如何证明数列｛n/a的n次方｝的极限为0?
我是帅哥3tH
当a＞1时,数列｛n/a的n次方｝的极限为0.令a=1+h,则h＞0.于是a^n=(1+h)^n=1+nh+n(n-1)/2×h^2+……+h^n≥1+nh+n(n-1)/2×h^2 （n＞1）所以0
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你给的题目少条件，(a>1)证明：令a=1+b则b>0a^n=（1+b）^n，二项式展开可以得到a^n>n*(n-1)/2
｛n/a的n次方｝<=n/n*(n-1)/2
整理，有迫敛性，就可以得到！
题目应该对a有一个限制，比如说如果a=1，那么n/a^n = n 肯定不会趋于0！
你写错题了吧，是a/n的n次方吧，用e来自然对数化e的（a/n）*lnn，极限为一
扫描下载二维码用数列极限的精确定义证明极限证明5+2n/1-3n的极限是-2/3.
我要的简单_mNi
任给ε>0,取N=[3/ε]+1,则当n>N时,有| 5+2n/1-3n - (-2/3) | （通分）= | （15+6n+2-6n）/3（1-3n）| （化简）= 17/（3 | (1-3n) | （17/3放大为6）< 6/ | (1-3n) | =6/(3n-1)（分母放大为3n-n）< 6/2n=3/n
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扫描下载二维码用数列极限的精确定义证明下列极限_百度知道请问如何理解极限的精确定义？
请问一下如何才能理解Precise definition of Limit？（）尤其是在证明定理的时候（）包括这几个的加法，减法，乘法定理。谢谢大家了。
函数极限的精确定义是这样的：设函数在点的去心领域内有定义，若存在常数，对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在正数，使得当满足不等式时，对应的函数值都满足不等式：那么常数就叫做函数当时的极限，记作这个定义有些复杂，可以借助下图帮助理解：是我们需要击中的目标，我们允许在击中目标时存在一定的误差，这个误差就是。通过函数，我们可以调整射击的角度任意地接近于，射击的角度会存在误差，误差范围在之内，当时，射击角度误差为的射击必须保证击中的目标在的领域内。无论多么小，总能找到足够小的使得击中的目标在的领域内。你不需要找到最优的，只要足够小的的就行。
贴一个刚写的blog：，文章大部分参考，加上自己的一点理解而已什么是极限构想下面一个画面：如图所示，4.00时刻的画面由于缓冲跳过了。我们无法得知这个时刻球的位置，但是我们可以作出一个估计：球在3:59时和4:01时球的位置之间的某个位置上由于现实世界中球的轨迹是连续的，所以这是一个很不错的估计。但是！如果在3:599时球突然被外星人以极快的速度吸走，在4:001时按照原来的速度和方向放回来，那么我们的估计就不正确了（尽管这不太可能发生，但是必须考虑）。那么，如果我们把镜头放慢，慢到看得清外星人的存在，那么我们可以重新做一个更准确的估计。例如我们可以通过慢镜头，估计球在4:00的位置为“3:59.999和4:00.001的位置之间”。假设3:59时球在9.9米处，4:01时球在10.1米处，我们可以换一种说法：**在4:00时，估计球在10米处。这个估计由“缩放级别(3:59-4:01)"来保证正确性。不同程度的正确性由不同的“缩放级别”来保证**
可以感性地得知，在例子中，当这个缩放级别越小时，我们便越有信心估计球的位置（如果在某个级别中发现发现球的位置发生了意外的变化，那么便很有可能要推翻10m的估计，要进一步缩小级别来确定球的位置）。对数学极限定义的另一种理解理解了上面的例子后，我们来看一看官方对极限的定义（official definition）:lim(x-&c) f(x) = Lmeans for all real ε & 0 there exists a real δ & 0 such that for all x with 0 & |x - c| & δ, we have |f(x) - L| & ε (对于所有ε&0，存在一个δ & 0，使得对于所有x满足0 & |x - c| & δ，都有|f(x) - L| & ε)可以按照以下的方式去理解：lim(x-&c) f(x) = L
//当我们充满信心地估计f(c) = L时，我们的意思是：
for all real ε & 0
//对于我们考虑所有的误差范围ε（error margin）（例如+-0.1米），
there exists a real δ & 0
