必修3几何概率练习_百度文库
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必修3几何概率练习
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3.6 用矢量的叉积判断直线段是否有交&&&&&&&
&&&&&&& 矢量叉积计算的另一个常用用途是直线段求交。求交算法是计算机图形学的核心算法，也是体现速度和稳定性的重要标志，高效并且稳定的求交算法是任何一个CAD软件都必需要重点关注的。求交包含两层概念，一个是判断是否相交，另一个是求出交点。直线（段）的求交算法相对来说是比较简单的，首先来看看如何判断两直线段是否相交。
&&&&&&& 常规的代数计算通常分三步，首先根据线段还原出两条线段所在直线的方程，然后联立方程组求出交点，最后再判断交点是否在线段区间上。常规的代数方法非常繁琐，每次都要解方程组求交点，特别是交点不在线段区间的情况，计算交点就是做无用功。计算几何方法判断直线段是否有交点通常分两个步骤完成，这两个步骤分别是快速排斥试验和跨立试验。假设要判断线段P1P2和线段Q1Q2是否有交点，则：
（1）&&&&&& 快速排斥试验
&&& 设以线段 P1P2 为对角线的矩形为R1， 设以线段 Q1Q2 为对角线的矩形为R2，如果R1和R2不相交，则两线段不会有交点；
（2）&&&&&& 跨立试验。
如果两线段相交，则两线段必然相互跨立对方，所谓跨立，指的是一条线段的两端点分别位于另一线段所在直线的两边。判断是否跨立，还是要用到矢量叉积的几何意义。以图3为例，若P1P2跨立Q1Q2 ，则矢量 ( P1 - Q1 ) 和( P2 - Q1 )位于矢量( Q2 - Q1 ) 的两侧，即：
( P1 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) * ( P2 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) & 0
上式可改写成：
( P1 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) * ( Q2 - Q1 ) × ( P2 - Q1 ) & 0
当 ( P1 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) = 0 时，说明线段P1P2和Q1Q2共线（但是不一定有交点）。同理判断Q1Q2跨立P1P2的依据是：
( Q1 - P1 ) × ( P2 - P1 ) * ( Q2 - P1 ) × ( P2 - P1 ) & 0
具体情况如下图所示：
图3 直线段跨立试验示意图
&&&&&&& 根据矢量叉积的几何意义，跨立试验只能证明线段的两端点位于另一个线段所在直线的两边，但是不能保证是在另一直线段的两端，因此，跨立试验只是证明两条线段有交点的必要条件，必需和快速排斥试验一起才能组成直线段相交的充分必要条件。根据以上分析，两条线段有交点的完整判断依据就是：1)以两条线段为对角线的两个矩形有交集；2)两条线段相互跨立。
&&&&&&& 判断直线段跨立用计算叉积算法的CrossProduct()函数即可，还需要一个判断两个矩形是否有交的算法。矩形求交也是最简单的求交算法之一，原理就是根据两个矩形的最大、最小坐标判断。图4展示了两个矩形没有交集的各种情况：
图4 矩形没有交集的几种情况
图5展示了两个矩形有交集的各种情况：
图5 矩形有交集的几种情况
从图4和图5可以分析出来两个矩形有交集的几何坐标规律，就是在x坐标方向和y坐标方向分别满足最大值最小值法则，简单解释这个法则就是每个矩形在每个方向上的坐标最大值都要大于另一个矩形在这个坐标方向上的坐标最小值，否则在这个方向上就不能保证一定有位置重叠。由以上分析，判断两个矩形是否相交的算法就可以如下实现：
186&bool&IsRectIntersect(const&Rect&&rc1,&const&Rect&&rc2)
188&&&&&return&(&(std::max(rc1.p1.x,&rc1.p2.x)&&=&std::min(rc2.p1.x,&rc2.p2.x))
189&&&& &&& &&&&&&&&(std::max(rc2.p1.x,&rc2.p2.x)&&=&std::min(rc1.p1.x,rc1.p2.x))
