【图文】幂级数的收敛域_百度文库
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幂级数的收敛域
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扫一扫发现精彩第１９卷第２期；２００９年６月；湖南工程学院学报；ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｕｎａｎＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏ；Ｖ０１．１９．Ｎｏ．２；Ｊｕｎｅ２００９；缺项幂级数收敛域的求法；杨继明；（湖南工程学院理学院，湘潭４１１１０４）；摘要：求幂级数收敛域最关键的是求它的收敛半径．对；Ｉ＾；用教材中给出的求完全幂级数收敛半径的公式ｌｉｍＩ；这一问题，介绍四种简单方法，先求出幂级
第１９卷第２期
２００９年６月
湖南工程学院学报
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｕｎａｎＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ
Ｖ０１．１９．Ｎｏ．２
Ｊｕｎｅ２００９
缺项幂级数收敛域的求法
（湖南工程学院理学院，湘潭４１１１０４）
摘要：求幂级数收敛域最关键的是求它的收敛半径．对于缺项（或不完全）的幂级数，由于不能直接使
用教材中给出的求完全幂级数收敛半径的公式ｌｉｍＩ竺！丝Ｉ来求收敛半径，需要寻求新的方法．为了解决，卜．”ｌ口ｎ
这一问题，介绍四种简单方法，先求出幂级数的收敛半径，然后考虑其收敛域．
关键词：收敛半径；收敛域；缺项；幂级数
中图分类号：０１７２。２文献标识码：Ａ文章编号：１６７１―１１９Ｘ（２００９）０２一００５０―０２
少奇次幂的项．下面介绍求这个幂级数的收敛半径
的四种方法．
方法一：将原幂级数看成常数项级数，采用达朗贝尔比值审敛法来求收敛半径．
求幂级数收敛域最关键的是求它的收敛半径．对于标准型（或完全）幂级数∑ｎ∥”，关于收敛半径的求法，有下面的定理（参考文献［１］［２］［３］）：
解冷‰（ｚ）一互２ｎ，／一Ｉ’Ｉ锗ｌ＝，ｌｉｍ。。
当专Ｉｚｌ２＜１即ｌｚｌ＜２时原幂级数收敛；当ｉ１
定理１：如果ｌｉｍｆ
ｌ＝ｌＤ，其中ｎ。，ｎ科，是幂级
ｌ垮惫掣ｌ巧外．
ＩｚＩ２＞１即Ｉｚｌ＞２时原幂级数发散．所以，原幂级数的收敛半径Ｒ＝２．
，ｒ’ｏ。Ｉ“ｎ
数∑口＃”的相邻两项的系数，则这幂级数的收敛半
ｒ１印，ｐＣ－０，
径Ｒ一一＋ｏ。，ｐ＝０．
【ｏ，ｌＤ一＋∞．
方法二：作变量代换将原幂级数化成标准型幂
然而，对于缺项（缺奇次幂的项或缺偶次幂的
项）的幂级数，不能直接使用定理ｌ中的公式求收敛半径，需要采用其他方法．在大学数学教学过程中，许多学习者碰到这类问题时，经常出错或者望而却步，不知所措．为了对这类问题的解决有一个全面的研究，更好地帮助学习者理解这类幂级数收敛半径和收敛域的求法，通过一个实例，介绍一些简单的
解：作变换≯一￡，原幂级数化为暑－－秘１钿一
∑去￡“，这已是一个“完整项＂幂级数，可以按照定
理１所述的比值方法来求收敛半径了．
Ｂ＝墅ｆ等｜－墅簪＝｛，所帅Ｉ＜
方法三：采用根值法，利用公式｜ｉｍ汇来求收
４，ＩｚＩ―ｖ厂同。＜２，即收敛半径Ｒ＝２．
敛半径，但须注意根指数与项数要相同．这就相当于
１求收敛半径的四种方法
考虑幂级数墨去ｚ２”的收敛半径．该幂级数缺
对级数添加了一些值为零的项（不会影响级数的敛
散性）．令
收稿日期：２００８～１１―１３
基金项目：湖南工程学院教学改革研究项目（０８１８）
作者简介：杨继明（１９７５一），男，博士，副教授，研究方向：计算数学．
第２期杨继明：缺项幂级数收敛域的求法
ｍ―ｊ参，是一２握，（忌一１，２，…），则级数化为
ｋ≠－２ｎ，
Ｒ］这四个区间之一．一般来说，ｚ一士Ｒ处原幂级
