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数学经典题目解读之牛吃草问题
18:25&&作者：张燕平&&来源：太原新东方&&字号：|
17世纪英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长。后来有人将这道题改变成一道诗题。
青青一牧场，牧草喂牛羊；
放牛二十七，六周全吃光。
改养廿三只，九周走他方；
若养二十一，可作几周粮？
题目翻译过来是：一牧场长满青草，27头牛6个星期可以吃完，或者23头牛9个星期可以吃完。若是21头牛，要几个星期才可以吃完？
那么这道题该如何解答呢？我们首先来分析一下这道题目。通过读题我们可以知道本题涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间。解题难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定。但是我们不难发现题目中的不变量：草的每天生长量不变；每头牛每天的食草量不变；原有的草量不变。抓住不变量后，这道题也就迎刃而解了。
解析：设1头牛1天的吃草量为"1"
&&&&&&27头牛吃6周共吃了 份；
&&&&&&23头牛吃9周共吃了 份．
&&&&&&第二种吃法比第一种吃法多吃了 份草，
&&&&&&这45份草是牧场的草 周生长出来的，
&&&&&&所以每周生长的草量为 ，那么原有草量为： ．
供21头牛吃，若有15头牛去吃每周生长的草，剩下6头牛需要 (周)可将原有牧草吃完，即它可供21头牛吃12周．
通过这道题，我们不难总结出"牛吃草问题"的一般思路：
　　⑴设定1头牛1天吃草量为"1"；
　　⑵草的生长速度 (对应牛的头数 较多天数 对应牛的头数 较少天数) (较多天数 较少天数)；
　　⑶原来的草量 对应牛的头数 吃的天数 草的生长速度 吃的天数；
　　⑷吃的天数 原来的草量 (牛的头数 草的生长速度)；
　　⑸牛的头数 原来的草量 吃的天数 草的生长速度．
　　同学们，你学会了吗？用下面的题目练练手吧。
【巩固】牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长．这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天．供25头牛可吃几天？
"牛吃草"问题有很多的变形题，像抽水问题、检票口检票问题等等，当我们理解了"牛吃草问题"本质和解题思路，抓住不变量，学会举一反三，这类题也会很好的解答。
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小学奥数：常见的牛吃草问题练习
来源：233网校日|
　　1、牧场上有一片牧草，可以供27头牛吃6天，供23头牛吃9天，如果每天牧草生长的速度相同，那么这片牧草可以供21头牛吃几天?
　　2、一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内，如果10个人舀水，3小时可以舀完;如果5个人舀水，8小时可以舀水，如果要求2小时舀完，那么要安排多少人舀水?
　　3、某牧场上的草，若用17人去割，30天可以割尽，若用19人去割，则只要24天便可割尽，问用多少人割，6天可以割尽?(草匀速生长，每人每天割草量相同)
　　4、有一眼泉水，用功率一样的3台抽水机去抽井水，同时开机，40分钟可以抽干;用同样的6台抽水机去抽，则只需要16分钟就可以抽干，那么用同样的抽水机9台，几分钟可以抽干?
　　5、有一片青草，每天生长的速度相同，已知这片青草可供15头牛吃20天，或者供76只羊吃12天，如果一头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么8头牛与64只羊一起吃，可以吃多少天?
　　6、一个水池安装有排水量相等的排水管若干根，一根入水管不断地往池里防水，平均每分钟入水量相等，如果同时开放3根排水管，45分钟可以把池中水排完;同时，开放5根排水管25分钟把池中水排完，那么，同时开放8根排水管，几分钟排完池中的水?