190&&&& &&& &&&&&&&&(std::max(rc1.p1.y,&rc1.p2.y)&&=&std::min(rc2.p1.y,rc2.p2.y))
191&&&& &&& &&&&&&&&(std::max(rc2.p1.y,&rc2.p2.y)&&=&std::min(rc1.p1.y,rc1.p2.y))&);
&&&&&&& 完成了排斥试验和跨立试验的算法，最后判断直线段是否有交点的算法就水到渠成了：
204&bool&IsLineSegmentIntersect(const&LineSeg&&ls1,&const&LineSeg&&ls2)
206&&&&&if(IsLineSegmentExclusive(ls1,&ls2))&//排斥实验
208&&&& &&&&return&false;
210&&&&&//( P1 - Q1 ) ×'a1?( Q2 - Q1 )
211&&&&&double&p1xq&=&CrossProduct(ls1.ps.x&-&ls2.ps.x,&ls1.ps.y&-&ls2.ps.y,
212&&&& &&& &&& &&& &&& &&& &&& && ls2.pe.x&-&ls2.ps.x,&ls2.pe.y&-&ls2.ps.y);
213&&&&&//( P2 - Q1 ) ×'a1?( Q2 - Q1 )
214&&&&&double&p2xq&=&CrossProduct(ls1.pe.x&-&ls2.ps.x,&ls1.pe.y&-&ls2.ps.y,
215&&&& &&& &&& &&& &&& &&& &&& && ls2.pe.x&-&ls2.ps.x,&ls2.pe.y&-&ls2.ps.y);
217&&&&&//( Q1 - P1 ) ×'a1?( P2 - P1 )
218&&&&&double&q1xp&=&CrossProduct(ls2.ps.x&-&ls1.ps.x,&ls2.ps.y&-&ls1.ps.y,
219&&&& &&& &&& &&& &&& &&& &&& && ls1.pe.x&-&ls1.ps.x,&ls1.pe.y&-&ls1.ps.y);
220&&&&&//( Q2 - P1 ) ×'a1?( P2 - P1 )
221&&&&&double&q2xp&=&CrossProduct(ls2.pe.x&-&ls1.ps.x,&ls2.pe.y&-&ls1.ps.y,
222&&&& &&& &&& &&& &&& &&& &&& && ls1.pe.x&-&ls1.ps.x,&ls1.pe.y&-&ls1.ps.y);
224&&&&&//跨立实验
225&&&&&return&(&(p1xq&*&p2xq&&=&0.0)&&&&(q1xp&*&q2xp&&=&0.0)&);
&IsLineSegmentExclusive()函数就是调用IsRectIntersect()函数根据结果做排斥判断，此处不再列出代码。
3.7 点和多边形关系的算法实现
&&&&&&&& 好了，现在我们已经了解了矢量叉积的意义，以及判断直线段是否有交点的算法，现在回过头看看文章开始部分的讨论的问题：如何判断一个点是否在多边形内部？根据射线法的描述，其核心是求解从P点发出的射线与多边形的边是否有交点。注意，这里说的是射线，而我们前面讨论的都是线段，好像不适用吧？没错，确实是不适用，但是我要介绍一种用计算机解决问题时常用的建模思想，应用了这种思想之后，我们前面讨论的方法就适用了。什么思想呢？就是根据问题域的规模和性质抽象和简化模型的思想，这可不是故弄玄虚，说说具体的思路吧。
&&&&&&& 计算机是不能表示无穷大和无穷小，计算机处理的每一个数都有确定的值，而且必须有确定的值。我们面临的问题域是整个实数空间的坐标系，在每个维度上都是从负无穷到正无穷，比如射线，就是从坐标系中一个明确的点到无穷远处的连线。这就有点为难计算机了，为此我们需要简化问题的规模。假设问题中多边形的每个点的坐标都不会超过(-10000.0, +10000.0)区间（比如我们常见的图形输出设备都有大小的限制），我们就可以将问题域简化为(-10000.0,
+10000.0)区间内的一小块区域，对于这块区域来说，&= 10000.0就意味着无穷远。你肯定已经明白了，数学模型经过简化后，算法中提到的射线就可以理解为从模型边界到内部点P之间的线段，前面讨论的关于线段的算法就可以使用了。
