在平面直角坐标系中，椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），圆O：x
2，且过点A（$\frac{a^{2}}{c}$，0）所作圆的两条切线互相垂直．
（Ⅰ）求椭圆离心率；
（Ⅱ）若直线y=2$\sqrt{3}$与圆交于D、E；与椭圆交于M、N，且DE=2MN，求椭圆的方程；
（Ⅲ）设点T（0，3）在椭圆内部，若椭圆C上的点到点P的最远距离不大于5$\sqrt{2}$，求椭圆C的短轴长的取值范围．
试题及解析
学段：高中
学科：数学
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在平面直角坐标系中，椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），圆O：x
2，且过点A（$\frac{a^{2}}{c}$，0）所作圆的两条切线互相垂直．
（Ⅰ）求椭圆离心率；
（Ⅱ）若直线y=2$\sqrt{3}$与圆交于D、E；与椭圆交于M、N，且DE=2MN，求椭圆的方程；
（Ⅲ）设点T（0，3）在椭圆内部，若椭圆C上的点到点P的最远距离不大于5$\sqrt{2}$，求椭圆C的短轴长的取值范围．
点击隐藏试题答案:
解：（Ⅰ）由条件：过点A（$\frac{a^{2}}{c}$，0）作圆的两切线互相垂直，
∴OA=$\sqrt{2}$a，即：$\frac{a^{2}}{c}$=$\sqrt{2}$a，
∴e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．（3分）
（Ⅱ）∵e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{2{b}^{2}}+\frac{y{\;}^{2}}{{b}^{2}}=1$．（5分）
$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+{y^2}={a^2}}\\{y=2\sqrt{3}}\end{array}}\right.$得x
∴DE=2$\sqrt{a^{2}-12}$，
$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{{2{b^2}}}+\frac{y^2}{b^2}=1}\\{y=2\sqrt{3}}\end{array}}\right.$得x
∴MN=$2\sqrt{2{b^2}-24}$，（7分）
由DE=2MN，得：a
2-12=4（2b
2-12=4（2b
∴椭圆方程为：$\frac{x^2}{28}+\frac{y^2}{14}=1$．（9分）
（Ⅲ）∵点T（0，3）在椭圆内部，∴b＞3，
设P（x，y）为椭圆上任一点，则
2=-（y+3）
2+18，其中，-b＜y＜b，（12分）
∵b＞3，∴-b＜-3，
∴当y=-3时，PT
2的最大值2b
2+18．（14分）
依题意：PT≤5$\sqrt{2}$，∴PT
2+18≤50，∴0＜b≤4，
又∵b＞3，∴3＜b≤4，即6＜2b≤8，
∴椭圆C的短轴长的取值范围6＜b≤8．（16分）
点击隐藏答案解析:
本题考查椭圆的离心率和椭圆方程的求法，求椭圆的短轴长的取值范围．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活运用椭圆的性质，合理地进行等价转化．
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