵点P在抛物线解得a1?2，a2??1（不合题意，舍去）∴PE=31111?2?1??2?3?42∴四边形ACBP的面积S=2AB?OC+2AB?PE=2(3)． 假设存在∵?PAB=?BAC =45
∴PA?AC∵MG?x轴于点G，
∴?MGA=?PAC =90 在Rt△AOC中，OA=OC=1
∴在Rt△PAE中，AE=PE=3
∴AP=2(m,m?1) m设M点的横坐标为，则My①点M在轴左侧时，则m??1AGMG() 当?AMG ∽?PCA时，有PA=CA2∵AG=?m?1，MG=m2?1?
2m??m解得11（舍去）2?3（舍去）AGMG() 当?MAG ∽?PCA时有CA=PA2即 ?解得：m??1（舍去）
m2??2 ∴M(?2,3)
② 点M在y轴右侧时，则m?1AGMG() 当?AMG ∽?PCA时有PA=CA∵AG=m?1，MG=m2?1?2∴?1m?4 解得m1?（舍去）
(43,79) ∴MAGMG() 当?MAG∽?PCA时有CA=PA2即 ?解得：m1??1（舍去）
m2?4∴M(4,15)∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与?PCA相似?2,3)(4,7)M点的坐标为(，39，(4,15) 练习：如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C， D为OC的中点，直线AD交抛物线于点E（2，6），且△ABE与△ABC的面积之比为3∶2． （1）求直线AD和抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴与x轴相交于点F，点Q为直线AD上一点，且△ABQ与△ADF相似，求出点Q点的坐标． 【随堂练】
姓名：_______班级：_________ 1．已知抛物线y??x2?(m?2)x?3m的顶点在y轴上，那么m的值等于 2.如图，已知二次函数y=?123x?x?4的图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，42其对称轴与x轴交于点D，连接AC．(1)点A的坐标为_______ ，点C的坐标为_______ ；
(2) 线段AC上是否存在点E，使得△EDC与△AOC相似?若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由； 2y?ax?bx?c的图象如图所示，已知该抛物线与x轴交于A、B两点，顶点为C 3.抛物线(1,4)，（1）根据图象所给信息，求出抛物线的解析式；（2）求直线BC与y轴交点D的坐标； （3）点P是直线BC上的一点，且?APB与?DOB相似，求点P的坐标. y4CA?1oB1x包含各类专业文献、生活休闲娱乐、外语学习资料、高等教育、行业资料、文学作品欣赏、中学教育、专业论文、93二次函数与相似三角形综合等内容。
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39相似三角形_与二次函数复习讲义
教学目标：；动点题是近年来中考的的一个热点问题，解这类题目要；所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动；关键:动中求静.；数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转；二次函数的实际应用包括以下方面：；（1）分析和表示不同背景下实际问题，如利润、面积；它的基本思路是：；【001；，8）.抛物线；y=ax2+bx过A、C两点.；(1)直接写出点A的
教学目标：动点题是近年来中考的的一个热点问题，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解。一般方法是抓住变化中的“不变量”，以不变应万变，首先根据题意理清题目中两个变量X、Y的变化情况并找出相关常量，第二，按照图形中的几何性质及相互关系，找出一个基本关系式，把相关的量用一个自变量的表达式表达出来，然后再根据题目的要求，依据几何、代数知识解出。第三，确定自变量的取值范围，画出相应的图象。所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想 函数思想
数形结合思想 转化思想二次函数的实际应用包括以下方面：（1） 分析和表示不同背景下实际问题，如利润、面积、动态、数形结合等问题中变量之间的二次函数关系 （2） 运用二次函数的知识解决实际问题中的最值问题它的基本思路是：【001，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E，①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形? 请直接写出相应的t值。
2,(相似三角形)如图11，抛物线交抛物线于另一点C，点C的坐标为（-2，6）.(1)求a的值及直线AC的函数关系式；(2)P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，交x轴于点N.与轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），过点A的直线①求线段PM长度的最大值；②在抛物线上是否存在这样的点M，使得△CMP与△APN相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由。 12x上的两点A、B的横坐标分别为?14和4，直线AB交y轴于点F，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为点C、D，连接CF、DF． （1）求点A、B、F的坐标； （2）求证：CF?DF； 3.已知，如图1，过点E?0，?1?作平行于x轴的直线l，抛物线y?12x对称轴右侧图象上的一动点，过点P作PQ⊥PO交x轴于点Q，是否存在点P4使得△OPQ与△CDF相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点P是抛物线y?