&&&&&&& 射线法的基本原理是判断由P点发出的射线与多边形的交点个数，交点个数是奇数表示P点在多边形内（在多边形的边上也视为在多边形内部的特殊情况），正常情况下经过点P的射线应该如图6（a）所示那样，但是也可能碰到多种非正常情况，比如刚好经过多边形一个定点的情况，如图6 （b），这会被误认为和两条边都有交点，还可能与某一条边共线如图6 （c）和（d），共线就有无穷多的交点，导致判断规则失效。还要考虑凹多边形的情况，如图6（e）。
图6 射线法可能遇到的各种交点情况
&&&&&&& 针对这些特殊情况，在对多边形的每条边进行判断时，要考虑以下这些特殊情况，假设当前处理的边是P1P2，则有以下原则：
1）如果点P在边P1P2上，则直接判定点P在多边形内；
2）如果从P发出的射线正好穿过P1或者P2，那么这个交点会被算作2次（因为在处理以P1或P2为端点的其它边时可能已经计算过这个点了），对这种情况的处理原则是：如果P的y坐标与P1、P2中较小的y坐标相同，则忽略这个交点；
3）如果从P发出的射线与P1P2平行，则忽略这条边；
&&&&&&& 对于第三个原则，需要判断两条直线是否平行，通常的方法是计算两条直线的斜率，但是本算法因为只涉及到直线段（射线也被模型简化为长线段了），就简化了很多，判断直线是否水平，只要比较一下线段起始点的y坐标是否相等就行了，而判断直线是否垂直，也只要比较一下线段起始点的x坐标是否相等就行了。
&&&&&&& 应用以上原则后，扫描线法判断点是否在多边形内的算法流程就完整了，图7就是算法的流程图：
&&&&&&& 最终扫描线法判断点是否在多边形内的算法实现如下：
228&bool&IsPointInPolygon(const&Polygon&&py,&const&Point&&pt)
230&&&& assert(py.IsValid());&/*只考虑正常的多边形，边数&=3*/
232&&&&&int&count&=&0;
233&&&& LineSeg ll&=&LineSeg(pt,&Point(-INFINITE,&pt.y));&/*射线L*/
234&&&&&for(int&i&=&0;&i&&&py.GetPolyCount();&i++)
236&&&& &&&&/*当前点和下一个点组成线段P1P2*/
237&&&& &&& LineSeg pp&=&LineSeg(py.pts[i],&py.pts[(i&+&1)&%&py.GetPolyCount()]);
238&&&& &&&&if(IsPointOnLineSegment(pp,&pt))
239&&&& &&&&{
240&&&& &&& &&&&return&true;
241&&&& &&&&}
243&&&& &&&&if(!pp.IsHorizontal())
244&&&& &&&&{
245&&&& &&& &&&&if((IsSameFloatValue(pp.ps.y,&pt.y))&&&&(pp.ps.y&&&pp.pe.y))
246&&&& &&& &&&&{
247&&&& &&& &&& &&& count++;
248&&&& &&& &&&&}
249&&&& &&& &&&&else&if((IsSameFloatValue(pp.pe.y,&pt.y))&&&&(pp.pe.y&&&pp.ps.y))
250&&&& &&& &&&&{
251&&&& &&& &&& &&& count++;
252&&&& &&& &&&&}
253&&&& &&& &&&&else
254&&&& &&& &&&&{
255&&&& &&& &&& &&&&if(IsLineSegmentIntersect(pp,&ll))
256&&&& &&& &&& &&&&{
257&&&& &&& &&& &&& &&& count++;
258&&&& &&& &&& &&&&}
259&&&& &&& &&&&}
260&&&& &&&&}
263&&&&&return&((count&%&2)&==&1);
&&&&&&&& 在图形学领域实施的真正工程代码，通常还会增加一个多边形的外包矩形快速判断，对点根本就不在多边形周围的情况做快速排除，提高算法效率。这又涉及到求多边形外包矩形的算法，这个算法也很简单，就是遍历多边形的所有节点，找出各个坐标方向上的最大最小值。以下就是求多边形外包矩形的算法：
266&void&GetPolygonEnvelopRect(const&Polygon&&py,&Rect&&rc)
268&&&& assert(py.IsValid());&/*只考虑正常的多边形，边数&=3*/
