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/etc/nginx/nginx.conf.傅里叶级数的系数是怎么得到的？
课本上直接给出了傅里叶级数的系数，具体的求法是什么，如何更好的理解傅里叶级数呢？
L^2空间中的函数一族正交基底表达。内积就是那个常见的积分内积。
说说我对于傅里叶级数的理解吧。1.傅里叶级数定义：傅里叶级数应该和泰勒级数一样，是为了简化复杂函数的分析过程而提出的一种数学方法。如果要说明傅里叶级数的系数到底怎么求解，那就先从傅里叶级数的定义开始吧，傅里叶级数最早提出是想用三角函数的线性组合去表达一个复杂函数，既然是线性组合，根据线性代数的理论来说，我们最好用彼此线性无关的量去线性表示另一个量，这种情况下会比较方便，而三角函数系的正交性正好满足彼此无关这一个条件。那么三角函数的正交到底是什么意思呢？*三角函数系的正交相量的正交在线性代数的理论中有非常完整简洁的定义，两个相量点积之后结果为0即说明两相量正交，比如相量a（a1，a2，a3）与相量b（b1，b2，b3）正交，则a1b1+a2b2+a3b3＝0，可以看出相量的点积其实是对应分量相乘再累加的过程，而这种关系与连续函数的正交定义是有密切联系的，三角函数系的正交定义，比如cosx，与sinx正交，则写成而其实积分的过程可以看做cosx和sinx分别在某个点的取值后相乘再对应累加（积分），说具体些，假设我这里积分周期选择0-T，定义一个无穷小的数ξ，则积分可以近似看做可以看出来这种关系与相量正交的形式是相同的，所以可以认为两个函数相乘积分结果为0则两函数正交。而可以证明三角函数系的正交关系，无论是可以看出来这种关系与相量正交的形式是相同的，所以可以认为两个函数相乘积分结果为0则两函数正交。而可以证明三角函数系的正交关系，无论是sinnx还是cosnx都与除了它本身外的任意三角函数正交。那么现在回到傅里叶级数，既然三角函数系彼此正交，把三角函数系看成一个相量空间就变得可行了，所以f（x）(周期为2π)可以做如下拆分这就是傅里叶级数的合成形式，它的物理意义也是非常明显的，一个周期函数可以拆分成周期为自身整数倍的三角函数的线性组合。这就是傅里叶级数的合成形式，它的物理意义也是非常明显的，一个周期函数可以拆分成周期为自身整数倍的三角函数的线性组合。2.系数求解那么说了这么多终于可以回到问题上来了，那么对于上述级数，我们该怎么样求解各个系数呢，这个问题在我学傅里叶级数的时候也一直不能理解，直到最近详细研究了泰勒级数才发现二者的异曲同工，求解系数的方法就是消项，比如对于a0的求解，我们只需要把除了a0以外等式所有的项全部消掉不就可以了吗，那么怎么消呢，很容易，a0是唯一一个不包含三角函数的系数，而其他项的三角函数的周期均为2π(注意：我说的是周期，而不是最小周期，其实cosx的周期是2π，cos2x周期为π，……cosnx的周期为2π/n，不过大家周期的最小公倍数都是2π，所以2π是所有这些三角函数的周期)，所以我们只需要对等式两端同时进行-π到π的一个积分，就会只留下a0，处理过程是这样这里我要说明一点，很多高数书(例如同济)上的结果与我这里有一处不同，是因为数学数上定义的常数分量是ao/2，而我这里是ao。这里我要说明一点，很多高数书(例如同济)上的结果与我这里有一处不同，是因为数学数上定义的常数分量是ao/2，而我这里是ao。那么ao求出来了，an和bn呢？那么这里就要应用到三角函数系的正交法则，举个例子，比如我们要求解an的值，就意味我们必须把除了an以外所有项都消掉，而an和cosnx相乘，所以我们让整个式子乘上cosnx再积分bn的求法雷同。bn的求法雷同。另本人水平有限，如果有错误求大神指出，也希望没有误导题主啊
同济的高数教材上不是有求法么……
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&最近我在重新学习偏微分方程的时候又遇到&傅里叶级数&了，我曾经觉得这个公式非常繁琐，用到的时候就去翻书查看，没法自己信心满满的写出来。现在我找到诀窍了，可以不需要任何参考书，给我一个周期函数，我可以马上写出它的傅里叶级数。诀窍就在于从&几何&的角度来看待傅里叶级数。当我们把一个周期函数表达成傅里叶级数时，其实我们只是在做一个动作，那就是把函数&投影&到一系列由三角函数构成的&坐标轴&上。
