完全平方数_百度百科
完全平方数
完全平方即用一个整数乘以自己例如1*1，2*2，3*3等，依此类推。若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数。完全平方数是非负数，而一个完全平方数的根有两个。注意不要与所混淆。
完全平方数性质推论
0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529…
观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：
性质1：末位数只能是0,1,4,5,6,9。
（此为完全平方数的必要不充分条件，且定义为“一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数”，0为整数，故0是完全平方数）
性质2：奇数的平方的个位数字一定是奇数，偶数的平方的个位数一定是偶数。
证明 奇数必为下列五种形式之一：
10a+1,10a+3,10a+5,10a+7,10a+9
分别平方后，得
综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。
性质3：如果十位数字是奇数，则它的一定是6；反之也成立
，证明k为奇数。因为k的为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。则
∴ k为奇数。
推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。
推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。
性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。
性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。
（奇数：n比那个所乘的数-1；偶数：奇数：n比那个所乘的数-2）
在性质4的证明中，由k(k+1）一定为偶数可得到 是8n+1型的数；由为奇数或偶数可得（2k)2为8n型或8n+4型的数。
性质6：形式必为下列两种之一：3k,3k+1。
因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类：3m,3m+1,3m+2。平方后，分别得
同理可以得到：
性质7：不是5的因数或倍数的数的平方为5k+-1型，是5的因数或倍数的数为5k型。
性质8：形式具有下列形式之一：16m,16m+1,16m+4,16m+9。
除了上面关于个位数，十位数和余数的性质之外，还可研究完全平方数各位数字之和。例如，256它的各位数字相加为2+5+6=13，13叫做256的各位数字和。如果再把13的各位数字相加：1+3=4，4也可以叫做256的各位数字的和。下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加，如果得到的数字之和不是一位数，就把所得的数字再相加，直到成为一位数为止。我们可以得到下面的命题：
一个数的数字和等于这个数被9除的余数。
下面以四位数为例来说明这个命题。
设四位数为，则
= 999a+99b+9c+(a+b+c+d)
=9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)
显然，a+b+c+d是四位数被9除的余数。
对于n位数，也可以仿此法予以证明。
关于完全平方数的数字和有下面的性质：
性质9：数字之和只能是0,1,4,7,9。
证明 因为一个整数被9除只能是9k,9k±1,9k±2,9k±3,9k±4这几种形式，而
除了以上几条性质以外，还有下列重要性质：
性质10：为完全平方数的充分必要条件是b为完全平方数。
证明 充分性：设b为平方数，则=(ac)
必要性：若为完全平方数，=，则
性质11：如果质数p能整除a，但p的平方不能整除a，则a不是完全平方数。
证明 由题设可知，a有质因数p，但无因数，可知a分解成标准式时，p的次方为1，而完全平方数分解成标准式时，各质因数的次方均为偶数，可见a不是完全平方数。
性质12：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数。
则k一定不是整数。
性质13：一个正整数n是完全平方数的是n有奇数个因数（包括1和n本身）。
完全平方数重要结论
个位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数；
个位数和十位数都是的整数一定不是完全平方数；
个位数是6，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数；
形如3n+2型的整数一定不是完全平方数；
形如4n+2和4n+3型的整数一定不是完全平方数；
形如5n±2型的整数一定不是完全平方数；
形如8n+2,8n+3,8n+5,8n+6,8n+7型的整数一定不是完全平方数；
数字和是2,3,5,6,8的整数一定不是完全平方数。
：每个正整数均可表示为4个整数的平方和
完全平方数的因数个数一定是奇数。
完全平方数两者区别
完全平方数完全平方式和完全平方数的区别
完全平方式：
完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方。另一种是完全平方差公式，就是两个的差括号外的平方。口诀：首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央。（就是把两项的分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用-，后边的符号都用+）
完全平方数：
一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。
区别：完全平方式是代数式，完全平方数是自然数。
完全平方数范例
完全平方数例1
一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。
解：设此自然数为x，依题意可得
x-45=m2 ⑴
x+44=n2 ⑵
（m,n为自然数）
⑵-⑴可得 :n^2-m^2=89
因为n+m&n-m
又因为89为质数，
所以：n+m=89; n-m=1
解之，得n=45。代入⑵得。故所求的自然数是1981。
完全平方数例2
求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方（1954年数学竞赛题）。
解：设四个连续整数分别为n-1、n、n+1、n+2.
