【如图】如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D是BC边上任意一点,求证BD +CD =2AD_牛宝宝文章网【如图】如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D是BC边上任意一点,求证BD +CD =2AD专题：1、 如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC边上任意一点，求证BD2+CD2=2AD22、 在三角形ABC中，AB=AC=m,P为BC上任意一点，则PA2+PB*PC的值为多少？ 解：过点A作AN⊥BC于N。(不妨设P在NC上）AP^2+PB*PC=AB^2-BN^2+(NC-PC)^2＋PB*PC=m^2-BN^2+BN^2+PC^2-2BN*PC+PB*PC=m^2+PC(PC-2BN+PB)=m^2{三角形是等腰三角形}3、 在三角形ABC中，BC=6，AD是BC边上的中线，交BC于点D，AD=3，AB+AC=8，则三角形ABC的面积是_____解：∵AD是中线，BC=6，AD=3∴∠BAC=90°∴BA2+AC2=BC2=36∵AB+AC=8∴AB2+2AB*AC+AC2=64∴2AB*AC=64-36=28AB*AC=141/2AB*AC=7∴△ABC 的面积=74、 在三角形ABC中，AB=5，AC=13,高AD=12，则三角形ABC的周长是__42或32___ 5、 在矩形ABCD中,已知AB=3,AD=4,P是AD上的动点,PE垂直于AC于E,PF垂直于BD于F,则PE+PF等于多少？解：假设AC、BD的交点是O，连接POS△APO＝(1/2)AO*PES△DPO＝(1/2)DO*PF所以 PE+PF＝2S△APO/AO + 2S△DPO/DO根据勾股定理，AO＝DO＝5/2所以 PE+PF＝(4/5)*(S△APO+S△DPO)＝(4/5)*S△AOD＝(4/5)*(3×4÷4)＝12/56、 E为正方形ABCD的边AB上一点，AE=3 BE=1 P为AC上的动点，则PB+PE的最小值等于多少？ 解：两点之间直线最短在AD上做AF=AP=3连接FB这时P点是PB+PE的最小值的点，应该是 根号下（3^2+4^2）=5 7、 如图：已知DE=m,BC=n, ∠EBC与∠DCB互余，求BD2+CE2解:沿BE和CD做一延长线交点为A.因为∠EBC+∠DCB=90°.所以,∠BAC=90° 所以BD2=AB2+AD2 CE2=AE2+AC2 所以CE2+BD2=AB2+AC2+AE2+AD2 又有∠EAD=∠BAC=90°所以AB2+AC2=BC2=n2 AE2+AD2=ED2=m2所以有BD2+CE2=m2+n28、 已知：△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度数。 解：将△CPB绕点C逆时针旋转90度得到△CP'B,连接PP'所以△CPB全等于△CP'A所以CP=CP' BP=P'A ∠PCB=∠P'CA所以∠PCB+∠ACP=∠P'CA+∠ACP因为角ACB等于90°所以角P'CP等于90°在等腰直角三角形P'CP中角CP'P等于45°因为CP=CP'=2所以PP'等于2倍根号2因为AP'=BP=1 AP=3所以PP'等于根号下AP的平方减AP'的平方PP'等于2倍根号2所以角AP'P=90°所以角CPB=角AP'C=角AP'P+角PP'C=90°+45°=135°9、 如图，CD是△ABC的中线，CN=MN，求证AM=CB。10、 （1）如图1，把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上(CG&BC)，取线段AE的中点M,探究线段MD,MF的关系，并加以证明。（2）将正方形ＣＧＥＦ绕点Ｃ旋转任意角度后（如图3），其他条件不变．探究：线段ＭE与ＭＤ的关系，并加以说明．解：(1)线段MD、MF的关系是MD=MF，DM⊥MF。延长DM交CE于N，连结FD、FN。由正方形ABCD，得AD//BE，AD=DC，所以∠DAM=∠MEN。 因为AM=EM，∠AMD=∠E（……隐藏……）8。因为∠7+∠DCF=∠8+∠FEN=90°，所以∠DCF=∠FEN，易得△DCF≌△NEF，所以FD=FN，∠DFC=∠NFE。由∠CFE=90°，得∠DFN=90°， 所以MD=MF，DM⊥MF。11、 矩形ABCD中，AB=20，BC=10。若在AC，AB上各取一点M，N，使BM+MN的值最小，求这最小值。 解：遇到这类问题我们一般做镜像,也就是做轴对称,作B点关于AC的对称点E,连接AE交CD于F,连接CE,过E作EN垂直AB交CD于G交AC于M,连接MB,所以BM＋MN＝NM＋EM，显然EN垂直AB时值最小．由于CEF为直角三角形,CF=AF,CF+EF=AE=20;CE=10;所以CE=12.5,EF=7.5,直角三角形EFC斜边高EG=6,所以EN=BC+EG=16.12、已知正方形ABCD的边长AB=k（k是正整数），正△PAE的顶点P在正方形内，顶点E在边AB上，且AE=1. 将△PAE在正方形内按图1中所示的方式，沿着正方形的边AB、BC、CD、DA、AB、……连续地翻转n次，使顶点第一次回到原来的起始位置. ．．