数收敛性的判别不能运用常数项级数的比值判别法（ＩＤ＝１），而只能采用比较判别法（与熟知级数比较）、
互扣钿一ｋ＿＿萎ｏａｔｃｒ‘．再考虑幂级数ｋ∑＝０口腰‘的收敛半
级数收敛的必要条件等来判别．
为了求出幂级数墨去ｚ钿的收敛域，接下来需
要判断ｘ＝２和ｚ＝一２处幂级数的收敛性．注意到
ｋ－－＊ｏＱ，ｐ∞Ｙ厶
解：因为ｌＤ―ｌｉｍ汇＝ｌｉ队／去一专，所以收敛半径
这时候幂级数变为了常数项级数∑去２２”＝∑１．因
ｎ＝２Ｕ■
Ｉ，ｉｉＵ
方法四：有些级数可直接求和，利用和函数的奇
解：，圣知２Ｈ＝，量（号，翻＝南一一≯与．和
点来确定幂级数的收敛半径．
函数的奇点是ｚ一士２，而展开点（即收敛圆心）
为ｘ＝Ｏ，因此ｘ＝Ｏ与最近奇点（ｚ一２或ｚ一－－２）的距离为２，这就是说幂级数的收敛半径Ｒ－－２．
为级数∑１的一般项随着咒一ｏｏ而不趋于零，不满
足级数收敛的必要条件，所以级数∑１发散．这表明
在ｘ＝２和Ｘ＝ｍｅ处幂级数量去ｚ孙均发散．
综上所述，幂级数墨而１
（－－２，２）．
６＇／收敛域为开区间
这些求收敛半径的方法避开了直接使用定理１
中的公式ｌｉｍ
，Ｐ”Ｉ‘‘Ｈ
Ｉ挚Ｉ而达到了既定目标．
［１３同济大学应用数学系．高等数学（第六版）［Ｍ］．北京：
２收敛域的求法
根据收敛域的定义（参考文献［１］），若幂级数的
收敛半径为正数Ｒ，则其收敛区间为开区间（－－Ｒ，Ｒ），再由幂级数在ｚ一士Ｒ处的收敛性就可以决定
高等教育出版社，２００７．
［２］华东师范大学数学系．数学分析（第三版）［Ｍ］．北京：
高等教育出版社，２００８?
［３］华中科技大学：数学系复变函数与积分变换（第二肋［～ｑ
ｊ晾：高等教育出版社，瓢
其收敛域是（一Ｒ，Ｒ）、［一Ｒ，Ｒ）、（一Ｒ，Ｒ］或［一Ｒ，
Ｓｔｕｄｙ
ＣｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅＤｏｍａｉｎｏｆＬａｃｕｎａｒｙＰｏｗｅｒＳｅｒｉｅｓ
ＹＡＮＧＪｉ―ｒｕｉｎｇ
（ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，ＨｕｎａｎＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｘｉａｎｇｔａｎ４１１１０４，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｏｆｉｎｄｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｐｏｗｅｒｓｅｒｉｅｓｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｄｏｍａｉｎ，ｉｔｉｓｉｍｐｏｒｔａｎｔｔｏｇｅｔｉｔｓｒａｄｉｕｓｏｆｖｅｒｇｅｎｃｅ．Ｆｏｒｌａｃｕｎａｒｙｐｏｗｅｒｓｅｒｉｅｓ，ｔｈｅｒａｄｉｕｓｏｆｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ
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缺项幂级数收敛域的求法
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
杨继明， YANG Ji-ming
湖南工程学院理学院,湘潭,411104
湖南工程学院学报（自然科学版）
JOURNAL OF HUNAN INSTITUTE OF ENGINEERING(NATURAL SCIENCE EDITION))0次
参考文献(3条)
1.同济大学应用数学系 高等数学 20072.华东师范大学数学系 数学分析 2008
3.华中科技大学数学系 复变函数与积分变换 2003
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