(n-1)n(n+1)(n+2)+1
易知该式可被分解为两个二次因式的乘积，设为
得ad=1,ae+bd=2,af+be+cd=-1,bf+ce=-2,cf=1，解得a=d=e=b=1,c=f=-1
故①可被分解为 ，因为n与n+1是连续两个整数，故n(n+1)为偶数，所以[n(n+1)-1]为奇数，即(n-1)n(n+1)(n+2)+1为一个奇数的平方。
完全平方数例3
求证：11,111,……这串数中没有完全平方数。（1972年基辅数学竞赛题）
解1：易知该串数中若存在完全平方数，则为末尾是1或9的数的平方。
当该串数中存在末尾为1的数的平方时，则 ，其中n、k为正整数。
但 ，易知n2需满足十位数为偶数，矛盾。
解2：完全平方数除以四余数为0或1，而根据除以四余数性质（一个数除以四的余数=这个数末两位除以四的余数）可得，这串数除以四余数为3，矛盾，所以这串数中没有完全平方数。
完全平方数例4
问：用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数？
解：设由300个2和若干个0组成的数为A，则其数字和为600
3|600 ∴3|A
此数有3的因数，故9|A。但9|600，∴矛盾。故不可能有完全平方数。
完全平方数例5
试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同（1999小学数学世界邀请赛试题）
解：设该四位数为a+10b+b，则
a+10b+b=1100a+11b =11（100a+b）
故100a+b必须被11整除=&a+b被11整除，又因为(a+b)≤18
所以a+b=11，
代入上式得 四位数=11×（a×100+（11－a）） =11×（a×99+11） =11×11×（9a+1)
故9a+1必须为完全平方数。 由a=2、3、4、5、6、7、8、9验证得， 9a+1=19、28、27、46、55、64、73。 所以只有a=7一个解；此时b=4。 因此四位数是7744=112×82=88×88。
完全平方数例6
求满足下列条件的所有自然数：
⑴它是四位数。
⑵被22除余数为5。
⑶它是完全平方数。
解：设，其中n,N为自然数，可知N为奇数。
11|N - 5或11|N + 6
n = 1 不合
n = 2 1369
n = 5 9025
所以此自然数为81,25。
完全平方数例7
矩形四边的长度都是小于10的整数（单位：公分），这四个长度数可构成一个四位数，这个四位数的千位数字与百位数字相同，并且这四位数是一个完全平方数，求这个矩形的面积（1986年杯初二数学竞赛题）。
解：设千位与百位的数字为A,十位与个位数字为B
则该四位数为：A+10B+B=11*(100A+B)且为完全平方数
所以100A+B能被11整除=&A+B能被11整除，又因为A+B≤18
易知100A+B除以11后得数为完全平方数,且各个数位之和为10
验证得该数64
所以A=7,B=4，则四位数是7744
完全平方数例8
求一个四位数，使它等于它的四个数字和的四次方，并证明此数是唯一的。
完全平方数讨论题
（1986年第27届IMO试题） 设正整数d不等于2,5,13，求证在集合{2,5,13,d}中可以找到两个不同的元素a,b，使得ab -1不是完全平方数。
解：显然2*5-1=9 2*13-1=25 5*13-1=64都为完全平方数　　假设2d-1为完全平方数,注意到d为正整数,2d-1为奇数 不妨设2d-1=(2n-1)^2 得 d=2n^2-2n+1　　此时5d-1=10n^2-10n+4不是完全平方数　　同理 假设5d-1 13d-1 为完全平方数 可以分d为奇偶去证明.
求k的最大值，使2010可以表示为k个连续正整数之和。
解：假设这k个数为 a,a+1,a+2,...,a+(k-1)　　它们的和为 ka+k(k-1)/2=2010　　k(k+2a-1)=2**5*3*67=60*67　　显然k最大只能是60,此时a=4
某校2001年的学生人数是个完全平方数。该校2002年的学生人数比上一年多101人，这个数字也是完全平方数。该校2002年学生人数是多少？
解：设2001年的学生人数是X^2,2002年的学生人数是Y^2,则　　Y^2-X^2=101 即：(Y+X)(Y-X)=101 =101*1　　所以：X+Y=101 Y-X=1 　　解之得Y=51 X=50　　所以该校2002年的学生人数是：51*51=2601
企业信用信息已知(a-5)的平方+b+4的绝对值等于0,则(a+b)的2011次方等于?
蟬鳴初雪hc
(a-5)的平方始终大于等于0b+4的绝对值始终大于等于0两者相加等于0只能两个同时为0所以a=5,b=-4(a+b)的2011次方等于1
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(a-5)²+|b+4|=0而(a-5)²≥0，且|b+4|≥0所以a-5=0，b+4=0所以a=5，b=-4所以(a+b)^)^2011=1
(a-5)²+|b+4|=0∴a=5,b=-4;∴(a+b)^2011=1
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b+4=0∴a=5,b=-4a+b=1(a+b)的2011次方=1期待您的采纳
a=5,b=-4,所以结果是1
这种问题还要问啊。。过程：∵ (a-5)^2+|b+4|=0 , (a-5)^2≥0 , |b+4|≥0∴ a-5=0 , b+4=0
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扫描下载二维码已知a＞0,b＞0,且a、b满足a+b=10.求根号下（a的平方+4）+根号下（b的平方+9）的最小值
伏念VN89FP66
用minkowski 不等式一步就可得结果√(a^2+4)+√(b^2+9)>=√[(a+b)^2+(2+3)^2]=5√5没学过的话可以用柯西不等式设：M=√(a^2+4)+√(b^2+9)M^2=a^2+b^2+4+9+2√(a^2+4)*√(b^2+9)>=a^2+b^2+13+2(a*b+2*3)=(a+b)^2+25=125所以M>=5√5 取等a/b=2/3
不好意思啊，我是初中生，您说的都没学过，能不能有个简单点的方法？
初中....那你学过什么啊..学过2次函数或者3角函数，均值不等式吗？
no，你高估了，都没学...