1.&什么是投影
&&& 我们先来复习什么是投影吧。考虑一个简单的二维平面的例子。如下图所示，给定两个向量 u 和 v ，我们从 u 的末端出发作到 v 所在直线的垂线，得到一个跟 v 同向的新向量 p 。这个过程就称作 u 到 v 所在直线的投影，得到的新向量 p 就是 u 沿 v 方向的分量。图中的系数 c 是 p 跟 v 的比例，也就是 u 在 v 轴上的&坐标&。我们可以用尺规作图来完成投影这个动作，问题是：如果给定的向量 u 和 v 都是代数形式的，我们怎么用代数的方法求 c ？
&&& 我相信只要有基本线性代数知识的同学都可以轻松解决这个问题。我们知道 u-cv&这个向量是&正交&于 v 的，用数学语言表达就是&(u-cv)T&v&=&0。我们马上就可以得到 c 的表达式如下。
2.&向量在一组正交基上的展开
&&& 在讲傅里叶级数之前，我们还需引进线性代数中&正交基&的概念。如果这个概念你觉得陌生，就把它想成是互相垂直的&坐标轴&。回到刚才这个例子，如下图所示，现在我们引进一组正交基 {v1，v2}，那么 u 可以展开成以下形式
&&& 从图上来看，(2)&式其实说的是我们可以把 u&投影&到 v1 和 v2 这两个坐标轴上，c1 和 c2 就是 u 的新&坐标&。问题是：我们怎么求 c1 和 c2 呢？你会说，我们可以&(2)&式两边同时乘以 v1 或 v2，然后利用它们正交的性质来求 c1，c2。没错，数学上是这么做的。但是利用之前关于投影的讨论，我们可以直接得出答案，直接利用&(1)&式就可以得到如下的表达式：
3.&傅里叶级数的几何意义
&&& 现在我们已经明白一件事情了：如果想把一个向量在一组正交基上展开，也就是找到这个向量沿每条新&坐标轴&的&坐标&，那么我们只要把它分别投影到每条坐标轴上就好了，也就是把&(1)&式中的 v 换成新坐标轴就好了。说了半天，这些东西跟傅里叶级数有什么关系？我们先回忆一下傅里叶级数的表达式。给定一个周期是 2l 的周期函数 f(x),它的傅里叶级数为：
其中系数表达式如下：
&&&&我不喜欢记忆这些公式，有办法可以更好的理解他们来帮助记忆吗？答案是有的，那就是从几何的角度来看。傅里叶告诉我们，f(x)&可以用下面这组由无限多个三角函数（包括常数）组成的&正交基&来展开，
&&& 这里我们需要在广义上来理解&正交&。我们说两个向量，或两个函数之间是正交的，意思是它们的&内积&（inner&product）为零。&&内积&在有限维的&向量空间&中的形式为&点积&(dot&product)。在无限维的&函数空间&中，对于定义在区间&[a,b]&上的两个实函数 u(x),v(x)&来说，它们的内积定义为
&&&&正交基&(6)&中的每个函数都可以看做是一条独立的坐标轴，从几何角度来看，傅里叶级数展开其实只是在做一个动作，那就是把函数&投影&到一系列由三角函数构成的&坐标轴&上。上面&(5)&式中的系数则是函数在每条坐标轴上的坐标。
&&& 现在的问题是我们不能直接用&(1)&式来求这些坐标了，因为它只适用于有限维的向量空间。在无限维的函数空间，我们需要把&(1)&式中分子分母的点积分别替换成&(7)&式。那么&(5)&式中的所有系数马上可以轻松的写出：
&& 值得注意的是，(8)&式中所有积分可以在任意一个长度是2l的区间内进行。也就是说，不管是 [-l,l]&还是&[0,2l]，答案都是一样的。
&& 有同学会说，老师上课教的是对&(4)&式两边乘以1，cos(n&x/l)，或 sin(n&x/l),&然后积分，利用这些函数之间的正交性来得到&(5)&式。这些当然是对的，而且我们应该学会这种推导来加深对正交性的理解。但是在应用上，我更喜欢用几何的角度来看傅里叶级数，把函数看成是无限维的向量，把傅里叶级数跟几何中极其简单的&投影&的概念联系起来，这样学习新知识就变得简单了，而且可以毫无障碍的把公式记住，甚至一辈子都难忘。
&& 熟悉傅里叶级数的同学会问，那么对于复数形式的傅里叶级数，我们是否也能用几何投影的观点来看，然后写出级数中的所有系数呢？答案是肯定的。给定一个周期是 2l 的周期函数 f(x),它的傅里叶级数的复数形式为：
其中系数表达式如下：
