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已知函数f(x)=x^3+ax2+x+1,a∈R （1）讨论函数f（x）的单调区间已知函数f(x)=x^3+ax²+x+1,a∈R（1）讨论函数f（x）的单调区间（2）设函数f（x）在区间（-2/3,-1/3）内是减函数,求a的取值范围
f(x)=x^3+ax^2+x+1,f'(x)=3x^2+2ax+1,（1）讨论f(x)的单调区间:令f'(x)=0,即3x^2+2ax+1=0,其中△=4(a^2-3),①当|a|≤√3时,在(-∞,+∞）上,所以f'(x)≥0,f(x)在(-∞,+∞）上单调增加； ②当|a|＞√3时,在(-∞,-[a+√(a^2-3)]/3]及(-[a-√(a^2-3)]/3,+∞）上f'(x)≥0,f(x)单调增加； 在(-[a+√(a^2-3)]/3,-[a-√(a^2-3)]/3]上f'(x)≤0,f(x)单调减少.（2）f(x)在区间(-2/3,-1/3）内是减函数,说明 (-2/3,-1/3)是(-[a+√(a^2-3)]/3,-[a-√(a^2-3)]/3)的子集,必须同时有①-[a+√(a^2-3)]/3≤-2/3,②-[a-√(a^2-3)]/3≥-1/3,即①√(a^2-3)≥2-a,②√(a^2-3)≥a-1,解不等式得a≥2..【解法二】根据三次项系数大于0的特点,f(x)在区间(-2/3,-1/3）内是减函数的充要条件是：f'(-2/3)≤0,且f'(-1/3)≤0,同样可以得到 a≥2.
你是怎么想到去讨论|a|≤√3和 |a|＞√3的啊？-[a+√(a^2-3)]/3]怎么算出来的的啊。。超难的。
△=4(a^2-3)＝0＝〉lal=√3 为驻点（极值点）
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1）求函数的导数f'(x)=3x^2+2ax+1.如图,位于两根之间，f'(x)&0,所以f(x)在（&[-a-sqrt(a^2-3)]/3&,&[-a+sqrt(a^2-3)]/3&）上是单调递减函数，而在两根之外，f'(x)&0,即在（&-无穷，[-a-sqrt(a^2-3)]/3&）并（&[-a+sqrt(a^2-3)]/3&，+无穷）上是单调递增函数。2）如图区间必须落在（&[-a-sqrt(a^2-3)]/3&,&[-a+sqrt(a^2-3)]/3&）上，即[-a-sqrt(a^2-3)]/3≤-2/3且[-a+sqrt(a^2-3)]/3≥-1/3,解不等式有a≥2
扫描下载二维码已知函数f（x）=x3-3ax（a∈R），g（x）=lnx．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）在区间[-2，2]上的最小值；（Ⅱ）若在区间[1，2]上f（x）的图象恒在g（x）图象的上方，求a的取值范围；（Ⅲ）设h（x）=|f（x）|，x∈[-1，1]，求h（x）的最大值F（a）的解析式． - 跟谁学
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在线咨询下载客户端关注微信公众号&&&分类：已知函数f（x）=x3-3ax（a∈R），g（x）=lnx．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）在区间[-2，2]上的最小值；（Ⅱ）若在区间[1，2]上f（x）的图象恒在g（x）图象的上方，求a的取值范围；（Ⅲ）设h（x）=|f（x）|，x∈[-1，1]，求h（x）的最大值F（a）的解析式．已知函数f（x）=x3-3ax（a∈R），g（x）=lnx．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）在区间[-2，2]上的最小值；（Ⅱ）若在区间[1，2]上f（x）的图象恒在g（x）图象的上方，求a的取值范围；（Ⅲ）设h（x）=|f（x）|，x∈[-1，1]，求h（x）的最大值F（a）的解析式．科目:难易度:最佳答案解：（Ⅰ）∵f'（x）=3x2-3=0∴x=±1 列表得可得，函数的最小值为f（x）min=f（-2）=-2 （Ⅱ）∵在区间[1，2]上f（x）的图象恒在g（x）图象的上方∴x3-3ax≥lnx在[1，2]上恒成立得2-lnxx在[1，2]上恒成立设h（x）=2-lnxx则2=2x3+lnx-1x2∵2x3-1≥0，lnx≥0∴h'（x）≥0∴h（x）min=h（1）=1∴（3）因g（x）=|f（x）|=|x3-3ax|在[-1，1]上是偶函数，故只要求在[0，1]上的最大值①当a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在[0，1]上单调递增且f（0）=0，∴g（x）=f（x）F（a）=f（1）=1-3a．②当a＞0时，′(x)=3x2-3a=3(x+a)(x-a)，（ⅰ）当g（x）=|f（x）|=-f（x），-f（x）在[0，1]上单调递增，此时F（a）=-f（1）=3a-1（ⅱ）当时，，在单调递增；1°当时，，；2°当（ⅰ）当（ⅱ）当解析（Ⅰ）求出函数的导数，再通过列表得出导数的正负与单调性的规律，得出函数在区间[-2，2]上的最小值为f（-2）和f（1）中的较小的函数值；（Ⅱ）转化为不等式2-lnxx在区间[1，2]上恒成立，变成求右边函数在区间[1，2]上的最小值问题，通过讨论导数的符号，得到3a≤1，从而求得a的取值范围；（Ⅲ）首先发现函数h（x）为偶函数，故只需求h（x）在[0，1]上的最大值．然后根据参数a的取值范围，分别讨论函数h（x）在区间[0，1]上的单调性，从而得到函数h（x）在区间[0，1]上的最大值F（a）的解析式．知识点:&&基础试题拔高试题热门知识点最新试题