270&&&&&double&minx&=&py.pts[0].x;
271&&&&&double&maxx&=&py.pts[0].x;
272&&&&&double&miny&=&py.pts[0].y;
273&&&&&double&maxy&=&py.pts[0].y;
274&&&&&for(int&i&=&1;&i&&&py.GetPolyCount();&i++)
276&&&& &&&&if(py.pts[i].x&&&minx)
277&&&& &&& &&& minx&=&py.pts[i].x;
278&&&& &&&&if(py.pts[i].x&&&maxx)
279&&&& &&& &&& maxx&=&py.pts[i].x;
280&&&& &&&&if(py.pts[i].y&&&miny)
281&&&& &&& &&& miny&=&py.pts[i].y;
282&&&& &&&&if(py.pts[i].y&&&maxy)
283&&&& &&& &&& maxy&=&py.pts[i].y;
286&&&& rc&=&Rect(minx,&miny,&maxx,&maxy);
&&&&&&& 除了扫描线法，还可以通过多边形边的法矢量方向、多边形面积以及角度和等方法判断点与多边形的关系。但是这些算法要么只支持凸多边形，要么需要复杂的三角函数运算（多边形边数小于44时，可采用近似公式计算夹角和，避免三角函数运算），使用的范围有限，只有扫描线法被广泛应用。
&&&&&&& 至此，本文的内容已经完结，以上通过对点与矩形、点与圆、点与直线以及点与多边形位置关系判断算法的讲解，向大家展示了几种常见的计算几何算法实现，用简短而易懂的代码剖析了这些算法的实质。下一篇将介绍计算机图形学中最基本的直线生成算法。
参考资料：
【1】计算几何：算法设计与分析 周培德& 清华大学出版社 2005年
【2】计算几何：算法与应用 德贝尔赫（邓俊辉译）& 清华大学出版社 2005年
【3】算法导论 Thomas H.Cormen等（潘金贵等译） 机械工业出版社 2006年
【4】计算机图形学 孙家广、杨常贵 清华大学出版社 1995年
参考知识库
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(1)(6)(4)(6)(4)(1)(11)(2)(13)(7)(15)(19)(16)(31)(16)(15)(8)(13)(5)(1)(7)(13)(4)(8)高等数学、线性代数、概率与数理统计、几何学这些知识可以用来干什么？主要应用有哪些？
来源：互联网
【我现在被迫学习这些，但是我希望知道它们能干什么，这样我会更有动力和激情学习，也能学的更好。】
谢邀第一次接到邀请时，我没有回答，因为答的已经很完善了。结果又收到了邀请。两次都是本专业的邀请，那我就来说说这些数学在土木专业到底有什么用。土木的就业方向有很多，其中有两大类，设计与施工。从事设计的话，数学接触的肯定比较多，那么从事施工是不是就不需要了呢？这是我答过的一个知乎问题，我想这应该是一个从事施工的同行问的问题计算工程量是施工单位经常要做的事情，如果高等数学或者说微积分学得还凑合的话，这就是一个三重积分的问题而已。这也是结构力学中的一个基本问题，它实际上也就是一个微分方程而已线性代数就更是土木工程师缺少不了的。结构工程师天天起来用的有限元软件，结构力学里面学得矩阵位移法，都离不开线性代数。同样，利用线性代数的知识，也可以很好的理解一些结构力学问题。概率与数理统计，是我的吃饭家伙了。我的研究领域：1、混凝土桥梁结构的随机行为及可靠度；2、混凝土结构的非线性行为结构设计师设计中利用的第一本规范就应该是《工程结构可靠度设计统一标准》或者《公路工程结构可靠度设计统一标准》。如果没有概率与数理统计知识，结构设计师在使用极限概率设计方法时，脑子里就是一团浆糊。施工人员也可以对自己压出来的试块更放心些至于几何学，我想更不用我说了，程序员叫做码农，设计院的一个个都是画图机器。
大家从各个方面解释了这几课的功用，那我就从工程（机械工程）的角度来说明一下吧
第一：高等数学，这门课通用性之广可能是你所想不到的，举个例子（因为我是机电专业，故而例子大部分是机电设计）：
　　　　PID控制器，P是比例，I是积分，D是微分，PID控制器可以模拟电路，也可以是数字系统来模拟的电路，例如用单片机来模拟，但无论哪种方法，都涉及到系统的参数设定，顾名思义，PID需要比例参数，积分参数，微分参数，这三者的确定以及之后的运算，均是在高等数学的基础上的。