//存在一个“缩放级别”δ（+-0.1秒），
such that for all x with 0 & |x - c| & δ, we have |f(x) - L| & ε
//使得估计值总是在这个误差范围内。
也就是说，如果这个估计是正确的（或者说无限有信心的），那么对于一个任意小误差范围ε，总可以找出一个缩放级别δ，令到与c距离小于δ的x（0 & |x - c| & δ），都满足f(x)的值和L之间的距离在误差范围ε内。极限存在的必要条件是“对于任意小的误差范围总可以找到相应的缩放级别”，这个条件保证了不会漏掉“中途被外星人吸走又放回去”的情况。也就是说：极限（Limits）是一种提供保证准确估计的策略（Limits are a strategy for making confident predictions.）
证明极限存在举一个例子：证明x=2时极限存在。我们不可以直接代入2来说明极限存在并且为5，因为(x – 2)作为分母，其值不能为0。当时当 x != 2时，我们可以将其代入，然后消掉分子和分母的(x – 2)，得到f(x) = 2x + 1。这时我们作出一个估计，当x=2时，f(x)的值为5。我们无法得知f(2)的值，但是我们可以证明f(2)=5的估计是无限准确的。假设允许的误差范围为+-1.0，我们有：|f(x) - 5| & 1.0
=& |2x + 1 -5| & 1.0
=& |2x - 4| & 1.0
=& |x - 2| & 0.5
当x在1.5到2.5的区间内取不为2的值时，所有的f(x)都满足|f(x) – 5| & 1.0。下一步我们加入error tolerance (ε) 令到这个误差区间变成任意的：|x - 2| & 0.5 · ε
由于x – 2是单调而且连续的，所以总能找到一个x的范围，使得范围内的所有x和2的距离在+-0.5 · ε内，于是我们的估计可以无限地准确了。函数连续（A function is continuous）当我们说一个函数在某个区间内连续（continuous）的时候，是指它在这个区间内处处可以准确地估计，也就是：lim(x-&c) f(x) = f(c)
ps:有一篇通俗的用传统方法解释极限的文章
其实极限的定义是不怎么好理解的，这个定义本身也不是很好，而数学家又找不到其他更好的定义。我们知道要描述极限就得用到“趋于”这个词，这个词是一个现象，过程，其数学意义是不明确的，趋于怎么用数学描述？而数学定义又是不容许有意义不明确的东西的。一般我们说的极限的定义是指有一个无穷数列，当我们一个接一个排下来后，如果在排到某个位置后，其后面所有的数都可以距离某个数（聚点或极限点）任意的近，我们就把那个数叫做聚集中心或称为这列数的极限。直观点就是某个位置之后的所有数（密密麻麻）看起来就是一个点似的（因为它们相互间的距离可以无限小）对于以上的几段话，我个人还是不很满意，主要是还有含糊的地方！我们来对趋于这个词进行更多的思考！趋于是接近、靠近的意思，设想现实生活中的事例：请接近、靠近那个物体。首先这蕴含了从什么方向靠近物体，是从左方？右方？还是方向可变的（比如弧线方向）？如果没有限制的话，应该是任何方向都行，只要你能靠近物体的话。其次还隐藏了一个容易忽视的事情，那就是你在靠近物体的过程中的速度问题。比如一开始慢，接着快，再接着恒速，最后又快速；或者一开始恒速，接着慢速，最后快速；还有其他的情形。同样如果没有限制的话，应该是你想怎样都行，只要你能靠近物体的话。可能还有其他的我没想到的（主要是上面两点好对应收敛方向与收敛快慢），但总而言之就是不管你用什么方式（手段、途径），只要你能靠近物体就都行。因而我们的极限定义中的趋于也应该要符合我们上面所述的内容（因为我个人信仰的是数学中的一些东西是现实生活中一些现象的抽象，也就是说你的那些数学概念应该要兼容生活中的事物），即趋于的方式不论！以上是个人对于极限的一些思考。
极限这个概念是高等数学的一个重要概念。结合自己有限的一点经验，我隐约的认识到：一个学习者对“极限”这个概念理解深度影响到了其在数学、物理，甚至是对世界的理解程度和方式。简单来讲，极限是开启微积分大门的钥匙，而一个没有摸过微积分大门的人，是不会、也不能思考和回味近百年来人类在科学技术史方面的进步的，尽管这些进步在知识的海洋中微不足道。理解用“ε-δ”语言写就的精确定义固然重要，但是关于极限的直觉和感性认识对于认识和理解其含义也很重要。我结合自己学习经历谈谈看法，抛砖引玉。函数是认识世界的重要手段，而极限是认识函数的一个新的视角我们认识到我们所处世界无非是各式各样的存在，和这些存在之间的关系。函数是刻画这些存在关系的手段。数学中，我们注重的是数量关系。