P．（1）如果我们把正方形ABCD的边展开在一直线上，那么这一翻转过程可以看作是△PAE在直线上作连续的翻转运动. 图2是k=1时，△PAE沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图. 请你探索：若k=1，则△PAE沿正方形的边连续翻转的次数n= 时，顶点第一次回到原来的起始位置. ．．P．DCPAEB图1 B(E)CDABCDABCDABCDAB图2（2）若k=2，则n= 时，顶点第一次回到原来的起始位置；若k=3，则 ．．P．n时，顶点第一次回到原来的起始位置. ．．P．（3）请你猜测：使顶点第一次回到原来的起始位置的n值与k之间的关系（请用含．．P．k的代数式表示n）.分析：这是一道面动滚动型问题，正△PAE在滚动的过程中，第1次以点E为圆心，第2次以点P为圆心，第3次以点A为圆心第4次又以点E为圆心……，每3次成循环，而半径始终为1。而把四边形展开顶点A、B、C、D、A……，每4个成循环。故问题1转化为求3与4的最小公倍数即12；问题2中，三角形每转2次，顶点才会重合一次，故需24次；问题3中，三角形每转3，顶点A便会与四边形的下一个顶点重合，故仅需12次；总结一、二两题的规律，可归纳得出第3题的结论。解：（1）12次（2）24次；12次（3）当k是3的倍数时，n=4k；当k不是3的倍数时，n=12k.12、 设x、y为正实数，且X+Y=4 。 求根号下X的平方加1加上根号下Y平方加4的最小值？解：解:令T=√(x^2+1)+√(y^2+4)则T&0T^2=x^2+1+y^2+4+2√(x^2+1)(y^2+4)=x^2+y^2+5+2√(x^2y^2+4x^2+y^2+4)因为x+y=4 所以(x+y)^2=16 即x^2+y^2=16-2xy因为x,y都是正实数 所以 4x^2+y^2≥4xy（当且仅当2x=y时取等号）所以T^2≥21-2xy+2√(x^2y^2+4xy+4)=21-2xy+2√(xy+2)^2= 25因为T&0,所以T≥5（当且仅当2x=y时取等号） 即最小值是5。(此时x=4/3,y=8/3)13、正△ABC的边长为3厘米边长为1厘米的正△RPQ的顶点R与点A重合点PQ分别在ACAB上将△RPQ沿着边ABBCCA顺时针连续翻转直至点P第一次回到原来的位置则点P运动路径的长为 解：在AB上翻转时，是两段半径为1，圆心角是120度的弧。在BC上，CA上也一样。一共6段，长为3.14*2*1*2=12.56厘米13、在菱形ABCD中,AD=BD=6,点E是AD上的一点,AE=2,点P是对角线BD上的一个动点,则PA+PE的最小值。转载请保留本文连接：分享到：相关文章声明：《【如图】如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D是BC边上任意一点,求证BD +CD =2AD》由“圓儛天倥”分享发布，如因用户分享而无意侵犯到您的合法权益，请联系我们删除。TA的分享扫二维码下载作业帮
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已知,如图,P是三角形ABC内一点,点D,E,F,G分别是PB,PC,AC,AB上的中点,求证四边形DEFG是平行四边形
A吧保护队丶134
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作辅助线AP,因为D,E,F,G分别是PB,PC,AC,AB上的中点在三角形PBC中,DE//BC,同理在三角形ABC中,FG//BC所以DE//FG;在三角形APC中,AP//EF;在三角形APB中,AP//DG可得四边形DEFG是平行四边形.
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→ 如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,P是三角形内一点,且角APB=角APC,试说明PC=PB的理由作者：佚名　来源：互联网　更新时间： 10:54:19与好友分享： 更多网友提问：如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,P是三角形内一点,且角APB=角APC,试说明PC=PB的理由
参考答案：解:作∠CAP'=∠BAP,使AP'=AP,点P'与P在AC两侧,连接P'C,PP'.∵AP'=AP;∠CAP'=∠BAP;AC=AB.∴∠APP'=∠AP'P;且SCAP'≌SBAP(SAS),P'C=PB;∠AP'C=∠APB.又∠APB=∠APC,则:∠APC=∠AP'C(等量代换).∴∠APC-∠APP'=∠AP'C-∠AP'P,即∠CPP'=∠CP'P.故PC=P'C=PB.证全等证明：作AE⊥CP，交CP的延长线于点E，作AF⊥BP，交BF的延长线于点F∵∠APC=∠BPC∴∠APE=∠APF∴AE=AF∵AB=AC，∠AEC=∠AFB=90°∴△AEC≌△AFB∴∠ACE=∠ABF∵AB =AC∴∠ABC=∠ACB∴∠PBC=∠PCB∴PB=PC
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