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活用向量工具解决数学问题
平面向量是高中数学近几年新增的内容,以向量为背景,一些传统的中学数学内容和问题就有了新的内涵,积极探索向量在数学中各方面的应用,不仅可深入了解数学教科书中新增内容和传统内容的内部联系,构建合理的数学知识结构;而且有利于拓展想象力,激发创新活力.显现出向量作为一个工具在数学中的重要性,由于向量集数、形于一体,也就是它既有代数的运算性质,又有几何的图形特征,因而许多代数、几何中的问题都可以转化为向量来处理,它不仅能解决数学学科本身的问题,跨学科应用也是它的一个特点.
作者单位：
河南省鲁山县第一高级中学,河南 鲁山 467300
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新东方：2013年高考数学向量题目考点与解题方法
来源：新东方
作者：孟祥飞
　　先选取一个很有代表性的题目，这是这次海淀考的一个向量的题目，它的位置是在选择题的第5个，应该说还是属于简单题的范畴，然后这个题是怎么描述的？说向量ab，然后满足这么一个关系式，叫做a模等于b模，然后等于和向量，都等于1，然后这个题让你算一下，a向量和b向量的数量级，就是我不知道大家有没有这种感觉，我们考了这么多回试，第一个向量这个题肯定是必考，第二个就是考出来以后，发现有时候很好做，有时候就不太好做，所以同学们在后边阶段复习的时候，可以针对性的把向量这个小板块好好研究研究，第一个是必考内容，另外这个题考出来，发现他其实情况还是挺复杂的，有的题这样，有的题这样，都不太一样，所以我觉得它们的难点其实也在这儿，所以我们选择第一个小板块给大家说一下。
　　向量的题目其实是有三种，比如你所看到这个向量题目，它其实属于哪一种呢？我们讲这个叫做无坐标题目，其实它也是一个无图像题目，虽然题目给了两个向量，我们都知道向量，都有方向的，有象限段，但是题目没有给出，如果你真想做图的话，那图有千变万化的做法，我可以这画一个a，这画个b，你就很难掌控，所以我们把这种类型题叫做无图无坐标，那么它有的是什么，一般我们讲，叫做有的时候模长和夹角，像这个题虽然没有夹角，但是你如果想算这个的话，当然这是其中一种做法了，考卷一打开，就会出现这个夹角了。如果是这种模长夹角类型题目，我们处理起来有什么好办法呢？实际上我们觉得，他核心用的公式其实就两个，一个既然没有坐标，肯定不会用坐标公式，他们会用谁呢？a向量×b向量=a模×b模×夹角，这是用的最核心的公式，然后另外还有一个核心公式，就是如果是a向量跟自己乘，那么简单叫a向量的平方了，它应该等于谁呢？等于a模×a模×cosa那就是cosa0，最后会得到一个向量的平方等于谁？等于模的平方，如果我们把这个公式倒着看的话，你会发现，有点什么感觉？就是我把一个模平完方以后，这个绝对值就没有了，或者叫模长符号就没有了，所以我不知道大家能体会到吗？
　　你把这个绝对值平方，最后这个绝对值就没有了，那么给我们的启示是什么呢？他既然是给了一组模长条件，那我们一般会做不会做，你应该是往这两个公式上去靠，因为它没有坐标，所以你不能用坐标来做，又没有图，你要硬画图，你画的很茫然，就是把它尽量往平方形去走，因为你可以用这个公式，而且你用完平方以后，比如这个题的核心突破口其实在这儿，你把这个式子用完平方以后，我们还可以怎么办呢，除了出现a方、b方，首先绝对值平方会把绝对值去掉，你把这个绝对值平完方以后，把绝对值去掉以后，变成一个向量的完全平方和，你把这个完全平方打开的话，会出现a方、b方，还会出现这个乘积，如果出现乘积，我就可以套这个公式，顺便把这个夹角求出来，但是海淀这个题说实话，考的还是很欣慰的一道题，因为他难题很低，别没有让你算夹角，实际上你只要把这个平完方了以后，他自动会出现乘积，而乘积也不用再打开了，因为这个题算的其实就是乘积。
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