　　　　液压伺服阀，对于液压方面的计算，其实原理应用均为“流体力学”，对于流体力学，你们日后大概会接触到，通用公式，基本上都是需要高数基础来推导的。详情请去图书馆借阅《液体力学》
第二：线性代数，这门课，说实话，更是牛B，我想您在高中时代肯定学过坐标系的转换，例如坐标平移，极坐标转换等等，那你现在想一个问题，给你一个两关节机械手，你如何控制这个机械手的运动问题，我如何控制各个伺服电机来决定这些机械的运动位置与力的大小呢？这些问题在《机器人运动学》与《机器人动力学》中有详细的探讨，如果让我告诉你，他们运用到的知识，可以这么说，用的是“矩阵”，我想通过线代的学习，你应该对他不会陌生，对矩阵的运算，如求逆阵啦，伴随阵啦，都需要。这只是在我了解的领域内知道的线代应用。
第三：概率与统计，我想这个不用我多说了，古典概率不必多讲，生活中用到他的情况比比皆是，还有一些实例，我想在课本上应该有所涉及，如医学上，用概率论来判断一种新型药物是否有效。统计呢，这个…………以后你到公司里，不能一涉及到账单就找财务吧，那财务还不忙死……还有很多问题账务也处理不了，因为如果涉及到工业工程，学经济的财务还真不一定懂，你可以看一下《工程经济学》，这里面有很多统计方面的应用。 第四：几何学，对于一些经典的几何模型，其实我们每天都在用到，例如求圆周长，面积，求一些标准体的体积等等，只不过我们把这些知识划归了常识，而现代文明仅仅是这些基本的几何知识是远远不够的，所以我们要用很多高等数学的知识来解决一些几何问题，例如几何学中的一个重要的分支——解析几何，工程中常用的Pro/E三维软件，只要你构建了一个几何体，无论它有多么的不规则，只需要点一下求体积的按键，它就能给你算出来，如何实现呢？电脑运算快，但不智能，所以算法要你来写，用程序写出来，这些算法，其实就是高等数学中的解析几何啦，当然，不会那么简单，其中定然还要用到一些更高深的数学，例如一些有限元的算法之类的。（没有深入了解过Pro/E中的求体积算法，如若有误还请见谅）
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如@陈然所说，这些课的学习能让你用一种区别于普通人的眼光来审视这个世界，你会惊奇的发现，这个世界其实是由数学构成的，（学美术的会认为世界是由颜色构成的，学文学的会认为世界是由思想汇聚的，学经济的会认识世界是由货币铸成的。）你可以更抽象地去认识这个世界，了解他的前因后果。 陈然的答案很棒，我也很赞同，不过我想，还是补充一些关于现实生活中能看到的“活生生”的例子比较好。
我在此作出这个解答的原因，也是希望大家知道，这些东西并不是所谓的一无所用，它们功用之大，超乎我们的想象，如果没有高等数学，你连一台普通机床都做不出来，更不必说什么数控系统了~
其实随着你学习的深入你会发现，其实就你们学的这点儿高等数学，都不够用，如果你以后要自己做工程，肯定还要补习一些拉氏变换，傅氏变换，Z变换，更有甚者要学一些专门领域才用到"专业“的数学，如《数值分析》，系统变式等，不过那时候，我想，你已经深入地了解到数学的意义了。
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我曾经也迷惑过，但没有人给我解答过，但庆幸，我没有放下数学，物理，化学，现如今，才真切的发现这些学问之美，希望我的答案，对你有所帮助。
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不周之处，还请指正，在下菜鸟，虚心求教。
作为一个游戏策划，在工作中用到的：线性代数：世界坐标系、人物坐标系、摄像机坐标系转换，碰撞检测等概率与统计：数值模型计算几何：图像、运动等计算高数：以上学科的基础有些是引擎自带的或程序写的，但做设计必须要了解原理，话说本人大学不好好学，现在下班了还要另外补课
