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如图，矩形ABCD中，AD=10，AB=8，点P在边CD上，且BP=BC，点M在线段BP上，点N在线段BC的延长线上，且PM=CN，连接MN交BP于点F，过点M作ME⊥CP于E，则EF=&&&&&&&.
解析试题分析：通过作平行线构造全等，然后运用三角形全等及等腰三角形的性质即可推出EF是PB的一半，只需求出PB长就可以求出EF长．试题解析：作MQ∥AN，交PB于点Q，如图．∵AP=AB，MQ∥AN，∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP．∴∠APB=∠MQP．∴MP=MQ．∵MP=MQ，ME⊥PQ，∴PE=EQ=PQ．∵BN=PM，MP=MQ，∴BN=QM．∵MQ∥AN，∴∠QMF=∠BNF．在△MFQ和△NFB中，∴△MFQ≌△NFB．∴QF=BF．∴QF=QB．∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB．易求：PC=4，BC=8，∠C=90°．∴PB=．∴EF=PB=．考点：1.全等三角形的判定与性质；2.等腰三角形的判定与性质；3.勾股定理；4.矩形的性质本题难度：0.46&&题型：综合题
在平面直角坐标系xOy中，半径为1的⊙O与x轴负半轴交于点A，点M在⊙O上，将点M绕点A顺时针旋转60°得到点Q．点N为x轴上一动点（N不与A重合），将点M绕点N顺时针旋转60°得到点P．PQ与x轴所夹锐角为α．（1）如图1，若点M的横坐标为，点N与点O重合，则α=&&&&°；（2）若点M、点Q的位置如图2所示，请在x轴上任取一点N，画出直线PQ，并求α的度数；（3）当直线PQ与⊙O相切时，点M的坐标为&&&&32，）或（-，-）．
来源：学年北京理工大附中九年级（上）月考数学试卷（10月份） | 【考点】圆的综合题；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；特殊角的三角函数值．
解析与答案
（揭秘难题真相，上）
习题“在平面直角坐标系xOy中，半径为1的⊙O与x轴负半轴交于点A，点M在⊙O上，将点M绕点A顺时针旋转60°得到点Q．点N为x轴上一动点（N不与A重合），将点M绕点N顺时针旋转60°得到点P．PQ与x轴所夹锐角为α．（1）如图1，若点M的横坐标为12，点N与点O重合，则α=°；（2）若点M、点Q的位置如图2所示，请在x轴上任取一点N，画出直线PQ，并求α的度数；”的学库宝（/）教师分析与解答如下所示：
【分析】（1）如图1根据圆周角定理可求出∠MAP、∠AQP再根据∠MAQ可依次求出∠PAQ∠APQ（2）连接MQ交x轴于E连接PQ交x轴于F连接PM如图2由题可得：△MAQ和△MNP均为等边三角形由此可证到△AMN≌△QMP则有∠MAN=∠MQP．根据三角形外角的性质可得到∠MAN+∠AMQ=∠AEQ=∠MQP+∠AFQ从而可得到∠AFQ=∠AMQ=60°（即α=60°）（3）连接MQ交x轴于E连接PQ交x轴于F连接PMMFOM过点M作MH⊥x轴于H设PQ与⊙O相切于点G连接OG如图3①、图3②．则有∠OGF=90°．由（2）可得∠AFQ=∠AMQ=60°由此可得A、M、F、Q四点共圆根据圆周角定理可得∠AFM=∠AQM=60°．在Rt△OGF中运用三角函数可求得OF=233在Rt△MHF中运用三角函数可得MHHF=3．设HF=x则MH=3xOH=233-x．在Rt△OHM中运用勾股定理可求出x从而可得OHMH就可得到点M的坐标．
【解答】解：（1）如图1∵∠MOP=60°∴∠MAP=30°．∵∠MAQ=60°∴∠QAP=30°．∵AP是⊙O的直径∴∠AQP=90°∴∠APQ=60°即α=60°．故答案为60（2）连接MQ交x轴于E连接PQ交x轴于F连接PM如图2．由题可得：△MAQ和△MNP均为等边三角形∴MA=MQMN=MP∠AMQ=∠NMP=60°∴∠AMN=∠QMP．在△AMN和△QMP中MA=MQ∠AMN=∠QMPMQ=MP∴△AMN≌△QMP∴∠MAN=∠MQP．∵∠AEQ=∠MAN+∠AMQ∠AEQ=∠MQP+∠AFQ∴∠AFQ=∠AMQ=60°∴α的度数为60°（3）连接MQ交x轴于E连接PQ交x轴于F连接PMMFOM过点M作MH⊥x轴于H设PQ与⊙O相切于点G连接OG如图3①、图3②．则有∠OGF=90°．由（2）可得∠AFQ=∠AMQ=60°∴A、M、F、Q四点共圆∴∠AFM=∠AQM=60°．∴在Rt△MHF中tan∠HFM=MHHF=3．在Rt△OGF中sin∠OFG=OGOF=32∵OG=1∴OF=233．设HF=x则MH=3xOH=233-x．在Rt△OHM中由勾股定理可得：（233-x）2+（3x）2=12解得x1=x2=36∴OH=233-36=32MH=12∴点M的坐标为（3212）或（-32-12）．故答案为（3212）或（-32-12）．
【考点】圆的综合题；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；特殊角的三角函数值．
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知识点讲解
经过分析，习题“在平面直角坐标系xOy中，半径为1的⊙O与x轴负半轴交于点A”主要考察你对
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
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作业互助QQ群：(小学)、(初中)、(高中)请你续进行探究，并解下问题：如图在矩形ABCD中，B=6cm，AD=8cm点B出，沿对角线D向点D匀运动，速度为4cm/s，过PPQ⊥BD交BC于点Q，以PQ一边作正方PQMN使得点N落在射线PD上，点OD出发，沿DC向点匀运动速为3m/s以O心0.8cm为径作⊙O点PO同出发，设们运动间为t（单位（0＜t＜）．图3，在运过程中，当M与⊙O相切时求t的判断此时M与⊙O是否相切？说明理由．，连接C，若△CMQ是以CQ为底的等三角，求t的值；
考点：圆的综合题
分析：利用B△CBD求出PQ、BQ，再据角平分线性质列出方解决问题．图2中，由此Q交CD于E出、DO利用差值比即可解决问题．如图3中，由可知⊙O只左侧与直线M相切于点H，QMCD交于点E由△HE△BC得=，列方即可解决问题．利用反证证直线P可能由⊙O相切．
解：图1中，∵四边形ACD矩形，∴T=TQ，∴△QT∽△BD，∴∠A=∠∠ADCABC=90°，AB==6．AD=BC8，∴==，∴=，
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点评：题考查圆综合、正方形的性质、似三形的判定和性质、切线判定和性质、勾股定理角平线的质等识，解题的关键灵活用这些知识决问题，会用的思想思考问题，充分用相似三角形的性质构建方程在最一问题明中利用反证法，于压轴．
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如图，MP=MQ，PN=QN，MN与PQ相交于O，则PQ与MN的关系为（ ）_答案_百度高考
数学 垂直平分线...
如图，MP=MQ，PN=QN，MN与PQ相交于O，则PQ与MN的关系为（　　）
AMN=PQ BPQ＜MN CMN＜PQ DMN⊥PQ
第-1小题正确答案及相关解析}