青岛版数学八下9.5《解直角三角形的应用》ppt课件1_中华文本库
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1.直角三角形的边角关系： （1）角之间的关系： ∠A ＋ ∠B = 90 °； （2）边之间的关系： a2＋b2＝c2 ; b a a （3）角与边之间的关系：sinA= ， cosA= tanA= ， c b
2. 如果知道直角三角形的几个元素就可以求其他的元素？ 有几种情况？
两个元素(至少一个是边) 两条边或一边一角
上海东方明珠塔于 1994 年10 月1 日建成，在 各国广播电视塔的排名榜 中，当时其高度列亚洲第 一、世界第三．与外滩的 “万国建筑博览群”隔江 相望．在塔顶俯瞰上海风 景，美不胜收．运用本章 所学过的知识，能测出东 方明珠塔的高度来吗？
在实际测量中的角
从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角叫做仰角； 从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角叫做俯角．
铅 垂 线 仰角 俯角 视线
为了测量仰角和俯角，如果没有专门的仪器，可 以自制一个简易测倾器．如图所示，简易测倾器由铅 锤、度盘、支杆和螺检四部分组成，你能与同学合作 制作一个简易测倾器吗？试一试．
为了测量东方明珠塔的高 度，小亮和同学们在距离东方 明珠塔200 米处的地面上，用 高1.20 米的测角仪测得东方明 珠塔顶的仰角为60°48 ′． 根据测量的结果，小亮画 了一张示意图，其中 AB 表示 东方明珠塔， DC 为测角仪 的支架，DC= 1.20 米， CB= 200米 ，∠ADE=60°48'.
根据在前一学段学过的长 D 方形对边相等的有关知识，你 C 能求出AB 的长吗？
解：根据长方形对边相等，EB=DC，DE=CB． 在Rt△ABC中，∠AED=90°， ∠ADE= 60°48′. 由tan ∠ADE =
AE=DE· tan ∠ADE =200· tan60°48 ′
≈357.86(米). 所以AB=AE+EB≈ 357.86 +1.20=359.06 (米).
答：东方明珠塔的高度约为359.06 米.
例1 如图，厂房屋顶人字架的跨度 中 为10 米，上弦AB＝BD，∠A = 柱 26° 260 ．求中柱BC 和上弦AB 的长 A C 跨度 （精确到0 . 01 米）. 解：由题意可知，△ ABD 是等腰三角形，BC是底边AD 上 的高，AC = CD , AD = 10 米．
在Rt △ABC 中∠ACB =90°， ∠A =26 °， 1 AC = AD = 5 （米）． 2 BC 由tanA = ，得BC = AC · tanA = 5 · tan 26 °= 2 . 44（米）.
AC AC AC AC 由cosA = ，得AB = = =5.56(米) cos26 ° AB cosA
即中柱BC 长为2 . 44 米，上弦AB 长为5 . 56 米．
例2 如图，某直升飞机执行海 上搜救任务，在空中A 处观测 到海面上有一目标B ，俯角是 α= 18°23 ' ，这时飞机的高度 为1500 米，求飞机A与目标B的 水平距离（精确到1 米）.
解:设经过B点的水平线为BC，作AC⊥BC，垂足为C ． 在Rt△ABC中，AC=1500 米，∠ABC＝∠α= 18°23 ' .
AC AC 由tanB = ,得BC= = 1500 ≈ 4 514(米) . tanB tan 18° BC 23 '
即飞机A与目标B的水平距
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解直角三角形的应用举例(一)
&&& 1.使学生理解仰角、俯角、水平距离，垂直距离和方位角等概念的意义，为解决有关实际问题扫除障碍；
&&& 2.使学生能适当的选择锐角三角函数关系式去解决直角三角形问题；
&&& 3．培养学生将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形转化为解直角三角形)的能力
&&& 4．使学生认识数学来源于实际，又为实际服务，养成用数学的思想意识
教学重点和难点
将实际问题抽象为数学问题，并能选用适当的锐角三角函数关系式去解答直角三角形问题是重点；而将实际问题抽象为数学问题，以及有关名词概念(如仰角，……)的理解是难点
教学过程设计
&&& 一、例题分析，变式练习
(采用讨论、练习和讲解方式进行教学)
&&& 例1& 如图6-36厂房屋顶人字架(等腰三角形)的跨度为10米，∠A＝26°，求中柱BC(C
为底边中点)和上弦AB的长(精确到0.01米)
&&& 说明：此例是课本p.37的例2为什么要先讲此例呢?其原因是，虽然它也是实际问题，
但它已抽象为数学问题(已画出平面图形)；且一些名词(上弦、中柱和跨度等)已在图中得到
直观解释，勿须教师多废喉舌；再说此例归结为解Rt△ACB也是明显的，且求中柱BC和上弦A
B也能比较灵活的应用到各种三角函数关系式，所以把它做为首例是非常必要的.