其它三项，不研究少数工科确实没用，但概率统计真乃应用数学之王。鄙人学业从数学院开始，以经济学院结束，现在在证券公司做苦逼行业研究，深有体会。概率统计抛开了数学中的“确定性”，以“不确定性”的视角看待世界，并且做出了“量化不确定性”的壮志，这种气魄，真的不是其它数学分支能够比拟。大多数数学分支，比如数学分析（对不起，高等数学这么业余的词我实在不习惯），都是站在高峰看人类，是上帝的视角，研究出美轮美奂的数学公理框架。但是概率统计，真正贴合日常生活中人类的感知。在社会中，并不存在“给你一个因为，你还给我一个所以”的确定性。一切社会规律，都需要概率统计来挖掘！所以，绝大多数社会科学最终都会通过概率统计走向量化，这也是现在“经济学帝国主义”泛滥的原因——毕竟经济学是数学渗透最狠的社会科学了。举几个例子。1、经济学经济学中，被称为恐怕是经济学最准确的定理是恩格尔系数：随着收入的提高，食物消费比重下降。这个没有概率统计的挖掘，仅仅凭眼睛是无效的。因为恩格尔系数定理，如果翻译成数学语言：其实是“当收入提高时，在90%的情况下，食物消费比重有所下降”。只有明白了这一点，才能够有力驳斥对恩格尔系数的质疑——毕竟你总能找到增加了一点收入就去吃一顿大餐的反例。2、游戏营销游戏营销中有一个很有用的指标，叫做ARPU值。即平均每用户收入，一个游戏1千万用户，每个月收入5千万，那么月ARPU就是5元。学了概率统计的人，就应该很敏感的意识到。5元的ARPU值，不是每多一个用户，就多5块钱的收入。5元只是期望（均值），但是期望仅仅是数据分布中的一个重要指标而已，即使加上方差，也不能反映全部。所以，5元的ARPU值游戏，和另一个5元ARPU值游戏，是本质上不一样的！这一点，突出反映在中国和海外的手机游戏的区别。一旦用概率统计分析海内外游戏的差别，就会发现，同样ARPU值为5的手机游戏，中国游戏方差极大，而海外游戏方差小很多。所以继续深挖，采用另一个统计指标ARPPU，平均每付费用户收入，（上述游戏，如果有100万付费用户，ARPPU为50）这个时候，你就能发现，同样是ARPU为5元的游戏，国内ARPPU可能是100，而海外的是30。那么你需要做什么呢？这个时候经营过的人就能想出，面对海外市场，你应该扩大流量，让游戏好玩。面对国内市场，你要伺候好土豪，比如分级客服（交钱最多的VIP1，其次的VIP2，等等），比如弄几个人和金主土豪陪玩坑钱，等等等等。而现在国内手游市场，就是这样做的。3、考试用概率统计的思路，你就知道考试是由三方面决定的。一、水平（期望）；二、稳定性（方差），以上两点决定了你分数的概率分布；三、运气（最后落在哪一个样本上）。你能控制的只有前两项。所以面对比较有希望的考试，或者高考这样考在每个分数都有用的考试，你应该做的是增加期望，减小方差两方面努力，就是努力做题目（提高期望），做题目做的面面俱到（减小方差）。面对如数学竞赛这样考不上一等奖啥用都没有的考试，而你水平恰恰又差一个档次，希望相对较小，这时你要做的呢，就是努力做题目（提高期望），把最重要最可能考的类型钻研到很深，不太可能考的就算了（增加方差）。4、知乎或许我这个答案赞同不是最多，但我有自信，如果用 赞同数/粉丝数 这个指标，我能排到比较前面。呵呵，这个就不多解释了，大家都懂的。但是量化之后，就能更进一步分析。比如前面说的”粉丝赞同率“指标，还有”非粉丝赞同数“指标等等，都可以画出曲线。走了，苦逼行研写报告去了。因为回答这篇问题，我有30%的可能要被老板骂了。————————————————————————————————————最后插两个小广告知乎专栏：公众号：小X的互联网投资
这些本来是在top2答案下的评论，结果竟然也得了好几个赞，索性发出来。--------有人问，是不是中国人古代人不会这些科学数学，就没有抽象思考的能力了呢？----------------答：也不能说没有，只是数学是可以清晰化抽象思维的工具，有牛顿力学和抛物线之前， 我们对抛出物体的轨迹的抽象是一条曲线，至于是怎么样的一条，不清楚。但是有了牛顿力学和抛物线，我们就知道是一个二次函数图象，而且对于整个过程认识的非常清晰。 这也就是为什么中国古人们对抽象概念要么一定要举例子讲故事，要么就是含混不清用模棱两可的古文带过。 就是因为没有合适的工具对其进行清晰化，量化。
答非所问一个。因为我看到题主的问题补充，似乎陷入了一种迷茫。首先说明一下我的情况：国内某985高校数学系小弱一个。曾经高中搞过数学竞赛，提前半年进入大学学习。曾经想要搞数学，后来荒废了几年，发现数学水平已经非常弱了，根本无法跟前面的大神和学霸抗衡。有两方面不如：1、没有心思 2、理解能力不如别人我现在大四，保研本校的计算数学专业，不打算再接触纯数学了。然而，回忆我三年多的大学时光，学业上让我最后悔的一件事，就是，在大三上学期，我一度决定搞机器学习，于是把自己的核心课--实变函数，完全扔到了一边。最后的成绩虽然过了，但是惨不忍睹。这真是我做过的最傻的事情没有之一。曾经我以为，如果我要搞计算机，那么学纯数学的东西有什么用？但是现在看来，我计算机也没有搞好，数学也没有学好。没有好好学实变函数的后果，就是泛函分析、研究生的分析学，一系列的课都很困难。我现在常常扪心自问，你算哪门子数学系学生？