这意味着我们用了下面这组&正交基&来展开原函数，
&& 我们之前提到了两个函数正交，意思是它们的内积为零。对于定义在区间&[a,b]&上的两个复函数 u(x),v(x)&来说，它们的内积定义为
其中v加上划线意思是它的共轭。(10)&中指数函数里的负号就是因为取了共轭的关系。
&& 现在我们同样可以把原函数分别投影到&(11)&中的每个函数所在的&坐标轴&来求出对应的&坐标&，也就是系数cn：
&& 这里我想强调一下这个&正交基&的重要性。在一个有限维的向量空间，给定任何向量都可以被一组基展开，它可以不必是正交的，这个时候展开项中的系数（也就是沿这组基中任一坐标轴的坐标）需要求解一个线性方程组来得到。只有当这组基是正交的时候，这些系数才能从给定向量往各坐标轴上投影得出，也就是&(1)&式。同样的，在无限维的函数空间，我们可以把一个函数在某个&基&中展开，但是只有在&正交基&中，展开项中的系数才能看成是函数投影的结果。
&&&最后做一个总结，不管是向量 u 还是函数 u，他们都可以被一组正交基{vn：n=1,...,N}（有限个向量）或{vn：n=1,...,&}(无限个函数）展开如下:
&& 上式中的 cn 代表 u 在 vn 所在的坐标轴上投影产生的坐标。而&(14)&式中内积的定义视情况而定，在有限维的向量空间（实数域），向量 u 和 v 的内积是点积&uTv；在无限维的函数空间，函数&u(x)&和&v(x)&的内积的通用形式是&(12)，如果它们是实函数，那么&(12)&就可以简化成&(7)&的形式。
&&&我们可以看到，用几何投影的观点来看待傅里叶级数，理解变得更加容易，因为我相信所有人都能理解投影的概念；同时，傅里叶级数所有的公式都可以轻松的记住，想要遗忘都难了。我们在学习不同学科的时候可以经常的去做联系，尝试着用不同的角度去看待同一个问题，我相信这么做是很有好处的。
转载请注明出处。
后记（写于号）：
这篇文章的核心思想其实是来自MIT的教授 Gilbert Strang 写的《Introduction to Linear Algebra》这本书（第三版）。我在好几个月前重新学了一遍线性代数，就是看 MIT的开放课程，授课老师是 Gilbert，他用的书就是上面提到这本。我从没有如此享受过数学课。以前学的数学课似乎老师更注重数学运算和推导，而不是讨论数学背后的本质。Gilbert 的讲课方式讲究原理，也就是 "why&，而不是 "how&，同时也有非常有趣的应用。有兴趣的同学可以去听听这门课。对于这篇文章提到的从几何观点来看傅里叶级数的思想，相关内容可以在书本最后关于傅里叶级数的讨论中找到。值得注意的是，Gilbert 默认函数周期是2PI，而且没有涉及复数形式。这篇文章主要是把几何投影与傅里叶级数的概念整合在了一起，考虑了一般的周期函数，同时涉及了傅里叶级数的复数形式，希望能对一些朋友有所帮助。
阅读(...) 评论()傅里叶级数的数学推导
傅里叶级数的数学推导
　　首先，隆重推出傅里叶级数的公式，不过这个东西属于“文物”级别的，诞生于19世纪初，因为傅里叶他老人家生于1768年，死于1830年。
　　但傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用，这不由得让人肃然起敬。一打开《信号与系统》、《锁相环原理》等书籍，动不动就跳出一个“傅里叶级数”或“傅里叶变换”，弄一长串公式，让人云山雾罩。
　　如下就是傅里叶级数的公式：
　　不客气地说，这个公式可以说是像“臭婆娘的裹脚布——又臭又长”，而且来历相当蹊跷，不知那个傅里叶什么时候灵光乍现，把一个周期函数f(t)硬生生地写成这么一大堆东西。单看那个①式，就是把周期函数f(t)描述成一个常数系数a0、及1倍ω的sin和cos函数、2倍ω的sin和cos函数等、到n倍ω的sin和cos函数等一系列式子的和，且每项都有不同的系数，即An和Bn，至于这些系数，需要用积分来解得，即②③④式，不过为了积分方便，积分区间一般设为[-π,
π]，也相当一个周期T的宽度。
　　能否从数学的角度推导出此公式，以使傅里叶级数来得明白些，让我等能了解它的前世今生呢？下面来详细解释一下此公式的得出过程：
１、把一个周期函数表示成三角级数：
　　首先，周期函数是客观世界中周期运动的数学表述，如物体挂在弹簧上作简谐振动、单摆振动、无线电电子振荡器的电子振荡等，大多可以表述为：