&&& 教法：为了从分析中选用哪一个锐角三角函数关系式较好，最好让学生讨论(暂时不写
出解答过程)，大家确定较好的方法以后，再要求学生用这种方法写出解答过程(或让学生看
&&& 解：因为tan A＝，所以BC＝AC?tan A＝5×tan 26°＝5×0.487 7≈2.44(米)，
&&& 因为cos A＝，所以AB＝≈5.56(米)
&&& 答：中柱BC≈2.44米，上弦AB≈5.56米
&&& 练习1&
如图6-37某厂车间的人字屋架为等腰三角形，跨度AB＝12米，∠A＝22°求中柱CD和上弦AC的长(精确到0.01米)
&& 　答：CD≈2.42米，AC≈6.47米.
例2 &如图6-38.线段AB和CD分别表示甲、乙两幢楼的高.AB⊥BD于B，CD⊥BD于D.从甲楼
顶部A处测得乙楼顶部C的仰角α＝30°，测得乙楼底部D的俯角β＝60°.已知AB＝24米.求CD＝?
&&& 此例按以下步骤进行教学：
(1)教师先把仰角和俯角这两个概念的意义讲清楚，然后引导学生审题，(从整体上理解
条件和结论)把已知条件标在图上.
&&& (2)分析条件和结论的关系.(让学生讨论)
&&& 因为DE＝AB＝24米，β＝60°，所以AE可求.
&&& 因为AE可求，又α＝30°所以CE可求.
&&& 所以CD可求.
&&& (3)选用适当的三角函数关系式.(让学生讨论)
&&& 选cotβ求AE，选tanα求CE.这样可避免分母出现未知数.
&&& (4)写出解答过程如下：
&&& 解：因为DE＝AB＝24米，
&&& 所以 AE＝DE?cot60°＝24× (米).
&&& 又CE＝AE?tan30°＝＝8(米).
CD＝CE＋DE＝8＋24＝32(米).
&&& 答：乙楼CD＝32米.
&&& 练习2 如图6-39.某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC＝1200米，从飞机上看地平面控制点B的俯角α＝16°31′.求飞机A到控制点B的距离.(精确到1米)
&&& (采取讨论形式，然后让学生板演)
&&& 解：在在Rt△ABC中，sinB＝.
&&& 所以AB＝≈4221(米).
&&& 答：飞机A到控制点B的距离约为4221米.
&&& 练习3 如图6-40在离铁塔150米的A处，用测角仪器测得塔顶的仰角为30°12′.已知测角仪器高AD＝1.52米，求铁塔高BE.(精确到0.1米)
&&& (采用学生讨论，然后找一个学生板演)
&&& 答：BE≈88.8米.
&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&& 例3& 如图6-41.在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5米.测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树间的坡面距离是多少米(精确到0.1米).
&&& 此例按照以下步骤进行教学.
&&& (1)先引导学生在理解水平距离和坡面距离的基础上，从整体上分析条件和结论.
&&& (2)引导学生将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形并写出已知和所求).如图6-42.
作出BC⊥AC于C，已知AC＝5.5米.∠BAC＝24°.求AB的长.
（3）让学生讨论，给出解答如下：
&&& 解：在Rt△ABC中，因为cosA＝,
所以AB＝≈6.0(米)
答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是６.０米
练习４如图６－４３.沿ＡＣ方向山修渠.为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工.从ＡＣ上的一点Ｂ取∠ＡＢＤ＝１４０°，ＢＤ＝５２０米，∠Ｄ＝５０°.那么开挖点Ｅ离Ｄ多远（精确到０.１米），正好能使Ａ，Ｃ，Ｅ成一直线？
此题采取让学生讨论后板书的办法进行教学.具体步骤如下：
&&&&&&&&&&&&&&&&
（１） 引导学生讨论，理解题意；
（２） 引导学生将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解Ｒt△BDE.如图６－４４）.