我现在学的是计算数学，在以前看来，我实在想不出计算数学和纯数学有什么关系，但是现在，至少计算数学中的有限元方法，就是要用到泛函分析的。离体千里了。。。拉回来。其实我要说的是，当我们思考我们学这个有什么用的时候，特别是已经纠结于此并且没有心思继续学下去的时候，你至少有两点是错的：i. 我们永远处在，信息不充足的尴尬境地下，即使有领路人，你也很难在现阶段得出下一阶段的结论，比如：学这个以后有没有用，学这个能干什么。ii. 学这个的意义，真的在于以后有没有用吗？我认为不是这样的。学习的目的在于学习本身。之所以这么痛苦，就是因为你学什么东西，还要想它有没有用。所以一旦你有些厌倦，你就会找借口：这个有用吗？只要你仔细学了，有提升了，就是所有的意义了。这个观点也许会被喷得很厉害，因为很多科学的进步需要应用。那么我的建议是：至少在学的时候，不要想这么多，全身心投入进去。至于有没有用，你在学之前想或者学完之后想就可以了。over
作为本硕都是数学系的毕业生，我来谈点自己对问题的理解，并试作回答。首先您提到了数学学科里的分析，代数，统计，几何，方程五个方面中的四个，既然您是被迫的且目的性很强，我先说我所接触过的是这样的（难度的判断属于个人意见）:1
分析: 数学的基础，涉及数学的应用学科都会用到数学分析；难度中2
代数: 用在符号计算，密码学，机械及晶体等的结构，航天器姿态的代数描述方法，3G通信序列设计；难度中3
统计: 最广为人知的用在经济学；难度低4
几何: 结构；难度中5
方程: 空气动力学（飞行器设计），数值计算，包括预报天气密码破译等等。难度高如果以后不做研究只是工程应用，我觉得你认真上课有个基本知识的储备以及思维的锻炼过程就可以了。我03年刚读数学系本科时，我们系很侧重理论，数学一级学科下面各大门类都学（所以好多类似微分几何、偏微分方程等并没有真正掌握，纯属混过来的）。低年级时有个教授来我们学校做讲座，题目叫数学等于机会，当时听了很受鼓舞，都有点觉得自己前途无量。再后来，前中科大副校长冯克勤老师在06年左右的时间曾经说，在上海的大学，数学系本科生的录取分数逐年增高，相对于以前，越来越受欢迎。在后来的求学中，我遗憾的发现，如果你是类似为了找工作之类的明确目的，数学系毕业并无伟大之处，甚至可能因为多年沉浸于理论而忽视算法实现等动手能力的培养。于是，我总结出数学理论并不是职业生涯的直接敲门砖，而必须借助一个平台、软件或者模型才可以。例如学经济的，得会用那些分析软件吧，算个简单的方差什么的至少也得知道Excel算起来快捷吧。这些平台、软件和模型可以称之为数学与现实的桥梁（手段），有这些手段，才能将你完美的算法编出来，漂亮的展示出来。而不是给你的领导看一堆代码或者一屏幕DOS语句。现在的社会太现实了，大家都只看结果，对于背后那些算法是否严格缜密只是达标即可，甚至你觉得自己的一个牛逼的算法最后要靠花哨的ppt才会让别人觉得，哇，这个算法真的好厉害。如果真的对数学感兴趣，那就是另一码事了。
老实说，当你说到实际用处的时候，可能如果你不做科研的话，几乎没有什么用处。
但是，如果说到学这些有什么意义的时候，那是意义相当重大。
这些课程，几乎是你开始将这个现实世界，抽象理解的第一步
在这之前，你对于如何将具体问题抽象理解的能力几乎是荒废的，这与我们的教育方法有关。因此，你可能完全不理解我在说什么，什么是抽象理解的能力。这也没有关系。但是，抽象的思维是一种能力，是一种科学地认识世界的能力，这种能力可能不会对于你实际的工作上的简单的任务有什么影响，但将深刻地改变你对于事情的看法和认识。这样的影响绝对是有益处的。
因此，在你学习，甚至学完之后可能都不太会觉得有什么意义，这完全取决于你对于理解世界的态度。如果你想要科学化地理解这个世界，你会觉得，卧槽，太牛逼了，越学越觉得这些东西真牛逼，至少我是这样的感受。如果你完全没有这种想法，你只会越学越无聊。
因此，在学习这些课程的时候，上课听讲和理解内容远远重要于作业考试的完成。特别是，对于在科学上有追求的人。
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又：学习没有被迫，这些应该是你学的。高等教育本身就应该培养人的抽象思维能力。