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“牛吃草问题”的数学意义
2012年第9期目录
&&&&&&本期共收录文章20篇
　　邻家小孩杰杰是一名小学六年级学生，聪明伶俐，勤学好问，还自称是我的“粉丝”。一天，他拿着这样一道数学课后思考题来问我：中国论文网 /9/view-3512305.htm　　一片草地，每天都匀速长出青草，可供24头牛吃6天，或20头牛吃10天，那么可供18头牛吃几天？　　这个题目对于一般中学生来说只是一个简单的方程组就可以解决的问题，不需要多少解题技巧。而要让只懂得加减乘除四则运算的小学生用算式描述出其中的数理关系，“粉丝”眼中的“数学大师”，一时还真有那么一点有劲使不出的感觉。　　为了维护自己在“粉丝”眼中的良好形象，我故作镇静，使了一个缓兵之计：“我们暂不问最后的结果，先看看题目中涉及哪些基本量。”杰杰反应很快：“草地原有草量，草地每天生长的草量，每头牛每天必吃的草量。”我说：“对呀，如果能求出这三个量，最后结果不就是和尚头上的虱子吗？”　　我成功地把杰杰的注意力由寻求题目的答案转移到思考解题的路径上来，接着说：“命题者有一个假定，认为这三个量都是固定的常量，只是没有标明也无须标明具体的数目。”我一边说一边也在思考这三个常量的具体数目。　　停顿片刻后我说：“显然这三个量中第三个量最小，为便于计算，我们不妨将每头牛每天必吃的草量定为标准量‘1’，则24头牛吃6天的草量为24×6＝144，20头牛吃10天的草量为20×10＝200，两者相减200－144＝56为草地后4天生长的草量，那么平均每天生长的草量为56÷4＝14。而草地原有草量的计算有两种方法。算法一：144－14×6＝60；算法二：200－14×10＝60。算法不同，结果一样。”　　等把三个重要的量算出来，杰杰大笔一挥：60÷（18－14）＝15。“我知道了，草地可供18头牛吃15天。”“你真聪明！”杰杰心里甜滋滋的。　　我告诉杰杰，这类数学题最先由英国科学家牛顿提出来，后来人们将这类问题简称为“牛吃草问题”。　　牛吃草问题与其他数学问题不同之处在于：草每天都在生长，草的数量在不断变化，也就是说这类问题的工作总量是不固定的，一直在均匀变化。这种问题一经牛顿提出，立即成为数学的热点问题。好比打靶，打移动靶比打固定靶更具挑战性。它蕴含的数理关系具有代表性，解决这类问题，对于提高学生数学思维的严密性和灵活性很有帮助。正像现在的平面几何，在现实生活中的应用价值已经非常有限，但对锻炼学生的逻辑推理能力具有其他数学材料不可替代的价值。　　牛吃草问题，一般的解法可总结为：　　1.将1头牛单位时间吃草量设定为标准量“1”；　　2.单位时间草的生长量＝（对应牛的头数×较多时间数－对应牛的头数×较少时间数）÷（较多时间数-较少时间数）；　　3.原来的草量＝对应牛的头数×吃的时间数－单位时间草的生长量×吃的时间数；　　4.吃的时间＝原来的草量÷（牛的头数－单位时间草的生长量）；　　5.牛的头数＝原来的草量÷吃的时间数＋单位时间草的生长量。　　许多工作总量随时间均匀变化的问题，如排水问题、检票问题等，其本质和解题思路都和“牛吃草问题”相同，我们可以以不变应万变，轻松解决。　　例1 一水库原存水量一定，河水每天均匀入库。用5台同样的抽水机连续工作20天可将水抽干,用6台同样的抽水机连续工作15天可将水抽干。若想6天将水库里的水全部抽干，需要多少台同样的抽水机？　　解：设1台抽水机1天的抽水量为1，则5台抽20天的抽水量为5×20=100，6台抽15天的抽水量为6×15=90。　　（20-15）天流入水库的水量为100-90=10，　　1天流入水库的水量为10÷5=2，　　水库原有的水量为100-2×20=60或90-2×15=60，　　6天抽完需要抽水机的台数为60÷6＋2=12。　　例2 车站清晨开始售票，但早就有人在此排队等候买票了，且后来每分钟来的旅客一样多。从开始售票到等候买票的队伍消失，如果同时开5个售票窗口需30分钟，如果同时开6个售票窗口需20分钟。如果要让队伍10分钟消失，需要同时开几个售票窗口？　　解：把1个售票窗口1分钟售票量设定为1，则每分钟来的旅客量为：（5×30－6×20）÷（30－20）＝3，开始售票前有旅客：5×30－30×3=60（人），要让队伍10分钟消失，需开窗口：60÷10＋3＝9（个）。　　（作者单位：邵东县杨桥镇中心学校）
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