那你这个题超纲了啊。。。都没学。。怎么做= =！。。我帮你问问。。
基本不等式，你总学了吧
a+b>=2根下ab
额...您想得太复杂了，我已经会了，谢谢您帮我思考！
那你教教我啊。。。怎么用初中的方法做。。而且没学过上述种种。。
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答案 ：√（a^2+4）+√（b^2+9)，a大于0，b大于0，a+b=10，（a^2+4）=（b^2+9)，a^2-b^2=5,a+b=10，(a+b)(a-b)=9,a-b=0.5a=5.25,b=4.75√（a^2+4）+√（b^2+9)的最小值=2√31.5625为啥a的平方-b的平方=0？？哪有你有一点错误，（a+b)(a-b)=5,不是...
你有一点错误，（a+b)(a-b)=5,不是9
...知道就好，结果就....
因为a＞0，b＞0且a+b=10 要得到根号下（a的平方+4）+根号下（b的平方+9）的最小值，就要分别得到根号下（a的平方+4）和根号下（b的平方+9）的最小值。故a的平方+4和b的平方+9要为最小值，若a值小，则b值大；若a值大，则b值小。要使a的平方+4和b的平方+9都最小，则a、b都应为最小，所以a=b=5.所以原式=根号下29+根号下34 约等于5.38+5.83=11.21.
这道题的后边部分我的思考有些欠缺。这道题你可以用几何的思维去考虑。将数值带到坐标轴中，因为a+b=10设P点坐标为（a,0）（P在X的正半轴上）设A点坐标为（0,2），B点坐标为（10，-3），分别连接PA,PB。PA等于根号下（a的平方加上2的平方），即PA等于根号下（a的平方+4）.PB等于根号下(（10-a）的平方加上3的平方),即PB等于根号下（b的平方+9）。则根号下（a的平方+4）+根号下（b的平方+9）的最小值为AB的距离，连接AB，将点A点B的值带入解析式y=kx+b,解得k=-1/2
b=2,则解析式为y=-1/2x+2.令y=0则x=4.所以P点坐标为（4,0）则a=4，b=6由此可求出AB=PA+PB=根号下20+根号下45=2倍根号10+3倍根号5（具体值自己算，若不需用求到小数点后第几位，这个就是最简答案）
若lim(n->∞)Xn=a,由定义，对任意ε>0，存在N，当n>N时，|Xn-a|<ε而当n>N时||Xn|-|a||<=|Xn-a|< ε
//这里是三角不等式所以lim(n->∞)|Xn|=|a|其逆显然不真，反例Xn=(-1)^nlim |Xn|=1而limXn 不存在
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＞＞＞已知非零实数a，b满足|2a-4|+|b+2|+(a-3)b2+4=2a，则a+b等于____..
已知非零实数a，b满足&|2a-4|+|b+2|+(a-3)b2+4=2a，则a+b等于______．
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马上分享给同学
据魔方格专家权威分析，试题“已知非零实数a，b满足|2a-4|+|b+2|+(a-3)b2+4=2a，则a+b等于____..”主要考查你对&&有理数的乘方&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
有理数的乘方
有理数乘方的定义：求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在an中，a叫做底数，n叫做指数。 22、73也可以看做是乘方运算的结果，这时它们表示数，分别读作“2的2次幂”、“7的3次幂”，其中2、7叫做底数,6、3叫做指数。①习惯上把22叫做2的平方，把23叫做2的立方；②当地鼠是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在其右上角写指数，指数要写得小些。乘方的性质：乘方是乘法的特例，其性质如下：（1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数； （3）0的任何（除0以外）次幂都是0； （4）a2是一个非负数，即a2≥0。有理数乘方法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。例如：（-2）3=-8，（-2）2=4②正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.例如：22=4,23=8,03=0点拨：①0的次幂没意义；②任何有理数的偶次幂都是非负数；③由于乘方是乘法的特例，因此有理数的乘方运算可以用有理数的乘法运算完成；④负数的乘方与乘方的相反数不同。乘方示意图：
发现相似题
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B.a=-1，b=0
.a=±1，b=0
D.a=0，b=0
a+1≠0，a≠-1
b+1=1，b=0
2-|a|=1，a=±1
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