　　f(x)=A
sin(ωt+ψ)
　　这里t表示时间，A表示振幅，ω为角频率，ψ为初相（与考察时设置原点位置有关）。
　　然而，世界上许多周期信号并非正弦函数那么简单，如方波、三角波等。傅叶里就想，能否用一系列的三角函数An
sin(nωt+ψ)之和来表示那个较复杂的周期函数f(t)呢？因为正弦函数sin可以说是最简单的周期函数了。于是，傅里叶写出下式：（关于傅里叶推导纯属猜想）
　　这里，t是变量，其他都是常数。与上面最简单的正弦周期函数相比，5式中多了一个n，且n从1到无穷大。这里f(t)是已知函数，也就是需要分解的原周期函数。从公式5来看，傅里叶是想把一个周期函数表示成许多正弦函数的线性叠加，这许许多多的正弦函数有着不同的幅度分量（即式中An）、有不同的周期或说是频率（是原周期函数的整数倍，即n）、有不同的初相角（即ψ），当然还有一项常数项（即A0）。要命的是，这个n是从1到无穷大，也就是是一个无穷级数。
应该说，傅里叶是一个天才，想得那么复杂。一般人不太会把一个简单的周期函数弄成这么一个复杂的表示式。但傅里叶认为，式子右边一大堆的函数，其实都是最简单的正弦函数，有利于后续的分析和计算。当然，这个式能否成立，关键是级数中的每一项都有一个未知系数，如A0、An等，如果能把这些系数求出来，那么5式就可以成立。当然在5式中，唯一已知的就是原周期函数f(t),那么只需用已知函数f(t)来表达出各项系数，上式就可以成立，也能计算了。
于是乎，傅里叶首先对式5作如下变形：
　　这样，公式５就可以写成如下公式６的形式：
　　这个公式６就是通常形式的三角级数，接下来的任务就是要把各项系数an和bn及a0用已知函数f(t)来表达出来。
２、三角函数的正交性：
　　这是为下一步傅里叶级数展开时所用积分的准备知识。一个三角函数系：1，cosx ,
sinx , cos2x , sin2x , … , cosnx , sinnx , …
如果这一堆函数（包括常数1）中任何两个不同函数的乘积在区间[-π, π]上的积分等于零，就说三角函数系在区间[-π,
π]上正交，即有如下式子：
　　以上各式在区间[-π, π]的定积分均为0，第１第２式可视为三角函数cos和sin与１相乘的积分；第3-5式则为sin和cos的不同组合相乘的积分式。除了这5个式子外，不可能再有其他的组合了。注意，第4第5两个式中，k不能等于n，否则就不属于“三角函数系中任意两个不同函数”的定义了，变成同一函数的平方了。但第3式中，k与n可以相等，相等时也是二个不同函数。下面通过计算第4式的定积分来验证其正确性，第4式中二函数相乘可以写成：
可见在指定[-π,
π]的区间里，该式的定积分为0。其他式也可逐一验证。
３、函数展开成傅里叶级数：
　　先把傅里叶级数表示为下式，即⑥式：
　　对⑥式从[-π, π]积分，得：
　　这就求得了第一个系数a0的表达式，即最上边傅里叶级数公式里的②式。接下来再求an和bn的表达式。用cos(kωt)乘⑥式的二边得：
　　至此，已经求得傅里叶级数中各系数的表达式，只要这些积分都存在，那么⑥式等号右侧所表示的傅里叶级数就能用来表达原函数f(t)。上述过程就是整个傅里叶级数的推导过程。事实上，如果能够写出⑥式，不难求出各个系数的表达式，关键是人们不会想到一个周期函数竟然可以用一些简单的正弦或余弦函数来表达，且这个表达式是一个无穷级数。这当然就是数学家傅里叶的天才之作了，我等只有拼命理解的份了。
综上，傅里叶级数的产生过程可以分为以下三步：
1、设想可以把一个周期函数f(t)通过最简单的一系列正弦函数来表示，即5式；
2、通过变形后用三角级数（含sin和cos）来表示；
3、通过积分，把各未知系数用f(t)的积分式来表达；
4、最后得到的4个表达式就是傅里叶级数公式。
　　在电子学中，傅里叶级数是一种频域分析工具，可以理解成一种复杂的周期波分解成直流项、基波（角频率为ω）和各次谐波（角频率为nω）的和，也就是级数中的各项。一般，随着n的增大，各次谐波的能量逐渐衰减，所以一般从级数中取前n项之和就可以很好接近原周期波形。这是傅里叶级数在电子学分析中的重要应用。
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