（３） 引导学生根据图６－４４适当选择锐角三角函数关系式：
（４） 让学生板演过程.（答：ＥＤ≈３３４.３米）
例４如图６－４５.一艘海轮位于灯塔Ｐ的北偏东６０°方向上的Ａ处，它沿正南方向航行７C海理后，到达位于灯塔Ｐ的南偏东３０°方向上的Ｂ处.这时，海轮所在的Ｂ处距离灯塔Ｐ有多远？（结果不取近似值）
此例按照以下步骤进行教学：
(1) 先帮助学生理解方位角的意义，理解正南方向的意义.有必要可以将平面几何第一章中后面有关的习题做一遍.在此基础上理解条件和结论.
(2) 引导学生将实际问题转化为解Rt△APB.即已知AB=70海里，∠B=30°.求PB.
(3) 引导学生选用适当的锐角三角函数关系式:
cosB=,或sinA=,
或据“直角三角形30°的角所对的边等于斜边的一半”,于是设PA=x,AB=x
(4) 写出解答过程
解1：在Rt△APB中，AB=70，
所以PB=AB?sinA=70×=35 (海里)
答：海轮所在的Ｂ处距离灯塔Ｐ有353(海里)
解2:因为∠APB=90°, ∠B=30°,
所以设PA=x,则AB=2x,PB=3,
由AB=2x,得2x=70,所以x=35,
说明:在解直角三角形过程中,如遇到有特殊角30°,45°和60°时,也可考虑用第二种方法.
练习5一个人从A点出发向北偏东60°方向走了一段距离到B点,再从B点也发向南偏西15°方向走了一段距离到C点,则∠ABC的度数是.
教法:让学生画图便得∠ABC=45°.(如图6-46)
&&&&&&&&&&&&&&
练习6两灯塔G和F与海洋观察站O的距离相等,灯塔G在观察站O的北偏东40°灯塔F在观察站O的南偏东60°,则灯塔G在灯塔F的(& )
北偏东10°B.北偏西10° C.南偏东10° D.南偏西10°
教法:引导学生自己画图,经过讲座得到图6-47.
答案是选B.具体解答如下:
作OE/OM于E,因为∠GOF=80°,GO=FO.
所以∠OGF=50°.因为∠OGE=40°,所以∠EGF=10°.
因为GE//FN,所以∠GFN=10°.
先向学生提出问题:运用解直角三角形的知识去解答实际问题,它的主要步骤是什么?
在学生回答的基础上,教师归纳总结出主要步骤是:
(1)& 分析实际问题中某些名词概念的意义,正确理解条件和结论的关系.
(2)& 将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形).
(3)& 根据条件的特点,适当选用锐角三角函数的关系式去解直角三角形.
(4)& 写出解答过程和答案.
&&& 三、作业
&&& 1.课本.p.37.练习；p.40.练习；P.57.复习题六.A组.10.
&&& 2.补充作业：
&&& 如图6-48.一艘轮船从离A观察站的正北10海里处的B港处向东航行，观察站第一次测得该船在A地北偏东30°的M处；半小时后，又测得该船在A地的北偏东60°的N处.求此船的
&&& 略解：因为cot30°＝，所以BN＝30.
&&& 因为tan30°＝，所以BM＝10.所以MN＝20.
&&& 所以船的速度v＝20/0.5＝40海里/小时.
板书设计(略)
&&& 课堂教学设计说明
&&& 1.这份教案为两课时.
&&& 2.关于例题选择的一些想法：
&&& (1)为什么把课本.p.36～p.37中的例2当做例1，教案中已有说明.
&&& (2)为什么用例2代替课本中的例1?这是因为此例既有仰角又有俯角.比较全面.
&&& (3)为什么课本中的例3暂不讲，而先讲课本中的例4呢?这是因为例3属于构造直角三角形问题，留到下节课讲.还是先讲不构造直角三角形的问题为好，这是符合由浅入深的原则的.
&&& (4)例4为什么要选择一个方位角的问题?因为这是近年来考试题中常遇到的题型
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第一章解直角三角形
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