初等数学我们关注的是这个关系是什么，例如是平方关系，还是等比关系等，简而言之，就是如果x是某数，那么f(x)是什么，如何通过x表达。高级一点，我们感兴趣的是函数作为刻画关系的手段其本身的性质。我们自然而然想到，如果x变化一点,很小很小，那么f(x)如何变化。如果关于f(x)的变化存在一个比较好的估计，那么这个估计是什么？如果这两个变化存在一定的关系，那么这个关系是什么。数学家将前者定义为极限（后者其实是导数的定义）。因此极限是一个定义，定义无对错，但可以评价其效用，到目前来看这是一个很不错的定义。一个极限表达式，是一个自问自答的完整对话。由此可以看出，lim=L（不能很好的编辑，请见谅）这个式子的左边提出一个问题：问当自变量趋近某数时，函数的性态如何？式子的右边给出一个答案，当自变量趋近某数时，函数也会趋近一个固定的数。极限是一个过程，不是一个数字准确的讲是一个“一体两面”的过程。即，当自变量趋近某数时，函数也会趋近一个固定的数。这个过程只和x在x0的去心邻域及在该邻域上的函数有关，而与函数在该点有无定义，或该点的函数值无关。函数通过用自变量和自变量的运算告诉你，在某一自变量点的函数值，其实也告诉你在函数在处处的函数值，当然也告诉你临近的某一处的函数值。这就如同我告诉你北京是被一片沙漠包围，如果你坐火车经过北京，同时把北京看作是一个点的话，我问你：在坐火车临近北京的时候，你从窗外望去，你会看到什么？或许会看到大山、绿数、河流，但你一定会看到沙漠，如果你没看到，那是因为你离北京不够近。极限就是定义了这个过程，只要你离北京足够近，你就能看到沙漠。直观的讲，极限是回答：变量随着自变量往某个数接近的时候“往哪里去了”的问题，导数则回答了”如何去到那里”。
记得刚刚翻开同济上册的高数书的时候，接触的第一个概念便是极限。不得不承认当时是很难理解书上给出的极限的定义以及证明，第一个想法便是符号太多：这是高中数学和大学数学第一个显著的不同：严谨的逻辑性，以及代数符号，相比高中中画个图，证明写个显然可得，它显示的抽象性，是大多数人无法理解的关键。而极限恰巧从侧面印证这一点，也不能说自己已经精通极限了，就是来从我自己理解的角度来解释下极限。极限：可以从字面上理解，就是在能力范围内，你具有的最大能力值。最大说明啥，用一句话来说，就是你明明可以马上触碰的到，然而却无法达到，对就是无法达到，这是我认为极限的最大特性（在函数极限解释这一点）。所以你可以想象一幅画面，你攀爬一座山，随着时间的推移（自变量），你开始无限的接近山顶，但是你永远无法到达山顶（因为这是超出你的能力范围的），无论如何，你和山顶的高度永远差一点，无限接近，却永不相交。首先是数列极限设 {Xn} 为实数列，a 为定数．若对任给的正数 ε，总存在正整数N，使得当 n&N 时有∣Xn-a∣&ε 则称数列{Xn} 收敛于a，定数 a 称为数列 {Xn} 的极限，并记作数列极限表达式，或Xn→a（n→∞）在定义证明中往往会将N和ε联系起来，假设y=1/x 如果我取ε等于1/5000 那么N=5000那么当n&5000时|Xn-a|&ε，那么这里就出现两个问题，第一个如果y是一个一般数列呢？第二个就例子来说a在不等于0时同样有可能小于ε？
第一个问题：既然数列有极限，那一定是一个趋近的过程所以当n&N时两者之差的绝对值是会减小的。这也就是我认为极限第二个特性，趋近，对于极限来说总会有个固定的目标，也就是你爬山时那个山顶。第二个问题：这里的ε是任意的，所以我们所要找到的a是最终的一个目标，也就是你要无限趋近的那个值。然后是函数的极限设函数在点 的某一内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数
（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的都满足不等式：那么常数A就叫做函数当时的极限，记作不知道敲出来格式就变成了这样·······回正题，首先要强调一点，极限值只是在数值上等于该点的函数值，但其实极限值是永远取不到这个值的，定义中的x的取值便明确的将x0这点挖去，所以极限压根就取不到f(x0),而在证明中将ε和联系起来的原因类似于数列极限，无论对于那个ε值我总有一个我可以任取的值和它对应。就类似这个图就类似这个图求一个函数极限是两边趋近的过程，这也是为什么要左右极限相等的原因，同时也可以解释在连续函数中函数值等于极限值。同时这个点是被挖去的，也就是无法到达。
想搞清楚这个问题，你首先要搞清楚两个问题：1.什么叫x-&x0（x-&∞）。2.什么叫做limf(x)。详情请见张宇高数教学视频，听不懂的话我从7楼跳下去。
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