（2015四川）已知函数f（x）=-2xlnx+x2-2ax+a2，其中a＞0．_数学高考试题_中学资源网
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（2015四川）已知函数f（x）=-2xlnx+x2-2ax+a2，其中a＞0．
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（2015四川）已知函数f（x）=-2xlnx+x2-2ax+a2，其中a＞0．
作者：佚名
文章来源：
更新时间： 16:18:14
（2015四川）已知函数f（x）=-2xlnx+x2-2ax+a2，其中a＞0． （Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性； （Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．
（I）解：函数f（x）=-2xlnx+x2-2ax+a2，其中a＞0．可得：x＞0． g（x）=f′（x）=2（x-1-lnx-a），∴g′（x）=2-2x=2(x-1)x， 当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减； 当1＜x时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增． （II）证明：由f′（x）=2（x-1-lnx（x≥1）， 由v′（x）=1-1x≥0，可得：函数v（x）在区间（1，+∞）上单调递增． ∴0=v（1）＜a0=v（x0）＜v（e）=e-2＜1，即a0∈（0，1），当a=a0时，有f′（x0）=0，f（x0）=u（x0）=0． 再由（I）可知：f′（x）在区间（1，+∞）上单调递增， 当x∈（1，x0）时，f1-lnx-a）=0，解得a=x-1-lnx， 令u（x）=-2xlnx+x2-2（x-1-lnx）x+（x-1-lnx）2=（1+lnx）2-2xlnx， 则u（1）=1＞0，u（e）=2（2-e）＜0， ∴存在x0∈（1，e），使得u（x0）=0， 令a0=x0-1-lnx0=v（x0），其中v（x）=x-1＜0，∴f（x）＞f（x0）=0； 当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）＞f（x0）=0； 又当x∈（0，1]，f（x）=(x-a0)2-2xlnx＞0． 故当x∈（0，+∞）时，f（x）≥0恒成立． 综上所述：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．
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　　网友评论：（只显示最新10条。评论内容只代表网友观点，与本站立场无关！）（1）当a=2时，f（x）=2lnx-x2；∴f′（x）=-2x∴f′（1）=0①x∈[，1）时，f′（x）＞0，故f（x）在∈[，1]上单调递增②x∈（1，2]时，f′（x）＜0，故f（x）在∈[1，2]上单调递增∴函数f（x）在[，2]上的最大值为f（1）=0（2）g（x）=alnx-x2+ax∴g′（x）=-2x+a∵y=g（x）在（0，3）不单调∴g′（x）=-2x+a=0在（0，3）上有两不等的实根由g′（x）=0得：2x2-ax-a=0∴令h（x）=2x2-ax-a①a＞0时，h（0）=-a＜0∴h（3）=18-4a＞0解得：0＜a＜②a＜0时，h（0）=-a＞0∴h（3）=18-4a＜0；无解③当a=0时，h（0）=0，只有一个实根，不符题意综上，a的取值范围是（0，）
菁优解析考点：．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（1）由导函数值的正负得到函数的单调性和最值情况，从而得到本题结论；（2）由题意y=g（x）在（0，3）不单调，知道在区间（0，3）内导函数的异号，对应方程有根在区间（0，3）内，得到相应有关系式，解不等式得到本题结论．解答：解：（1）当a=2时，函数f（x）=2lnx-x2，∴f′（x）==2x=，（x＞0）．∴当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当1＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．当x=1时，f′（x）=0，f（x）有极大值f（1）=-1．∴函数y=f（x）在区间[，2]上的最大值为-1．（2）∵g（x）=f（x）+ax，∴g（x）=alnx-x2+ax，∴g′（x）==2+ax+ax．∵y=g（x）在（0，3）不单调，∴g′（x）=0在区间（0，3）内异号，∴方程-2x2+ax+a=0有两个不相等的实数根，且有根在区间（0，3）内．∴记h（x）=2x2-ax-a，由h（0）oh（3）＜0得：；由知，此时无解；由h（0）=0得a=0，h（x）=2x2，不合题意；由h（3）=0得a=，h（x）=2x2--=，不合题意．综上，．∴a的取值范围是（0，）．点评：本题考查了函数的最值和导函数的知识，本题难度适中，属于中档题．答题：王老师　
其它回答（1条）
当a=-2时，函数f（x）=x?-2lnx.易知，该函数定义域为R+求导，f'（x）=2x-（2/x）=（2/x）（x?-1）易知，当0＜x≤1时，f'（x）≤0.
当x＞1时，f'（x）＞0∴函数f（x）在（0，1]上递减，在（1，+∞）上递增．（2）g（x）=x^2+alnx+2/xg'（x）=2x+a/x-2/x^2=（2x^3+ax-2）/x^2，（x＞0）g（x）在[1，+无穷）上是单调函数，则有g（x）在[1，+oo）上有g'（x）＞0或＜0设h（x）=2x^3+ax-2h'（x）=6x^2+a当a＞=0时，h'（x）＞0，则有h（x）是增函数，则有h（x）＞=h（1）=2+a-2＞=0，从而有g'（x）＞0，符合.当a＜0时有（i）a＜-6时有，1＜x＜根号（-a/6），h'（x）＜0，x＞根号（-a/6）时h'（x）＞0那么h（x）min=h（根号（-a/6））=2（-a/6）根号（-a/6）+a根号（-a/6）-2＞0解得a＜-3根号2，故有a＜-6（ii）-6＜a＜0，有x＞=1时有h'（x）＞0，即有h（x）是增函数，则有h（x）＞=h（1）=a＞0，不符合.综上所述，范围是a＞=0或a＜-6.
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