我只能说，学电的如果高数线代没学好就赶紧退学吧，后面有你爽的。不是学电的话，数学肯定有用的，只要你是理工科的话。而且不管怎样，这些东西都是有用的，存在的知识肯定是有他存在的道理的，你现在觉得暂时用不上只是你还没遇到用上的机会而已，举一个被用烂的例子，乔布斯学写字。所以啊，只要是有用的，你都应该去学。不过我知道你精力有限，所以想学有用的。但是你怎么知道这个数学对你以后有用没用？你现在还不知道，因为你看不到自己的未来。而且你还不能避开不学，因为你要拿坑爹毕业证。基于这两个理由，你必须要学，既然学，就学好。别浪费精力，因为你的精力很宝贵，你不正是出于这个想法所以才会这样问吗？而且我发现和数学有关的东西都太有用了，我实验室有个师兄，最近毕业设计搞四翼飞机，程序什么都想要用什么技术了，但是就是在建模上出大问题了，他现在说他现在重新看大学物理，和matlab，还有数学建模的书，而他是学电的。你说他大一的时候知道大学物理有用吗？那他现在觉得有用吗？总之，就是一句话，技多不压身，老祖宗不会骗你的。PS:我就是学电的，大一数学没学好，现在想死了，每天都是挑灯夜读高数线代啊！
改之理zcw:
用处非常大。就经济学而言，这三门哪一门都得学。微积分是现代文明的基础，这个就不用我说。微积分是求最优化问题的关键，经济学里假设人都是理性自利的，他们都需要在约束条件下最大化其效用函数，这就是拉格朗日算法。另外就是动态经济学里边，连续时间需要用到变分法，离散时间动态规划问题。其实动态经济学就是解微分方程。线性代数都不用说了，所有高维问题都是要用矩阵，这个最明显的是计量经济学，因为回归也好，都是要有很多样本数据来预测参数，高级计量就是矩阵运算。概率论也不用说了，计量本质上是处理随机事件，所以肯定要用。不确定性引入经济学，就有如何看待和对待风险的问题，如何期望的问题，还有外生的冲击如何影响产出的问题等等等等。说了半天发现这个问题好无聊，学经济这几门还真的哪个也离不开。
楼主怎么不说复变函数，我学的时候觉得没啥用，但是后面发现再控制论里全是它…
那個 樓上各位悔不當初的在北京的話要不咱們組個讀書會互相督促一下？數學系逃兵建議...
这几样都是泡妹子的利器！！我建议你好好学！！多的是需要你讲题的好妹子！！研究僧心灵实录！！
上面很多人都说了这几门课的重要性，我就不赘述了。我只是单纯来打击楼主的。
别傻了，就算你知道了这几门课能干什么，你也不会“有动力和激情学习”，因为即便它们真的很有用，学习的过程本身也是极其枯燥无味且消耗脑细胞的，除了少数真心热爱数学的人，我想大多数人可能很难有激情去学这些东西。
相信我，在学习这种事上，激情既不必要，也不会有什么效果。要学好这几门课，你最需要的是踏实和自控能力。
如果你真的需要一个动力，好吧……奖学金！这个动力够强大了吧，哈哈哈哈哈哈哈哈
有些郁闷的是，发现自己没学好的时候就知道有什么用了
数学是科学的语言。不懂数学，你就不懂科学。你就在漫漫黑暗的愚昧傻逼中被忽悠吧……
想起一句话：“大一高数没学好，一路兵败如山倒。”
在高中的时候，数学不好，后来就拿学数学没用为借口，更不好好学，以至后来高考数学不及格。到大学的时候，高等数学也挂科了。后来因为考研，发狠自学高等数学等数学，线性代数，概率论与数理统计，想着自己反正从小到大数学不好，能学多少算多少，开始一页一页看着教材自学，开始觉得原来数学不是我想象中那么难→这些题我也是会做的→真想不通以前这么简单的题目我居然会挂科→挖，数学真有趣。。。后来考研的时候，数学差三分满分，错了一个微积分的填空。到读研的时候，因为数学学的还算可以，数学建模之类的毫无压力，感觉学习数学用处还是非常大的。看过王小波的一本书（忘记名字了）里面有说到他以前数学老师说的一些话（具体的话不记得了）：学数学这类的学科不是因为他们有什么用，而是他们的完美，值得我们去学习。不是因为这些学科有什么用，而是因为他们值得我们去学。其实你的问题，在吴军的《数学之美》这本书里都可以找到答案。推荐再看看BBC的《数学故事》纪录片，很有意思。
我们现在这个世界的潮流，就是用数学来描述这个世界，从而预测这个世界，从而控制这个世界。一切宣称自己是“科学”的，其实都是在建构一个数学模型。举一个很日常的例子：买彩票（双色球之类的，非足彩）：学过数理统计的人要买彩票，绝对不会研究以前的开奖号码，也不会用很大比例的财产去买彩票。
微积分是绝大部分数学的前置科技。没这个后面的免谈。线性代数直接用在计算机图形学里面。整个计算机图形学就是建立在这上面的。概率与数理统计，很多游戏都要用到随机数发生器吧？那至少就要考虑分布形状的问题。在编程之外的领域就用的更多了，或者说几乎所有领域都要至少用到基础的统计知识。你做金融产品，平衡风险与收益，那就是随机变量的组合吧？你做生物，弄个实验组和对照组，什么叫两组有差异？最平庸也得T检验吧？
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