4.如图，二次函数y?ax2?bx?c（a?0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C．连结AC、BC，A、C两点的坐标分别为A(?3，且当x??4和x?2时二次函数的函数值y相等． 0)、C(0，（1）求实数a，b，c的值；（2）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连结MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标； （3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为项点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 2如图，已知抛物线C1：y?a?x?2??5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1． （1）求P点坐标及a的值；（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式； （3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标． 第二讲
动点面积问题一．考情分析二．知识回顾1aha，其中ha为a上的高 21S?absin?，其中?两边的夹角2 Sp是半周长1S?ah，其中a是水平宽，h铅锤高22等边三角形的面积公式：S?，其中a是等边三角形的边长初中阶段常用的三角形面积公式：S? 1.如图16，Rt△PMN中，∠P＝90°，PM＝PN，MN＝8cm，矩形ABCD的长和宽分别为8cm和2cm，C点和M点重合，BC和MN在一条直线上。令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线向右以每秒1cm的速度移动（如图17），直到C点与N点重合为止。设移动x秒后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为ycm。求y与x之间的函数关系式。2 2．如图，已知直线
交坐标轴于A，B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线另一个交点为E． （1）请直接写出点C,D的坐标；
（2）求抛物线的解析式；（3）若正方形以每秒5个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止．设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时D停止，求抛物线上C ,E两点间的抛物线弧所扫过的面积． y x （第24题）1y??x?123.如图，已知抛物线y??12x?x?4交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B． 2（1）求A、B两点的坐标，并求直线AB的解析式；（2）设P(x,y)（x?0）是直线y?x上的一点，Q是OP的中点（O是原点），以PQ为对角线作正方形PEQF．若正方形PEQF与直线AB有公共点，求x的取值范围；（3）在（2）的条件下，记正方形PEQF与△OAB公共部分的面积为S，求S关于x的函数解析式，并探究S的最大值．包含各类专业文献、外语学习资料、生活休闲娱乐、行业资料、文学作品欣赏、各类资格考试、应用写作文书、专业论文、高等教育、幼儿教育、小学教育、39相似三角形_与二次函数复习讲义等内容。　
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二次函数综合(动点与三角形)问题方法与解析|探​讨​是​否​存​在​一​些​点​,​使​其​能​构​成​某​些​特​殊​三​角​形​,​有​以​下​常​见​的​基​本​形​式​。​
​
​()​抛​物​线​上​的​点​能​否​构​成​等​腰​三​角​形​;​
​
​()​抛​物​线​上​的​点​能​否​构​成​直​角​三​角​形​;​
​
​()​抛​物​线​上​的​点​能​否​构​成​相​似​三​角​形​;
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北师大版九年级数学下第一部分
直角三角形的边角关系和二次函数
考点和方法
分析:由于图中无直角三角形,而三角函数是在
.直角三角形的边角关系是中考必考的内容之一,
直角三角形中定义的,因此应由等腰 角形的性质构
多以中档题出现,在多边形中恰当地作出垂线,把图
造直角鼍角形.
形的证明与计算转化为直角三角形的边角关系问题。
解:如图,过 作
是一个重要的思想方法,中考中常有考查陔思想方法
的实际问题.:一
熟悉仰俯角、坡度等术语,并能把他们在图
中适当定位,通过解直角三角形解决设计在具体环境
中,由勾股定理得:
中的实际问题,部分体现数学的实际 用. / 一 、/
.二次函数的内容比较丰富,其定义、解析式、
千三角形函数的定义,得:
象、性质等概念题多在填空、选择及解答等低、中档题
目中出现,是中考必考的内容.
:一廿:单 ,础:.
.利用二次函数知识解决桥梁、【洞等实际计算
例.幼儿 里有一小朋友荡秋千,秋干链子的长
问题,利用二次函数的最值性质解决实际生活中‘ 经
,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为 。,且
济相关的问题,都是中考的热点内容,常在中、高档题
两边的摆动角度桐同,求它摆至最高位置时,与摆至
最低位置时的高度之差.结果精确到 .分析:解决实际问题,要借助丁图形,建立数学模
典型例题分析
型后,转为数学问题,本题画出 形如下图
例.如 ,已知在
。, 是 为最高位置,
为最低位置,连结
边上一点, , ,记.
即为所求.根据题意在
中可求得试写出的三个三角函数值;的长度,进而可求得
,即高度差为 .
的三个三角函数筒,需知它所
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