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已知函数f（x）=lnx+x2-ax，a∈R．（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若x＞1，f（x）＞0，求a的取值范围．
（1）（1）f（x）的定义域为（0，+∞）．f′（x）=+2x-3=2-3x+1x，当0＜x＜或x＞1时，f′（x）＞0，当＜x＜1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，）和（1，+∞）上是增函数，在（，1）上是减函数，∴（0，）和（1，+∞）上是增区间，（，1）上是减区间．（2）由f（x）＞0，得a＜2x在x＞1时恒成立，令g（x）=2x，则2-lnxx2，令h（x）=1+x2-lnx，则=2-1x＞0，∴h（x）在（1，+∞）为增函数，h（x）＞h（1）=2＞0，∴g′（x）＞0，∴g（x）在（1，+∞）为增函数，∴g（x）＞g（1）=1，所以a≤1，即实数a的取值范围为（-∞，1]．
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（1）利用导数求函数的单调区间与极值，先求导数，令导数大于0，解得x的范围为函数的增区间，令导数小于0，解得x的范围为函数的减区间．（2）由f（x）＞0，得a＜2x在x＞1时恒成立，令g（x）=2x，求g（x）的范围，再约束a的范围．
本题考点：
利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
考点点评：
本题主要考查了导数的应用，函数的导数与函数的单调性的关系的应用及恒成立与函数的最值求解的相互转化关系的应用．
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已知函数f(x)=x^3+ax2+x+1,a∈R （1）讨论函数f（x）的单调区间已知函数f(x)=x^3+ax²+x+1,a∈R（1）讨论函数f（x）的单调区间（2）设函数f（x）在区间（-2/3,-1/3）内是减函数,求a的取值范围
f(x)=x^3+ax^2+x+1,f'(x)=3x^2+2ax+1,（1）讨论f(x)的单调区间:令f'(x)=0,即3x^2+2ax+1=0,其中△=4(a^2-3),①当|a|≤√3时,在(-∞,+∞）上,所以f'(x)≥0,f(x)在(-∞,+∞）上单调增加； ②当|a|＞√3时,在(-∞,-[a+√(a^2-3)]/3]及(-[a-√(a^2-3)]/3,+∞）上f'(x)≥0,f(x)单调增加； 在(-[a+√(a^2-3)]/3,-[a-√(a^2-3)]/3]上f'(x)≤0,f(x)单调减少.（2）f(x)在区间(-2/3,-1/3）内是减函数,说明 (-2/3,-1/3)是(-[a+√(a^2-3)]/3,-[a-√(a^2-3)]/3)的子集,必须同时有①-[a+√(a^2-3)]/3≤-2/3,②-[a-√(a^2-3)]/3≥-1/3,即①√(a^2-3)≥2-a,②√(a^2-3)≥a-1,解不等式得a≥2..【解法二】根据三次项系数大于0的特点,f(x)在区间(-2/3,-1/3）内是减函数的充要条件是：f'(-2/3)≤0,且f'(-1/3)≤0,同样可以得到 a≥2.
你是怎么想到去讨论|a|≤√3和 |a|＞√3的啊？-[a+√(a^2-3)]/3]怎么算出来的的啊。。超难的。
△=4(a^2-3)＝0＝〉lal=√3 为驻点（极值点）
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1）求函数的导数f'(x)=3x^2+2ax+1.如图,位于两根之间，f'(x)&0,所以f(x)在（&[-a-sqrt(a^2-3)]/3&,&[-a+sqrt(a^2-3)]/3&）上是单调递减函数，而在两根之外，f'(x)&0,即在（&-无穷，[-a-sqrt(a^2-3)]/3&）并（&[-a+sqrt(a^2-3)]/3&，+无穷）上是单调递增函数。2）如图区间必须落在（&[-a-sqrt(a^2-3)]/3&,&[-a+sqrt(a^2-3)]/3&）上，即[-a-sqrt(a^2-3)]/3≤-2/3且[-a+sqrt(a^2-3)]/3≥-1/3,解不等式有a≥2
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